空間向量數(shù)量積運算

導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)

如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s,那么力F所作的功

,為了在數(shù)學(xué)中體現(xiàn)“功”的這樣一個標(biāo)量,我們引入了“數(shù)量積”的概念.目前一頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點1.平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個非零向量,則叫做的數(shù)量積，記作,即OAB向量的夾角：B目前二頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點AOBababab4．平面向量的夾角：復(fù)習(xí)：目前三頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點2.平面向量的數(shù)量積的主要性質(zhì)設(shè)a，b是兩個非零向量（1）a⊥ba×b=0數(shù)量積為零是判定兩非零向量垂直的充要條件;

（2）當(dāng)a與b同向時,a·b=|a|·|b|;當(dāng)a與b反向時,a·b=-|a|·|b|;特別地，

用于計算向量的模;

（3）用于計算向量的夾角.目前四頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點3.平面向量數(shù)量積滿足的運算律（1）交換律:（2）對數(shù)乘的結(jié)合律:（3）分配律:數(shù)量積不滿足結(jié)合律,即:目前五頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點空間向量的數(shù)量積運算目前六頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點知識要點1.兩個向量的夾角的定義如圖，已知兩個非零向量a，b.在空間任取一點O，可以作OA=a，OB=b，則角∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作:〈a，b〉OAB目前七頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點1）空間兩個向量的夾角的定義思考：1、〈a，b〉與〈b，a〉相等嗎？2、〈a，b〉與〈a，－b〉相等嗎？注意：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a，b〉空間向量的數(shù)量積運算目前八頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點2）兩個向量的數(shù)量積注：

①兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量.②零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。目前九頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點3)空間向量的數(shù)量積性質(zhì):

對于非零向量

，有：（求角的依據(jù)）（證明垂直的依據(jù)）（求向量的長度的依據(jù))目前十頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點4)空間向量的數(shù)量積滿足的運算律下列命題成立嗎?①若,則②若,則③思考:目前十一頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點1.向量a、b之間的夾角為30°，且|a|＝3，|b

|＝4，則a·b

＝__________，a2＝__________，

(a＋2b)·(a－b)＝__________.目前十二頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點目前十三頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點

范圍:0≤〈a，b〉≤π在這個規(guī)定下，兩個向量的夾角就被唯一確定了，并且〈a，b〉=〈b，a〉.

如果〈a，b〉=π/2，則稱a與b互相垂直，并記作a⊥b.目前十四頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點題型一利用數(shù)量積求夾角如圖，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA與BC所成角的余弦值．【例1】目前十五頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點

2.空間向量數(shù)量積的定義設(shè)OA=a，則有向線段OA的長度叫做向量a的長度或模，記作:|a|

已知空間兩個非零向量，則叫做的數(shù)量積，記作,即目前十六頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點

（1）兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量.

（2）規(guī)定:零向量與任意向量的數(shù)量積等于零.

（3）目前十七頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點

若m、n是平面α內(nèi)的兩條相交直線，且l⊥m，l⊥n.

則l⊥α.glmn4.線面垂直的判定定理（必修2）：目前十八頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點高考鏈接1.（2006年四川卷）如圖，已知正六邊形P1P2P3P4P5P6

，下列向量的數(shù)量積中最大的是______.A.B.C.D.A目前十九頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點解析：如圖，已知正六邊形P1P2P3P4P5P6，設(shè)邊長則∠P2P1P3=π/6,∴數(shù)量積中最大的是目前二十頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點

（1）已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，|a-b|=3，則|a+b|=_________.課堂練習(xí)

1.填空

1

方法一:發(fā)現(xiàn)|a+b|2+|a–b|2=2(|a|2+|b|2)帶入求得.有其他方法嗎？目前二十一頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點方法二:由|a–b|2=|a|2-2a·b+|b|2

帶入求得a·b=-2.∴|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2

得|a+b|=1方法三:數(shù)形結(jié)合法，發(fā)現(xiàn)形的特殊性.目前二十二頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點

（2）已知則a，b所成的夾角為_______.分析:根據(jù)兩向量夾角公式可得到所求結(jié)果.目前二十三頁\總數(shù)二十四頁\編于十七點2.選擇設(shè)a，b，c是任意的非零空間向量，且相互不共線，則：①(a·b)c-(c·a)b=0②|a|-|b|<|a-b|③(b