北師大版數(shù)學九年級下冊練習題+數(shù)學九年級下冊教案(全)

北師大版數(shù)學

九年級下冊練習題+數(shù)學九年級下冊教案（全）

2.3確定二次函數(shù)的表達式（1）

一、選擇題：

1.已知拋物線過A（—1,0,）,B（3,0）兩點，與y軸交于C點，且BC=3后，

則這條拋物線的解析式為（）

A.y=—X2+2X+3B.y=x'—2x—3

C.y=x~'+2x—3或y=-x?+2x+3D.y=-x2+2x+3Wcy=x2—2x—3

2.如果點（一2,—3）和（5,—3）都是拋物線y=ax?+bx+c上的點，那么拋物

線的對稱軸是（）

33

A.x=3B.x=-3C.x=—D.x=——

22

3.二次函數(shù)y=ax?+bx+c,b2=ac,且x=0時y=-4則（）

A.y最大=-4B.y最小=-4C.y*大=-3D.y垠小=3

4.（2014?舟山，第10題3分）當-2WxWl時，二次函數(shù)片-（%-/?）2+/?2+1

有最大值4,則實數(shù)力的值為（）

-

A-2BA/3^V3C2或D2或

4

5.平時我們在跳繩時，繩搖到最高點處的形狀可近似地看做拋物線，如.圖2-78

所示.正在搖繩的甲、乙兩名同學拿繩的手間距為4m,距地高均為1口，學生

丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m,2.5m處.繩子在搖到最高處時剛

好通過他們的頭頂.已知學生丙的身高是L5m,則學生丁的身高為（）

A.1.5mB.1.625mC.1.66mD.1.67m

圖2-78ffl2-79

二、填空題:

6.將拋物線y=x?向左平移4個單位后，再向下平移2個單位，?則此時拋物線

的解析式是.

7.(錦州市)已知二次函數(shù)的圖象開口向上，且頂點在y軸的負半軸上，請你寫

出一個滿足條件的二次函數(shù)的表達式.

8.(長春市)函數(shù)y=x?+bx-c的圖象經(jīng)過點(1,2),則b-c的值為.

9.如圖2-79所示，已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c(aWO)的圖象的頂點p的橫坐標

是4,圖象與x軸交于點A(m-0)和點B,且點A在點B的左側，那么線段AB的

長是—.(用含字母m的代數(shù)式表示)

5.已知拋物線y=ax?+bx+c的對稱軸為x=2,且經(jīng)過點(1,4)和點(5,0),

則該拋物線的解析式為—.

三、解答題：

10.用配方法把二次函數(shù)y=l+2x—Y化為y=a(x—h)2+k的形式，作出它的草

圖，回答下列問題.

(1)求拋物線的頂點坐標和它與x軸的交點坐標；

(2)當x取何值時，y隨x的增大而增大？

⑶當x取何值時，y的值.大于0?

11.已知拋物線y=ax'bx+c經(jīng)過A,B,C三點，當x?0時，?其圖象如圖所示.

(1)求拋物線的解析式，寫出拋物線的頂點坐標；

(2)畫出拋物線y=ax?+bx+c當x<0時的圖象；

(3)利用拋物線y=ax?+bx+c,寫出x為何值時，y>0.

12.一拋物線與x軸的交點是A(—2,0),B(l,0),且經(jīng)過點C(2,8).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)求該拋物線的頂點坐標.

13.如圖2-81所示，矩形A'BC'0'是矩形OABC(邊OA在x軸正半軸上，

邊0C在y軸正半軸上)繞點B逆時針旋轉得到的.點0'在x軸的正半軸上，點

B的坐標為(1,3).

(1)如果二次函數(shù)y=ax?+bx+c(aWO)的圖象經(jīng)過0,0'兩點，且圖象頂點

M的縱坐標為一1,求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)在⑴中求出的二次函數(shù)圖象對一稱軸的右側，是否存在點P,使

得aPOM為直角三角形?若存在，求出點P的坐標和aPOM的面積；若不；

存在，請說明理由；\c

⑶求邊C'0'所在直線的解析式.

M

圖2-81

參考答案

1.D[提示：注意由條件不能確定拋物線的開口方向，所以此題不要

漏解.]

2C

3.C[提示：點(—2,—3)與(5,—3)關于直線x=2對稱.]

2

4.B[提示：建立如圖2—82所示的平面直角坐標系，由圖象可知三點坐標(一

11a

1,1),(0,1.5),(3,1),則拋物線的解析式為y=--x2+Ax+-,又當X

632

=1.5時，代入求出y=L625.故選B.]

5.B

6.分析：根據(jù)平移的規(guī)律，上加下減，可以得到答案是：y=(x+4)

(y=x2+8x+14)

7.答案不唯一，符合要求即可.如：y=x2-2

8.分析：把點(1.2)代入可以得到b-c的值為1,所以答案是：1

9.8—2m[提示：點A到拋物線對稱軸的距離為4—m,所以線段AB的長為

2(4—m)=8—2m.]

10.解：y=-(x-l)2+2,圖略.(1)頂點坐標為(L2),與x軸的兩個交點

坐標分別為(1一夜，0),(1+V2,0).(2)當x<l時，y隨x的增大而增大.

⑶當1—夜Vx<l+0時，y的值大于0.

11、(,1)y=--X2+-X+2,頂點坐標(巳，—)(2)略，(3)當-l〈x〈4時，

2228

y>0.

12.解：(1)設這個拋物線的解析式為y=ax?+bx+c.將A(—2,0),B(l,0),

4a-2/?+c=0,a-2,

CC2,8)三點代入，得<a+b+c=O,解這個方程組，得"=2,.?.所求拋物線的

4a+2〃+c=8,c=-4,

解析式為y=2x?+2x—4.(2)Vy=2x2+2x-4=2(x2+x~2)=2(x+-)2--,

22

1Q

...該拋物線的頂點坐標為(一上，

22

13.解:(1)如圖2—83所示，連接BO,BO',則BO=BO'.?.?BA_LOO',

4a+2/?+c旬

.?.AO=AO'.VB(1,3),二。'(2,0),M(l,一1),：.<a+h+c^-1,

c=O,

a=1,

解得卜=-2,.?.所求二次函數(shù)的解析式為y=x?-2x.

c=0,

(2)假設存在滿足題設條件的點P(x,y).連接OM,PM,OP,過P作PN_Lx

軸于N,則NP0M=90°.VM(1,-1),A(l,0),AM=OA,.\ZN0A=45°,/.

ZP0N=45°,/.ON=NP,BPx=y.VP(x,y)在二次函數(shù)y=x?—2x的圖象上，，x

=x-2x,解得x=0或x=3.〈Pa,y)在對稱軸的右側，，x>l,；.x=3,y=3,

即P(3,3)是所求的點.連接M(T,顯然△0M0'為等腰直角三角形，.?.點O'

(2,0)也是滿足條件的點，.?.滿足條件的點是P(2,0)或P(3,3),.?.OP=30,

0M=V2,AS^-OP?0M=3或S^P(W=-OM?O'M=l.

22

(3)設AB與C'O'的交點為D(l,y),顯然Rt^DAO'絲Rt/XDC'B.在Rt

△DAO'中，AO'2+AD2=(yD)即l+y2=(3—y)2,解得y=9,&).設

33

,,4\k=--,

邊LO,所在直線的解析式為y=kx+b,則解得3所求直

2攵+力=0,b=-,

13

線的解析式為尸

第一章直角三角形的邊角關系【全冊教案】

第1課時

§1.1.1銳角三角函數(shù)

教學目標

1、經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關系的過程

2、理解銳角三角函數(shù)（正切、正弦、余弦）的意義，并能夠舉例說明

3、能夠運用三角函數(shù)表示直角三角形中兩邊的比

4、能夠根據(jù)直角三角形中的邊角關系，進行簡單的計算

教學重點和難點

重點：理解正切函數(shù)的定義

難點：理解正切函數(shù)的定義

教學過程設計

＞從學生原有的認知結構提出問題

直角三角形是特殊的三角形，無論是邊，還是角，它都有其它三角形所沒有的性質。這

一章，我們繼續(xù)學習直角三角形的邊角關系。

＞師生共同研究形成概念

1、梯子的傾斜程度

在很多建筑物里，為了達到美觀等目的，往往都有部分設計成傾斜的。這就涉及到傾斜

角的問題。用傾斜角刻畫傾斜程度是非常自然的。但在很多實現(xiàn)問題中，人們無法測得傾斜

角，這時通常采用一個比值來刻畫傾斜程度，這個比值就是我們這節(jié)課所要學習的一一傾斜

角的正切。

1）（重點講解）如果梯子的長度不變，那么墻高與地面的比值越大，則梯子越陡；

2）如果墻的高度不變，那么底邊與梯子的長度的比值越小，則梯子越陡；

3）如果底邊的長度相同，那么墻的高與梯子的高的比值越大，則梯子越陡；

通過對以上問題的討論，引導學生總結刻畫梯子傾斜程度的幾種方法，以便為后面引入

正切、正弦、余弦的概念奠定基礎。

2、想一想（比值不變）

☆想一想書本P2想一想

通過對前面的問題的討論，學生已經(jīng)知道可以用傾斜角的對邊與鄰邊之比來刻畫梯子的

傾斜程度。當傾斜角確定時，其對邊與鄰邊的比值隨之確定。這一比值只與傾斜角的大小有

關，而與直角三角形的大小無關。

3、正切函數(shù)

（1）明確各邊的名稱

ZA的對邊

.乙4的對邊

（2）tanA-A

/A的鄰邊ANA的鄰邊,

（3）明確要求：1）必須是直角三角形;2）是/A的對Ah,

邊與NA的鄰邊的比值。

☆鞏固練習

a、如圖，在4ACB中，ZC=90°,

1）tanA=；tanB=；

CB

2）右AC=4,BC=3,則tanA=；tanB—；

3）若AC=8,AB=10,則tanA=；tanB=；

b、如圖，在4ACB中，tanA=。（不是直角三角形）

（4）tanA的值越大，梯子越陡

4、講解例題

例1圖中表示甲、乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡？

分析：通過計算正切值判斷梯子的傾斜程度。這是上述結論的直接應用。

分析：通過正切函數(shù)求直角三角形其它邊的長。

>隨堂練習

5、書本P4隨堂練習

>小結

正切函數(shù)的定義。

>作業(yè)

書本P4習題1.11、2、4。

第2課時

§1.1.2銳角三角函數(shù)

教學目標

5、經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關系的過程

6、理解銳角三角函數(shù)（正切、正弦、余弦）的意義，并能夠舉例說明

7、能夠運用三角函數(shù)表示直角三角形中兩邊的比

8、能夠根據(jù)直角三角形中的邊角關系，進行簡單的計算

教學重點和難點

重點：理解正弦、余弦函數(shù)的定義

難點：理解正弦、余弦函數(shù)的定義

教學過程設計

＞從學生原有的認知結構提出問題

上一節(jié)課，我們研究了正切函數(shù)，這節(jié)課，我們繼續(xù)研究其它的兩個函數(shù)。

令復習正切函數(shù)/B

＞師生共同研究形成概念斜邊

ZA的對邊

6、引入

書本P7頂

NA的鄰邊

7,正弦、余弦函數(shù)

空管邊,3—曾邊

斜邊斜邊

☆鞏固練習\

c、如圖，在aACB中，ZC=90°,\

1）sinA=；cosA=；sinB=；cosB=；Q--------------

2）若AC=4,BC=3,貝lJsinA=；cosA=；

3）若AC=8,AB=10,則sinA=；cosB=；/

d、如圖，在4ACB中，sinA=。（不是直角三角形）

8、三角函數(shù)

銳角/A的正切、正弦、余弦都是/A的三角函數(shù)。

9、梯子的傾斜程度

sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越大，梯子越陡/

10.講解例題A

例3如圖，在Rt/XABC中，ZB=90°,AC=200,sinA=0.6,求BC的長。

分析：本例是利用正弦的定義求對邊的長。

12

例4如圖，在RtZ\ABC中，/C=90°,AC=10,COsA=—，求AB的長及sinB。

分析：通過正切函數(shù)求直角三角形其它邊的長。

＞隨堂練習

11、書本P隨堂練習

＞小結

正弦、余弦函數(shù)的定義。

＞作業(yè)書本P6習題1、2、3、4、5

第3課時

§1.230°、45°、60°角的三角函數(shù)值

教學目標

9、經(jīng)歷探索30。、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，能夠進行有關推理，進一步體

會三角函數(shù)的意義

10、能夠進行含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計算

11、能夠根據(jù)30。、45°、60°角的三角函數(shù)值，說出相應的銳角的大小

教學重點和難點

重點：進行含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計算

難點：記住30°、45°、60°角的三角函數(shù)值

教學過程設計

＞從學生原有的認知結構提出問題

上兩節(jié)課，我們研究了正切、正弦、余弦函數(shù)，這節(jié)課，我們繼續(xù)研究特殊角的三角函

數(shù)值。

＞師生共同研究形成概念

12.引入

書本P8引入

本節(jié)利用三角函數(shù)的定義求30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并利用這些值進行一

些簡單計算。

13.30°.45°.60°角的三角函數(shù)值

通過與學生一起推導，讓學生真正理解特殊角的三角函數(shù)值。

度數(shù)sinaCOSatana

\_V3

30°V3

2T

也V2

45°~T1

V3j_

60°V3

2

要求學生在理解的基礎上記憶，切忌死記硬背。

14.講解例題

例5計算：(1)sin30°+cos45°；(2)1—V3COS30°；

(3)c°s3°二；(4)sin?60°+cos245°-tan45°。

sin600-cos45°

分析：本例是利用特殊角的三角函數(shù)值求解。

例6填空：(1)已知NA是銳角，且cosA=則NA=°,sinA=

2

(2)已知/B是銳角，且2cosA=l,則NB=0；0

(3)已知NA是銳角，且3tanA-百=0,則NA=°；/\

例7一個小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為2.5m,當秋千向兩邊擺動時，擺角恰好/\

為60°,且兩邊的擺動角相同，求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時/\

的高度之差。/\

分析：本例是利用特殊角的三角函數(shù)值求解的具體應用。

例8在RtZ\ABC中，/C=90。，2a=V3c,求NB、NA。A

c

分析：本例先求出比值后，利用特殊角的三角函數(shù)值，再確定角的大小。

>隨堂練習

15、書本P9隨堂練習

>小結

要求學生在理解的基礎上記憶特殊角的三角函數(shù)值，切忌死記硬背。

>作業(yè)

書本P9習題1.31、2、3、4、

AR「82。二甫函數(shù)的有關計算

教學目標：

1、經(jīng)歷用計算器由三角函數(shù)值求相應銳角的過程，進一步體會三角函數(shù)的意義.

2、能夠運用計算器輔助解決含三角函數(shù)值計算的實際問題.

教學重點

1.經(jīng)歷用計算器由三角函數(shù)值求相應銳角的過程，進一步體會三角函數(shù)的意義.

2.能夠利用計算器進行有關三角函數(shù)值的計算.

教學難點

把實際問題轉化為數(shù)學問題

教學過程：

一、導入新課

生活中有許多問題要運用數(shù)學知識解決。本節(jié)課我們共同探討運用三角函數(shù)解決與直

角三角形有關的簡單實際問題一§1.3、三角函數(shù)的有關計算

二、講授新課

引入問題1：會當凌絕頂，一覽眾山小，是每個登山者的心愿。在很多旅游景點，為了方便游

客，設立了登山纜車。

如圖，當?shù)巧嚼|車的吊箱經(jīng)過點A到達點B時，它走過了

200m,已知纜車行駛的路線與水平面的夾角乙a=30°。

那么纜車垂直上升的距離是多少？

分析：在RtZXABC中，Na=30°,AB=200米，需求出BC.

根據(jù)正弦的定義，sin30。='上='上，

AB200

.".BC=ABsin300=200X』=100(米).

2

引入問題2：

當纜車繼續(xù)由點B到達點D時，它又走過了200m,纜車由點B到點D的行駛路線與水平面

的夾角是N9=45°,由此你能想到還能計算什么？

分析：有如下幾種解決方案：

方案一：可以計算纜車從B點到D點垂直上升的高度.

方案二：可以計算纜車從A點到D點，垂直上升的高度、水平移動的距離.

三、變式訓練，熟練技能

1、一個人從山底爬到山頂，需先爬40°的山坡300m,再爬30°的山坡100m,

求山高.(sin40°g0.6428,結果精確到0.01m)

解：如圖，根據(jù)題意，可知

BC=300m,BA=100m,ZC=40°,ZABF=30°.

在RtZXCBD中，BD=BCsin40°弋300X0.6428=192.84(m)；

在RtZXABF中，AF=ABsin300=100X-=50(m).

2

所以山高AE=AF+BD=192.8+50=242.8(m).

2、求圖中避雷針的長度。(參考數(shù)據(jù)：tan56°弋1.4826,

tan50°^1.1918)

解：如圖，根據(jù)題意，可知

AB=20m,ZCAB=50°,ZDAB=56°

在RtZXDBA中，DB=ABtan560弋20X1.4826=29.652（m）；

在RtZ\CBA中，CB=ABtan50°寺20X1.1918=23.836（m）.

所以避雷針的長度DC=DB-CB=29.652-23.836弋5.82（m）.

四、合作探究

隨著人民生活水平的提高，

農(nóng)用小轎車越來越多，為了交

通安全，某市政府要修建10m高的天橋，為了方便行人推車過天橋，需在天橋兩端修建40m

長的斜道.（如圖所示）。這條斜道的傾斜角是多少？

探究1：在血△49C中，BC=m,4C=m,

sin4==.

探究2：已知sinA的值，如何求出/A的大?。?/p>

請閱讀以下內(nèi)容，學會用計算器由銳角三角函數(shù)值求相應銳角的大小.

己知三角函數(shù)求角度，要用到國、國、畫鍵的第二功能“sincos-1,tan1"和

2ndf|鍵.

探究3：你能求出上圖中N4的大小嗎？

解：sin4=—=________.（化為小數(shù)），

4

三、鞏固訓練

1、如圖，工件上有一V形槽，測得它的上口寬20mm,深19.2mm,求V形角（N

ACB）的大小.（結果精確到1。）

2、如圖，一名患者體內(nèi)某重要器官后面有一腫瘤.在接受放射性治療

時，為了最大限度地保證療效，并且防止傷害器官，射線必須從側面照

射腫瘤.已知腫瘤在皮下6.3cm的A處，射線從腫瘤右側9.8cm的B處

進入身體，求射線的入射角度.

3,某段公路每前進1000米，路面就升高50米，求這段公路的坡角.

4、一梯子斜靠在一面墻上.已知梯長4m,梯子位于地面上的一端離墻壁2.5m,

求梯子與地面所成的銳角.

五、隨堂練習：P,141、2、3、4、

六、作業(yè)：pl51至6題

§1.4解直角三角形

一、教學目標

1.知道解直角三角形的概念、理解直角三角形中五個元素的關系。

2.通過綜合運用勾股定理，掌握解直角三角形，逐步形成分析問題、解決問題的能力.

3.滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想，養(yǎng)成良好的學習習慣.

二、教學重點及難點

教學重點：掌握利用直角三角形邊角關系解直角三角形

教學難點：銳角三角比在解直角三角形中的靈活運用

三、教學用具準備

黑板、多媒體設備.

四、教學過程設計

一、創(chuàng)設情景

引入新課：如圖所示，一棵大樹在一次強烈的地震中倒下，樹干斷處離地面3米且

樹干與地面的夾角是30°。大樹在折斷之前高多少米？

由30°直角邊等于斜邊的一半就可得AB=6米。分析樹高是AB+AC=9米。由勾股定理容易得

出BC的長為3米。當然對于特殊銳角的解題用幾何定理比較簡單，也可以用銳角三角函數(shù)

來解此題。

二、知識回顧

問題：

1.在一個三角形中共有幾條邊？幾個內(nèi)角？（引出“元素”這個詞語）

2.直角三角形ABC中，ZC=90°,a、b、c、NA、/B這五個元素間有哪些等量關系呢？

討論復習

師白：RtaABC的角角關系、三邊關系、邊角關系分別是什么？

總結：直角三角形的邊、角關系（板書）（PPT）

（1）兩銳角互余NA+/B=90°；

（2）三邊滿足勾股定理a2+b2=c2；

（3）邊與角關系

三、學習新課

1、例題分析

例題1在RtaABC中，ZC=90°,ZB=38°,a=8,求這個直角三角形的其它邊和角.

分析：如圖，本題已知直角三角形的一個銳角和一條直角邊，那么首先要搞清楚這兩個元素

的位置關系，再分析怎樣用合適的銳角三角比解決問題，在本題中已知邊是已知角的鄰邊，

所以可以用的銳角三角比是余弦和正切.

（板書）解：VZC=90°AZA+ZB=90"

二ZA=90°-/B=90°—38°=52°

VcosB=

c==

tanB=

/.b=atanB=8tan38°76.250

另解:VcotB=：.b=

注意:在解直角三角形的過程中,常會遇到近似計算,除特別說明外,邊長保留四個有效數(shù)

字.

2.學習概念

定義：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形.

3.例題分析

例題2在RtZkABC中,ZC=90°,c=7.34,a=5.28,解這個直角三角形.

分析：本題如圖，已知直角三角形的一條直角邊和斜邊，當然首先用勾股定理求第三邊，怎

樣求銳角問題，要記住解決問題最好用原始數(shù)據(jù)求解，避免用間接數(shù)據(jù)求出誤差較大的結論.

（板書）解：

VZC=90",.\a2+b2=c2

/.b=

*/sinA=

ZA46°O'

AZB=90u-ZA?9Oo-46°Oz=44°O'.

例題3（見教材pl6）

注意:在解直角三角形的過程中，常會遇到近似計算,除特別說明外，邊長保留四個有效數(shù)字,

角度精確到1'。

4、學會歸納

通過上述解題，思考對于一個直角三角形,除直角外的五個元素中，至少需要知道幾個元素，

才能求出其他元素？

想一想:如果知道兩個銳角，能夠全部求出其他元素嗎？如果只知道五個元素中的一個元素，

能夠全部求出其他元素嗎？

歸納結論：在直角三角形中，除直角外還有五個元素，知道兩個元素（至少有一個是邊），

就可以求出其余三個元素.

［說明］我們已掌握RtZXABC的邊角關系、三邊關系、角角關系，利用這些關系，在知道其

中的兩個元素（至少有一個是邊）后，就可求出其余的元素.這樣的導語既可以使學生大概了

解解直角三角形的概念，同時又陷入思考，為什么兩個已知元素中必有一條邊呢？激發(fā)了學

生的學習熱情.

5、請找出題中的錯誤，并改正

已知:如圖，在RtaABC中，NC=90°,由下列條件,解直角三角形：（結果保留根號）

四、鞏固練習

已知：在欺食四中，NC=90=,由下列條件，解直角三角形：

（1）NA=60。，a=10（保留根號）

（2）a=7.096b=12.16

五、課堂小結這節(jié)課你學到了什么？還有什么凝問？

本節(jié)課我們利用堂角三角彩的邊與邊、角與角、邊與角的關系?由三知元

素求出未知元素.在儆能后時，學生門應根據(jù)題目的具體條件，正逢選擇

上述的“H具”，求土版目中所要求的邊與角.

§1.5三角函數(shù)的應用

教學目標：

1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應用.

2.能夠把實際問題轉化為數(shù)學問題，能夠借助于計算器進行有關三角函數(shù)的計算，并能

對結果的意義進行說明.

教學重點:

1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用.

2.發(fā)展學生數(shù)學應用意識和解決問題的能力.

教學難點：根據(jù)題意，了解有

關術語，準確地畫出示意圖.

教學用具：小黑板三角板

教學方法：探索一一發(fā)現(xiàn)法

教學過程一、問題引入：

海中有一個小島A,該島

四周10海里內(nèi)有暗礁.今有

貨輪由西向東航行，開始在A

島南偏西55°的B處，往東

行駛20海里后，到達該島的

南偏西25。的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的

危險嗎?你是如何想的？與同伴進行交流.

二、解決問題：

1、如圖，小明想測量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂，測得仰角

為30°,再往塔的方向前進50m至B處.測得仰角為60°.那么該

塔有多高？（小明的身高忽略不計，結果精確到1m）

2、某商場準備改善原來樓梯的安全性能，把傾角由40。減至35°,己知

原樓梯長為4m,調(diào)整后的樓梯會加長多少？樓梯多占多長一段地面？（結

果精確到0.01m）

【作業(yè)設計】1.如圖，一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40。夾角，

且DB=5m,現(xiàn)再在C點上方2m處加固另一條鋼纜ED,那么鋼纜ED的長度為多

少？

2.如圖，某貨船以20海里/時的速度將一批重要物資由A處運往正西方向的BM——B

處，經(jīng)16小時的航行到達，到達后必須立即卸貨.此時.接到氣象部門通知，一臺風中心正

以40海里/時的速度由A向北偏西60。方向移動，距臺風中心200海里的圓形區(qū)域（包括

邊界)均受到影響.

(1)問：B處是否會受到臺風的影響?請說明理由.

(2)為避免受到臺風的影響，該船應在多少小時內(nèi)卸完貨物？(供選用數(shù)據(jù)：、歷亡1.4,

V3^1.7)

【板書設計】

三角函數(shù)的有關計算

提出問題：如何三角函數(shù)值，求相應的銳角.例觸礁問題隨堂練習

講解科學計算器的應用.例樓梯問題課堂小結

課堂作業(yè)

§1.6利用三角函數(shù)測高

教學目標

知識與技能目標

能夠設計方案、步驟，能夠說明測量的理由，能夠綜合運用直角三角形邊角關系的知識

解決實際問題.

過程與方法目標

經(jīng)歷活動設計方案，自制儀器過程；通過綜合運用直角三角形邊角關系的知識，利用數(shù)

形結合的思想解決實際問題，提高解決問題的能力。

情感與價值觀要求

通過積極參與數(shù)學活動過程，培養(yǎng)不怕困難的品質，發(fā)展合作意識和科學精神.

教學重點、難點

設計活動方案、自制儀器的過程及學生學習品質的培養(yǎng)。

教具準備

自制測傾器（或經(jīng)緯儀、測角儀等）、皮尺等測量工具.

教學過程

提出問題，引入新課

現(xiàn)實生活中測量物體的高度，特別像旗桿、高樓大廈、塔等較高的不可到達的物體的高

度，需要我們自己去測量，自己去制作儀器，獲得數(shù)據(jù)，然后利用所學的戶

數(shù)學知識解決問題.請同學們思考小明在測塔的高度時，用到了喝個

哪些儀器？有何用途？如何制作一個測角儀？它的工作原理%理歹

是怎樣的？qip

活動一：設計活動方案，自制儀器I

首先我們來自制一個測傾器（或測角儀、經(jīng)緯儀等）.一般的測傾器由底盤、I

鉛錘和支桿組成.下面請同學們以組為單位，分組制作如圖所示的測傾器.▼

制作測角儀時應注意什么？

支桿的中心線、鉛垂線、0刻度線要重合，否則測出的角度就不準確.度盤的頂線PQ與

支桿的中心線、鉛垂線、0刻度線要互相垂直，并且度盤有一個旋轉中心是鉛垂線與PQ的

交點.當度盤轉動時，鉛垂線始終垂直向下.

一個組制作測角儀，小組內(nèi)總結，討論測角儀的使用步驟）

活動二：測量傾斜角

（1）.把測角儀的支桿豎直插入地面，使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的0°刻度線重

合，這時度盤的頂線PQ在水平位置.

（2）.轉動度盤，使度盤的直經(jīng)對準較高目標M,記下此時鉛垂線指的度數(shù).那么這個

度數(shù)就是較高目標M的仰角.

問題1、它的工作原理是怎樣的？M

如圖，要測點M的仰角，我們將支桿豎直插入地面，使支桿的

中心線、鉛垂線和度盤的0°刻度線重合，這時度盤的頂線PQ在水

平位置.我們轉動度盤，使度盤的直徑對準目標M,此時鉛垂線指向

一個度數(shù).即/BCA的度數(shù).根據(jù)圖形我們不難發(fā)現(xiàn)/BCA+/ECB=4能

90°,而NMCE+NECB=，M

90°,即/BCA、/MCE都是/ECB的余角，根據(jù)同角的余角相等，

得NBCA=NMCE.因此讀出NBCA的度數(shù)，也就讀出了仰角NMCE的度

數(shù).、

問題2、如何用測角儀測量一個低處物體的俯角呢？

和測量仰角的步驟是一樣的，只不過測量俯角時，轉動度盤，使度盤的直徑對準低處的

目標，記下此時鉛垂線所指的度數(shù)，同樣根據(jù)“同角的余角相等”，鉛垂線所指的度數(shù)就是

低處的俯角.

活動三：測量底部可以到達的物體的高度.

“底部可以到達”，就是在地面上可以無障礙地直接測得測點與被測物體底部之間的距

離.

要測旗桿MN的高度，可按下列步驟進行：（如下圖）

1.在測點A處安置測傾器（即測角儀），測得M的仰角ZMCE=a.

2.量出測點A到物體底部N的水平距離AN=1.

3.量出測傾器（即測角儀）的高度AC=a（即頂線PQ成水平位置時，它與地面的距離）.根

據(jù)測量數(shù)據(jù)，就能求出物體MN的高度.

ME

在Rtz^MEC中，ZMCE=a,AN=EC=1,所以tana=--,即ME=tana?EC=1?tana.

EC

又因為NE=AC=a,所以MN=ME+EN=1?tana+a.

活動四：測量底部不可以到達的物體的高度.

所為“底部不可以到達”，就是在地面上不能直接測得測點與被測物體的底部之間的距

離.例如測量一個山峰的高度.

可按下面的步驟進行（如圖所示）：

1.在測點A處安置測角儀，測得此時物體MN的頂

端M的仰角ZMCE=a.日

2.在測點A與物體之間的B處安置測角儀（A、B爭----T￥

/VDA

與N都在同一條直線上），此時測得M的仰角/MDE=

6.

3.量出測角儀的高度AC=BD=a,以及測點A,B之間的距離AB=b

根據(jù)測量的AB的長度，AC、BD的高度以及/MCE、NMDE的大小，根據(jù)直角三角形的邊

角關系.即可求出MN的高度。

MEME

在Rt/XMEC中，ZMCE=a,則tana=---,EC=------；

ECtana

MEME

在RtAMED中，/MDE=B貝?。輙anB=---,ED=-----

EDtanP

MFMF

根據(jù)CD=AB=b,且CD=EC-ED=b.所以-----------=b,ME=

tanatan/11

tanatan0

MN=—~~j—+a即為所求物體MN的高度.

tanatan（3

今天，我們分組討論并制作了測角儀，學會使用了測角儀，并研討了測量可到達底部和

不可以到達底部的物體高度的方案.下一節(jié)課就清同學們選擇我們學校周圍的物體.利用我

們這節(jié)課設計的方案測量它們的高度，相信同學們收獲會更大.

歸納提煉

本節(jié)課同學們在各個小組內(nèi)都能積極地投入到方案的設計活動中，

想辦法.獻計策，用直角三角形的邊角關系的知識解釋設計方案的可行

之處.相信同學們在下節(jié)課的具體活動中會更加積極地參與到其中.

課后作業(yè)

制作簡單的測角儀

活動與探究

如圖，山上有一座鐵塔，山腳下有一矩形建筑物ABCD.且建筑物周

圍沒有開闊平整地帶.該建筑物頂端寬度AD和高度DC都可以直接測得。

從A、D、C三點可看到塔頂端II.可供使用的測員工具有皮尺，測傾器(即

測角儀).

(1)請你根據(jù)現(xiàn)有條件，充分利用矩形建筑物.設計一個測量塔頂端

到地面高度HG的方案.具體要求如下：

①測量數(shù)據(jù)盡可能少；

②在所給圖形上，畫出你設計的測量的平面圖，并將應測數(shù)據(jù)標記在圖

形上(如果測A、D間距離，用m表示；如果測D、C間距離，用n表示；

如果測角，用a、6、丫等表示.測傾器高度不計)

(2)根據(jù)你測量的數(shù)據(jù)，計算塔頂?shù)降孛娴母叨菻G(用字母表示)，I

方案1：(1)如圖(a)(測四個數(shù)據(jù))(b)

AD=m.CD=n,ZHDM=a,ZHAM=B

(2)設HG=x,HM—x-n,

.",HMx-n

在RtAHDM中，tana----,DM=------

DMtana.

.,HMx-n

在RtAAHAM中，tana----,DM=------

AMtanfj.

：AM-DM=AD,

x-nx-n

------------=m,

tan(3.tana.

mtantz?tan。

x=-------------+n.

tana-tanp.

方案2：⑴如圖(b)(測三個數(shù)據(jù))CD=n,ZHDM=a,ZHCG=Y.

(2)設HG=x,HM—x-n,

在RtZXCHG中，tany=---,CG=------

CGtan%

HMx-n

在RtAHDM中，tana----,DM=------

DMtana.

xx-nntany

VCG=DM.------------x=--------------

tan/tana.'tan%-tana.

第二章二次函數(shù)

2.1二次函數(shù)所描述的關系

教學目標：1.理解二次函數(shù)的概念；

2.能夠表示簡單變量之間的二次函數(shù)的關系。

知識回顧：

1、正比例函數(shù)的表達式為一次函數(shù)

反比例函數(shù)表達式為?

2、某果園有100棵橙子樹，每一棵樹平均結600個橙子。現(xiàn)準備多種一些橙子樹以提高產(chǎn)

量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少。根據(jù)經(jīng)驗估計,

每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橙子。請問種多少棵樹才能達到30000個的總產(chǎn)量？

你能解決這個問題嗎？________________________________________________________

（請列出方程，不用計算）

新知探究：

3.某果園有100棵橙子樹，每一棵樹平均結600個橙子?，F(xiàn)準備多種一些橙子樹以提高產(chǎn)

量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少。根據(jù)經(jīng)驗估計,

每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橙子。

（1）問題中有哪些變量？其中哪些是自變量？哪些是因變量？

（2）假設果園增種x棵橙子樹，那么果園共有多少棵橙子樹？這時平均每棵樹結多少個橙

子？

（3）如果果園橙子的總產(chǎn)量為y個，那么請你寫出y與x之間的關系式。

知識運用：

4.做一做

銀行的儲蓄利率是隨時間的變化而變化的。也就是說，利率是一個變量.在我國利率

的調(diào)整是由中國人民銀行根據(jù)國民經(jīng)濟發(fā)展的情況而決定的.

設人民幣一年定期儲蓄的年利率是x,一年到期后，銀行將本金和利息自動按一年定期

儲蓄轉存.如果存款額是100元，那么請你寫出兩年后的本息和y（元）的表達式（不考慮利

息稅）.

Y=_________________________________

5、總結歸納

（1）從以上兩個例子中，你發(fā)現(xiàn)這函數(shù)關系式有什么共同特征？

（2）仿照以前所學知識，你能給它起個合適的名字嗎？

（3）你能用一個通用的表達式表示它們的共性嗎？試試看。

【歸納總結】一般地，形如（其中均為常數(shù)—W0）的

函數(shù)叫做。

你能舉出類似的例子嗎？

鞏固練習

P30頁隨堂練習12

布置作業(yè)習題2.1

2.2二次函數(shù)的圖像與性質1

一、教學目標

（一）知識與技能

1.能夠利用描點法作出函數(shù)y=（的圖象，能根據(jù)圖象認識和理解二次函數(shù)丫=十的性質.

2.猜想并能作出y=--的圖象，能比較它與y=x2的圖象的異同.

（二）過程與方法

1.經(jīng)歷探索二次函數(shù)y=x?的圖象的作法和性質的過程，獲得利用圖象研究函數(shù)性質

的經(jīng)驗.

2.由函數(shù)y=Y的圖象及性質，對比地學習y=-x?的圖象及性質，并能比較出它們的異

同點，培養(yǎng)學生的類比學習能力和發(fā)展學生的求同求異思維.

（三）情感與態(tài)度

1.通過學生自己的探索活動，達到對拋物線自身特點的認識和對二次函數(shù)性質的理解.

2.在利用圖象討論二次函數(shù)的性質時，讓學生盡可能多地合作交流，以便使學生能夠

從多個角度看問題，進而比較準確地理解二次函數(shù)的性質.

教學重點：作出函數(shù)丫=±*2的圖象，并根據(jù)圖象認識和理解二次函數(shù)y=±（的性質。

教學難點：由y=x?的圖象及性質對比地學習y=-x2的圖象及性質，并能比較出它們的

異同點。

三、教學過程分析

1、情境引入

尋找生活中的拋物線

活動目的:

通過讓學生尋找生活中的拋物線，讓生活走進數(shù)學，讓學生對拋物線有感性認識，以激

發(fā)學生的求知欲，同時，讓學生體會到數(shù)學來源于生活.

2、溫故知新

復習：（1）二次函數(shù)的概念，（2）畫函數(shù)的圖象的主要步驟，（3）

根據(jù)函數(shù)y=x2列表

3、合作學習（探究二次函數(shù)丫=±*2的圖象和性質）

活動內(nèi)容：

1.用描點法畫二次函數(shù)y=x2的圖象，并與同桌交流。

2.觀察圖象，探索二次函數(shù)y=x2的性質，提出問題：

（1）你能描述圖象的形狀嗎?與同伴進行交流.

（2）圖象是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？

請你找出幾對對稱點,并與同伴交流.

（3）圖象與x軸有交點嗎？如果有,交點坐標是什么？

（4）當x<0時,隨著x的值增大,y的值如何變化？當x>0呢？

（5）當x取什么值時,y的值最小?最小值是什么？

你是如何知道的？

3.二次函數(shù)片一丁的圖象是什么形狀？先想一想，然后作出它的圖

象

4.它與二次函數(shù)片V的圖象有什么關系？與同伴進行交流。

5.說說二次函數(shù)尸一f的圖象有哪些性質？與同伴交流。

4、練習與提高

活動內(nèi)容：2