2021版高考數(shù)學(xué)導(dǎo)與練一輪復(fù)習(xí)（浙江版）知識(shí)梳理第四章第一節(jié)　一元二次方程與二次函數(shù)

第一節(jié)一元二次方程與二次函數(shù)復(fù)習(xí)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1.理解并掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì).2.能用二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問題.在研究一元二次方程根的分布問題時(shí),常借助于二次函數(shù)的圖象來解.一般從四個(gè)方面分析:①開口方向;②對(duì)稱軸位置;③判別式;④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào).一、一元二次方程1.一元二次方程的定義含有未知數(shù)x,并且x的最高次數(shù)是二次的等式ax2+bx+c=0(a≠0),稱為關(guān)于x的一元二次方程.2.一元二次方程的根(1)當(dāng)Δ>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、2=.(2)當(dāng)Δ=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=-.(3)當(dāng)Δ<0時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根.3.一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根分別是x1,x2,那么x1+x2=QUOTEba,x1·x2=QUOTEca.這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理.1.公式理解對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2+px+q=0,若x1,x2是其兩根,由韋達(dá)定理可知x1+x2=-p,x1·x2=q,即p=-(x1+x2),q=x1·x2,所以方程x2+px+q=0可化為x2-(x1+x2)x+x1·x2=0,由于x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的兩根,所以x1,x2也是一元二次方程x2-(x1+x2)x+x1·x2=0的兩根,因此以兩個(gè)數(shù)x1,x2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是x2-(x1+x2)x+x1·x2=0,這也是十字相乘法解一元二次方程的依據(jù).2.與方程的根相關(guān)的結(jié)論(1)根的符號(hào)的判定①方程有兩根同號(hào)?②方程有兩根異號(hào)?③兩不等正根?④兩不等負(fù)根?(2)一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量,為了解題簡(jiǎn)便,我們探討出其一般規(guī)律,可以直接利用:設(shè)x1和x2分別是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,則|x1-x2|=|-|=||==.二、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系Δ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1,0),(x2,0)(x1,0)無交點(diǎn)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)2101.概念理解二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的零點(diǎn)即函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),也是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根.因此關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)或方程根的問題,可同時(shí)從方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系及函數(shù)的圖象特征幾個(gè)方面入手.2.一元二次方程根的分布與方程系數(shù)的關(guān)系(以開口向上為例)一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)根的分布也即函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)零點(diǎn)所在的區(qū)間,這類問題常借助函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象來解.一般從四個(gè)方面分析:①開口方向;②對(duì)稱軸位置;③判別式;④區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值.常見類型列表如下:根的分布與方程系數(shù)的關(guān)系函數(shù)圖象(a>0為例)兩根均大于某一實(shí)數(shù)m,m<x1≤x2兩根均小于某一實(shí)數(shù)m,x1≤x2<m兩根均大于實(shí)數(shù)m小于實(shí)數(shù)n,m<x1≤x2<n一根在區(qū)間(m,n)之內(nèi),一根在區(qū)間(m,n)之外m<x1<n<x2或x1<m<x2<n兩根分別位于區(qū)間(m,n)兩側(cè),x1<m<n<x21.若x1,x2是方程2x2-4x+1=0的兩個(gè)根,則+的值為(C)(A)2 (B)4 (C)6 (D)8解析:由題意得x1+x2=2,x1·x2=QUOTE12,+===-2=-2=6.2.設(shè)f(x)=1-(x-a)(x-b)(a<b),m,n為y=f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),且m<n,則a,b,m,n的大小關(guān)系是(B)(A)a<m<n<b (B)m<a<b<n(C)a<b<m<n (D)m<n<a<b解析:由題意得a,b是函數(shù)g(x)=(x-a)(x-b)的兩個(gè)零點(diǎn),而m,n相當(dāng)于y=g(x)與y=1的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo),二次函數(shù)g(x)=(x-a)(x-b)開口向上,故a,b,m,n的大小關(guān)系是m<a<b<n.故選B.3.若方程x2-2mx+4=0的兩根滿足一根大于1,一根小于1,則m的取值范圍是(B)(A)(-∞,-QUOTE52) (B)(QUOTE52,+∞)(C)(-∞,-2)∪(2,+∞) (D)(-QUOTE52,+∞)解析:設(shè)f(x)=x2-2mx+4,則題設(shè)條件等價(jià)于f(1)<0,即1-2m+4<0,解得m>QUOTE52.4.已知函數(shù)f(x)=x2+x+6,存在x∈[0,2],使得f(x)≥a2-a成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A)(A)[-3,4] (B)[-2,3](C)(-∞,-2]∪[3,+∞) (D)(-∞,-3]∪[4,+∞)解析:存在x∈[0,2],使得f(x)≥a2-a?[f(x)]max≥a2-a,求導(dǎo)得f′(x)=2x+1,在x∈[0,2]時(shí)f′(x)>0,?[f(x)]max=f(2)=12,?12≥a2-a?0≥(a-4)(a+3)?4≥a≥-3,實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3,4],故選A.5.若關(guān)于x的方程22x-2xa+a+1=0有兩個(gè)不同的正實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析:令f(t)=t2-at+a+1,原方程有兩個(gè)不同的正實(shí)根,也就是函數(shù)f(t)有兩個(gè)大于1的零點(diǎn),則由二次函數(shù)的圖象可知解得a>2+2QUOTE2.答案:(2+2QUOTE2,+∞)考點(diǎn)一一元二次方程的求解[例1]已知關(guān)于x的方程x2-(m-2)x-QUOTEm24=0.(1)求證:無論m取什么實(shí)數(shù),這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根;(2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2滿足|x2|=|x1|+2,求m的值及相應(yīng)的x1,x2.(1)證明:Δ=2(m-1)2+2>0,故無論m取什么實(shí)數(shù),這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.(2)解:因?yàn)閤1x2=-QUOTEm24≤0,所以x1≤0,x2≥0,或x1≥0,x2≤0.①若x1≤0,x2≥0,則x2=-x1+2,所以x1+x2=2,所以m-2=2,所以m=4.此時(shí),方程為x2-2x-4=0,所以x1=1-QUOTE5,x2=1+QUOTE5.②若x1≥0,x2≤0,則-x2=x1+2,所以x1+x2=-2,所以m-2=-2,所以m=0.此時(shí),方程為x2+2x=0,所以x1=0,x2=-2.求解一元二次方程首先考慮因式分解,然后可用求根公式.若方程系數(shù)中含有參數(shù),要注意利用Δ判定根的個(gè)數(shù).若關(guān)于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有實(shí)數(shù)根x1,x2,且x1<x2,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(C)(A)當(dāng)m=0時(shí),x1=2,x2=3(B)m>-QUOTE14(C)當(dāng)m>0時(shí),2<x1<x2<3(D)二次函數(shù)y=(x-x1)(x-x2)+m的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)和(3,0)解析:畫出二次函數(shù)y=(x-2)(x-3)的圖象如圖所示,當(dāng)m=0時(shí),x1=2,x2=3成立,故A選項(xiàng)結(jié)論正確,不符合題意.根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知,當(dāng)x=2.5時(shí),y取得最小值為-QUOTE14.要使(x-2)(x-3)=m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則需m>-QUOTE14,故B選項(xiàng)結(jié)論正確,不符合題意.當(dāng)m>0時(shí),根據(jù)圖象可知x1<2,x2>3,故C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤,符合題意.由(x-2)(x-3)=m展開得x2-5x+6-m=0,根據(jù)韋達(dá)定理得x1+x2=5,x1·x2=6-m.所以y=(x-x1)(x-x2)+m=x2-(x1+x2)x+x1x2+m=x2-5x+6=(x-2)(x-3),故y=(x-x1)(x-x2)+m與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),(3,0),故D選項(xiàng)結(jié)論正確,不符合題意.故選C.考點(diǎn)二一元二次方程根的分布[例2]關(guān)于x的一元二次方程x2-2ax+a+2=0,當(dāng)a為何實(shí)數(shù)時(shí),(1)有兩不同正根;(2)不同兩根在(1,3)之間;(3)有一根大于2,另一根小于2;(4)在(1,3)內(nèi)有且只有一解.解:設(shè)f(x)=x2-2ax+a+2,Δ=4a2-4(a+2)=4(a2-a-2)=4(a-2)(a+1).(1)由已知條件解得a>2.(2)由已知條件解得2<a<QUOTE115.(3)由已知條件f(2)<0,解得a>2.(4)由已知條件f(1)f(3)<0,解得QUOTE115<a<3.當(dāng)f(3)=0,a=QUOTE115時(shí),方程的兩解為x1=QUOTE75,x2=3,當(dāng)f(1)=0,即a=3時(shí),方程的兩解為x1=1,x2=5,可知QUOTE115≤a<3.Δ=0?a=2或a=-1.即a=2時(shí),f(x)=x2-4x+4=(x-2)2,方程的解為x1=x2=2,a=-1時(shí)得x1=x2=-1,不合題意.所以a=2,綜上有a=2或QUOTE115≤a<3.解決一元二次方程的根的特殊分布問題可借助于相應(yīng)的一元二次函數(shù)圖象,從開口方向、對(duì)稱軸、根的正負(fù)等角度列舉不等關(guān)系,綜合求解.1.若方程x2+(m+2)x+m+5=0只有負(fù)根,則m的取值范圍是.

解析:方程x2+(m+2)x+m+5=0只有負(fù)根,所以解得m≥4.答案:[4,+∞)2.已知函數(shù)f(x)=x2+mx+2,x∈R,若方程f(x)+|x2-1|=2在(0,2)上有兩個(gè)不等實(shí)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(C)(A)(-QUOTE52,-1) (B)(-QUOTE72,-1](C)(-QUOTE72,-1) (D)(-QUOTE52,-1]解析:當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(x)+|x2-1|=2可化為x2+mx+2-(x2-1)=2,整理得mx=-1,當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f(x)+|x2-1|=2,可化為x2+mx+2+(x2-1)=2,整理得2x2+mx-1=0,此方程必有一正、一負(fù)根.要使得方程f(x)+|x2-1|=2在(0,2)上有兩個(gè)不等實(shí)根,則mx=-1在x∈(0,1]內(nèi)有實(shí)數(shù)解,且方程2x2+mx-1=0的正根落在(1,2)內(nèi).記g(x)=2x2+mx-1,則即解得-QUOTE72<m<-1.故選C.考點(diǎn)三二次函數(shù)的零點(diǎn)問題[例3]已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-3x,求函數(shù)g(x)=f(x)-x+3的零點(diǎn).解:當(dāng)x≥0時(shí),函數(shù)g(x)的零點(diǎn)即方程f(x)-x+3=0的根.由x2-3x-x+3=0,整理后解得x1=1,x2=3.當(dāng)x<0時(shí),則-x>0,得f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x.又因f(-x)=-f(x),所以-f(x)=x2+3x,即f(x)=-x2-3x.方程f(x)-x+3=0可化為x2+4x-3=0,解得x=-2-QUOTE7(正根舍去).綜上可知函數(shù)g(x)的零點(diǎn)為1,3,-2-QUOTE7.(1)判斷二次函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)也即判斷一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)根個(gè)數(shù),一般由判別式Δ>0,Δ=0,Δ<0完成.(2)對(duì)于二次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及不能用Δ判斷的二次函數(shù)零點(diǎn),則要結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行判斷.(2019·寧波市北倉高三模擬)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c有零點(diǎn),且a+b+c=1,則max{min{a,b,c}}等于(C)(A)QUOTE12(B)QUOTE13(C)QUOTE14(D)QUOTE16解析:當(dāng)a,b,c中至少有一個(gè)小于等于0,且a≠0時(shí),min{a,b,c}≤0;當(dāng)a,b,c均大于0時(shí),當(dāng)a≥c時(shí),因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax2+bx+c有零點(diǎn),所以b2-4ac≥0,即b2≥4ac≥4c2,所以b≥2c,則此時(shí)min{a,b,c}=c,且1=a+b+c≥c+2c+c,解得c≤,即min{a,b,c}=c≤QUOTE14,同理,當(dāng)a<c時(shí),min{a,b,c}=a<QUOTE14.綜上所述,max{min{a,b,c}}=QUOTE14,故選C.考點(diǎn)四易錯(cuò)辨析[例4]已知關(guān)于x的方程x2-(k+1)x+QUOTE14k2+1=0,根據(jù)下列條件,分別求出k的值.(1)方程兩實(shí)根的積為5;(2)方程的兩實(shí)根x1,x2滿足|x1|=x2.解:(1)因?yàn)榉匠虄蓪?shí)根的積為5,所以?k≥QUOTE32,k=±4,所以,當(dāng)k=4時(shí),方程兩實(shí)根的積為5.(2)由|x1|=x2得①當(dāng)x1≥0時(shí),x1=x2,所以方程有兩相等實(shí)數(shù)根,故Δ=0?k=QUOTE32;②當(dāng)x1<0時(shí),-x1=x2?x1+x2=0?k+1=0?k=-1,由于Δ>0?k>QUOTE32,故k=-1不合題意,舍去.綜上可得,k=QUOTE32時(shí),方程的兩實(shí)根x1,x2滿足|x1|=x2.根