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文檔簡(jiǎn)介
《數(shù)學(xué)物理方法》
(MethodsofMathematical
Physics)
《數(shù)學(xué)物理方法》是物理類及光電子類本科專業(yè)學(xué)生必修的重要
基礎(chǔ)課,是在《高等數(shù)學(xué)》課程基礎(chǔ)上的一門重要的應(yīng)用數(shù)學(xué)類課程,
為專業(yè)課程的深入學(xué)習(xí)提供所需的數(shù)學(xué)方法及工具。
課程內(nèi)容:復(fù)變函數(shù)(18學(xué)時(shí)),付氏變換(20學(xué)時(shí)),
數(shù)理方程(26學(xué)時(shí))
第一篇復(fù)變函數(shù)(38學(xué)時(shí))
緒論
第一章復(fù)變函數(shù)基本知識(shí)4學(xué)時(shí)
第二章復(fù)變函數(shù)微分4學(xué)時(shí)
第三章復(fù)變函數(shù)積分4學(xué)時(shí)
第四章塞級(jí)數(shù)4學(xué)時(shí)
第五章留數(shù)定理及應(yīng)用簡(jiǎn)介2學(xué)時(shí)
第六章付里葉級(jí)數(shù)
第七章付里葉變換
第八章拉普拉斯變換
第二篇數(shù)學(xué)物理方程(26學(xué)時(shí))
第九章數(shù)理方程的預(yù)備知識(shí)
第十章偏微分方程常見形式
第十一章偏微分方程的應(yīng)用
緒論
含義
使用數(shù)學(xué)的物理——(數(shù)學(xué))物理
物理學(xué)中的數(shù)學(xué)——(應(yīng)用)數(shù)學(xué)
MathematicalPhysics
方程
X=\
X2=1
a{x+bxy-cl
a2x+b2y=c2
dx/\
—=a(t)
dt''
xdt-
常微分方程
<72
ax2
---9--coX二0
(dt)
xAcos{cot+C)
偏微分方程——數(shù)學(xué)物理方程
dy/dy/dy/
?dy2dz2)
〃=〃(x,y,z)
h2d2y/'
22++U(x,y,z
dt2m[dxdy為2,
W=W(x,y,z")
復(fù)數(shù)
i.數(shù)的概念的擴(kuò)充
正整數(shù)(自然數(shù))1,2,-??
運(yùn)算規(guī)則+,一,X,土,()2,一
-1—2=—1
負(fù)數(shù)0,-1,-2,
整數(shù)…,-2,-1,0,1,2,…
-=0.5!=0.333…
?23
有理數(shù)(分?jǐn)?shù))整數(shù)、有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)
?行=1.414…
無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)
實(shí)數(shù)有理數(shù)、無(wú)理數(shù)
V—1=/
虛數(shù)”
復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)、虛數(shù)、實(shí)數(shù)+虛數(shù)X,V,X+yi
2.負(fù)數(shù)的運(yùn)算符號(hào)
X2=—1
X=+Z
J—1
1虛數(shù)單位,作為運(yùn)算符號(hào)。
3.作為方程的解
ax2+bx+c=0
-b±\b2-4ac
x二-------------------------(20)
2ab-4ac>
-b±i(b2-4rzc)
X—(b2-4acY0)
2a
4.數(shù)學(xué)運(yùn)算的需要——數(shù)系的完備性、自洽性
5.物理學(xué)的需要——平面矢量、二維數(shù)組
第一章復(fù)變函數(shù)基本知識(shí)4學(xué)時(shí)
復(fù)數(shù)表示
z-x+iy
三角式z=pcoscp+ipsincp
icp
指用將數(shù)士式z-Lpe
幾何意義
運(yùn)算規(guī)則
復(fù)變函數(shù)
?=/(z)
z=x+iy
w=u+iv
z—p-ei(P
yv-reiO
u=w(x,y)
v=v(x,歹)
(x,y)<-->(〃,v)
常用初等復(fù)變函數(shù)
指數(shù)函數(shù)
三角函數(shù)
雙曲函數(shù)
對(duì)數(shù)函數(shù)
根式函數(shù)
反三角函數(shù)
塞函數(shù)
一般指數(shù)函數(shù)
第二章復(fù)變函數(shù)微分4學(xué)時(shí)
復(fù)變函數(shù)的極限
lim/(z)=A
ZfZ。
復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性
lim/(2)=/(z0)
z->z。
lim〃(x,y)=〃(Xo,J。)
Jx4->Xo,No
limv(x,j/)=Mx。,孔)
IXJfXo,Vo
復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
加二lim/UGO)
dzzfZoz-ZQ
解析函數(shù)
在z。點(diǎn),及其某一鄰域內(nèi)的每一點(diǎn)可導(dǎo)。
在D區(qū)域,處處可導(dǎo)。
連續(xù)、可導(dǎo)、解析三者關(guān)系
在Z。點(diǎn),如可導(dǎo),則連續(xù)。
lim(/(z)-/(z()))=孚lim(z-zo)=O
Zfz()dzZfz()
lim/(z)-/(zo)=O
zfz()
在2。點(diǎn),如解析,則可導(dǎo)。
即在Z。點(diǎn),連續(xù)、可導(dǎo)、解析三個(gè)條件依次變強(qiáng)。
而在。區(qū)域,可導(dǎo)與解析等價(jià)。
柯西…黎曼方程
dudv
<dxdy
dudv
dydx
可導(dǎo)、解析、柯西…黎曼方程三者關(guān)系
可導(dǎo)的必要條件是跳,號(hào),上£存在且柯西…黎曼方程成
dxdydxdy
立。
可導(dǎo)的充分必要條件是已手,上學(xué)連續(xù)且柯西-黎曼方
dxdydxdy
程成立。
在D區(qū)域,解析的充分必要條件是矍,粵,已空連續(xù)
dxdydxdy
且柯西…黎曼方程成立。
條件M,品?連續(xù)
等價(jià)于
7du.du1
全微分du=—dxH--------dy,公存在
dxdydxdy
或稱
uv=v(x,y)處處可微
調(diào)和函數(shù)
,°2〃g2〃、
、SX2+Sy2,
共輒調(diào)和函數(shù)
"d2uda2u\
+=0
、2
dudv
dxdy
dudv
dydx
解析函數(shù)、調(diào)和函數(shù)、共朝調(diào)和函數(shù)三者關(guān)系
在。區(qū)域,如/(z)解析,
則〃=〃(x,y),v=v(x,y)調(diào)和,
從而丫與“共匏、〃與一丫共朝。
構(gòu)造解析函數(shù)
調(diào)和函數(shù)+柯西―黎曼方程f解析函數(shù)
常用初等復(fù)變函數(shù)具有解析性
第三章復(fù)變函數(shù)積分4學(xué)時(shí)
復(fù)變函數(shù)的積分
z=x+iy
/(Z)=Z/+ZV
C:y=y(x)
jf(z)dz=\{udx-vdy}-¥i\{udy+vdx)
ccc
z=pel(p
/(z)=reie
c:p=P3
J/(z)dz—\rel^e+(p^dp+i\rpel^e+(p^d(p
ccc
復(fù)變函數(shù)可積條件
充分條件/(z)沿曲線C連續(xù)
必要條件/(z)沿曲線C有界
柯西積分定理
如/(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析,
C為D內(nèi)任一周線,則
步(z)dz=O
C
推論
解析函數(shù)積分與路徑無(wú)關(guān)
J/(2)dz=J/(z)dz
C\C2
如/(z)在單連通區(qū)域D的邊界r(分段光滑)上連續(xù),則
(z)dz=0
r
對(duì)多連通區(qū)域的邊界「=「0++?…,亦有
/(Z)dz=o
r
可表示為
"(2比=",狂+"(2達(dá)+…
「0『1「2
z
對(duì)。內(nèi)任一點(diǎn)o,有
柯西積分公式
/(Zo)=勺'(z)dz
Z7TIZ-ZQ
推論
設(shè)C為簡(jiǎn)單閉曲線,D為C的外部區(qū)域,/(8)=0。
如Z0在。內(nèi),則
/(z())=dz
Z7TI;Z—Z0
11l^-dz
+
Z7TiZ7ri'J7—Z
C-'z-Z0cJz0
1^-dz
+/(°°)
IZ-z
Z7riC,L。
1g~dz
z/cic_|z—ZQ
如2。不在。內(nèi),則
上,,/(z)dz=0
zniz-ZQ
dz=0
z/rizC-zunz/riC/sz-zuQ
1i^-dz
+/(°°)=0
z7iicz-z°
1i^-dz
=0
z/ric-\z—z0
第四章塞級(jí)數(shù)4學(xué)時(shí)
4—1復(fù)級(jí)數(shù)
00
復(fù)級(jí)數(shù)
k=l
oo
Z=fZk
復(fù)級(jí)數(shù)的收斂
k=\
00
Z,=Z
復(fù)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂Y\k
k=\
復(fù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件lim2"°
《一》00
00
復(fù)級(jí)數(shù)收斂的充分條件Sh收斂
k=l
復(fù)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件
n-\-p
£Zk
1對(duì)任意小£,有N;當(dāng)n>N,Y£
k=n+\
0000
22乙、2九收斂
k=lk=l
00
復(fù)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的必要條件Zk收斂
k=l
0000
復(fù)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的充分必要條件收斂
k=lk=\
4—2復(fù)函數(shù)級(jí)數(shù)
00
復(fù)函數(shù)級(jí)數(shù)XA(z)
k=l
00
復(fù)函數(shù)級(jí)數(shù)的收斂在Zo點(diǎn)/(z)=EA(z)
k=l
對(duì)任意小£,有N(與Z。點(diǎn)有關(guān));當(dāng)n>N,
S/⑺-/⑺Y£
k=\
復(fù)函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂在。區(qū)域
對(duì)任意小£,有N(與z。點(diǎn)無(wú)關(guān));當(dāng)n>N,
E/'(z)―/(z)Y£
k=\
復(fù)函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂的充分必要條件
對(duì)任意小£,有N(與z。點(diǎn)無(wú)關(guān));當(dāng)n>N,
n+p
E九G)Y£
k=n+1
復(fù)函數(shù)級(jí)數(shù)基本性質(zhì)
00
如左,且收斂
k=\
oo
則Z/(z)在D區(qū)域絕對(duì)且一致收斂
k=\
在D區(qū)域,
00
如九(2)連續(xù),且£fk(z)一致收斂
k=l
則/(z)連續(xù)
沿c曲線,
00
如人(?)連續(xù),且2九Q)一致收斂
k=l
00
則』/(zHz=Z/九(z*
C左=1c
在D區(qū)域,
00
且EfkG)
如fk(z)解析,一致收斂
則[(Z)解析
00
/(〃()=£小(z)
k=1
常用級(jí)數(shù)
oo1oo1001001
y—y-
£In左k
k=lak=lK!
£00k\n1Pk
夕A1收斂夕W1發(fā)散
co1
y—
£kp夕81收斂p£1發(fā)散
00sink
z〃A°收斂
k=\
00cosk
2尸0收斂
zp
k=\k
4—3復(fù)幕級(jí)數(shù)
00
Eckzk
k=l
在zY7?收斂
在z<r<R絕對(duì)一致收斂
收斂半徑
c卜
Rn=lim----------
kTBc
ck+\
RlimC
kTgk
R=0,7?0,+oo
級(jí)數(shù)收斂判別法
zk+\
k+ik—Y1收斂
ckz
4—4嘉級(jí)數(shù)展開
對(duì)/(z),如Zo非奇點(diǎn),在Z—Z。YR
Taylor級(jí)數(shù)
/(z)=£色4(z-z°y
k=ok\
對(duì)/(z),如z0孤立奇點(diǎn),在〃Y|Z-ZO|YA
Laurent級(jí)數(shù)
/(z)=Xa(z-z0)
攵=-00
對(duì)/(z),如zo非奇點(diǎn)
左>o時(shí),由柯西積分公式
/(%)(z°)=左!八d—△三)―dz
2711?(z-z。尸
=_Lj《)”J—
2加?(?-zj+i6k!
4Y0時(shí),由解析函數(shù)性質(zhì)
4—5幕級(jí)數(shù)求和
00
E4(Z-z0y=/(z)
攵=0
第五章留數(shù)定理及應(yīng)用簡(jiǎn)介2學(xué)時(shí)
留數(shù)定義
/(Z)解析,。Y|Z-ZO|YR
zo孤立奇點(diǎn),
C:|z-z0|=r^7?
00k
/(z)=E%(2-20)
左二-00
Res/(z())=Ji
=f/(z)dz
2.711
/(Z)解析,RY忖Y+8
8孤立奇點(diǎn),
C:RYz=yY+oo
8k
〃2)=E%(z)
k=-g
Res/(oo)=-c_x
=I/(2)dz
27iic一
留數(shù)定理
r周線
D包圍區(qū)域
Zk奇點(diǎn)
n1
£RUS/(ZJ=丁,/(2)dz
k=i2卯區(qū)
Z&sf(zk)+Res/(oo)=0
k=l
留數(shù)計(jì)算
留數(shù)理論應(yīng)用
第六章付里葉級(jí)數(shù)
6—1付里葉(Fourier)級(jí)數(shù)(復(fù)數(shù)形式)
00K
/(z)=工CkZ
左二-oo
D:l-£=rYzY7?=1+E
ie
令ze
夕=1,O<0<2TT
00ikO
e
則g?)=E
k=-8
*
如g?)=g?)
ik0
而是區(qū)間o?e?2?上的正交完備函數(shù)族
12萬(wàn)-ikO
jge)edO
故4一斤
0
*
co~co
從而
00ikO
g(e)=E。卜
k=s
0000
=c0+Z/(cosA:e+,sin《e)+Zck(coskO-isinkd)
k=Tk=l
=/+£(,+,]coskHif(,-/*)sink。
k=lk=l
0000
=4+Z4coske+f1b卜sin左9
k=lk=l
令g(e+2〃)=g(e)
可將g(e)解析開拓到區(qū)間一OOYOY+OO
ck=Ak+iBk
*
ck=4一4
*
ak=ck+ck=2Ak
4=L-。/}二-2心
12〃
ao=-Jge)de
0
124(-ikOikO\
akjg⑻e+ede
2?7
一Jg(e)coskede
710
?2萬(wàn)
bk=±jg?)(-ikeiko\
e-edO
乙〃o\J
=一jg(e)sink6d3
71o
6—2付里葉級(jí)數(shù)(實(shí)數(shù)形式)
00個(gè)
g?)=%+Zwcosk0+Z為sin左。
k=ik={
[2%
。。二01g⑻de
乙兒0
[2%
%=jg(。)cos"de
兀0
[2%
bk=jg(。)sinkOd6
兀o
e=—%
令/
Q<0<2TTQ<x<21
-7C<0<+n-/<X<+/
F(x)=g?)=/(z)
00萬(wàn)00
F(x)=g+工4cosk-x+工人smk-x
k=\Ik=\
3dx
1
cosk-xdx
b=1
ksink-xdx
A.7
付里葉級(jí)數(shù)收斂充分條件
------Dirichlet定理
—/VX?+1
尸G)連續(xù)有限個(gè)極值點(diǎn)Xk
不連續(xù)有限個(gè)間斷點(diǎn)Xk
尸(乙)=「(乙-。)+/(…0)
2
-ooYxY+oc
F(x+2/)=F(x)
則F(x)可展為
00兀00
cos左一x+Ebk
樂)=%+ak1sink-x
Ek=TIk=i
付里葉級(jí)數(shù)收斂充分條件(嚴(yán)格)
-I<X<+1
尸(X)連續(xù)絕對(duì)可積
-00YXY+00
斤(x+2/)=F(x)
例題
~71<X<+71
碎…
X
例題
產(chǎn)(x)=,g[g_x
例題
-I<X<+1
8—斗
8—0
0J
Q
8+T5j
A2Zn
-I-y-ro-7
叫二wo
X
7
Af9UTS=X—UTS=-UTS=(X)^
,I,
常用付里葉級(jí)數(shù)
正弦波(奇)
00-
&)=E4sin左一x
k=iI
余弦波(偶)
00兀
F(x)=cosk一x
k=TI
鋸齒波
F\x)-x
F(x)=紋fcarsin/
兀k-\kI
矩形波(奇)
F(x)=—V---sin(2??-l)—x
7rM2n-lI
三角波(奇)
2a
-(x+I)
I
2a
+---------X
尸G)=,/
2a
+---------X
/
2a
[I-(x-1)
mv*(-D"+1
F(x)=%斫F皿2〃-叩
三角波(偶)
2a
F(x)=\,—X
2a
+——
II—X
/\Cl16t7
“—2)2c044"2)J
網(wǎng)X)-2(A
27i〃=i(4
半波整流
f0
V
[%sincot
00]
V;——cosIncot
71271£1-(2油
全波整流
P[-sincot
1+VQsincot
"2%%$1「
V=——-H----->———cosIncot
兀萬(wàn)W1—(2為)
付里葉級(jí)數(shù)的頻譜
0000
F(t)=%+£akcos左"+Z4sin左。
k=lk=L
2nn
Y-f3=-----二一
*一°TI
W、4?k①、k
通常為,4一。
白噪聲Qk、bk?常數(shù)
付里葉級(jí)數(shù)的積分
如尸(X)分段連續(xù)—14x4+1
00萬(wàn)00兀
小)=Eakcosk—x+Zdsin左一x
k=\Ik=\I
00兀乃、
cos左x+b,sin"x
zk
k=l\II)
則
X
jF(x)dx
—/
+/
1jxF(x)dx
2/-i
00JlJI
asin左一x+4cos左——X
k)
k=lkAl/
或者
0000
71
F(x)=g+2%cos/7c—x+£bksmk-x
k-\k=l
00兀\
7兀7
=4+ZCOSK—X+asinA:—x
k=\\I)
F(x)dx
007
=%(x+/)+g(-1)小
00
+zas\nk—x+bcosk—x
kk)
k=lk兀
付里葉級(jí)數(shù)的微分
如F(x)連續(xù)-14x4+1
尸'(、)絕對(duì)連續(xù)
00冗.JI
/國(guó)=。0+工/cosk—x+Edsin^—x
k=\1k=l1
=/+z
akcos左一x+bk
則
八(x)
-I
+£佇仇+(-琰先生與os/_但小in/x
如F(/)-F(-/)=0
k兀(1,71.71
產(chǎn)r
(x)=Zbkcos左一x-aksin左一x
k=\II)
有限區(qū)間上的付里葉級(jí)數(shù)——解析延拓
尸(X)0<X<+/
平移延拓
產(chǎn)(%+/)=尸(%)T一00YXY+00
奇延拓
F(-x)=-F(x)T=21-QOYxY4-00
偶延拓
F(-x)=F(x)T-21-ooYxY+oo
第七章付里葉積分
7—1b函數(shù)
廣義函數(shù)
定義
+oo
5(x)={x=0
0xw0
+oo
j”x)
dx=1
—00
性質(zhì)
+00x—
(x-x0)={
0XWX。
+co
j(x-x)
0dx=1
—00
5&X)=(x-x0)
+oo
/Go)
J3(^x-xQ)/(x)dx=
-00
表示
1sinkx
5(X)=lim
k—>+oo71X
+8
1
3G)=f/xdco
2乃_1
物理意義
力學(xué)質(zhì)點(diǎn)
2=/“x)
M=J4-oo2d/=+JoomB(x)dx=m
—00—00
電學(xué)點(diǎn)電荷
2=q"x)
Q=4-Joo2dl=+ooJ05G)dx=q
—00—00
光學(xué)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)
/,(『)=/?(x)0/(x)
/,(/)=+0J0h{x'-x)/(x)dx
—00
〃(x)=5(x)
/,(x,)=+oJo“x-x,)/(x)dx=I(/)
—00
7—2付里葉積分
00ikO
g(e)=E。卜
A=-00
-ikO
de
JF(X)=%+£akcos左一x+£4smk-x
k=\Ik=\I
"')=Ib(。)ecicoxdco
(2萬(wàn))/2.00
[+oo
/(x)-icoxdx
付里葉變換
f[/(')]=F(①)
F7恒(口)]=/(x)
常用函數(shù)的付里葉變換
1S函數(shù)
1
5(X)=elC0xdco
(2萬(wàn)聲
dco
—00
dco
(2%)/2_00
_]
(2萬(wàn))%
即
2Gauss函數(shù)
-
-ar2_1
FLJ(2a戶
3常數(shù)函數(shù)
1
/G)=-00<X<00
F1=(2萬(wàn))%5(啰)
4框形函數(shù)
/(x)=l-b<x<b
12'%sinb①
F1=--------
?|_J\兀)co
付里葉變換主要性質(zhì)
線性性質(zhì)
位移性質(zhì)
相似性質(zhì)
微分性質(zhì)
積分性質(zhì)
卷積定理(convolutiontheorem)
定義
+oo
/(x)0g(x)=J/(x-x)g(x)dX
—00
結(jié)論
4-oo
產(chǎn)(O)(8)G(G)=jF{co-Q)G(Q)dQ
—00
F[/(x)s)g(x)]=(2萬(wàn)戶尸(O)G(L)
F(2〃)%/(x)g(x)=F(co)區(qū)G(G)
乘積定理
能量性質(zhì)
相關(guān)函數(shù)
+00
為2(C)=J工”)力(,+「)出
互相關(guān)函數(shù)
+00
R(z)=J/(0/"+「)dt
自相關(guān)函數(shù)
—00
+oo
7?G)=j|F(^J2eicorda)
—00
第八章拉普拉斯變換
1cr+zoo
/(,)=?s)ds
2Tli
4-oo
產(chǎn)(s)=JfQ)e-stdt
o
g(%)=fg,
F國(guó)(九。)]=G(0,b)
S=O'+i(D
F[g(/)]=G(s)
尸[G(s)]=g(/)
拉普拉斯(Laplace)變換
t[/C)]=尸(s)
「U(s)]=/O)
/C)—g。)—G(S)—F(s)
第二篇數(shù)學(xué)物理方程(26學(xué)時(shí))
第九章數(shù)理方程的預(yù)備知識(shí)
9-1常微分方程
常微分方程
y=Mx)
y=Q(X)
yff=MH
a[x}y"+b(x)yr+c(x)y+d(x)=0
ax(x)y'+(x)y+cx(x)z+dx(x)=0
a?(x)z'+b2(x)y+c2(x)z+d2(x)=0
(y")2=a[x}
定解條件
y=q(x)
-二4(X)
dx
dy=a(x)dx
y=Ja[x}dx
a(x)=x
y=—x2+C
2
V=X
?/V./VfA
_12
rC=K~~xo
?Y/V—?Y/V/AVo
x
如X表示坐標(biāo),稱邊界條件,通常o取區(qū)間邊界。
x
如X表示時(shí)間,稱初始條件,通常o取時(shí)間零點(diǎn)。
偏微分方程
〃=夕(x,y,Z
(do2i//od2y/od2y/、
、dx2dy2dz2)
\J/
9-2二階常微分方程的級(jí)數(shù)解法
y'+P[x}y+Q(x)y=Q
00J
y(x)=£CkX
k=0
>=Co%(x)+cg(x)
微分方程的解析解、級(jí)數(shù)解、數(shù)值解
例題勒讓德(Legendre)方程
(1-x2^y"-2xyr+/(/+l)y=0
〃2xr
yy+
-^”1-X尸。
00
y(x)=ZCkx
k=0
OO7I3k
y(x)=tkCkX=£(左+1)%1x
k-Qk=0
oo1Qa)i
y(x)=Z(田依Thx迂(左+2)優(yōu)+1)%2X
k=0k=Q
00
£Ckx=0
k=0
C.=0
ft
9-3本征值問題
Sturm-Liouville方程
且H、)包—g(x)y+初(x)y=。
dx|_dx
算符
L=--k[x}—+^(x)
dx[_dx]
本征方程
Ly=2p(x)y
本征值4
本征函數(shù)?。?/p>
Sturm-Liouville方程的常見形式
簡(jiǎn)諧方程
d[dy卜?=00Y尤Y1
dx\_dx_
貝賽爾方程
ddy冽2
-Xy+3=o0Y無(wú)Ya
dx|_dx_
球貝賽爾方程
ddy
—x2——1(/+l)y+人=0Oy尤Ya
dx\_dx_
勒讓德方程
/J
+TV"1
連帶勒讓德方程
4(i-^2浦-百乎+辦"
dx|_
—1YXY1
邊界條件
齊次邊界條件
力1>(。)+42歹'(。)=。
f
B2y(b)=0
周期邊界條件
V(。)|=26)
,(。)|=
自然邊界條件
加(。)YM
B3)YM
本征值問題=本征方程+邊界條件
Sturm-Liouville本征值問題的主要結(jié)果
條件
左(X)
夕(x)
結(jié)果
1.本征值存在實(shí)數(shù)
2>0
lim4=+oo
左一>8
3.如齊次邊界條件
乙、本征函數(shù)
本征值對(duì)應(yīng)
》左(1)有k個(gè)零點(diǎn)
QYXYb
4.如周期邊界條件
一個(gè)本征值可與多個(gè)本征函數(shù)對(duì)應(yīng)一一即簡(jiǎn)并
%(%)a<x<b構(gòu)成正交完備函數(shù)系,即
00
,(x)=2%以(X)
k=Q
2^0
444°B{B2>0
2=0Vo(x)=l
6.2連續(xù)
第十章偏微分方程常見形式
偏微分方程數(shù)學(xué)物理方程
10-1物理形式
拉普拉斯方程(Laplace)
U=〃(X,>,Z)
,會(huì)2Q2久2、
OUOUOU八
-r+-r+—r=0
22
<dxdydz?
波動(dòng)方程
U=W(X,J,Z,/)
d2U2(合2〃合2〃,
22
dtQyQzJ
傳導(dǎo)方程
u=〃(x,y,z,『)
222
du2(Sududu'
22
dt(S/QyQzJ
薛定謂方程(Schrodinger)
▼=i/z(x,y,z,t)
dy/_h1(d2y/Oo2〃、
ih+叫H----------+U(x,y,z
2辦22
dt2mIdxdz?
麥克斯韋電磁波方程(Maxwell)
。2£182E_
dt2£udx2
d2H1d2H_
dt2£udx2
10-2數(shù)學(xué)形式
10-3基本例題
1.uu(x,y)
du
=/(%)
dy
2.u=u(x,y)
:0
dxdy
u-〃(x,y,z)
々2、
(ao?uoa2uou八
—r+r+-r=。
22
I、dxJdydzz)
Au-0
4.U=〃(X)
d2u
=0
5.u=〃(x)
d2u
=0
u-〃(r,e,o)
Az/=0
7.u=u(y)
u-
(o2G2為2、
du2cucucu
------Cl------7H---------大H---------z--0
22
dt(\dxdJydz/)
9.行波法
U-U(X,/)
-00YXY+00
du2S2u八
------a--=0
dtdx2
io.行波法
〃二〃(x")0<x<Z
du?
-----a2--=0
dtdx2
n.分離變量法
兩端固定的弦
U-U(X")0<x</
du八
------a2--=0
dtdx2
設(shè)"X(x)丁(0
X〃(x)_T”(t)
X(x)-a2Tm
〃x)=g(,)
設(shè)/(x)=g(,)=c(x,。
Ac(x,z)=A/(x)=Ag(z)=o
故c(x1)=c為與x/無(wú)關(guān)的常數(shù)
設(shè)c=-A
X"(x)+2X(x)=0
廣⑺+八丁⑺二。
當(dāng)2>0
(、2
\Y171\
2=
且H=1,2,…
7
方程有非零解
Xw(x)=c2sin72—x
U
n=X〃(%)Tn(/)
un=Tn(/)sinnyx
0000兀
〃=Z%=Z,⑺sin〃L
n=\n-\"
co
7n71
=%+zcost—X+sinfcx
k-\\1J
第十一章偏微分方程的應(yīng)用
例題1薛定謂方程一氫原子中的電子
例題2波動(dòng)方程一導(dǎo)體空腔中的電磁波
偏微方程
分離變量
本征方程
級(jí)數(shù)解法
定解條件
特殊函數(shù)
1微觀粒子
1926薛定娉波動(dòng)力學(xué)
1926年,奧地利理論物理學(xué)家薛定愕(Erwin
Schrodinger,1887~1961)提出了描述物質(zhì)波連續(xù)時(shí)空演化的偏微分方程一
一薛定愕方程,給出了量子論的另?個(gè)數(shù)學(xué)描述——波動(dòng)力學(xué)。后來(lái),物理
學(xué)家把二者將矩陣力學(xué)與波動(dòng)力學(xué)統(tǒng)一起來(lái),統(tǒng)稱量子力學(xué)。
狀態(tài)函數(shù)
〃=〃(x,y,Z")
薛定謂方程
-+分7+力+如了*'
2〃—
dt2mIdx2dydz)
哈密頓算符
222
6(5aa)TT
H—十
2Mlsx-35y25z2J
~h-2
=--------V2+u
2m
-2=J72a2
12
dx2d)尸5z
含時(shí)薛定謂方程
小〃
irt----Hijj
dt
2氫原子中的電子
U=UQ)=_--
r
〃=wQ,9,(p,t)
物理算符
^=—(?-)+^[——(sin^41今一八
-?9]+C/(r)
2/TF2drdr2m^s^iddOdUsir?。明
=£+—^y+U⑺
2m2mr
人2十2ie2e
Pr-h2as△)
roror
2
2)
I^=-h[——-—(sin0—)+^—--丁
sing9。d0sin26d(
c=-力£
d(p
人d
L=-m——
7d(p
分離變量
〃=〃(/,e,o,。
〃=〃尸(j。,。)f(0
w=R⑺y(“。)f(t)
〃=R(r)0(/9)①(9)f(t)
〃尸=E(〃)y(e,。)
y(e#)=?(e)①(。)
本征方程
葉di//6
in——二Hw
dt
〃=〃尸(J。,。)f(0
ih」一血】=~^—Hy/-=E
fdt〃產(chǎn)
ih^-=Ef
dt
Hy/r=Ey/-
ih力=Ef
dt
.E,
f(t)=Ce~,T
Hyzr二E〃/本征方程一定態(tài)薛定謂方程
%=%(匕"。)=凡("九電M
后〃尸=£〃尸
〃尸=火(尸)丫(仇。)
人2T2
3+v^+U。)R(F)Y(a@)=ER(r)y(e,9)
2m2mr
人2刈4麗(仇叫
++t/(r)7?(r)=ER(〃)
2mr2y(a0
R(r)2丫(仇叫
R(a+U(y)R(4-ER(4
2m2mr2y(O,9)
廣丫(仇°)
2+2mr2(E-U(r))
R(4丫(仇。)
/憂R。
+2m1E—Ug)二蟹洋出
R(r)
22=/(/+1)力2
-r2p^R(r)+2mr2(£-U(r))R(r)=l}R(r)
現(xiàn)(a9)=萬(wàn)丫(a⑴
Rr
A(〃)=m()
£2y(e,9)=/(/+i)力2y(49)
y(e,9)=0(e)①(。)
dda2
一方[sin6(sin0)。(e)①(°)+。⑻①(朔
deeed(p2
=Z?sin2先)(夕)①(°)
+2sin。d/.八的、/2?2八廣1d?中
h----------(sin。——)+£sm0--h---------=
刨6)d6dO①dd
dd&
力2sin0(sin。)+Z?sin2^刨9)=[6)(。)
d6de
?(e)=?加3)
①(6=^i=即9
方程通解
〃=憶如ga。)力⑺
w=&⑺〃(a。)力⑺
▼&G)。加(⑶①式9)工⑺
本征函數(shù)
_jEn(
f(t)=Ce"
A(〃)=Rnl(r)
y(a9)='(80)=。加3)①加(9)
①((p)=~^=eim(p
八"而
〃尸=〃〃加G,e,o)=r〃/G)4(8,。)
本征值
人
1.能量算符H
LE.
E=--”=1,2,…能量量子數(shù)
n
能量E確定
2.角動(dòng)量平方算符G
L=J/(/+1-/=0,1,…,〃一1角量子數(shù)
角動(dòng)量大?。鄞_定
人
3.角動(dòng)量分量算符Lz
Lz=m什m,=0,±l,---,±Z磁量子數(shù)
角動(dòng)量分量Lz確定
此夕卜
1①(9)=Lz①(9)
比①(°)二比①(0)
fz①(9)=Lz①(9)
工丫(a。)=£/(a。)
乙乙(乙&。)=4%(心&。)
Lw(r,a(p,t)=Lw(ra(p,t)
個(gè)丫(4°)=Z?y(仇°)
£2%(人49)=1}y/_(幾仇°)
Hy/-=Ey/-
人
Hy/-Ei//
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