拋物線及其標準方程

關于拋物線及其標準方程第1頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月問題探究：當e=1時，即|MF|=|MH|

，點M的軌跡是什么？探究？

可以發(fā)現,點M隨著H運動的過程中,始終有|MF|=|MH|,即點M與點F和定直線l的距離相等.點M生成的軌跡是曲線C的形狀.(如圖)

我們把這樣的一條曲線叫做拋物線.M·Fl·e=1幾何畫板觀察第2頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第3頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4.1拋物線及其標準方程第4頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月M·Fl·e=1

在平面內,與一個定點F和一條定直線l(不在直線上）的距離相等的點的軌跡叫拋物線.點F叫拋物線的焦點,直線l叫拋物線的準線|MF|=dd為M到l的距離準線焦點d一、拋物線的定義:第5頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月M·Fl·e=1二、標準方程的推導

思考：拋物線是軸對稱圖形嗎？怎樣建立坐標系,才能使焦點坐標和準線方程更簡捷?第6頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月1.建系2.設點3.列式4.化簡l解：以過F且垂直于l的直線為x軸,垂足為K.以F,K的中點O為坐標原點建立直角坐標系xoy.兩邊平方,整理得xKyoM(x,y)F依題意得5.檢驗這就是所求的軌跡方程.y如圖，若以準線所在直線為y軸，則焦點F(P,0),準線L:x=0

由拋物線的定義，可導出拋物線方程為y2=2p(x-)(p＞0）p2第7頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月三、標準方程

把方程

y2=2px(p＞0)叫做拋物線的標準方程.其中

p為正常數,表示焦點在

x軸正半軸上.且

p的幾何意義是:右焦點是：左準線方程為:

一條拋物線，由于它在坐標平面內的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標準方程有四種形式.lxKyoM(x,y)F焦點到準線的距離第8頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒

圖形

焦點

準線

標準方程第一:一次項的變量為x(或y),則x軸(或y軸)為拋物線的對稱軸,焦點就在對稱軸上.第二:一次項的系數的正負決定了開口方向.

不容易錯的最好方法是看看x(或y)的取值范圍即：焦點與一次項變量相同；正負決定開口方向！

第9頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月例11）拋物線的標準方程是y2=6x，求焦點和準線方程；2）拋物線的方程是y=－6x2,求焦點坐標和準線方程；3）拋物線的焦點坐標是F（0，-2）,求它的標準方程。解:因焦點在y軸的負半軸上,且p=4,故其標準方程為:x=-8y232解：因為ｐ＝３，故焦點坐標為（－,０）32準線方程為x=-－.解:方程可化為:故焦點坐標為,準線方程為第10頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月焦點坐標準線方程（1）（2）（3）（4）（5，0）x=-5（0，—）18y=-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=2練習1求下列拋物線的焦點和準線方程（1）y2=20x（2）y=2x2（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0注意：求拋物線的焦點一定要先把拋物線化為標準形式第11頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月練習2拋物線的頂點是坐標原點，根據下列條件，分別寫出拋物線的標準方程：（1）焦點是F（3，0）；（2）準線方程是x=；（3）焦點到準線的距離是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y反思：已知拋物線的標準方程求其焦點和準線方程先定位，后定量第12頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月．AOyx解:(1)當焦點在y軸正半軸上時，把A(-3,2)代入x2=2py，得p=

(2)當焦點在x軸負半軸上時,把A(-3,2)代入y2=-2px，得p=∴拋物線標準方程為x2=y或y2=x

。練習3拋物線經過點P(4,－2)，求拋物線的標準方程。

提示：注意到P為第四象限的點，所以可以設拋物線的標準方程為y2=2px或x2=-2py例2.求頂點是坐標原點,且過A(-3,2)的拋物線的標準方程.第13頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月4a1∴焦點坐標是（，0），準線方程是：x=4a1例3已知拋物線方程為x=ay2（a≠0)，討論拋物線的開口方向、焦點坐標和準線方程？解：拋物線的方程化為：y2=x1a即2p=1

a②當a<0時,,拋物線的開口向左p2=14a∴焦點坐標是（，0），準線方程是：x=4a114a①當a>0時,,拋物線的開口向右p2=14a第14頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

思考:M是拋物線y2=2px（p＞0）上一點，若點M

的橫坐標為x0，則x0+—2pOyxFM這就是拋物線的焦半徑公式!yxoFMyxoFMyxoFMx0–(–—)2p第15頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月例4拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的橫坐標為3的點M到焦點的距離等于6，求拋物線的標準方程.y2=2px(p>0)由拋物線的定義知3-(-)=6,即p=6.數形結合,用定義轉化條件,解:因為是焦點在x

軸上且過M點的拋物線,所以設標準方程為所求拋物線標準方程為y2=12x變式：拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的點M(3,m)到焦點的距離等于6，求拋物線的標準方程.OyxFMx0–(–—)2p第16頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月過拋物線的焦點F作x軸的垂線交拋物線與Ａ、Ｂ兩點，且。34頁作業(yè)9第17頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月變式2平面上到定點和到定直線距離相等的點的軌跡為()(A)直線(B)拋物線(C)雙曲線(D)橢圓變式3點M與點F(2，0)的距離比它到直線l:x+4=0的距離小2,求點M的軌跡方程?例5平面上到定點和到定直線距離相等的點的軌跡為()(A)直線(B)拋物線(C)雙曲線(D)橢圓變式1平面上到定點和到定直線距離相等的點的軌跡為()(A)直線(B)拋物線(C)雙曲線(D)橢圓OyxFM35頁作業(yè)11第18頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第2課時第19頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月準線方程焦點坐標標準方程焦點位置

圖

形不同位置的拋物線

x軸的正方向

x軸的負方向

y軸的正方向

y軸的負方向y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(----yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒第20頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月OyxFMyxoFMyxoFMyxoFMx0–(–—)2p拋物線的焦半徑公式第21頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月例1拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的橫坐標為-3的點M到焦點的距離等于5，求拋物線的標準方程.y2=-8x變式１：拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的點M(-3,m)到焦點的距離等于5，求拋物線的標準方程，并求m的值.OyxFM—–x0

2p變式２：在拋物線y2=-8x上，到焦點的距離等于5的點的坐標.35頁作業(yè)10第22頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第23頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月36頁作業(yè)8(改)35頁作業(yè)5（改）第24頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月37頁作業(yè)7（改）練習第25頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月后備練習.已知拋物線x2=4y的焦點F和點A(-1，8)，P為拋物線上一點，則|PA|+|PF|的最小值是()(A)16(B)6(C)12(D)9D第26頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第3課時第27頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月直線與拋物線位置關系種類xyO1、相離:2、相切:3、相交:（一個交點，兩個交點）（一個交點）（沒有交點）第28頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月(0,1)第29頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月判斷直線是否與拋物線的對稱軸平行不平行直線與拋物線相交(一個交點)平行

計算判別式>0=0<0相交相切相離(0,1)第30頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月K=1/2K=0K=-1若直線l與拋物線有公共點,l在y軸上截距的最小值?第31頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月變式1:已知實數x,y滿足方程y2=4x,求函數的最值變式3:點(x,y)在拋物線y2=4x上運動,求函數z=x-y的最值.本題轉化為過定點(-2,1)的直線與拋物線有公共點時斜率的最值問題.本題轉化為直線y=x-z與拋物線有公共點時z的最值問題.無最大值變式2:點(x,y)在橢圓x2/4+y2=1上運動,求點(0,-2)與橢圓上任一點連線的斜率k的范圍.第32頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第34頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第4課時第35頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月例１斜率為1的直線經過拋物線的焦點,與拋物線相交于A,B,求線段AB的長。

yxo∴|AB|==8方法(1)

解：如圖:由拋物線的標準方程可知,拋物線的焦點坐標為F(1,0),所以直線AB的方程為即A,B的坐標分別為:

(,)(,)

解得,

得①②由代入方程①問題(1)試問還有其他方法或更簡捷一點的解法么?方法(2)

(弦長公式)|AB|=第36頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月yxo方法(3)由拋物線定義|AB|=|AF|+|BF|問題(1)試問還有其他方法或更簡捷一點的解法么?

=|AA′|+|BB′|==8

A′B′方法(４)焦半徑公式例１斜率為1的直線經過拋物線的焦點,與拋物線相交于A,B,求線段AB的長。

第37頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月|PF|=x0+p/2FP拋物線的焦半徑公式：FPFPFP|PF|=-x0+p/2|PF|=y0+p/2|PF|=-y0+p/2第38頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月xyOFABB’A’方法(４)焦半徑公式例１斜率為1的直線經過拋物線的焦點,與拋物線相交于A,B,求線段AB的長。

第39頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月§

拋物線的焦點弦

問題（2）從方法（4）中你能得到什么結論？

過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的直線交拋物線于A,B兩點則|AB|=問題（3）能否把例（2）推廣到一般性的命題呢？

斜率為k的直線經過拋物線(p>0)的焦點，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長。（用k,p表示）解：設直線AB的方程為

x1+x2+p∴|AB|=即:()y2=2px消y得:由第40頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月斜率為k的直線經過拋物線(p>0)的焦點，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長。（用k,p表示）解：設直線AB的方程為()

y2=2px

消y得:

即:

|AB|=

由此可得,即通徑.問題(4):把上題中的斜率k換成直線的傾斜角呢?(0<<)通徑是拋物線的焦點弦中最短的弦.xOyFP(分類討論合并，即分斜率存在或不存在)第41頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月練習.過拋物線y2=4x的焦點，作直線L交拋

物線于A、B兩點，若線段AB中點的橫

坐標為3，則|AB|=______.8焦點弦的長度公式第42頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月焦半徑公式例１斜率為1的直線經過拋物線的焦點,與拋物線相交于A,B,求線段AB的長。

第43頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月斜率為k的直線經過拋物線(p>0)的焦點，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長。（用k,p表示）解：設直線AB的方程為()

y2=2px

消y得:

即:

命題:如果過拋物線(p>0)的焦點的一條直線和此拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1x2=p2/4,y1y2=-p2第44頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第5課時第45頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月xy問題(6):過拋物線(p>0)焦點的一條直線與它相交于A,B兩點,經過A和拋物線頂點的直線交準線于點C

(2001高考題－作業(yè)本３９頁第８題)設拋物線(p>0)的焦點F,經過F的直線交拋物線A,B兩點,點C在拋物線的準線上,且BC∥x軸,證明:AC經過原點O.那么BC與拋物線的對稱軸有什么關系呢?(證KOC=KOA)∴BC平行于對稱軸.(的結論略證)

當時

(x2,y2)(x1,y1)則直線OA的方程證明:設A(),B(),C()第46頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月問題(6):有什么幾何意義呢?

(x1,y1)(x2,y2)xyF′B′A′結論:Q(2)以Q為圓心,以A′B′為直徑的圓切AB于F點.

△AQA′與△AQF全等第47頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月問題(6):有什么幾何意義呢?(x1,y1)(x2,y2)xyF′B′A′結論:Q(2)以Q為圓心,以為直

徑的圓切AB于F點.P(3)以P