概率分布方法

第七章概率分布方法在社會、生產(chǎn)、科研和生活實(shí)踐中，許多問題的不確定現(xiàn)象都是由隨機(jī)因素的影響造成的，即將這種現(xiàn)象可以視為已希望隨機(jī)事件，而隨機(jī)事件一般是按照一定的概率出現(xiàn)的。與此有關(guān)的隨機(jī)因素的變化往往都會服從于一定的概率分布。在實(shí)際中，就是利用這些概率分布規(guī)律對問題進(jìn)行研究，從而可以對所研究的實(shí)際問題做出估計(jì)、判斷、預(yù)測和決策。因此，概率分布方法在解決實(shí)際問題的過程中有著非常廣泛的應(yīng)用。7.1排列和組合7.1.1排列選排列：從n個(gè)不同的元素中，每次任取k(k<n)個(gè)不同元素按次序排成一列，稱為選排列，其排列種數(shù)記為Pk，即n一一一一n!Pk=n(n一1)(n一2)...(n一k+1)= n (n一k)!全排列：從n個(gè)不同的元素中，每次取n個(gè)不同元素按次序排成一列，稱為全排列，其排列種數(shù)記為PnnPn=n(n-1)(n-2)...2.1=n!.n有重復(fù)的排列：從n個(gè)不同的元素中，每次取k(k<n)個(gè)元素，可以重復(fù)，按次序排成一列，這種排列稱為有重復(fù)的排列，其排列種數(shù)為牛=nk(k<n)不盡相異元素的全排列：如果在n個(gè)元素中，分別有n「％,...%個(gè)元素相同，且n1+n2+...+nm=n，則這n個(gè)元素的全排列稱為不盡相異元素的全排列，其排列種數(shù)為PnPn=nn!n!n!1 2 17.1.2組合無重復(fù)組合：7.1.2組合無重復(fù)組合：從n個(gè)不同的元素中，每次任取k(k<n)個(gè)不同元素，不考慮其次序組合成一組，稱為組合，其組合數(shù)記為Ck合成一組，稱為組合，其組合數(shù)記為Ckn或［)，即%=日函=kk-〃)并且規(guī)定Co=1n多組組合：把n個(gè)不同的元素分成m（m<n）組，第i組中有n（i=1,2,...,m）個(gè)不同元i素，且n+n2+...+nm=n，這樣的組合數(shù)為n!n!...n!有重復(fù)的組合：從n個(gè)不同的元素中，每次取出k（k<n）個(gè)元素，可以重復(fù)，不考慮次序組合成一組，這種組合成為有重復(fù)的組合，其組合數(shù)為Ck=Ck （k<n）.n n+k-17.2事件與概率7.2.1隨機(jī)試驗(yàn)與事件實(shí)際中，把對自然現(xiàn)象進(jìn)行一次觀察或一次科學(xué)試驗(yàn)統(tǒng)稱為試驗(yàn)。如果試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行多次，而且每次的試驗(yàn)結(jié)果是事前不可預(yù)知的，但可以知道所有可能出現(xiàn)的結(jié)果。則稱它為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱為試驗(yàn)。將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果稱為隨機(jī)事件，簡稱為事件。在每次試驗(yàn)中必然要發(fā)生的事件稱為必然事件，記為Q，而在每次試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件成為不可能事件，記為。.如果A,B,A（i=1,2,...n）都為事件，則事件有下列關(guān)系：i（1） 包含事件：如果AuB，則稱事件A包含于事件B，即它表示事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生.（2） 相等事件：A=B當(dāng)且僅當(dāng)AuB，且BuA.（3） 和事件：事件AUB（或A+B），表示事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生.一般地，事件QA=AUAU...UA表示事件A,A，…A中至少有一個(gè)發(fā)生.i1 n 1 2ni=1（4） 差事件：事件A-B表示事件A發(fā)生，而事件B不發(fā)生.（5） 積事件：事件^]B（或AB）,表示事件A與B同時(shí)發(fā)生.一般地，事件（\a=anAn...na，表示時(shí)間a,a，…,a同時(shí)發(fā)生.i1 2 n 1 2ni=1（6） 互不相容事件：事件AnB=。表示再一次試驗(yàn)中事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生.對立事件：事件A^B=。且A[^B=。，表示事件不可能同時(shí)發(fā)生，但又必然有其中之一發(fā)生，記為B=A或A=B.7.2.2概率與條件概率概率實(shí)際中，我們在觀察一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的各種事件時(shí)，一般說來，總會發(fā)現(xiàn)有些事件出現(xiàn)的可能性大，有些事件出現(xiàn)的可能性小，而有些事件出現(xiàn)的可能性彼此大致相同我們把刻畫事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)稱為事件的概率.事件A的概率記為P(A),并且概率具有以下性質(zhì)：(1)對任一個(gè)事件A都有0<p(A)<1;(2) P(。)=1;P(。)=0;P(A)=1-P(A)(5)若事件A,A,...,A互不相容，則P((^A)=￡p(A).(5)TOC\o"1-5"\h\z1 2n i1=1 i=1條件概率在某些實(shí)際問題中，除了需要知道事件A的概率外，往往還需要知道在“事件B發(fā)生”的條件下事件A發(fā)生的概率，稱之為條件概率，記為P(A|B) .若P(B)>0 ，則有P(A|B)=冬I P(B)由此，可以得到下面的結(jié)論：若事件A,A,...,A互不相容，且p(A)>0(i=1,2,...,n)，則對任意事件Bu\^A有1 2n i ii=1P(B)=￡p(A)P(BA)i=1這就是所謂的全概率公式.若事件A,A,...,A互不相容，且P(A)>0(i=1,2,...,n)，則對任意事件BuQA有1 2n i ii=1逆概率公式：

P(A\B)=P(A\B)=P(A.)P(B|A.)乎P(A)P(B|A)i ii=17.2.3統(tǒng)計(jì)概率與幾何概率統(tǒng)計(jì)概率：假設(shè)在同一條件下進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的概率定義為我們稱這個(gè)概率為統(tǒng)計(jì)概率.幾何概率：假設(shè)區(qū)域S以及其中任何一個(gè)可能出現(xiàn)的子區(qū)域A(AuS)都是可以度量的，其大小分別為貝S)和(A),則事件A發(fā)生的概率為P(A)=這樣計(jì)算的概率稱為幾何概率.事實(shí)上，統(tǒng)計(jì)概率與幾何概率都滿足通常概率的公理和性質(zhì).7.3隨機(jī)變量與分布函數(shù)7.3.1一維隨機(jī)變量與分布函數(shù)用數(shù)值表示的隨機(jī)事件的函數(shù)稱為隨機(jī)變量.實(shí)際中任何用數(shù)值表示的隨機(jī)事件都是隨機(jī)變量，隨機(jī)變量的函數(shù)也是隨機(jī)變量.設(shè)&為一隨機(jī)變量，對任意的實(shí)數(shù)x有函數(shù)F(X)=P(—8<&<x)=P(&<x)稱為隨機(jī)變量&的分布函數(shù).且對任意兩個(gè)實(shí)數(shù)氣,X2(X1<x2)，有P(x<&<x)=F(x)-F(x).分布函數(shù)F(x)具有下列性質(zhì)：F(x)是不減函數(shù);0<F(x)<1；F(x)是右連續(xù)函數(shù)，即limF(x)=F(a).xTa+如果隨機(jī)變量&所有取值為有限個(gè)或無窮個(gè)數(shù)值，則這種隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量.

非離散型的隨機(jī)變量，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量.如果&為離散型隨機(jī)變量，所有的取值為xk，k=L2，...，則稱為隨機(jī)變量&的分布列，其相應(yīng)的分布函數(shù)為F（x）=^Pk.xk<x如果&為連續(xù)型隨機(jī)變量，則分布函數(shù)定義為其中f3）為一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)，稱之為隨機(jī)變量E的分布密度，或密度函數(shù).并滿足下列性質(zhì):（1）（2）（3）（4）Jf（2）（3）（4）Jf(x)d=1;-s xP(a<^<b)=F(b)一F(a)=jbf(x)dx;a當(dāng)f(x)為連續(xù)函數(shù)時(shí)有F'(x)=f(x).7.3.2多維隨機(jī)變量與分布函數(shù)TOC\o"1-5"\h\z如果&,&,&為n個(gè)一維隨機(jī)變量,則稱（&,&,&）為n維隨機(jī)變量，（或n維隨機(jī)12n 12n向量）.同樣的可以分為離散型和連續(xù)型，相應(yīng)的也可以定義分布函數(shù).12n如果（§,q,&〃）為連續(xù)型n維隨機(jī)變量，則（&,5,&）12n,xn-s-s-s1 2)=jx1jx2 jxnf(x,x，…,x)dxdxdx,,xn-s-s-s1 2其中n元函數(shù)f（x其中n元函數(shù)f（xi，x2,的聯(lián)合分布密度. ..n個(gè)隨機(jī)變量§,q，，叩為非負(fù)可積函數(shù)，稱為氣,尖G的分布密度或5，七，&S為相互獨(dú)立的充要條件是相應(yīng)的聯(lián)合分布函數(shù)可以表示為F(x,x,,x)=F(x)F(x) F(x).\o"CurrentDocument"12 n 1 2 n特別地，對于常用的二維隨機(jī)變量（&，門），其分布密度函數(shù)表示為f3,y），分布函數(shù)為f(x,y)dxdy.兩個(gè)隨機(jī)變量&,n相互獨(dú)立的充要條件是相應(yīng)的聯(lián)合分布函數(shù)可以表示為F(x,y)=F(x)F2(y)7.3.3隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差對于實(shí)際中的許多問題，要具體求出分布函數(shù)往往是比較困難的，然而，很多時(shí)候并不必求出分布函數(shù)，只需對與隨機(jī)變量有關(guān)的一些數(shù)字特征進(jìn)行研究.這些數(shù)學(xué)特征雖然不能完全刻畫隨機(jī)變量，但在一定程度上能夠反映出隨機(jī)變量的一些重要特征.最常用的數(shù)字特征是數(shù)學(xué)期望和方差，其數(shù)學(xué)期望表示隨機(jī)變量所取值的平均值,而方唱表示隨機(jī)變量偏離平均值的程度，它們是隨機(jī)變量的兩個(gè)最重要的數(shù)字特征.數(shù)學(xué)期望設(shè)&為離散型隨機(jī)變量，其分布列為P(&=xk)=Pk,k=1,2,,如果級數(shù)尤I氣k收k=1斂，則稱尤xp為隨機(jī)變量&的數(shù)學(xué)期望,記為皮，即E&=￡xp.kk kkk=1 k=1設(shè)&為連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布密度函數(shù)為f(x),如果積分j+s|xf(x)dx收斂，則稱-sj+sxf(x)dx為隨機(jī)變量&的數(shù)學(xué)期望，記為E&,即E&=j+sxf(x)dx.-s -s類似地，設(shè)&為一個(gè)隨機(jī)變量，函數(shù)g(&)也是一個(gè)隨機(jī)變量，則有(1)若&為離散型隨機(jī)變量，其P(&=xk)=P,k=1,2,,如果級數(shù)尤\g(xk)|p^收斂,k=1則g(&)的數(shù)學(xué)期望為Eg(&)=￡g*n；k=1(2)若&為連續(xù)型隨機(jī)變量，如果積分j+s|g(x)f(x)dx收斂，則g(&)的數(shù)學(xué)期望為-sEg(&)=j+sg(x)f(x)dx.-s對于二維的情況有類似的結(jié)果：如果二維隨機(jī)變量(&,n)分布列為p(&=x,n=yj=p,,(i,j=1,2 ),且級數(shù)益sg(x,y)|p收斂，則ij1iji=1j=1Eg(&m)=Wg(七,y_)p.

i=1j=1若二維隨機(jī)變量(&，門)的分布密度函數(shù)為f(x,y)，且積分』+』心|g(x,y)f(x,y)dxdy—s—s收斂，則Eg(&，門)=f+sf+sg(x,y)f(x,y)dxdy.—s—s方差設(shè)&為一個(gè)隨機(jī)變量，如果E(&-E&)2存在,則稱其值為隨機(jī)變量&的方差，記為D"顯然有龐=E(&-E&)2=E&2-(E&)2.若&為一個(gè)離散型隨機(jī)變量，且分布列為P怎=x)=P,k=1,2,，則有kk龐=芝(x-E&)2p；

k kk=1若&為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,且分布密度為f(x)，則有D&=j+s(x-E&)f(x)dx.—s7.4常用的概率分布及數(shù)字特征(1)兩點(diǎn)分布:設(shè)隨機(jī)變量&只取0和1兩個(gè)值,它的分布列為P(&=k)=pk(1-p)1-k，k=0,1,則稱&服從兩點(diǎn)分布，且E&=p，D=p(1-p).二項(xiàng)分布:設(shè)隨機(jī)變量&可能的取值為0,1,2 n，且分布列為P(&=k)=Ckpk(1-p)n-k.，.k=0,1,2, n，n則稱&服從二項(xiàng)分布，且E&=np，D=np(1-p). …泊松(Poisson)分布:設(shè)隨機(jī)變量&可取所有非負(fù)整數(shù)，且分布列為"八人k…P&=k)=卮e-人,k=0,1,2,，???其中人＞0為常數(shù)，則稱&服從泊松分布，且Ejx，D&=X.均勻分布:設(shè)&為連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布密度為f1 「八 ,xg\a.b\Kx)=E L，」，0，尤w[q,Z?]則稱&服從區(qū)間S,。]上的均勻分布，且成=半，依二&(。-。)2.匕 J_匕正態(tài)分布:若隨機(jī)變量&的分布密度函數(shù)為1 _4,)2匕'*KM。即，則稱&服從正態(tài)分布Mjb2)，記為&口N(H，b2)，且分布函數(shù)為1 . _(^~102F(x)=—xe~2Gdx,

呻V27ia-oo其中E&=R,龐=02.特別地，當(dāng)口二0,。=1時(shí)，稱其為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為JWM).>2分布婦(〃)：若〃個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量&，&,&都服從于》(。,1),則稱TOC\o"1-5"\h\z1 2n&=乎&2服從自由度為〃的X2(〃)分布,記為&工2(〃)，其分布密度函數(shù)為k Uz=l1 nx 工2。一2,X>0Yl 〃4(x)=122r(-) ，且班二〃，慶=2〃.\o"CurrentDocument"E 20, x<0(7)，分布代〃)：設(shè)隨機(jī)變量&DN(0,l)JlD/2(n)且相互獨(dú)立，則T=O 服從于自由度為〃的/分布，記為TDt(n)，其分布密度函數(shù)fW=2T且E(T)=0,D(T)=—n—2

（8）F分布:設(shè)隨機(jī)變量日X2（m）EU2（n）且相互獨(dú)立，則F*服從自由度為m及n的F分布，記為F F（m,n）,其密度函數(shù)為些)些)2 …m2n2〔0,X<0,X>0m+n(mx+n)2n 2n2(n+m-2) ,八且E(F)=——(n>2),D(F)二 ——————(n>4).n-2 m(n-2)2(n-4)1 「(X-u)2 (X-1 「(X-u)2 (X-u)(y—日)(y-u)2exp〈一 ——-[ —-2r 1 一+ J]},2(1-r2) b2 bb b2L 1 12 2/（x,y）= . 2兀bb71-r2其中％氣>0,七七均為常數(shù)，,V1,則稱二維隨機(jī)變量（&，門）服從于二維正態(tài)分布N(日q;日q；尸),且E&=p,龐=b2,E^=^,Dq=b2.112 2 1 1 2 2:口7.4常見的概率模型:口本節(jié)介紹一些常見的概率模型：軋鋼中的浪費(fèi)模型、機(jī)械零件的可靠性設(shè)計(jì)模型和馬氏鏈模型.7.4.1軋鋼中的浪費(fèi)模型用連續(xù)熱軋方法制造鋼材時(shí)要經(jīng)過兩道工序,第一道是粗軋（熱軋），形成鋼材的雛形;第二道是精軋（冷軋），得到規(guī)定長度的鋼材.粗軋時(shí)由于設(shè)備、環(huán)境等方面隨機(jī)因素的影響，鋼材冷卻后的長度大致上呈正態(tài)分布，其均值可以在軋鋼過程中由軋機(jī)調(diào)整，而其方差則是由設(shè)備的精度決定的,不能隨意改變，精軋時(shí)把多出規(guī)定長度的部分切掉,但是如果發(fā)現(xiàn)粗軋后的鋼材已經(jīng)比規(guī)定長度短，則整根報(bào)廢.精軋?jiān)O(shè)備的精度很高，軋出的成品材可以認(rèn)為是完全符合規(guī)定長度要求的.根據(jù)軋制工藝的要求,要在成品材規(guī)定長度i和粗軋后鋼材長度的均方差已知的條件下,確定粗軋后鋼材長度的均值m,使得當(dāng)軋機(jī)調(diào)整到m進(jìn)行粗軋,再通過精軋以得到成品材時(shí)的浪費(fèi)最小.設(shè)粗軋后鋼材長度為x,X是均值為m,均方差為b的正態(tài)隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為其中b已知，m是待確定的值.當(dāng)成品材的規(guī)定長度l給定后，記x>l的概率為P,即P—P{X>1}.

軋鋼過程中的浪費(fèi)由兩部分構(gòu)成：一是當(dāng)X>l時(shí)，精軋時(shí)要切掉X-1的鋼材；二是當(dāng)X<l時(shí)，長X的整根鋼材報(bào)廢.分析可知，當(dāng)m變大時(shí)，P增加，第一部分的浪費(fèi)隨之增加,而第二部分的浪費(fèi)將減少;反之，當(dāng)m變小時(shí)，雖然被切掉的部分減少了，但是整根報(bào)廢的可能將增加.于是，必然存在一個(gè)最佳的m，使得兩部分的浪費(fèi)綜合起來最小.這是一個(gè)優(yōu)化模型，建模的關(guān)鍵是選擇合適的目標(biāo)函數(shù)，并用已知的和待確定的量l,。，m把目標(biāo)函數(shù)表示出來.一種很自然的想法是直接寫出上面分析的兩部分浪費(fèi)，以二者之和作為目標(biāo)函數(shù)，于是容易得到總的浪費(fèi)浪費(fèi)長度為W=j+8(x-1)p(x)dx+j1xp(x)dxTOC\o"1-5"\h\zl 一8\o"CurrentDocument"利用j+8p(x)dx=1,j+8xp(x)dx=m，和』+“p(x)dx=P,上式可化簡為一8 —8 lW=j+8(x-1)p(x)dx+jlxp(x)dxl 一8=J+"xp(x)dx-1J+"p(x)dx—s l=m-lPW是每粗軋一根鋼材浪費(fèi)的平均長度.設(shè)想共粗軋了N根鋼材(N很大)，所用鋼材總長度為mN,N根中可以軋出成品材的只有PN根，成品材總長度為lPN,于是共浪費(fèi)的長度為mN-lPN，平均每粗軋一根鋼材浪費(fèi)的長度為mN—lPN5 =m一lPN與⑵相同.那么以W為目標(biāo)函數(shù)是否合適呢？軋鋼的最終產(chǎn)品是成品材，浪費(fèi)的多少不應(yīng)以每粗軋一根鋼材的平均浪費(fèi)為標(biāo)準(zhǔn)，而應(yīng)該用每得到一根成品材浪費(fèi)的平均長度來衡量.為了將目標(biāo)函數(shù)由前者改為后者,只需將(3)式左端分母N改成成本材總數(shù)PN,即,mN—lPNJ=1NP因?yàn)閘是已知函數(shù)，所以目標(biāo)函數(shù)可等價(jià)地只取(5)式右端第一項(xiàng)，即J(J(m)=mP(m)式中P(m)表示P為m的函數(shù)，實(shí)際上，J=J]+1恰是每得到一根成品材所需鋼材(粗軋后)的平均長度.下面求m使J(m)達(dá)到最小.P(m)=J+"p(x)dxlx^my=「3(y)dyl?ml一m、

=1—中(——)b若記z=1m,并記T(z)=J(m)，則bT(z)=5^ (8)1—①(z)令T(z)=0,得-b(1—①(z))—(l—bz)(W(z))=0即①(z)—z頓z)+l歸z)—1=0 ⑼b上述方法比較復(fù)雜，可利用數(shù)值解法求解，由于z<0，所以可以證明(9)只有唯一解z*使J(z)取得極小值，從而可以求出使J(m)取得極小的m.上述模型中假定當(dāng)粗軋后鋼材長度X小于規(guī)定長度l時(shí)就整根報(bào)廢,實(shí)際上這種鋼材還常常能軋成短一些，比如l(l<l)的成品材,只有當(dāng)x<l時(shí)才整根報(bào)廢.或者說當(dāng)x<l時(shí)可11 1以降級使用.這些情況下的模型求解就比較復(fù)雜了.在日常生產(chǎn)活動中類似的問題很多，如某種物品包裝成500克一袋出售，在眾多因素的影響下，包裝封口后一袋的重量是隨機(jī)的,不妨仍認(rèn)為服從正態(tài)分布,均方差已知,而均值可以在包裝時(shí)調(diào)整.出廠檢驗(yàn)時(shí)精確地稱量每袋的重量,多于500克的仍按500克一袋出售,廠方吃虧;不足500克的降價(jià)處理，或打開封口返工,或直接報(bào)廢,將給廠方造成更大的損失.問如何調(diào)整包裝時(shí)每袋重量的均值使廠方損失最小，這和軋鋼中的浪費(fèi)問題非常相近.馬氏鏈模型是關(guān)于隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)的一類模型，適用于時(shí)間、狀態(tài)都離散并具有無后效性(或馬爾克夫性)的場合.所謂無后效性就是系統(tǒng)未來的狀態(tài)只與系統(tǒng)現(xiàn)在的狀態(tài)有關(guān)，與以前的狀態(tài)無關(guān).馬氏鏈模型在經(jīng)濟(jì)、社會、生態(tài)、遺傳等許多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.值得提出的是，雖然它是解決隨機(jī)轉(zhuǎn)移過程的工具，但是一些確定性系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移問題也能用馬氏鏈模型處理.1模型實(shí)例例1保險(xiǎn)公司把人的健康狀態(tài)分為健康和疾病兩種狀態(tài).以一年為一個(gè)時(shí)段，設(shè)轉(zhuǎn)移概率為：今年健康明年健康的概率為0.8,今年健康明年疾病的概率為0.2；今年疾病明年健康的概率為0.7,今年疾病明年疾病的概率為0.3.若按此規(guī)律一直進(jìn)行下去，處于健康和疾病狀態(tài)的人的概率分布將如何？人的健康狀態(tài)是隨機(jī)的，每年轉(zhuǎn)變一次，用隨機(jī)變量X〃表示第n年的狀態(tài)，X〃=1表示健康，X廣2表示疾病，n=0,1,2,，氣(n)表示第n年處于狀態(tài)i的概率(i=1,2)，即氣(n)=P{Xji}.用七表示今年處于狀態(tài)i，明年轉(zhuǎn)為狀態(tài)j的概率(i,j=1,2)，即p=P{ =jix=i}.a(n)稱為狀態(tài)概率，p稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率.這里X只與XTOC\o"1-5"\h\zij n+1 n i ij n+1 n和，〃有關(guān)，而與系統(tǒng)以前的狀態(tài)Xn_1?Xq,無關(guān)，即無后效性.由此，利用全概率公式容易得到 ?..( / .1\ / \ ? / \a(n+1)=a(n)p+a(n)p＜七…七、11.七、21 (1。)a(n+1)=a(n)p+a(n)p2 1 12 2 22根據(jù)已知條件，p11=0.8,%=0.2,p21=0.7,p22=0.3.當(dāng)某人開始處于健康狀態(tài)，即a1(0)=1，a2(0)=0時(shí)，用(1。)立即可以算出a1(n),a2(n),n=1,2,,結(jié)果如下表1所示表1初值為(1，..。)的迭代結(jié)果表n01234…3a(n)10.80.780.7780.778…7/9a(n)00.20.220.2220.222…2/9由數(shù)字變化規(guī)律可以看出，當(dāng)13時(shí)，a1(n)T7/9,a2(n)T2/9.當(dāng)某人開始處于疾病，即a1(0)=0，a2(0)=1時(shí)，用同樣的方法可以得到下表2表2初值為(。，1)的迭代結(jié)果表n01234…3a(n)00.70.770.7770.7777…7/9a(n)10.30.230.2230.2223…2/9對照表1和表2可以看出，雖然對于各個(gè)n，具體的數(shù)字不完全相同，但是當(dāng)nF時(shí)，卻會得到完全一樣的結(jié)果，即nT3時(shí)的狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值，且這個(gè)穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無關(guān)，后面我們將仔細(xì)討論這個(gè)問題.例2若把人的狀態(tài)分為健康、疾病、和死亡三種狀態(tài).以一年為一個(gè)時(shí)段，設(shè)轉(zhuǎn)移概率為：今年健康，明年健康的概率為0.8,明年疾病的概率為0.18,明年死亡的概率為0.02；今年疾病，明年健康的概率為0.65，明年疾病的概率為0.25，明年死亡的概率為0.1；今年死亡明年仍為死亡的概率為1.若按此規(guī)律一直進(jìn)行下去，處于健康、疾病和死亡狀態(tài)的人的概率分布將如何？設(shè)Xn表示第n年的狀態(tài)，乂廣1表示健康，Xj2表示疾病，X〃=3表示死亡.a_(n)表示第n年處于狀態(tài)i的概率(i=1,2,3)，即a^(n)=P{X”=i}.p〃表示今年處于狀態(tài)i，明年轉(zhuǎn)為狀態(tài)j的概率(i,j=1,2,3)，即p^=P{Xn+1=jIX廣i}.則由全概率公式可得a(n+1)=a(n)p+a(n)p+a(n)pTOC\o"1-5"\h\z1 11 2 21 3 31<a(n+1)=a(n)p+a(n)p+a(n)p(11)1 12 2 22 3 32a(n+1)=a(n)p+a(n)p+a(n)p1 13 2 23 3 33根據(jù)已知條件，p=0.8,p=0.18,p=0.02,p=0.65,p=0.25,p=0.1,11 12 13 21 22 23廣0,p32=0,p33=1-當(dāng)某人開始處于健康狀態(tài)，即七(0)=1，%(0)=0，%(0)=0時(shí)，用(11)立即可以算出叩n),%(n),a3(n),n=1,2,,結(jié)果如下表3所示表3初值為(1，0，0)的迭代結(jié)果表n012050100…3a(n)10.80.38980.12930.0206…0a(n)00.180.09830.03260.0052…0a(n)00.020.26600.42840.4963…1由數(shù)字變化規(guī)律可以看出，當(dāng)n+時(shí)a1(n—°,a2(n)T0,a3(n—1.當(dāng)某人開始處于疾病狀態(tài)，即a1(0)=0，a2(0)=1，a3(0)=0時(shí)，用(11)立即可以算出匕(n),a2(n),a3(n),n=1,2,,結(jié)果如下表4所示表4初值為(0，1，0)的迭代結(jié)果表n012050100…3a(n)00.650.35490.11770.0187…0a(n)10.250.08950.02970.0047…0a(n)00.010.23320.38110.4429…1對照表3和表4可以看出，雖然對于各個(gè)n，具體的數(shù)字不完全相同，但是當(dāng)n*時(shí)，卻會得到完全一樣的結(jié)果.事實(shí)上，不論初始條件如何，nT8時(shí)的結(jié)果都是一樣的.順便指出，如果開始時(shí)處于狀態(tài)3,有a1(0)=0，a2(0)=0，a3(0)=1，那么對于任意的n都有a(n)=a(n)=0，a(n)=1，即一旦進(jìn)入狀態(tài)3,就永遠(yuǎn)不會轉(zhuǎn)移到其他狀態(tài).12 3通過這兩個(gè)例子容易了解下面給出的馬氏鏈的基本概念.2馬氏鏈及其基本方程按照系統(tǒng)的發(fā)展，時(shí)間離散化為n=0,1,2,，對每個(gè)n，系統(tǒng)的狀態(tài)用Xn表示.設(shè)Xn取k個(gè)離散值X廣1,2,k，記a(n)=P{X廣i),即狀態(tài)i的概率，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率p=P{X1=jIX=i}:如果Xn+1的取值只取決于Xn的取值及轉(zhuǎn)移概率，而與Xni，X" 無關(guān)，則這種隨機(jī)轉(zhuǎn)移過程稱為馬氏鏈.得到馬氏鏈及其基本方程 …a(n+1)=￡a.(n)p,j=1,2,,k(12)i=1???并且a(n)和p應(yīng)滿足TOC\o"1-5"\h\zi ij工a(n)=1,n=0,1,2 (13)i

i=1

???Pi>0,i,j=1,2,k (14)丈p=1,i=1,2,k (15)ijj=1引入狀態(tài)概率向量和轉(zhuǎn)移概率矩陣…a(n)=(a(n),a(n), a(n))P={P"則方程(12)表達(dá)為a(n+1)=a(n)P貝ij a(n+1)=a(0)Pn3馬氏鏈的兩種類型正則鏈例1表示的一類馬氏鏈的特點(diǎn)是從任意狀態(tài)出發(fā)經(jīng)過有限次轉(zhuǎn)移到達(dá)另外的任意狀態(tài)我們給出如下的定義定義1一個(gè)有k個(gè)狀態(tài)的馬氏鏈如果存在正整數(shù)N，使從任意狀態(tài)i經(jīng)N次轉(zhuǎn)移都以大于零的概率到達(dá)狀態(tài)j(i,j=1,2, ,k)，則成為正則鏈.定理1若馬氏鏈的轉(zhuǎn)移矩陣為P，則它是正則鏈的充分條件是，存在正整數(shù)N，使PN>0.定理2正則鏈存在唯一的極限狀態(tài)概率"=(七七，，七)，使得當(dāng)nT8時(shí)，狀態(tài)概率a(n)Tw，w與初始狀態(tài)a(0)無關(guān).w又稱穩(wěn)態(tài)概率，滿足

wP=wP=w□=1 (17)ii=1首達(dá)概率：從狀態(tài)i出發(fā)經(jīng)n次轉(zhuǎn)移，第一次到達(dá)狀態(tài)j的概率稱為i到達(dá)j的首達(dá)概率，記作f.〈n.j平均轉(zhuǎn)移次數(shù)：七=￡nf(n)為由狀態(tài)i第一次到達(dá)狀態(tài)j的平均轉(zhuǎn)移次數(shù).七是狀n=1態(tài)i首次返回的平均轉(zhuǎn)移次數(shù).定理3對應(yīng)正則鏈目..=—.i吸收鏈轉(zhuǎn)移概率Pu=1的狀態(tài)i稱為吸收狀