數(shù)值線性代數(shù)第二版徐樹方高立張平文上機(jī)習(xí)題第三章實(shí)驗(yàn)報(bào)告

..第三章上機(jī)習(xí)題用你所熟悉的的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言編制利用QR分解求解線性方程組和線性最小二乘問(wèn)題的通用子程序,并用你編制的子程序完成下面的計(jì)算任務(wù)：求解第一章上機(jī)習(xí)題中的三個(gè)線性方程組,并將所得的計(jì)算結(jié)果與前面的結(jié)果相比較,說(shuō)明各方法的優(yōu)劣；求一個(gè)二次多項(xiàng)式,使得在殘向量的2范數(shù)下最小的意義下擬合表3.2中的數(shù)據(jù)；表3.2ti-1-0.75-0.500.250.50.75yi10.81250.7511.31251.752.3125在房產(chǎn)估價(jià)的線性模型中,分別表示稅、浴室數(shù)目、占地面積、車庫(kù)數(shù)目、房屋數(shù)目、居室數(shù)目、房齡、建筑類型、戶型及壁爐數(shù)目,代表房屋價(jià)格。現(xiàn)根據(jù)表3.3和表3.4給出的28組數(shù)據(jù),求出模型中參數(shù)的最小二乘結(jié)果。〔表3.3和表3.4見課本P99-100解分析：計(jì)算一個(gè)Householder變換H：由于,則計(jì)算一個(gè)Householder變換H等價(jià)于計(jì)算相應(yīng)的。其中。在實(shí)際計(jì)算中,為避免出現(xiàn)兩個(gè)相近的數(shù)出現(xiàn)的情形,當(dāng)時(shí),令；為便于儲(chǔ)存,將規(guī)格化為,相應(yīng)的,變?yōu)闉榉乐挂绯霈F(xiàn)象,用代替QR分解：利用Householder變換逐步將轉(zhuǎn)化為上三角矩陣,則有..,其中,。在實(shí)際計(jì)算中,從,若,依次計(jì)算對(duì)應(yīng)的即對(duì)應(yīng)的,,將儲(chǔ)存到,儲(chǔ)存到,迭代結(jié)束后再次計(jì)算,有,〔時(shí)求解線性方程組或最小二乘問(wèn)題的步驟為=1\*romani計(jì)算的QR分解；=2\*romanii計(jì)算,其中=3\*romaniii利用回代法求解上三角方程組〔4對(duì)第一章第一個(gè)線性方程組,由于R的結(jié)果最后一行為零,故使用前代法時(shí)不計(jì)最后一行,而用運(yùn)行結(jié)果計(jì)算。運(yùn)算matlab程序?yàn)?計(jì)算Householder變換[v,belta]=house<x>function[v,belta]=house<x>n=length<x>;x=x/norm<x,inf>;sigma=x<2:n>'*x<2:n>;v=zeros<n,1>;v<2:n,1>=x<2:n>;ifsigma==0belta=0;elsealpha=sqrt<x<1>^2+sigma>;ifx<1><=0v<1>=x<1>-alpha;elsev<1>=-sigma/<x<1>+alpha>;endbelta=2*v<1>^2/<sigma+v<1>^2>;v=v/v<1,1>;endend2計(jì)算的QR分解[Q,R]=QRfenjie<A>function[Q,R]=QRfenjie<A>[m,n]=size<A>;Q=eye<m>;forj=1:nifj<m[v,belta]=house<A<j:m,j>>;H=eye<m-j+1>-belta*v*v';A<j:m,j:n>=H*A<j:m,j:n>;d<j>=belta;A<j+1:m,j>=v<2:m-j+1>;endendR=triu<A<1:n,:>>;forj=1:nifj<mH=eye<m>;temp=[1;A<j+1:m,j>];H<j:m,j:m>=H<j:m,j:m>-d<j>*temp*temp';Q=Q*H;endendend3解下三角形方程組的前代法x=qiandaifa<L,b>functionx=qiandaifa<L,b>n=length<b>;forj=1:n-1b<j>=b<j>/L<j,j>;b<j+1:n>=b<j+1:n>-b<j>*L<j+1:n,j>;endb<n>=b<n>/L<n,n>;x=b;end4求解第一章上機(jī)習(xí)題中的三個(gè)線性方程組ex3_1clear;clc;%第一題A=6*eye<84>+diag<8*ones<1,83>,-1>+diag<ones<1,83>,1>;b=[7;15*ones<82,1>;14];n=length<A>;%QR分解[Q,R]=QRfenjie<A>;c=Q'*b;x1=huidaifa<R<1:n-1,1:n-1>,c<1:n-1>>;x1<n>=c<n>-R<n,1:n-1>*x1;%不選主元Gauss消去法[L,U]=GaussLA<A>;x1_1=Gauss<A,b,L,U>;%列主元Gauss消去法[L,U,P]=GaussCol<A>;x1_2=Gauss<A,b,L,U,P>;%解的比較figure<1>;subplot<1,3,1>;plot<1:n,x1>;title<'QR分解'>;subplot<1,3,2>;plot<1:84,x1_1>;title<'Gauss'>;subplot<1,3,3>;plot<1:84,x1_2>;title<'PGauss'>;%第二題第一問(wèn)A=10*eye<100>+diag<ones<1,99>,-1>+diag<ones<1,99>,1>;b=round<100*rand<100,1>>;n=length<A>;%QR分解tic;[Q,R]=QRfenjie<A>;c=Q'*b;x2=huidaifa<R,c>;toc;%不選主元Gauss消去法tic;[L,U]=GaussLA<A>;x2_1=Gauss<A,b,L,U>;toc;%列主元Gauss消去法tic;[L,U,P]=GaussCol<A>;x2_2=Gauss<A,b,L,U,P>;toc;%平方根法tic;L=Cholesky<A>;x2_3=Gauss<A,b,L,L'>;toc;%改進(jìn)的平方根法tic;[L,D]=LDLt<A>;x2_4=Gauss<A,b,L,D*L'>;toc;%解的比較figure<2>;subplot<1,5,1>;plot<1:n,x2>;title<'QR分解'>;subplot<1,5,2>;plot<1:n,x2_1>;title<'Gauss'>;subplot<1,5,3>;plot<1:n,x2_2>;title<'PGauss'>;subplot<1,5,4>;plot<1:n,x2_3>;title<'平方根法'>;subplot<1,5,5>;plot<1:n,x2_4>;title<'改進(jìn)的平方根法'>;%第二題第二問(wèn)A=hilb<40>;b=sum<A>;b=b';n=length<A>;[Q,R]=QRfenjie<A>;c=Q'*b;x3=huidaifa<R,c>;%不選主元Gauss消去法[L,U]=GaussLA<A>;x3_1=Gauss<A,b,L,U>;%列主元Gauss消去法[L,U,P]=GaussCol<A>;x3_2=Gauss<A,b,L,U,P>;%平方根法L=Cholesky<A>;x3_3=Gauss<A,b,L,L'>;%改進(jìn)的平方根法[L,D]=LDLt<A>;x3_4=Gauss<A,b,L,D*L'>;%解的比較figure<3>;subplot<1,5,1>;plot<1:n,x3>;title<'QR分解'>;subplot<1,5,2>;plot<1:n,x3_1>;title<'Gauss'>;subplot<1,5,3>;plot<1:n,x3_2>;title<'PGauss'>;subplot<1,5,4>;plot<1:n,x3_3>;title<'平方根法'>;subplot<1,5,5>;plot<1:n,x3_4>;title<'改進(jìn)的平方根法'>;5求解二次多項(xiàng)式ex3_2clear;clc;t=[-1-0.75-0.500.250.50.75];y=[10.81250.7511.31251.752.3125];A=ones<7,3>;A<:,1>=t'.^2;A<:,2>=t';[Q,R]=QRfenjie<A>;Q1=Q<:,1:3>;c=Q1'*y';x=huidaifa<R,c>6求解房產(chǎn)估價(jià)的線性模型ex3_3clear;clc;A=xlsread<'E:\temporary\專業(yè)課\數(shù)值代數(shù)\cha3_3_4.xls','A2:L29'>;y=xlsread<'E:\temporary\專業(yè)課\數(shù)值代數(shù)\cha3_3_4.xls','M2:M29'>;[Q,R]=QRfenjie<A>;Q1=Q<:,1:12>;c=Q1'*y;x=huidaifa<R,c>;x=x'計(jì)算結(jié)果為〔1第一章上機(jī)習(xí)題中的三個(gè)線性方程組結(jié)果對(duì)比圖依次為以第二個(gè)線性方程組為例,比較各方法的運(yùn)行速度。依次為QR分解,不選主元的Gauss消去法,列主元Gauss消去法,平方根法,改進(jìn)的平方根法。Elapsedtimeis0.034588seconds.Elapsedtimeis0.006237seconds.Elapsedtimeis0.009689seconds.Elapsedtimeis0.030862seconds.Elapsedtimeis0.007622seconds.二次多項(xiàng)式的系數(shù)為x=1.00001.00001.0000房產(chǎn)估價(jià)的線性模型的系數(shù)為x=Columns1through62.07750.71899.68020.153513.