2020年高考【數(shù)學(xué)真題·母題解密】數(shù)列綜合（理）（解析版）

專題17數(shù)列綜合

母題呈現(xiàn)

【母題原題1】【2020年高考全國(guó)III卷，理數(shù)】設(shè)數(shù)列｛斯｝滿足苗=3,all+]=3a?-4n.

(1)計(jì)算他，〃3,猜想｛斯｝的通項(xiàng)公式并加以證明；

(2)求數(shù)列｛2"斯｝的前n項(xiàng)和S,,.

【答案】(1)%=5，%=7，4=2〃+1,證明見(jiàn)解析；(2)S?=(2/?-l)-2,,+l+2.

【解析】

【分析】

(1)利用遞推公式得出外,田，猜想得出｛%｝的通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；

(2)由錯(cuò)位相減法求解即可.

【詳解】⑴由題意可得a2=3。1-4=9-4=5,a,=3a2—8=15—8=7,

由數(shù)列｛4｝的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列｛凡｝是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即%=2〃+1,

證明如下：

當(dāng)”=1時(shí)，q=3成立；

假設(shè)〃=%時(shí)，4=2攵+1成立.

那么〃=%+1時(shí)，4+i=3%—4k—3(2攵+1)—4k—2k+3=2(k+1)+1也成立.

則對(duì)任意的aeN*，都有?！?2〃+1成立；

(2)由(1)可知，。,「2"=(2"+1〉2”

5?=3X2+5X22+7X23++(2n-l)-2"-'+(2n+Y)-2",①

25“=3x2?+5x23+7x24++(2〃-1>2"+(2〃+1〉2田，②

由①一②得：-S.=6+2x(2?+2'++2")—(2〃+1〉2"|

=6+2乂2[,；_）_（2“+1）.2"|=（l-2n）-2rt+l-2,

即S.=（2〃-l）-2"+i+2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題.

【母題原題2】【2018年高考全國(guó)HI卷理數(shù)】等比數(shù)列｛4｝中，q=1，%=4%.

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）記，為風(fēng)｝的前“項(xiàng)和.若鼠=63,求”.

【答案】（1）勺=（一2）1或a.=2"T.

（2）m=6.

【解析】（1）設(shè)｛4｝的公比為q,由題設(shè)得4=/，

由已知得q4=4q2,解得4=0（舍去），[=-2或q=2.

故4=（—2）-或%=2"T.

（2）若a“=（—2尸，則.二1二（-2）”,由與=63得（―2）"'=—188,此方程沒(méi)有正整數(shù)解.

若見(jiàn)=21,則S,,=2"-1.由鼠=63得2m=64,解得加=6.

綜上，m=6.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.

母題褐秘

【命題意怪I】主要考查考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，以及考生對(duì)函數(shù)與方程思想的應(yīng)用.要求:

1.熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式.

2.掌握與等差數(shù)列、等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)列求和的常見(jiàn)方法.

3.了解數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.

【命題規(guī)律】數(shù)列是高考的必考內(nèi)容，主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)

公式和前〃項(xiàng)和公式，與等差數(shù)列、等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)列求和的常見(jiàn)方法等.

【答題模板】

求數(shù)列的通項(xiàng)、求和問(wèn)題時(shí)，

第一步：根據(jù)題意求通項(xiàng).注意等差數(shù)列通項(xiàng)形如關(guān)于n的一次函數(shù)的形式，等比數(shù)列通項(xiàng)形如指數(shù)函數(shù)

的形式.

第二步：利用函數(shù)性質(zhì)研究數(shù)列的性質(zhì)，例如周期、單調(diào)性等.

第三步：利用函數(shù)、數(shù)列的交匯性質(zhì)來(lái)綜合求解問(wèn)題.

第四步：查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范，例如錯(cuò)位相減去的計(jì)算量較大，注意檢驗(yàn).

【知識(shí)總結(jié)】

1.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項(xiàng)公式的推廣：an=a,?+(.n-m)d(〃，znWN*).

(2)若｛%｝是等差數(shù)列，Kk+l=m+n(k,I,tn,〃GN*),!H!|ak+at=am+an;反之，不一定成立.

(3)若｛斯｝是等差數(shù)列，公差為4,則｛"2“｝也是等差數(shù)列，公差為2d.

(4)若｛〃“｝,｛乩｝是等差數(shù)列，則｛p%+血｝(p,HN*)也是等差數(shù)列.

(5)若｛〃“｝是等差數(shù)列，則延,ak+m,ak+2n?...(k,/MGN*)組成公差為源的等差數(shù)列.

2.與等差數(shù)列各項(xiàng)的和有關(guān)的性質(zhì)

(I)若Sm=n，Sn-m,則S”+"=-(〃]+〃)；若S"=S”則S"+“=0?

V1

(2)若｛斯｝是等差數(shù)列，則｛也｝也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與｛斯｝首項(xiàng)相同,公差是｛斯｝公差的士.

n2

(3)若｛%｝是等差數(shù)列,Sm,S2m,S3m分別為｛斯｝的前m項(xiàng),前2/n項(xiàng),前3桃項(xiàng)的和，則S“，S2rri-Sm,

S3”LS2“,成等差數(shù)列.

(4)關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)

①若項(xiàng)數(shù)為2”，則S?—Sa=nd>――=——；

S偶a?+\

②若項(xiàng)數(shù)為2"-1,則SSB=(n-1)an,Stti=nan,S價(jià)一S阿=?！?/p>

s偶〃-1

(5)兩個(gè)等差數(shù)列｛乩｝的前〃項(xiàng)和S“，7；之間的關(guān)系為

T2n.yhn

3.等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

當(dāng)q>0且存1時(shí)，斯=4可以看成函數(shù))，=。爐，其是一個(gè)不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，因此數(shù)列

q

｛斯｝各項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在函數(shù)y=c爐的圖象上，如首項(xiàng)為1,公比為2的無(wú)窮等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為

斯=2"」=；X2”,點(diǎn)（1,〃］）,（2,他），（3,的），…，（〃，如）都在函數(shù)y二,x2"的圖象上.

4.等比數(shù)列的性質(zhì)

設(shè)數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列.

（1）若m+/t=p+q,則4M產(chǎn)如沏其中加，九，p,qd反之，不一定成立.

特別地，若2s=p+r,則。⑼二a；,其中p,s,r￡N*.

注意：在等比數(shù)列｛〃〃｝中，若尸a“ciq（"z,H,p,q￡N"）,則不一定有〃?+〃=p+q成立，如當(dāng)數(shù)列

｛r｝是非零常數(shù)列時(shí)，此結(jié)論不成立.

（2）相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即四，以““四+2小…仍是等比數(shù)列，公比為

⑶若數(shù)列｛的｝,｛兒｝是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列｛〃”｝,｛屋｝,J｝，｛斯也｝和｛答｝（2邦,

a.b?

〃GN*）也是等比數(shù)列.

5.等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和

navq=\,

（I）等比數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和公式為S戶q（l-q"）_%qq

\-q~\-q'

⑵對(duì)于非常數(shù)列的等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S尸曙^沙喑，若設(shè)〃暗，則Si

（a/）,葉0,q,\）.由此可知，數(shù)列｛SJ的圖象是函數(shù)y=-aq*+a圖象上一系列孤立的點(diǎn).

對(duì)于常數(shù)列的等比數(shù)列，即q=l時(shí)，因?yàn)椤?0,所以S產(chǎn)〃的.由此可知，數(shù)列｛SJ的圖象是函數(shù)y=aix

圖象上一系列孤立的點(diǎn).

【方法總結(jié)】

（一）等差數(shù)列

1.等差數(shù)列的判定與證明方法有以下四種：

（1）定義法：an+i-an=d（常數(shù)）（〃GN*）或許-*_|=d（nSN\n>2）=｛斯｝為等差數(shù)列.

（2）等差中項(xiàng)法：2an+l=an+a?+2（〃WN*）Q｛斯｝為等差數(shù)列.

（3）通項(xiàng)公式法：a?=an+b（a,%是常數(shù)，nEN*）0｛斯｝為等差數(shù)列.

（4）前〃項(xiàng)和公式法：S^aiT+bn（a,b為常數(shù)）Q｛斯｝為等差數(shù)列.

若要判定一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需找出三項(xiàng)a”an+i,an+2,使得這三項(xiàng)不滿足2斯+產(chǎn)斯+a“+2即

可.

判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列時(shí)，應(yīng)該根據(jù)已知條件靈活選用不同的方法，一般優(yōu)先考慮定義法，即先

表示出%+1-%,然后驗(yàn)證其是否為一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù).也可根據(jù)已知條件求出一些項(xiàng)，根據(jù)求解過(guò)程

尋找具體的解題思路.注意常數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為斯=“（。為常數(shù)），它是一個(gè)首項(xiàng)為“，公差為。的

等差數(shù)列.

2.等差數(shù)列基本運(yùn)算的常見(jiàn)類型及解題策略：

（1）求公差”或項(xiàng)數(shù)〃.在求解時(shí)，一般要運(yùn)用方程思想.

（2）求通項(xiàng).?和4是等差數(shù)列的兩個(gè)基本元素.

（3）求特定項(xiàng).利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解.

（4）求前〃項(xiàng)和.利用等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式直接求解，或利用等差中項(xiàng)間接求解.

3.求數(shù)列前〃項(xiàng)和的最值的方法：

fan-0，

（1）通項(xiàng)法：①若m>0,d<0,則S,必有最大值，其〃可用不等式組4八來(lái)確定；②若m<0,d>0,

W0

則S”必有最小值，其n可用不等式組"""°\來(lái)確定.

U+i20

（2）二次函數(shù)法：等差數(shù)列｛斯｝中，由于5,=,孫+9二（&）”，可用求函數(shù)最值的方

222

法來(lái)求前n項(xiàng)和的最值，這里應(yīng)由〃CN/及二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性來(lái)確定n的值.

（3）不等式組法：借助S“最大時(shí)，有（龍2,〃GN"）,解此不等式組確定〃的范圍，進(jìn)而

W>S向

確定”的值和對(duì)應(yīng)s“的值（即s,的最值）.

（二）等比其他數(shù)列

i.等比數(shù)列的判定與證明常用方法如下：

（1）定義法.4包=q（q為常數(shù)且存0）或&=q（q為常數(shù)且存0,稔2）=｛斯｝為等比數(shù)列；

4an.\

（2）等比中項(xiàng)法.嫌小“S+2（斯加，"WN*）=｛冊(cè)｝為等比數(shù)列；

（3）通項(xiàng)公式法.斯=401（其中小，q為非零常數(shù)，〃CN*）=｛%｝為等比數(shù)列；

（4）前〃項(xiàng)和公式法.若S”表示數(shù)列｛“”｝的前”項(xiàng)和，且S“=-aq"+n（今0,#0,q豐1）,則數(shù)列｛“”｝

是公比為q的等比數(shù)列.

由斯+i=q斯,#0,并不能斷言｛斯｝為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證5和.

證明一個(gè)數(shù)列｛斯｝不是等比數(shù)列，只需要說(shuō)明前三項(xiàng)滿足W即「的，或者存在一個(gè)正整數(shù)〃?，使得

“1+1丸，，即可.

2.等比數(shù)列的基本運(yùn)算方法:

（1）通項(xiàng)法：等比數(shù)列由首項(xiàng)和公比g確定，所有關(guān)于等比數(shù)列的計(jì)算和證明，都可圍繞0和g進(jìn)

行.

（2）對(duì)于等比數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題，一般給出兩個(gè)條件就可以通過(guò)列方程（組）求出色，q.如果再給出第

三個(gè)條件就可以完成a“，a”q,n,S”的“知三求二”問(wèn)題.

例如：

冊(cè)=%q,

①若已知〃，%,S,?先驗(yàn)證q=l是否成立，若在1,可以通過(guò)列方程組1求出關(guān)鍵量處

Ii-q

和q,問(wèn)題可迎刃而解.

“_n-\

②若已知數(shù)列｛為｝中的兩項(xiàng)斯和即，可以利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到方程組;兩式相

a,”=%q”,

除可先求出q,然后代入其中一式求得處，進(jìn)一步求得S”.另外，還可以利用公式斯=斯“".直接求得

q,可減少運(yùn)算量.

Y

（3）對(duì)稱設(shè)元法：一般地，若連續(xù)奇數(shù)個(gè)項(xiàng)成等比數(shù)列，則可設(shè)該數(shù)列為…，一，x,xq,...；若連續(xù)

q

yY

偶數(shù)個(gè)項(xiàng)成等比數(shù)列，則可設(shè)該數(shù)列為…，4,士，xg,x/,…（注意：此時(shí)公比才＞o,并不適合所

qq

有情況）.這樣既可減少未知量的個(gè)數(shù)，也使得解方程較為方便.

（三）其他數(shù)列

1.求數(shù)列前〃項(xiàng)和的常用方法

（1）分組求和法

分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類型

①若痣=①土C”且｛瓦,｝,｛金｝為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求｛”“｝的前〃項(xiàng)和.

bn,〃為奇數(shù)

②通項(xiàng)公式為斯=美,田"的數(shù)列，其中數(shù)列｛"J,｛c“｝是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和

c?,〃為偶數(shù)

法求和.

提醒：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在

含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論.

(2)裂項(xiàng)相消法

把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng).

如：｛q｝是公差為，的等差數(shù)列，求

%=1akak+\

11\(\1

解：由-------=------77=-------------(dwO)

a

k+\4(4+d\ak%+])

__i_Y_}_(!___L、

a

.2西n+i?

(3)倒序相加法

把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫，再與原來(lái)順序的數(shù)列相加.

S”=4+a+........+a“T+a

2n'相加2S”=(4+a“)+(4+?島)+…+(4+為)…

S“=a“+4_i+........+a2+a,

(4)錯(cuò)位相減法

一般地，如果數(shù)列｛小｝是等差數(shù)列，｛/%｝是等比數(shù)列，求數(shù)列｛斯力“｝的前〃項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法

求解，一般是在等式的兩邊同乘以等比數(shù)列｛乩｝的公比，然后作差求解.若｛小｝的公比為參數(shù)(字母)，

則應(yīng)對(duì)公比分等于1和不等于1兩種情況討論.

2.數(shù)列與函數(shù)綜合

(1)數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題主要有以下兩類：

①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問(wèn)題，此類問(wèn)題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問(wèn)題；

②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問(wèn)題，解決此類問(wèn)題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化

簡(jiǎn)變形.

(2)解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解，在問(wèn)題的求解過(guò)程中往往

會(huì)遇到遞推數(shù)列，因此掌握遞推數(shù)列的常用解法有助于該類問(wèn)題的解決.

3.數(shù)列與不等式綜合

與數(shù)列有關(guān)的不等式的命題常用的方法有：比較法(作差作商)、放縮法、利用函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)學(xué)歸

納法證明，其中利用不等式放縮證明是一個(gè)熱點(diǎn)，常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年命題的熱點(diǎn).利

用放縮法解決“數(shù)列+不等式”問(wèn)題通常有兩條途徑：一是先放縮再求和，二是先求和再放縮.

4.以數(shù)列為背景的不等式恒成立問(wèn)題，多與數(shù)列求和相聯(lián)系，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求解；

5.以數(shù)列為背景的不等式證明問(wèn)題，多與數(shù)列求和有關(guān)，有時(shí)利用放縮法證明.

1.(2020.廣西壯族自治區(qū)北流市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高-一期中)已知等差數(shù)列｛%｝中，4=5,4+46=14,

(I)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(II)若數(shù)列也｝滿足仇=4,一(一1)"〃，數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)和為Z,,求與.

【答案】(1)=2n-l(II)452

【解析】

[4+2d=5

【分析】【詳解】試題分析：(1)由等差數(shù)列的基本量運(yùn)算得1,一，進(jìn)而可得通項(xiàng)

[q+d+q+54=14

公式；

()1)由(I)得/?“=2/?-1—91y'n,由豈]=(1+3+5++41)+(1—2+3—4++21)求解即可.

試題解析：

解：(I)數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，

｛a.+2d-5

由已知得.一小

[q+d+q+5d=14

cfj=1,J=2,a”=1+(〃-1)x2=2〃—1.

(][)由(I)得包=2w-1一(一1)”〃，

/.T2X=bt+b2+b3++b2i=(l+l)+(3-2)+(5+3)++(41+21)

/、/、21(1+41),、

=(1+3+5++41)+(l-2+3-4++21)=—^~^+(-1)x10+21=452.

2.(2020?廣西壯族自治區(qū)南寧三中高三月考(文))等差數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S,,4=3,其中％,

生，的成等比數(shù)列，且數(shù)列｛4｝為非常數(shù)數(shù)列.

(1)求數(shù)列通項(xiàng)％;

（2）設(shè)a=，，2的前〃項(xiàng)和記為《，求證：7；,<2.

【答案】（1）4=〃；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】⑴根據(jù)%,名，旬成等比數(shù)列，得到再由4=3,得到32=（3—2d）（3+6d）

求解.

（2）由⑴知：￡,「但+1），則么=』-=20一一用裂項(xiàng)相消法求解.

2S”\nn+\J

【詳解】（D因?yàn)?,4，旬成等比數(shù)列，

由所以￡=4?%，

即32=(3_加)(3+6〃)，

解得得d=l或d=0(舍去)，

所以a.=6t,+(n-3)-l=n.

n(n-\\+

(2)由(1)知:S=na+—------xd=---------

〃n1x2

￡_1

T=4+4+…+4=2-

1123nn+1

【點(diǎn)睛】本題主要考查等比中項(xiàng)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式以及裂項(xiàng)相消法求和，還考查了

運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

3.（2020.廣西壯族自治區(qū)高三其他（理））已知等差數(shù)列｛風(fēng)｝中，4+/=6,q+%=16,等比數(shù)列

也｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且々=1,偽+4+4=7.

（1）求數(shù)列｛?！保?｛?,｝的通項(xiàng)公式;

(2)若g=凡+log2b?,求數(shù)歹u｛%｝的前〃項(xiàng)和S?.

【答案】(1)a,,=2n-l,b=2"1(2)5“="3「).

【解析】

【分析】(1)等差數(shù)列｛4｝公差為d,等比數(shù)列｛2｝公比為9,根據(jù)4+/=6,,+。5=16得至IJ

關(guān)于q和4的方程組，通過(guò)解方程組求得％和“，進(jìn)而求得｛q｝的通項(xiàng)公式：通過(guò)4=1,

偽+4+4=7求得9,進(jìn)而求得｛々｝的通項(xiàng)公式.

(2)通過(guò)已知條件和(1)中的結(jié)論求得C,,進(jìn)而求得｛%｝的前〃項(xiàng)和Sa.

【詳解】(I)設(shè)等差數(shù)列｛4｝公差為d,等比數(shù)列｛〃｝公比為q,

+4=2“+2d=6(4=2

則由c-，，得1，

%=2q+7d=16=1

a“=1+(〃—1)x2=2〃-1,

由4+4+4=l+q+/=7得q=2或夕=一3(舍去)，

.??2=lx2"T=2"T；

(2)cn-an+log,bn=2n-1+log22"~'-2n-l+n-\—3n-2

所以｛%｝是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列.

?〃(1+3〃-2)n(3n-1)

’3”=--------=------.

"22

【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式，考查學(xué)生公式的掌

握程度與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2020?廣西壯族自治區(qū)南寧三中高二月考(理))己知數(shù)列｛q｝的前n項(xiàng)和為5.，且S“=；a“+1-g,

4=4.

(1)求數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式；

(2)若d=log,4,求數(shù)列,一一|的前〃項(xiàng)和T..

—

【答案】（1）4=4"

（2）［=」一

"4（〃+1）

【解析】

1414

【分析】（1）由題知，由S”=§%+1一§,在當(dāng)〃之2時(shí)，得S,i兩式相減可得，??+I=4a?,

可得數(shù)列的通項(xiàng)；

（2）由⑴得出々的通項(xiàng)，運(yùn)用裂項(xiàng)求和法可求得數(shù)列|」一）的前〃項(xiàng)和.

1414

【詳解】（1）由題知，當(dāng)〃22時(shí)，又S“=§a”+「§,

兩式相減可得見(jiàn)=+“+i-+”，即4用=也，

當(dāng)〃=1時(shí)，可得4=ga2-g，解得4=16,則a“=4”（〃？2,〃GN）,

當(dāng)"=1時(shí)，滿足?！?4",

數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為an=4",HGN,.

(2)bn=log2an=log24"=2n，

，=—1—=lfl_M

bh+i2nx2(n+l)n+\)

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列中由數(shù)列的前〃的和得出數(shù)列的通項(xiàng)，和運(yùn)用裂項(xiàng)求和法求數(shù)列的和,在求得數(shù)列的

通項(xiàng)時(shí)，注意驗(yàn)證〃=1的情況，屬于中檔題.

5.（2020?廣西壯族自治區(qū)欽州一中高一期中）已知等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)為正數(shù)，且4=1,4+4+%=13,

2

數(shù)列｛C,J的前〃項(xiàng)和為s.=莊嚴(yán)，且c“=2—q.

（1）求｛《,｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和卻

邛+M〃一]

【答案】⑴(2)Tn+〃2

【解析】

【分析】(I)利用4+%+/=13和4=1可求出公比4,利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得結(jié)果；(2)

利用S,求出c?,從而求得“：利用分組求和法求得結(jié)果.

【詳解】⑴4+%+/=13=4+44+4/=13,又q=1=>^2+^-12=0

.??4=3或4=-4｛%｝各項(xiàng)均為正數(shù)(7=3

:.an=而1=3"T

2

(2)由S“=莊嚴(yán)得，當(dāng)〃22時(shí)：cn=Sn-S^=n

當(dāng)〃=1時(shí)，q=5]=1也合適上式;.cn=n(nGN")

由2―4,=%得：b?=n+3"-'

”,=(1+2+…+〃)+(3°+3"..+3"T)=^^+E=3"+〃；+〃-l

【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解、分組求和法求數(shù)列前九項(xiàng)和，涉及到利用S,求解通項(xiàng)公式、

等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用.

6.(2020?廣西壯族自治區(qū)欽州一中高一期中)設(shè)4=2,4=4,數(shù)列｛兒｝滿足：bn+l=2b?+2,且斯+「

=

anb?；

(1)求證：數(shù)列也+2｝是等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列｛”“｝的通項(xiàng)公式.

【答案】⑴見(jiàn)解析(2)2"+'-2n

【解析】

【分析】(1)利用已知求得：4=2,整理6“+|=24+2可得：兒+計(jì)2=2("+2),問(wèn)題得證。

n+[n

(2)利用⑴中結(jié)論求得：bfl=2-2,即：*、-%=幾=2z-2,將風(fēng)轉(zhuǎn)化為：

=(a〃+—〃])+/?再利用分組求和法求和即可

【詳解】(1)證明：ai=2,02=4,且斯+1-。"=。"；：,bi=a2-fli=4-2=2.

由b?+l—2b?+2,變形為：bll+i+2=2(6“+2),

...數(shù)列｛乩+2｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4,公比為2.

(2)解：由(1)可得：6“+2=4x2"I可得仇=2用-2.

?_I_c"+1C

??斯+]-斯=。〃=2-2.

-■?4=(??-%—-)+…+3_《)+q

=(2"-2)+(2"T—2)+…+02-2)+2

=2,,+2,,-'+...+22+2-2(n-l)

一型二)_2〃+2

2-1

=2"*-In.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的證明及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，還考查了構(gòu)造能力及分組求和方法，

考查了等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式及計(jì)算能力，屬于中檔題。

7.(2020?廣西壯族自治區(qū)兩江中學(xué)高二月考(文))已知數(shù)列｛q｝的前n項(xiàng)和為

S,,,q=；,2S“=S,i+l(〃N2,〃eN*)

(1)求數(shù)列｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式：

(2)記憶=l°gi%(〃eN*),求的前〃項(xiàng)和&

2也口J

【答案】(1)/=[(〃CN*);(2)

【解析】試題分析：(1)首先利用Sn與an的關(guān)系:當(dāng)n=l時(shí)，ai=Si，當(dāng)nN2時(shí)，a產(chǎn)Sn-S~i；結(jié)合己知

條件等式推出數(shù)列｛a,,｝是等比數(shù)列,由此求得數(shù)列｛a。｝的通項(xiàng)公式；

1111

(2)T-r-=—j~八=------7,利用裂項(xiàng)求和即可.

b.b“+i+n〃+1

試題解析：

(1)當(dāng)〃=2時(shí)，由2Sa=Sa_]+1及4=g,得2s2=￥+1,即2O1+2/=q+1,解得a?=；.又

由2S“=S,i+l,①可知25"+1=S“+1,②

.1zx1

②-①得2a“+]=。“，即?！?|=；。“(〃22).且〃=1時(shí)，==不適合上式，

因此數(shù)列｛q｝是以g為首項(xiàng)，公比為：的等比數(shù)列，故4=亍7（〃eN*）.

可知a=logi(g)=〃，

（2）由（1）及匕=1。歲”（〃eN*）,

11J1

brlbn+i+nn+\

111

故（--+--+H----------------

bb

n2她她+1

8.（2020?廣西壯族自治區(qū)高三其他（文））已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，4=；,

SRT+S「SI=0(〃N2).

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

S"〃為奇數(shù)

（2）若G=｛〃+3',設(shè)數(shù)列｛C.｝的前〃項(xiàng)和為T“，求

2",”為偶數(shù)

22n+151

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）-——————

3124〃+4

【解析】

【分析】（1）由己知變形為1-_一=1,可證得等差數(shù)列；

（2）由（1）求得S.，從而得c.，對(duì)按奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別分組求和，奇數(shù)項(xiàng)的和用裂項(xiàng)相消法求

和，偶數(shù)項(xiàng)用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求和.

【詳解】解：（1）證明：因?yàn)?=〈，S,S,,T+S“一S,i=0（〃22）,所以4=—J,所以S,IS,HO,

所以是以［=2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列.

MJS,

（2）由（1）可得］=2+（〃-1）=〃+1,所以邑=」.

”「兩島（〃為奇數(shù)）

2"T（〃為偶數(shù)）

T2n+...+22M-1）

--------4------=-----------

2（22n+2l33124〃+4

【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的證明，考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式，前〃項(xiàng)和公式，等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式,

考查分組求和法，裂項(xiàng)相消法求和.抓住數(shù)列的特征選用不同的求和方法計(jì)算是解題關(guān)鍵.

9.（2020?廣西壯族自治區(qū)高三其他（理））已知等差數(shù)列｛”“｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前〃項(xiàng)和為S“，且滿足

22

a1+a5=—a3,S7=63.

（1）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛2｝滿足々=4,且川，求數(shù)列的前〃項(xiàng)和7”.

3111

【答案】（1）。〃=2力+1（2）--+--）

42〃+1〃+2

【解析】

2\2

、2/+4d=—（a1+2d）

（V1

【分析】（1）設(shè)數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為6,公差為d,且為>0,由題意，得彳17）.

7q+21d=63

解方程求解即可；

（2）利用累加法得到劣一4=5"一q,從而得4=“（〃+2）,=一一二］,進(jìn)而利用裂項(xiàng)相

bn2n+2J

消法求和即可.

【詳解】⑴設(shè)數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為《，公差為d,且a,>0.

9、,

2al+4d=+2d）~

則由題意，得《

7q+21d=63

a,=3q=—18

解之得〈1或J（舍）

d=2,d=9

/.an=2714-1.

（2）由4+1—2=%+］得

2一%=4,

%一2_2=《1

么一偽=4

b2一々=a2

以上等式左右相加得2-4=又4=4=3,

.?.2=5“=〃(〃+2),

[二[二W]]

bn”(“+2)2(〃n+2)

11111

—+一+一++——+一

%b”

瓦b24

2|_13)(24)(〃一1"+1Jn+2)

1

1+---------------

22〃+1〃+2j

_3二+」

421/?+1〃+2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量運(yùn)算及累加法求通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中

檔題.

10.（2020.廣西壯族自治區(qū)高三月考（理））已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，且2s“=3"2+”.

（1）求數(shù)列｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式；

,、

（2）設(shè)數(shù)歹”一—的前〃項(xiàng)和為T?,求證7；<'.

U+A+215

【答案】（1）=3〃—（2）證明見(jiàn)解析；

【解析】

【分析】（1）利用4=S,一S,i求通項(xiàng)公式，注意檢驗(yàn)”=1是否成立:

1

(2)由(1)表示數(shù)列〈》的通項(xiàng)公式，再由裂項(xiàng)相消法求其前〃項(xiàng)和，即可證明.

【詳解】解：(1)當(dāng)〃=1時(shí)，2S|=24=4,解得q=2；

當(dāng)幾.2時(shí)，2S,=3/+力,2sAi=3(〃-Ip+(〃-1),

兩式相減，得2cz,?=6〃-2,解得％=3〃—1.

又〃=1時(shí)，％=3x1—1=2,

故a,=3n-l(neN*).

證明:(2)依題意,得二

%4任2(3〃+2)(3〃+5)313/1+23〃+5

則小黑一1-1--1-p+二---」］邛--一

88113〃+23〃+5)3(53n+5)153(3〃+5)15

即y.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列中利用S”求通項(xiàng)公式為,還考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前〃項(xiàng)和進(jìn)而證明不等式,

屬于中檔題.

11.(2020.廣西壯族自治區(qū)高三月考(文))在遞增的等比數(shù)列｛4｝中，生=16,出+。4=68."為等

差數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和，乙=4，S2=a2.

(1)求｛%｝,｛4,｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛J4%S,J的前“項(xiàng)和7”.

【答案】(1)4=4"1b,,=2n-\(2)雹=(〃-1)x2”“+2

【解析】

【分析】(1)利用等比數(shù)列基本量求公比9,再求通項(xiàng)公式.利用等差數(shù)列基本量求通項(xiàng)公式.

(2)求出=分2",再利用錯(cuò)位相減法求和.

a.q'=16

【詳解】解：(1)設(shè)公比為q,=4=16,%+%=68,I"3，

qq+w=68

117,1

：.q+-=—,解得q=4或：.

q44

當(dāng)q時(shí),at>0,數(shù)列｛a“｝是遞減數(shù)列，則q#；,從而q=4,

二a“=16x4"-3=4"T.

*/b1=a｝=\fS2=%=4,b2=4—1=3,

/.bn=2n—\.

(2)由(1)知，S“=(1+2"T)”二〃2,

〃2

*e,=〃?2",

，空=1x2+2x22H---F〃X2〃，

27；,=1X22+2X23+---+HX2,,+I,

則_4=2+2?+???+2”—〃x2向

=2~2，，x2-nx2n+'=(1—〃)x2"+i—2,

1-2l)

...鴛=(〃一1〉2旬+2.

【點(diǎn)睛】錯(cuò)位相減法求和的方法：如果數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，｛2｝是等比數(shù)列，求數(shù)列｛可包｝的前〃

項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列｛d｝的公比，然后作差求解；在寫“5.”

與“qSj的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“5,,-qS“”的表達(dá)式.

12.(2020?廣西壯族自治區(qū)高三其他(文))在公比大于0的等比數(shù)列｛叫中，已知4%=%，且%，3%，

生成等差數(shù)列.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知S“=44…試問(wèn)當(dāng)“為何值時(shí)，S,取得最大值，并求S“的最大值.

【答案】(1)4=2""；(2)當(dāng)〃=3或4時(shí)，S”取得最大值，(邑)鵬=64

【解析】

【分析】（1）設(shè)｛4｝的公比為q,山/。5=/，得4=1，再根據(jù)4，3%,生成等差數(shù)列，求得公

比即可.

（7-n）n

（2）根據(jù)（1）得至iJs=%出a=23+2+I++（4T）=2-^—，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】⑴設(shè)｛4｝的公比為4,由a3a5=4，得4=1.

因?yàn)樯?a4,％成等差數(shù)列，

所以外+色=6a4，則6q2—q-1=0.

解得夕=；■或4=一；（舍），故q=8.

所以4=8（；1=24一”.

（2）S“=4a2a“=23+2+1++（j）=2y，

當(dāng)〃=3或4時(shí)，5,取得最大值，（S,）w=64.

【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的運(yùn)算以及數(shù)列最值問(wèn)題，還考查運(yùn)算求解的能力，屬于中檔

題.

13.（2020.廣西壯族自治區(qū)南寧三中高一期中）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,且滿足：%=4，

4,/=4邑+4〃+4，〃eN*,

（I）求數(shù)列｛"”｝的通項(xiàng)公式；

（II）若正項(xiàng)等比數(shù)列｛〃｝滿足〃=4，4=&，且g=a“+瓦,數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為T?,若對(duì)

任意〃eN*，均有7?〃后8〃2-28〃恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

3

【答案】（I）%=2n；（II）[—，+oo）.

32

【解析】

【分析】（I）對(duì)遞推關(guān)系。,,1=45,,+4〃+4再遞推一步，兩式相減，最后結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)

行求解即可；

（II）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合已知求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后利用錯(cuò)位相減法、判斷數(shù)列

的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】(I)因?yàn)?m2=45“+4〃+4,所以a.2=4Si+4(〃—1)+4(n>2),

222

兩式相減得：an+l-an=4a?+4,即為+/=(0/1+2)(?>2),

又因?yàn)閿?shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以斯+|=%+2(n>2),

又因?yàn)椤?=4,16=“『+4+4,可得。|=2,

所以當(dāng)〃=1時(shí)上式成立，即數(shù)列｛斯｝是首項(xiàng)為2、公差為2的等差數(shù)列,

所以％=2+2(〃-1)=2〃；

(II)由(1)可知"=0=2,加="4=8,所以正項(xiàng)等比數(shù)列｛2｝的公比為：g=J|=2,

因此"尸2"；Q=(n+l)-2"+,.

7；=2-22+3-23+......+^2"+(〃+l>2"Z①

34

27；;=2-2+3-2+........+〃-2"T+(〃+l>2”+2②

①—D得:

34

-7；(=8+2+2+……+2'用一("+1)?2'吐2

=4+(22+23+32+.......+2,,+1)-(?+1)-2,,+2

=4+4(2"-l)-(n+l)-2n+2=-n-2n+2

T?=n-2T+2

n+2

Tnm>^>rr-28〃恒成立，等價(jià)于62m24〃(〃-7)恒成立，

2〃一7

所以根2—二恒成立，

2"

2〃一7,.2〃-52〃一79-2n

設(shè)公=亍一，則廄+「%產(chǎn)下詬------亍==下71，

所以當(dāng)好4時(shí)kn+\>kn,當(dāng)”>4時(shí)kgVk”,

所以《<&<&</<勺>(>....

33

所以當(dāng)公的最大值為公=二，故〃侖二，

3232

3

即實(shí)數(shù)，”的取值范圍是：［豆，+00).

【點(diǎn)睛】本題考查了由遞推關(guān)系求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查了數(shù)列

恒成立問(wèn)題，考查了數(shù)列的單調(diào)性，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

14.（2020?廣西壯族自治區(qū)南寧二中高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知正項(xiàng)數(shù)列伍“｝的首項(xiàng)q=1,前〃項(xiàng)和5.

滿足2a“=E+￡7（〃22）.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

（2）記數(shù)歹ij｛-------｝的前〃項(xiàng)和為?；，若對(duì)任意的〃eN*，不等式57；＜。2一。恒成立，求實(shí)數(shù)a的

4+1

取值范圍.

幾+、-

-2------1,n＞2

【答案】（1）4,=彳4；（2）實(shí)數(shù)。的范圍是。＜一3或。＞4.

1,H=1

【解析】

【分析】（1）化簡(jiǎn)數(shù)列的遞推公式，得E-6二=；，根據(jù)等差數(shù)列的定義，得到數(shù)列是

首項(xiàng)為1,公差為!的等差數(shù)列，進(jìn)而可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；

2

111、

（2）由（1）得------=8（-~---~-）,利用裂項(xiàng)法，求解7；,列出不等式，即可求

anan+12/1+12nd-3

【詳解】（1）當(dāng)