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文檔簡介
B單元函數(shù)與導(dǎo)數(shù)B1函數(shù)及其表示13.B1[2018·全國卷Ⅰ]已知函數(shù)f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,則a=.
13.-7[解析]由f(3)=log2(9+a)=1,得9+a=2,即a=-7.5.B1,B7[2018·江蘇卷]函數(shù)f(x)=log2x5.[2,+∞)[解析]要使函數(shù)f(x)有意義,必須滿足log2x-1≥0,x>0,解得x≥2,B2反函數(shù)B3函數(shù)的單調(diào)性與最值12.B3[2018·全國卷Ⅰ]設(shè)函數(shù)f(x)=2-x,x≤0,1,x>0,則滿足f(x+A.(-∞,-1] B.(0,+∞)C.(-1,0) D.(-∞,0)12.D[解析]f(x)的圖像如圖所示.當(dāng)x+1≤0,2x≤0,即x≤-1時(shí),若滿足f(x+1)<f(2x),則滿足x+1>2x,即x<1,此時(shí)x≤-1;當(dāng)x+1>0,2x<0,即-1<x<0時(shí),f(x+1)B4函數(shù)的奇偶性與周期性16.B4[2018·全國卷Ⅲ]已知函數(shù)f(x)=ln(1+x2-x)+1,f(a)=4,則f(-a)=16.-2[解析]由題,f(-x)=ln(1+x2+x)+∵f(x)+f(-x)=ln(1+x2-x)+1+ln(1+x2+x)+1=ln(1+x2-x2)+∴f(a)+f(-a)=2,∴f(-a)=-2.5.B4[2018·浙江卷]函數(shù)y=2|x|sin2x的圖像可能是 ()圖1-25.D[解析]令y=f(x),則f(-x)=2|-x|sin(-2x)=-2|x|sin2x=-f(x),故f(x)為奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱,排除A,B.當(dāng)x∈0,π2時(shí),f(x)>0,當(dāng)x∈π2,π時(shí),f(x)B5二次函數(shù)14.B5[2018·天津卷]已知a∈R,函數(shù)f(x)=x2+2x+a-2,x≤0,-x2+2x-2a,x14.18,2[解析]當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x2+2x-2a,此時(shí)只需-x2+2x-2a≤x恒成立,即2a≥-x2+x恒成立,因?yàn)閤>0時(shí),-x2+x的最大值為14,所以a≥18;當(dāng)-3≤x≤0時(shí),f(x)=x2+2x+a-2,此時(shí)只需x2+2x+a-2≤-x恒成立,即a≤-x2-3x+2恒成立,因?yàn)樵赱-3,0]上,-x2-3x+2的最小值為2,所以a≤2B6指數(shù)與指數(shù)函數(shù)5.B6、B7[2018·天津卷]已知a=log372,b=1413,c=log1315,則a,A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b5.D[解析]根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得1413<140=1,根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得log372>1,log1315=log35>1,且log37B7對數(shù)與對數(shù)函數(shù)7.B7[2018·全國卷Ⅲ]下列函數(shù)中,其圖像與函數(shù)y=lnx的圖像關(guān)于直線x=1對稱的()A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x) 7.B[解析]y=lnx的圖像過點(diǎn)(1,0),點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)還是(1,0),將(1,0)代入選項(xiàng),只有B項(xiàng)滿足,故選B.B8冪函數(shù)與函數(shù)的圖像B9函數(shù)與方程15.B9[2018·浙江卷]已知λ∈R,函數(shù)f(x)=x-4,x≥λ,x2-4x+3,x<λ.當(dāng)λ=2時(shí),不等式f(x)<15.(1,4)(1,3]∪(4,+∞)[解析]當(dāng)λ=2時(shí),函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,f(x)<0的解集為(1,4).當(dāng)λ≤1時(shí),f(x)只有1個(gè)零點(diǎn)為4;當(dāng)1<λ≤3時(shí),f(x)有2個(gè)零點(diǎn)為1和4;當(dāng)3<λ≤4時(shí),f(x)有3個(gè)零點(diǎn)為1,3和4;當(dāng)λ>4時(shí),f(x)有2個(gè)零點(diǎn)為1和3.故當(dāng)1<λ≤3或λ>4時(shí),f(x)有2個(gè)零點(diǎn).B10函數(shù)模型及其應(yīng)用11.B10[2018·浙江卷]我國古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題:“今有雞翁一,值錢五;雞母一,值錢三;雞雛三,值錢一.凡百錢,買雞百只,問雞翁、母、雛各幾何?”設(shè)雞翁,雞母,雞雛個(gè)數(shù)分別為x,y,z,則x+y+z=100,5x+3y+11.811[解析]把z=81代入方程組,得x+y=19B11導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算6.B11[2018·全國卷Ⅰ]設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為()A.y=-2x B.y=-xC.y=2x D.y=x6.D[解析]因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以a-1=0,即a=1,所以f(x)=x3+x,所以f'(x)=3x2+1.因?yàn)閒'(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=x.故選D.21.B11,B12[2018·全國卷Ⅰ]已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.(1)設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn),求a,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:當(dāng)a≥1e時(shí),f(x)≥021.解:(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=aex-1x由題設(shè)知,f'(2)=0,所以a=12從而f(x)=,f'(x)=當(dāng)0<x<2時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x>2時(shí),f'(x)>0.所以f(x)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,+∞)單調(diào)遞增.(2)證明:當(dāng)a≥1e時(shí),f(x)≥exe-ln設(shè)g(x)=exe-lnx-1,則g'(x)=.當(dāng)0<x<1時(shí),g'(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),g'(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值點(diǎn).故當(dāng)x>0時(shí),g(x)≥g(1)=0.因此,當(dāng)a≥1e時(shí),f(x)≥013.B11[2018·全國卷Ⅱ]曲線y=2lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為.
13.2x-y-2=0[解析]因?yàn)閥'=2x,所以曲線y=2lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線斜率為21=2,所以切線方程為y-0=2(x-1),即2x-y-2=21.B11,B12[2018·全國卷Ⅱ]已知函數(shù)f(x)=13x3-a(x2+x+1)(1)若a=3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).21.解:(1)當(dāng)a=3時(shí),f(x)=13x3-3x2-3x-3,f'(x)=x2-6x-3令f'(x)=0,解得x=3-23或x=3+23.當(dāng)x∈(-∞,3-23)∪(3+23,+∞)時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈(3-23,3+23)時(shí),f'(x)<0.故f(x)在(-∞,3-23),(3+23,+∞)單調(diào)遞增,在(3-23,3+23)單調(diào)遞減.(2)證明:由于x2+x+1>0,所以f(x)=0等價(jià)于x3x2+設(shè)g(x)=x3x2+x+1-3a,則g'(x)=x2(x2+2x+3)(x2+x+1)2≥0,僅當(dāng)x=0時(shí)g'(x)=0,所以g(x)又f(3a-1)=-6a2+2a-13=-6a-162-16<0,f(3a+1)=13>0,綜上,f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).19.B11、B12[2018·北京卷]設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線斜率為0,求a;(2)若f(x)在x=1處取得極小值,求a的取值范圍.19.解:(1)因?yàn)閒(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex,所以f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,f'(2)=(2a-1)e2.由題設(shè)知f'(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=12(2)(法一)由(1)得f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(ax-1)(x-1)ex.若a>1,則當(dāng)x∈時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0.所以f(x)在x=1處取得極小值.若a≤1,則當(dāng)x∈(0,1)時(shí),ax-1≤x-1<0,所以f'(x)>0.所以1不是f(x)的極小值點(diǎn).綜上可知,a的取值范圍是(1,+∞).(法二)f'(x)=(ax-1)(x-1)ex.①當(dāng)a=0時(shí),令f'(x)=0得x=1.f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:x(-∞,1)1(1,+∞)f'(x)+0-f(x)↗極大值↘所以f(x)在x=1處取得極大值,不合題意.②當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0得x1=1a,x2=1(i)當(dāng)x1=x2,即a=1時(shí),f'(x)=(x-1)2ex≥0,所以f(x)在R上單調(diào)遞增,所以f(x)無極值,不合題意.(ii)當(dāng)x1>x2,即0<a<1時(shí),f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:x(-∞,1)1111f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在x=1處取得極大值,不合題意.(iii)當(dāng)x1<x2,即a>1時(shí),f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:x-111(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在x=1處取得極小值,即a>1滿足題意.③當(dāng)a<0時(shí),令f'(x)=0得x1=1a,x2=1f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:x-111(1,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘極小值↗極大值↘所以f(x)在x=1處取得極大值,不合題意.綜上所述,a的取值范圍為(1,+∞).10.B11[2018·天津卷]已知函數(shù)f(x)=exlnx,f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f'(1)的值為.
10.e[解析]f'(x)=exlnx+exx,所以f'(1)=20.B11、B12[2018·天津卷]設(shè)函數(shù)f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差為d的等差數(shù)列.(1)若t2=0,d=1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)若d=3,求f(x)的極值;(3)若曲線y=f(x)與直線y=-(x-t2)-63有三個(gè)互異的公共點(diǎn),求d的取值范圍.20.解:(1)由已知,可得f(x)=x(x-1)(x+1)=x3-x,故f'(x)=3x2-1.因此f(0)=0,f'(0)=-1,又因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y-f(0)=f'(0)(x-0),故所求切線方程為x+y=0.(2)由已知可得f(x)=(x-t2+3)(x-t2)(x-t2-3)=(x-t2)3-9(x-t2)=x3-3t2x2+(3t22-9)x-t23+故f'(x)=3x2-6t2x+3t22-令f'(x)=0,解得x=t2-3或x=t2+3.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,t2-3)t2-3(t2-3,t2+3)t2+3(t2+3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以函數(shù)f(x)的極大值為f(t2-3)=(-3)3-9×(-3)=63;函數(shù)f(x)的極小值為f(t2+3)=(3)3-9×(3)=-63.(3)曲線y=f(x)與直線y=-(x-t2)-63有三個(gè)互異的公共點(diǎn)等價(jià)于關(guān)于x的方程(x-t2+d)(x-t2)(x-t2-d)+(x-t2)+63=0有三個(gè)互異的實(shí)數(shù)解.令u=x-t2,可得u3+(1-d2)u+63=0.設(shè)函數(shù)g(x)=x3+(1-d2)x+63,則曲線y=f(x)與直線y=-(x-t2)-63有三個(gè)互異的公共點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn).g'(x)=3x2+(1-d2).當(dāng)d2≤1時(shí),g'(x)≥0,這時(shí)g(x)在R上單調(diào)遞增,不合題意.當(dāng)d2>1時(shí),令g'(x)=0,解得x1=-d2-13,x易得,g(x)在(-∞,x1)上單調(diào)遞增,在[x1,x2]上單調(diào)遞減,在(x2,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)的極大值g(x1)=g-d2-13=23g(x)的極小值g(x2)=gd2-13=-2若g(x2)≥0,由g(x)的單調(diào)性可知函數(shù)g(x)至多有兩個(gè)零點(diǎn),不合題意.若g(x2)<0,即(d2-1)32>27,也就是|d|>10,此時(shí)|d|>x2,g(|d|)=|d|+63>0,且-2|d|<x1,g(-2|d|)=-6|d|3-2|d|+63<-6210+63<0,從而由g(x)的單調(diào)性,可知函數(shù)g(x)在區(qū)間(-2|d|,x1),(x1,x2),(x2,|d|)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),所以,d的取值范圍是(-∞,-10)∪(10,+∞).B12導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用9.B12[2018·全國卷Ⅲ]函數(shù)y=-x4+x2+2的圖像大致為 ()9.D[解析]y'=-4x3+2x=-2x(2x-1)(2x+1),易知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)y=-x4+x2+2在0,22上單調(diào)遞增,在22,+∞上單調(diào)遞減,21.B12[2018·全國卷Ⅲ]已知函數(shù)f(x)=ax(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程;(2)證明:當(dāng)a≥1時(shí),f(x)+e≥0.21.解:(1)f'(x)=-ax2+(2a-因此曲線y=f(x)在(0,-1)處的切線方程是2x-y-1=0.(2)證明:當(dāng)a≥1時(shí),f(x)+e≥(x2+x-1+ex+1)e-x.令g(x)=x2+x-1+ex+1,則g'(x)=2x+1+ex+1.當(dāng)x<-1時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>-1時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0.22.B12[2018·浙江卷]已知函數(shù)f(x)=x-lnx.(1)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)處導(dǎo)數(shù)相等,證明:f(x1)+f(x2)>8-8ln2;(2)若a≤3-4ln2,證明:對于任意k>0,直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點(diǎn).22.證明:(1)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=12x-由f'(x1)=f'(x2)得12x1-1x1因?yàn)閤1≠x2,所以1x1+1x由基本不等式得12x1x2=x1因?yàn)閤1≠x2,所以x1x2>256.由題意得f(x1)+f(x2)=x1-lnx1+x2-lnx2=12x1x2-ln設(shè)g(x)=12x-ln則g'(x)=14x(x-所以x(0,16)16(16,+∞)g'(x)-0+g(x)↘2-4ln2↗所以g(x)在(256,+∞)上單調(diào)遞增,故g(x1x2)>g(256)=8-8ln2,即f(x1)+f(x2)>8-8ln2.(2)令m=e-(|a|+k),n=|a|+1k2+1,則f(m)-km-a>|a|+k-k-a≥0,f(n)-kn-a<n1n所以,存在x0∈(m,n)使f(x0)=kx0+a,所以,對于任意的a∈R及k∈(0,+∞),直線y=kx+a與曲線y=f(x)有公共點(diǎn).由f(x)=kx+a得k=x-設(shè)h(x)=x-lnx-ax,則h'(x)=lnx-x2-1+ax由(1)可知g(x)≥g(16),又a≤3-4ln2,故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln2+a≤0,所以h'(x)≤0,即函數(shù)h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,因此方程f(x)-kx-a=0至多有1個(gè)實(shí)根.綜上,當(dāng)a≤3-4ln2時(shí),對于任意k>0,直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點(diǎn).11.B12[2018·江蘇卷]若函數(shù)f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值的和為.
11.-3[解析]由題意得,f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).當(dāng)a≤0時(shí),對任意x∈(0,+∞),f'(x)>0,則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),則f(x)>f(0)=1,則f(x)在(0,+∞)上沒有零點(diǎn),不滿足題意,舍去.當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0及x>0,得x=a3,則當(dāng)x∈0,a3時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x∈a3,+∞時(shí),f'(x)>0,因此函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是0,a3,單調(diào)遞增區(qū)間是a3,+∞,在x=a3處f(x)取得極小值fa3=-a327+1.而函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),所以fa3=-a327+1=0,解得a=3,因此f(x)=2x3-3x2+1,則f'(x)=2x(3x-3).令f'(x)=0,結(jié)合x∈[-1,1],得x=0或x=1.而當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)<0,則函數(shù)f(x)在(-1,0)上是增函數(shù),在(0,1)上是減函數(shù),所以f(x)max=f(0)=1.又f(-1)=-4,f(1)=0,所以f(x)min=-4,故f(x)在[-1,1]17.C9,B12[2018·江蘇卷]某農(nóng)場有一塊農(nóng)田,如圖1-5所示,它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點(diǎn))和線段MN構(gòu)成.已知圓O的半徑為40米,點(diǎn)P到MN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚,大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD,大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△CDP,要求A,B均在線段MN上,C,D均在圓弧上.設(shè)OC與MN所成的角為θ.(1)用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積,并確定sinθ的取值范圍;(2)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜,大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜,且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3,求當(dāng)θ為何值時(shí),能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.圖1-517.解:(1)連接PO并延長交MN于H,則PH⊥MN,所以O(shè)H=10.過O作OE⊥BC于E,則OE∥MN,所以∠COE=θ,故OE=40cosθ,EC=40sinθ,則矩形ABCD的面積為2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ),△CDP的面積為12×2×40cosθ(40-40sinθ)=1600(cosθ-sinθcosθ)過N作GN⊥MN,分別交圓弧和OE的延長線于G和K,則GK=KN=10.令∠GOK=θ0,則sinθ0=14,θ0∈0,π6.當(dāng)θ∈θ0,π2時(shí),才能作出滿足條件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范圍是14,1.答:矩形ABCD的面積為800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面積為1600(cosθ-sinθcosθ)平方米,sinθ的取值范圍是14,1.(2)因?yàn)榧?、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3,設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k,乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k(k>0),則年總產(chǎn)值4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ-sinθcosθ)=8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈θ0,π2.設(shè)f(θ)=sinθcosθ+cosθ,θ∈θ0,π2,則f'(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-(2sin2θ+sinθ-1)=-(2sinθ-1)(sinθ+1).令f'(θ)=0,得θ=π6當(dāng)θ∈θ0,π6時(shí),f'(θ)>0,所以f(θ)為增函數(shù);當(dāng)θ∈π6,π2時(shí),f'(θ)<0,所以f(θ)為減函數(shù).因此,當(dāng)θ=π6時(shí),f(θ)取到最大值答:當(dāng)θ=π6時(shí),能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大19.B12,B14[2018·江蘇卷]記f'(x),g'(x)分別為函數(shù)f(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù).若存在x0∈R,滿足f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0),則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)“S點(diǎn)”.(1)證明:函數(shù)f(x)=x與g(x)=x2+2x-2不存在“S點(diǎn)”;(2)若函數(shù)f(x)=ax2-1與g(x)=lnx存在“S點(diǎn)”,求實(shí)數(shù)a的值;(3)已知函數(shù)f(x)=-x2+a,g(x)=bexx,對任意a>0,判斷是否存在b>0,使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在“S點(diǎn)”19.解:(1)證明:函數(shù)f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,則f'(x)=1,g'(x)=2x+2.由f(x)=g(x)且f'(x)=g'(x),得x=x因此,f(x)與g(x)不存在“S點(diǎn)”.(2)函數(shù)f(x)=ax2-1,g(x)=lnx,則f'(x)=2ax,g'(x)=1x設(shè)x0為f(x)與g(x)的“S點(diǎn)”,由f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0),得ax02-1=ln得lnx0=-12,即x0=e-12,則a=當(dāng)a=e2時(shí),x0=e-12滿足方程組(*),即x0為f(x)與g(x)因此,a的值為e2(3)對任意a>0,設(shè)h(x)=x3-3x2-ax+a.因?yàn)閔(0)=a>0,h(1)=1-3-a+a=-2<0,且h(x)的圖像是不間斷的,所以存在x0∈(0,1),使得h(x0)=0.令b=2x03ex0(1-x0),則b>0.函數(shù)f(x則f'(x)=-2x,g'(x)=be由f(x)=g(x)且f'(x)=g'(x),得-x2+a=b此時(shí),x0滿足方程組(**),即x0是函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的一個(gè)“S點(diǎn)”.因此,對任意a>0,存在b>0,使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在“S點(diǎn)”.B13定積分與微積分基本定理B14單元綜合3.B14[2018·全國卷Ⅱ]函數(shù)f(x)=ex-e-x3.B[解析]由題易知x≠0.因?yàn)閒(-x)=e-x-exx2=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以A錯(cuò);當(dāng)x>0時(shí),ex>e-x,此時(shí)f(x)>0,所以D錯(cuò);當(dāng)x=1時(shí),f(1)=e-1e>212.B14[2018·全國卷Ⅱ]已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50 B.0 C.2 D.50 12.C[解析]因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(0)=0,且f[-(1-x)]=-f(1-x),即f(1-x)=-f(x-1),又由f(1-x)=f(1+x)得f(x+1)=-f(x-1),所以f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù).因?yàn)閒(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2,故選C.9.B14,C1[2018·江蘇卷]函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在區(qū)間(-2,2]上,f(x)=cosπx2,0<x≤2,9.22[解析]由f(x+4)=f(x)(x∈R),得f(15)=f(-1+4×4)=f(-1),又-1∈(-2,0],所以f(15)=f(-1)=-1+12=12.而12∈(0,2],所以f(f(15))=f12=cosπ2×12=cosπ5.[2018·濟(jì)寧期末]已知函數(shù)f(x)=log2x,x>0,A.0 B.3C.1 D.15.D[解析]由函數(shù)的解析式可得f12=log212=-1,則ff12=f(-1)=3-14.[2018·天津一中月考]已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為 ()A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.b<c<a14.C[解析]因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù),所以當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0,從而g(x)=xf(x)是R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù).因?yàn)閍=g(-log25.1)=g(log25.1),且4<5.1<8,所以2<log25.1<3,所以0<20.8<log25.1<3,所以g(20.8)<g(log25.1)<g(3),即b<a<c,故選C.8
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