奧數(shù)之表面積與體積

奧數(shù)之表面積與體積（一）專題簡(jiǎn)析：小學(xué)階段所學(xué)的立體圖形主要有四種長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體和圓錐體。從平面圖形到立體圖形是認(rèn)識(shí)上的一個(gè)飛躍，需要有更高水平的空間想象能力。因此，要牢固掌握這些幾何圖形的特征和有關(guān)的計(jì)算方法，能將公式作適當(dāng)?shù)淖冃?，養(yǎng)成“數(shù)、形”結(jié)合的好習(xí)慣，解題時(shí)要認(rèn)真細(xì)致觀察，合理大膽想象，正確靈活地計(jì)算。在解答立體圖形的表面積問(wèn)題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：（1）充分利用正方體六個(gè)面的面積都相等，每個(gè)面都是正方形的特點(diǎn)。（2）把一個(gè)立體圖形切成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。反之，把兩個(gè)立體圖形粘合到一起，減少的表面積等于粘合面積的兩倍。（3）若把幾個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最大的長(zhǎng)方體，應(yīng)把它們最小的面拼合起來(lái)。若把幾個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最小的長(zhǎng)方體，應(yīng)把它們最大的面拼合起來(lái)。例題1：從一個(gè)棱長(zhǎng)10厘米的正方體木塊上挖去一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長(zhǎng)方體，剩下部分的表面積是多少？這是一道開(kāi)放題，方法有多種：①按圖27-1所示，沿著一條棱挖，剩下部分的表面積為592平方厘米。②按圖27-2所示，在某個(gè)面挖，剩下部分的表面積為632平方厘米。③按圖27-3所示，挖通某兩個(gè)對(duì)面，剩下部分的表面積為672平方厘米。練習(xí)1：1、從一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬6厘米、高5厘米的長(zhǎng)方體木塊上挖去一個(gè)棱長(zhǎng)2厘米的小正方體，剩下部分的表面積是多少？2、把一個(gè)長(zhǎng)為12分米，寬為6分米，高為9分米的長(zhǎng)方體木塊鋸成兩個(gè)想同的小廠房體木塊，這兩個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積之和，比原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積增加了多少平方分米？3、在一個(gè)棱長(zhǎng)是4厘米的立方體上挖一個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體后，表面積會(huì)發(fā)生怎樣的變化？例題2：把19個(gè)棱長(zhǎng)為3厘米的正方體重疊起來(lái)，如圖27-4所示，拼成一個(gè)立體圖形，求這個(gè)立體圖形的表面積。面的面積最大，即減少兩個(gè)9×7的面。（9×9+9×4+7×4）×2×2—9×7×2=（63+36+28）×4—126=508—126=382（平方厘米）答：這個(gè)大廠房體的表面積最少是382平方厘米。練習(xí)3：1、把底面積為20平方厘米的兩個(gè)相等的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的表面積是多少？2、將一個(gè)表面積為30平方厘米的正方體等分成兩個(gè)長(zhǎng)方體，再將這兩個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體。求大長(zhǎng)方體的表面積是多少。3、用6塊（如圖27-8所示）長(zhǎng)方體木塊拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，有許多種做法，其中表面積最小的是多少平方厘米？例題4：一個(gè)長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)增加2厘米，則體積增加40立方厘米；如果寬增加3厘米，則體積增加90立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方里，求原長(zhǎng)方體的表面積。我們知道：體積=長(zhǎng)×寬×高；由長(zhǎng)增加2厘米，體積增加40立方厘米，可知寬×高=40÷2=20（平方厘米）；由寬增加3厘米，體積增加90立方厘米，可知長(zhǎng)×高=90÷3=30（平方厘米）；由高增加4厘米，體積增加96立方厘米，可知長(zhǎng)×寬=96÷4=24（平方厘米）。而長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高）×2=（20+30+24）×2=148（平方厘米）。即40÷2=20（平方厘米）90÷3=30（平方厘米）96÷4=24（平方厘米）（30+20+24）×2=74×2=148（平方厘米）答：原長(zhǎng)方體的表面積是148平方厘米。練習(xí)4：1、一個(gè)長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)減少2厘米，則體積減少48立方厘米；如果寬增加5厘米，則體積增加65立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方厘米。原來(lái)廠房體的表面積是多少平方厘米？2、一個(gè)廠房體木塊，從下部和上部分別截去高為3厘米和2厘米的長(zhǎng)方體后，便成為一個(gè)正方體，其表面積減少了120平方厘米。原來(lái)廠房體的體積是多少立方厘米？3、有一個(gè)廠房體如下圖所示，它的正面和上面的面積之和是209。如果它的長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？例題5：如圖27-10所示，將高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個(gè)圓柱組成一個(gè)物體。求這個(gè)物體的表面積。如果分別求出三個(gè)圓柱的表面積，再減去重疊部分的面積，這樣計(jì)算比較麻煩。實(shí)際上三個(gè)向上的面的面積和恰好是大圓柱的一個(gè)底面積。這樣，這個(gè)物體的表面積就等于一個(gè)大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側(cè)面積。3.14×1.5×1.5×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1=3.14×（4.5+3+2+1）=3.14×10.5=32.97（平方米）答：這個(gè)物體的表面積是32.97平方米。練習(xí)5：1、一個(gè)棱長(zhǎng)為40厘米的正方體零件（如圖27-11所示）的上、下兩個(gè)面上，各有一個(gè)直徑為4厘米的圓孔，孔深為10厘米。求這個(gè)零件的表面積。2、用鐵皮做一個(gè)如圖27-12所示的工件（單位：厘米），需用鐵皮多少平方厘米？3、如圖27-13所示，在一個(gè)立方體的兩對(duì)側(cè)面的中心各打通一個(gè)長(zhǎng)方體的洞，在上、下側(cè)面的中心打通一個(gè)圓柱形的洞。已知立方體棱長(zhǎng)為10厘米，側(cè)面上的洞口是邊長(zhǎng)為4厘米的正方形，上、下側(cè)面的洞口是直徑為4厘米的圓，求該立方體的表面積和體積（∏取3.14）。答案：練1切下一塊后，切口處的表面減少了前、后、上面3個(gè)1×1的正方形，新增加了左右下面三個(gè)1×1的正方形，所以表面積大小不變。4×4×6－2×2×2＝92平方厘米中心挖去的洞的體積是：12×3×3－13×2＝7立方厘米，挖洞后木塊的體積：33－7＝20立方厘米，中心挖洞后每面增加的面積是12×4－12＝3平方厘米，挖洞后木塊的表面積：（32+3）×6＝72平方厘米。練2從三個(gè)不同的方向看，得到圖答27－1：從上往下看從前往后看從左往右看（1×1×12+1×1×8+1×1×7）×2＝54平方厘米（2×2×9+2×2×9+2×2×7）×2＝200平方厘米因?yàn)?4＝4×4×4，所以大正方形的棱長(zhǎng)等于小正方形棱長(zhǎng)的4被，那么大正方體的表面積是小正方體的4×4＝16倍，小正方體的表面積是：384÷16＝24平方厘米練3將正方體分為兩個(gè)長(zhǎng)方體，表面積就增加了2個(gè)30÷6＝15平方厘米，拼成大正方體，表面積將減少兩個(gè)拼合面的面積，正好是1個(gè)30÷6＝15平方厘米，所以大長(zhǎng)方體的表面積是30+30+6＝35平方厘米。要是表面積最小，就要盡可能地把大的面拼合在一起。表面積最小的拼法有如圖答27－2兩種：表面積都是（3×3+3×4×2）×2＝66平方厘米。設(shè)大長(zhǎng)方體的寬和高為x分米，長(zhǎng)為2x分米，左面和右面的面積就是x2平方分米。其余的面積為2x2平方分米，根據(jù)題意，大長(zhǎng)方體的表面積是：8x2+8×2x2＝600x＝5大長(zhǎng)方體的體積是：5×5×2×5＝250立方分米練41、（48÷2+65÷5+96÷4）×2＝122平方厘米2、減少的表面積實(shí)質(zhì)是高度分別為2厘米和3厘米的前、后、左、右四個(gè)面的面積之和。把兩個(gè)合并起來(lái)，用120÷（2+3）＝24厘米，求到正方體底面的周長(zhǎng)，正方體的棱長(zhǎng)就是24÷4＝6厘米。圓長(zhǎng)方體的體積是：6×6×（6+3+2）＝396立方厘米3、長(zhǎng)方體正面及上面的面積之和恰好等于這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)×（寬+高），209＝11×19，所以長(zhǎng)＝11，寬+高＝19，或長(zhǎng)＝19，寬+高＝11，根據(jù)題意，寬和高只能是17和2，長(zhǎng)方體的體積就是11×17×2＝374練5402×6+3.14×4×10×2＝9651.2平方厘米用兩個(gè)同樣的工件可拼成圖答27－3的圓柱體。3.14×15×（46+54）÷2＝2355平方厘米3、立方體的表面積和是：6×102－42×4－2×3.14×（EQ\F(4,2)）2＝510.