信號與系統(tǒng)課后習(xí)題整理及知識點提要

第1章

一、信號的定義與分類

1.定義

信號是帶有信息(如語言、音樂、圖像、數(shù)據(jù)等)的隨時間(和空間)變化的物理量或物

理現(xiàn)象，其隨時間/變化的圖像稱為信號的波形。

2.典型的連續(xù)時間信號表達(dá)式及特性

(1)指數(shù)信號

/⑺二Ke"式中a是實數(shù)

指數(shù)信號的一個重要特性是它對時間的微分和積分仍然是指數(shù)形式。

<2)正弦信號

/(/)=Ksin(ay+0)

式中K為振幅.3是角頻率.。稱為初相位。

正弦信號對時間的積分與微分仍為同頻率的正弦信號。

(3)復(fù)指數(shù)信號

/(t)=Kc1/其中s="+訕。

實際上不能產(chǎn)生復(fù)指數(shù)信號，但可以利用它來描述各種基本信號，使許多運算和

分析得以簡化。

(4)Sa(/)信號(抽樣信號)Sa(/)=詈

Sa(,)信號具有以下性質(zhì)：

fSa(/)d/=4

[Sa(z)d/=re

(5)鐘形信號(高斯函數(shù))

7

/(/)=Ec0

函數(shù)式中的參數(shù)r是當(dāng)/(，)由最大值E下降為0.71E時，所占據(jù)的時間寬度。

3.信號的傳輸與處理過程進(jìn)行的信號運算包括：

信號的移位、反褶、尺度倍乘、微分、積分以及兩信號的相加或相乘。

4.本身有不連續(xù)點或其導(dǎo)數(shù)與積分有不連續(xù)點的函數(shù)稱為奇異函數(shù)或奇異信號。

,0(/<0)

(1)單位斜變信號f(t)=,、、

)/(/20)

,0(I<0)

(2)單位階躍信號?(/)=

11(z>0)

在跳變點I=0處.函數(shù)值未定義.或在I=0處規(guī)定函數(shù)值M(0)=J

[[8(/)山=1

（3）單位沖激信號

]合(1)=0(當(dāng)/W0)

二、主要公式

1.正弦信號/(Z)=Ksin(oV+。)

2.復(fù)指數(shù)信號/(/)=Ke-5=。+

3.抽樣函數(shù)Sa(/)=手

(0Z<0

4.單位斜變信號/(/)=、

\t/>。

0I<0

5.單位階躍信號〃(/)

1/>0

1I/W5

6.門函數(shù)gr(D=Y

0t|>Y

(—1/0

7.符號函數(shù)sgn/=

|1I>0

8.Sa(/)dz=7t

J-8

9.〃(/)-今Rd)

10.sgn(z)=2w(/)—1

三、系統(tǒng)的定義、分類及特性

1.系統(tǒng)的定義

在電子與通信領(lǐng)域.系統(tǒng)通常是指由若干元件或大量相互聯(lián)系的部件組成并具有特

定功能的整體。

2.系統(tǒng)的分類

從不同角度?可以將系統(tǒng)進(jìn)行分類?如連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)?即時系統(tǒng)和動

態(tài)系統(tǒng).無源系統(tǒng)和有源系統(tǒng).集總參數(shù)系統(tǒng)和分布參數(shù)系統(tǒng).線性系統(tǒng)與非線性系

統(tǒng)?時變系統(tǒng)與時不變系統(tǒng)等。

3.系統(tǒng)的特性

當(dāng)輸入為，(/),輸出為r(/)時，表示為fr(/)

線性系統(tǒng)滿足：當(dāng)-n(z)和et(l)fr,(Z)時，瓦的(八+苞七(2)f3n(/)4

兒心⑺，其中瓦，上為任意常數(shù)。

時不變系統(tǒng)滿足：">/o)―一.其中，0為任意常數(shù).如r(/)=a,(/)。

因果系統(tǒng)滿足：系統(tǒng)在任何時刻的輸出僅取決于輸入的現(xiàn)在與過去值?向與輸入的

將來值無關(guān)，如r(n=4-2)。

穩(wěn)定系統(tǒng)滿足：系統(tǒng)輸入有界?其輸出也是有界的?如?)=，(/屋

◎1.5判別下列各序列是否為周期性的。如果是，確定其周期。

(1)/1(k)=cos(也￡)

(2)f2(k)=cos(牛4+千)+cos(-^-歸+號)

⑶￡(2)=sin(J,

(4)九(為)=產(chǎn)

(5)人(，)=3cosZ+2sin(7tZ)

(6)/6(/)=cos(7t/)e(/)

分析本題從函數(shù)周期的定義入手較簡單。

解⑴力1)=85(嚀6)

設(shè)周期為T.T為正整數(shù)?則應(yīng)有爭一傳&+"T）=2KN這里N為一整數(shù).

上式等價于學(xué)T=-2“N

或?qū)憺槁蔜=2nN①

0

同時.T應(yīng)當(dāng)取滿足①式的最小正整數(shù).

可見T=10

該序列是周期的，周期為10。

⑵該序列的周期應(yīng)為cos（爭+：）和cos（尹+卷）的最小公倍數(shù)

cos什依+乎）的周期為8.cos信A+前的周期為6

，該序列的周期為24。

（3）人（6）=sin'是非周期的,原因在于若存在周期T.則有:Q+T）=

2KN左式為有理數(shù),右式為無理數(shù),不等，是非周期的。

⑷九⑷=e中是周期的.周期為6.方法與（D相同。

（5）該序列不是周期的。cos，的周期為2k.sin（K/）的周期為2.若序列周期為丁.則

T是2的整數(shù)倍,也是27r的整數(shù)倍,這不成立.，不是周期的。

（6）該序列不是周期的，在數(shù)軸上，零點左右該函數(shù)波形明顯不同。

1-6已知信號/⑹的波形如圖1-5所示，畫出下列各函數(shù)的波形。

一

一202f

國1-5

#（￡）

⑴（5）/（1-2。⑺^dT

分析對于含有平移，反轉(zhuǎn)?尺度變換三種變換方式的信號變換，一般采用先平移后反

轉(zhuǎn).最后進(jìn)行尺度變換的步驟進(jìn)行.這樣很容易得出正確的變換結(jié)果.最后再結(jié)

合e（f）或其經(jīng)過變換后的信號?可得到正確的波形。

解：各信號波形為

（1）/。一1）￡?）

O13

(a)

(5)“1—2。

(e)

df{t}

⑺dt

<R>

?1.10計算下列各題。

(1)[cost+sin(2f}(2)(1-/)《[e-S(八]

(4)J__e-2，Cy(z)+Mz)]dz

(3)fsin(7t/)^(/)d/

J-50t

(5)[+sin(半)]3(t+2)d/(6)f(產(chǎn)+2)水卷)d/

J—4

(7)f(r3+2z2-2/+l)y(z-Ddr(8)p(1-j-)y(x)dj-

J-?aJ-

分析運算過程中如果遇到含有沖激函數(shù)與普通函數(shù)相乘的情況時.首先利用公式對此

部分處理,以簡化運算。

解(1)$■{[cosf+sin())

=[{1一sinf+2cos(2/)]e(/)+[cosZ+sin(2z)]^(z)}

=京{[—sin/+2cos(2f)[￡(7)+3(f))

=[—cost—4sin(2z)]e(/)+[sin/+2cos(2z)]3(1)+T(Z)

=[—cost—4sin(2/)]e(z)+28(t)+，(％)

(2)(1

t)dz

首先求=e-8C)+e—上'1)

at

=—3⑴+"(/)+3⑺

=Xd)

這里注意e-。出'(甲=一(力+協(xié)3

則(1一/)=(1—/)，(/)

at

=y(z)一步‘*)="&)+合&)

這里注意兇⑺=一6⑺

（）

(3)澗皿與/d/

-8

=lim紳(位)=Hm兀7r/)(洛畢達(dá)法則)=7T

/-*0t/-*01

(4)「e-2，Ey(Z)+5(Z)]d/

J-OO

.03

0-2為'(/)+e-2^(/)]d/=[S'(Q+23C)I(5(/)]dz

-g-TO

y(Z)d/+35(z)dz=3

8?-X

(5)\_t~+sin(羋)]S(Z+2)dz=\_t2+sin(￥)[=3

-oo44

?xt1

(6)+2)b(!)df=+2)=4

J—8Z11=0

T

(7)[(/+2/2/+l)y(zl)df

J—2

-(-+2/—27+1)'=-(3/2+4Z-2)=-5

?=1/=1

(8)「(1-z)，(1)clr

J-oo

[y(j?)—(—l)S(z)]cLr=y(j?)dj；+8(z)cLr

-8J~03

=S(t)+￡(/)

◎1.12如圖1—18所示的電路，寫出

（1）以"cd）為響應(yīng)的微分方程；

（2）以iL（t）為響應(yīng)的微分方程。

分析找出電路中各元件的端電流和端電壓之間的關(guān)系.再利用KVL或KCL寫出各元

件彼此之間的關(guān)系.選定某一參量為響應(yīng),消去其余中間參量即可得到描述系統(tǒng)

的微分方程。

解由KVL可得〃s“）=〃L（Z）+〃「（，）

由KCL可得五⑺=，R（/）+M（/）

各元件端電流和端電壓的關(guān)系為

（t）=LL（t），UR（t）—R'R（/）.￡（、（t）=C，〃（、（￡）

（1）選定〃,（/）為響應(yīng),聯(lián)立以上各式消去其余中間參量得

IX?（/）r*U0（7）IU（-（/）=〃s（/）

稍加整理得以Uc（t）為響應(yīng)的微分方程

KL1ALA

（2）選定以為響應(yīng)，聯(lián)立各式消去其余中間參量可得

LC*"（八+|幼⑺+五⑺=C%.）+嬴⑴

稍加整理得以iL（t）為響應(yīng)的微分方程

；'L（/）+L（t）-yyTiL（/）='s（/）十nr（^uS（?）

2/1-1>1\1

?1.21圖1—24是一個簡單的聲學(xué)系統(tǒng)模型。

（1）聲音信號/（”在傳播途中遇到障礙物將產(chǎn)生［可音。設(shè)I可音信號較原信號衰減

a倍（a<1）且遲延T秒。于是在某處聽到的聲音信號y（/）的模型如圖1

24（a）所示（圖中T為延時T秒的遲延器）。寫出>（/）的表示式。

（2）為消除同音，需構(gòu)造一個消回音系統(tǒng)［如圖（b）］,寫出其輸出z（t）的表示式,

并證明z（t）=fS

分析信號/（，）經(jīng)過遲延器后變?yōu)?（，7）?則系統(tǒng)的輸出為各框圖加法器輸入信號

之和。證明2（，）="八，只要證明/（/）-z（/）=0即可。

解(1)遲延器的輸出為了(，丁)，則系統(tǒng)輸出為

y(t')—/(/)—〃/(1—T)

(2)遲延器的輸出為z(r—T),則系統(tǒng)的輸出為

z(/)——yCt)一az(t—T)

也即

j?(Z)==z(Z)-az(.t—T)

由以上兩個結(jié)果可得

f(t)+af(t—T)——z(Z)—az(t—T)

整理得

"(/)一T)—z(—T)]=0

此方程的解為J，tT)z(tT)=-fl[/(/)-z(Z)^

若WO則有/f—8時—的振幅趨于無窮大,

不符合物理意義,因此必有/(/)-z(/)=0

即/(Z)=2(z)

證畢。

?1.22圖125所示的電阻梯形網(wǎng)絡(luò)中,各串臂電阻均為R,各并臂電阻均為“R(a為常

數(shù))。將各結(jié)點依次編號.其序號以々=0.1，2.….N).相應(yīng)結(jié)點電壓為“(4)(顯然

有?(0)=MS.U(N)=0.它們是邊界條件).試列出關(guān)于“(A)的差分方程。

分析選取電壓為“(AD的結(jié)點利用基爾霍夫電流定律(KCL).列寫方程求解。

解選取結(jié)點電壓為1)的結(jié)點?由基爾霍夫電流定律(KCL)可得

u(k—2)—u(k—1).u(.kt—u(.k-1)_u(k—1)

~Rup=—次—

稍加整理即可得到“Q)的差分方程

u(k)—(2H--—)M(jt—1)+“(4-2)=0

a

◎1.24下列微分或差分方程所描述的系統(tǒng).是線性的還是非線性的？是時變的還是時不

變的？

(2)?'(/)+sin￡y(Z)=/(/)

(4)yQ)+(為一Dy(4-1)=f(k)

分析微分(或差分)方程是線性方程.則描述的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)；微分(或差分)方程的

系數(shù)為時間的函數(shù).則描述的是時變系統(tǒng),若為常數(shù)則為時不變系統(tǒng)。

(2)令y()==T[/2(Z)]

則有y'i(，)一sin/”(/)=fi(,t),y2(i)+sin/j>2(/)=f2(t)

兩式相加可得

[四(?)十.(/)1'+sin/[yi(?)+山(，)]=力(Z)十八(？)

即

"(?)+“(，)=7[/(/)+力”)]

則系統(tǒng)滿足可加性。

乂系統(tǒng)顯然滿足齊次性，可知系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。

微分方程系數(shù)為時間的函數(shù)，則系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。

(4)方程是變系數(shù)線性差分方程,則系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。

◎1.25設(shè)激勵為/(?).下列是各系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)川(?兀判斷各系統(tǒng)是否線性的、時

不變的、因果的、穩(wěn)定的？

⑴“力=能/

,dZ

(3)yzs(?)=/())COS(2TTI)

(5).凌)=fCk)f(k-l)

k

⑺%⑷=Zf?)

j=0

分析按照各個判定規(guī)則依次對系統(tǒng)進(jìn)行判斷即可。

解(1)系統(tǒng)滿足齊次線性和可加性，則系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。

?zs(/—Zd)=]/(/—Zd)，系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)。

at

當(dāng)z</?時，/(，)=0.則此時有y“(/)=Q⑺=0,則系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。

當(dāng)/(/)=€(/)時,％(/)=3(/)"=0時.6(/)f8.則系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。

（3）系統(tǒng)滿足齊次和可加性,則系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。

ya（.t—/<））=f（,t—ti）cos[2“（f—力）[Wf（,t—tA）cos（2TT/）

則系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。

當(dāng)，VA）時./⑺=0,則此時有=/（/）COS（2K/）=0,則系統(tǒng)為因果系

統(tǒng)。若/⑺<8.有I%.（/）=f（/）cos（2"，）|<8,則系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。

（5）系統(tǒng)不滿足可加性,則系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。

T[{0}./a-和）]=/〃一4）/4一七-1）=%a—Q）,則系統(tǒng)為時不變系

統(tǒng)。

若AVK時,/1）=0,則此時以（Q=0,則系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。

若/（為）|<8,則%（Q；=|/a）/a1）1<8則系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。

（7）系統(tǒng)滿足齊次線性和可加性,系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。

*i

T\_w.j\kk）/X/（j）=%（々一3）?則系統(tǒng)為時變系

尸0>-0

統(tǒng)。

k

若AVM時，/（&）=0,則此時有%Q）=Zf（j）=0.則系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。

j0

k

若f（.k）=式h）則y^k）=\/（j）=（4+l）e（A）,則當(dāng)k+8時，

尸。

Iy?（k）I—8,則系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。

?1.27某LTI連續(xù)系統(tǒng),其初始狀態(tài)一定.已知當(dāng)激勵為/（Z）時.其全響應(yīng)

y1（/）=<?-'+cos（浦）“20

若初始狀態(tài)不變.激勵為2/（八時.其全響應(yīng)

=2cos（k/）“）0

求初始狀態(tài)不變.而激勵為3/（/）時系統(tǒng)的全響應(yīng)。

分析首先利用LTI連續(xù)系統(tǒng)的特性分別求出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng).再根

據(jù)系統(tǒng)的齊次性求出不同的激勵時系統(tǒng)的全響應(yīng)。

解設(shè)初始狀態(tài)下系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為》（，）.激勵為/（，）時.系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

〃?）.則由系統(tǒng)的可分解特性可得

y,（/）+y,（7）=5'-cos（n/）0①

根據(jù)LTI系統(tǒng)的齊次性，有

2)/(才)=T[2/G)],3yf(f)=

則當(dāng)初始狀態(tài)不變，激勵為2/(/)時.系統(tǒng)的全部響應(yīng)為

必(？)一2"(t)=2cos(冗力工》0

聯(lián)立①②兩式解得

山⑺=2e-/

yt(t}=-e~'+cos(7T￡)"》0

則初始狀態(tài)不變，激勵為3/a)時系統(tǒng)的全響應(yīng)為

-3+3〃⑴=—e+3cos(冗/),￡20

即

?3(，)=-e-/+3cos(TV/),￡20

◎1.29某二階LT】連續(xù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為可(0)和必(0).已知當(dāng)?(0)=l.x2(0)=0

時,其零輸入響應(yīng)為

>,,(/)=e_,+e-2*./>0

當(dāng)x,(0)=O.Xj(O)=1時,其零輸入響應(yīng)為

>,2(/)=e-'-e-z'”20

當(dāng)x,(0)=l.xj(O)=-1時,而輸入為/(/)時.其全響應(yīng)

y(t)=2+e*,z>0

求當(dāng)X|(0)=3.j-..(0)——2.輸入為2/(，)時的全響應(yīng)。

分析利用零輸入響應(yīng)的齊次性和可加性和零狀態(tài)響應(yīng)的齊次性和可加性以及系統(tǒng)的

可分解特性求解。

解利用零輸入響應(yīng)的齊次性和可加性.由已知可得當(dāng)初始狀態(tài)為?(0)=l,q(O)

=1時.系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為

%(，)=(/)——?(/)=2e~2'.t>0

由系統(tǒng)的可加性可知,輸入為/X，)時.系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

yf(.t)=?(，)一%(八=2+e-'>0

則可得當(dāng)工i(O)=3,X2(0>=2.輸入為2fit)時.系統(tǒng)的全響應(yīng)為

=3ylj(7)+2yl2(t)+2”(，)=4+7e~'—35"“》0

第2章

內(nèi)容提要

一、基本定義

1.對于復(fù)雜系統(tǒng)?設(shè)激勵信號為“，），系統(tǒng)響應(yīng)為「（/）?則可以用一高階的微分方程

表示

Gjrr（/）+C,dr~rr（/）+........+C"'^-（/）+C?r（/）=E?張。（，）+耳

1+Em?i）（Z）4E,?e（/）

d/

2.整個系統(tǒng)的全響應(yīng)由自由響應(yīng)n,（/）和強迫響應(yīng)彳（/）兩部分組成。

自由響應(yīng)外（，）由系統(tǒng)自身特性決定，微分方程的齊次解決定了自由響應(yīng)的全部形

式：強迫響應(yīng)r?（Z）只與外加激勵函數(shù)的形式有關(guān)。

3.系統(tǒng)在激勵信號加入前瞬間的一組狀態(tài)稱為系統(tǒng)的起始狀態(tài)（簡稱0狀態(tài)）.它包含

了計算未來響應(yīng)的全部??過去”信息。

4.沒有外加激勵信號作用，只有起始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)，它是齊次解中

的一部分。

不考慮起始時刻系統(tǒng)儲能的作用.由系統(tǒng)的外加激勵信號所產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零狀態(tài)

響應(yīng).它由自由響應(yīng)的一部分及強迫響應(yīng)構(gòu)成。

5.對系統(tǒng)響應(yīng)的另一種分解是瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。當(dāng)/->e時,響應(yīng)趨于零的那部分

響應(yīng)分量稱為瞬態(tài)響應(yīng);//8時?保留下來的那部分響應(yīng)分量稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

6.系統(tǒng)在單位沖激信號8"）的激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為沖激響應(yīng)/系統(tǒng)在單

位階躍信號?（/）的激勵下產(chǎn)牛的零狀態(tài)響應(yīng)稱為階躍響應(yīng)gS

二、系統(tǒng)的狀態(tài)

系統(tǒng)的起始狀態(tài)y（G））、…、/"'（/"）

系統(tǒng)的初始值y（/）、.y'（以）、…、了'"'（好）

三、系統(tǒng)的響應(yīng)

系統(tǒng)的輸入一輸出關(guān)系：

<>,<><1

y"+an-i3<Z|）+a0

二，"”（/）+〃+??”（，）+幾

響應(yīng)：.y（/）=齊次解（自由響應(yīng)）十特解（強迫響應(yīng)）

=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)

四、沖激函數(shù)

邛/)=0/H0

1.3（/）定義：Jfc

]I3(/)山=1

2.性質(zhì)：/(/)?8(/)=/(0)?〉(/)

/(/)?，(/)=/(0)?^(z)-/(0)?Mt)

3.抽樣性：=/(z)

J—000

r/(/)y(/-z)dz=-/(z)

4.二次沖激：00

J-8

5.奇偶性:8(一/)—S(t)

=-，⑺

6.尺度變換：

S（at）=JMt),Mat-b)=」一》(/-->

IuIaIa

五、卷積積分

1.定義

/i(/)*.A(/)=ft(r)fz(Z—r)t/r

2.性質(zhì)

（1）交換律：

/((/)*/,(/)=/,(/)*/J/)

（2）分配律:

*［人（/）+人（/門=/>（/）*A（z）+/1</）*△（/）

（3）結(jié)合律：

U\(/)*/2(Z)J*f式t)=J\(t)*C/2(Z)*/s(Z)]

（4）積分性質(zhì)

I'Cfi(r)*/2(r)]dr=*P/2(r)dr

JOOJ-OQ

=/2（，）*,fi(r)dr

一3

(5)微分性質(zhì):

和()*/?)1=/(，)*當(dāng)盧=力(/)*絲產(chǎn)

(6)微分積分性質(zhì)：

dftCt)「，，、」「，,、」df,(/)

,*/?(r)dr=/!(r)dr*,

Cl/J—8J—OQ<1/

=力⑺*/2(z)

(7)任意時間函數(shù)/(/)與Mt)的卷積:

/(/)*8(/)=fCt)

/(/—r)*S(t-T2)=fit-T.-T2)

8(.t—T|)*S(i—T2)=8(1—Ti—T2)

(8)任意時間函數(shù)f(/)與￡(/)的卷積：

/(/)*e(Z)=P/(r)dr

J'CQ

/(/)*€(/—/?)=[/(r—Zo)Hr=f'/(r)dr

J-8J-8

(9)任意時間函數(shù)八八與￡(%)的卷積:

/(/)*y(/)=/(/)*》(，)=/(/)

/(/)—)=尸(力

/(/)*/a—七)=.尸"a—八)

?2.4已知描述系統(tǒng)的微分方程和初始狀態(tài)如下?試求其零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和完全

響應(yīng)。

(2)y〃a)+4，a)+4)(，)=/'(￡)+3/a),

y(0一)=1,j/(0_)=2、fit)—e-/e(t)

分析利用微分方程兩端各奇異函數(shù)的系數(shù)相平衡的方法來判斷響應(yīng),(，)及其各階導(dǎo)

數(shù)是否發(fā)生躍變。完全響應(yīng)為零輸入響應(yīng).零狀態(tài)響應(yīng)之和。

(2)由零輸入響應(yīng)的性質(zhì)可知，要求零輸入響應(yīng)即求解微分方程

+4/，(/)十4%(/)=0

1%(。十)=1，y=(0+)=2

解此方程得

.(，)=Cie~2'+C>te~~'

代人初始值得

%(0+)=C|=1

八(0十)=-2C,+C2=2

解以上兩式得G=1，Q=4,則系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為

%(/)=e~2/+4ze~”)0

由零狀態(tài)響應(yīng)性質(zhì)可知，求零狀態(tài)響應(yīng)即求解微分方程

+4，/(八+4J7C)=合(/)+2e」e(f)

|j/(0-)=37(0-)=0

方程右端含有沖激項，兩端對0一到0一積分

y，(Z)d/+4j//(?)d/+4y({t}At

Jo_fJo_Jo_

=「6”)山+2「e-ze(z)d/

J0_J0_

考慮到%(z)的連續(xù)性得

［，/(。十)一+4］》/(。+)—J/(O_)］=1

得丁'/(。+)=，/(。-)+1=1,//(0+)=y1-(0-)=0

當(dāng)/>0時，微分方程可化為

1

yf(/)+4j/z(z)+4J7(%)=2e

此方程全解為

2zz,-z

yf(t)=C)e-+C2Ze-2e,Z)0

代人初始值得

yf(0+)=CI+2=0

“/(0+)=—2CI+C2—2=1

解以上兩式得3=-2,Q=-l,則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

-2,-

yf(t)=-2e-+2e*"》0

系統(tǒng)的全響應(yīng)為

y(t)=%(?)+?/(2)=-e-2/+3?e-z,+2e-,,Z)0

?2.12如因214的電路.以電容電壓〃《(/)為響應(yīng)?試求其沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)。

分析由KVL與KCL寫出系統(tǒng)微分方程.用經(jīng)典法求解階躍響應(yīng).代入公式八,)=

4*(，)求沖激響應(yīng)。

at

解由KVL與KCL得

(f)=〃[.(，)+(f)

Zt(/)=(f)+1、(/)

各元件端電流和端電壓的關(guān)系為

川.(f)=

MR(/)=RiH(t)

ic(/)=C4"c⑺

聯(lián)立以上各式解得

LCq-yWf(/)+器-qyZZc(2)十(t)=Ms(Z)

f

代人數(shù)值得uc(t)++2uc(t)=2〃s”)

當(dāng)激勵"s")=￡*)時，方程右端不含有沖激項，則

u('(0.)=0

〃'c(0+)=0

方程的解為uc⑺=+。267+1">0

代人初始值得

”「(0+)=C!+C2+1=0

〃'c(0+)=-C]—2c2=0

解得G=-2,C2=1,則系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為

g(z)=ucCt)=(—2e'十e2'+1)e(f)

系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

h(t)==(2e-z2e1?，)￡(￡)

de

?2.16各函數(shù)波形如圖2—16所示.圖(b).(c).(d)中均為單位沖激函數(shù).試求下列卷

積，并畫出波形圖。

⑴-⑺⑴

(3)/()*九⑺

分析利用卷積的基本性質(zhì),代入公式求解。

解由已知可得

/,(/)=-2)—r(/)+；r(f+2)(r(/)=Ze(Z)為斜升函數(shù))

/?(7)=3(1-2)+3(，+2)

人⑺=3(,t-1)+5(/+1)

/4(z)=5(/-2)-5(/3)+^(/一4)

⑴力(/)*/2(/)

=/,(z)*[S(z—2)+3C+2)]=/I(i-2)+/1(f+2)

——+4)—r(^~2)—r(.t)—r(t—2)+-yr(f—4)

乙乙

波形圖為圖2—17(a)。

(3)/|(/)*/；(/)

=/1(z)*[3(z—2)—8(1—3)+5(/—4)]

=力(，一2)一6a—3)+力a-4)

=-1-r(z)-yr(Z—1)--yr(Z—2)+r(/—3)--yr(Z—4)---r(z—5)+

乙乙乙乙乙

yr(Z-6)

波形圖為圖2—17(c).

(H)

(C)

小結(jié)考查了卷積的基本性質(zhì):結(jié)合律、分配律等。

◎2.17求下列函數(shù)的卷積積分力(力*f2s

分析對于簡單函數(shù)積分，直接代人積分定義公式求解。

(2)/；(/)*力(？)=e-?,e(f)*e(f)=e-?re(r)e(z—r)dr

J-z

?/1

e-2rdr?e(i)=—(1—e-2/)e(^)

J0Z

2/3,

(4)/)(/)*f2(t)=e~e(Z)*e~e(Z)

(6)力3*/2(Z)=e(z+2)*e(Z-3)

=[e⑺*3(/+2)]*[E(Q*8(—3)1

=[e(￡)*￡(/)]*[3(/?2)*3(/—3)]

=te(/)—1)=(z-l)e(r-1)

(8)/(D*/2(Z)=teCt)*[e(Z)-e(Z-2)]

=Ze(z)*E(z)*[3(t)——2)]

=4?人(￡)*—普―2)]

乙

=4■/￡(z)—2)2f(z—2)

乙乙

<0,t<0

=<0.5d,0&/42

2(t—1),￡>2

2/

(10)八⑺*f2(t)=e~e(z+l)*e(r-3)

=e-2/e(r+l)*e(r)*3(?—3)

2r

=[「e-dzE(/+D]*^(Z—3)

J—1

=[(Je]--ye-2,)e(/-Fl)]3)

乙乙

2

=(^e-Xe-2/+6)e(r-2)

乙乙

=9(1_eT+)e(，2)

乙

02.18某LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)如圖218(a)所示,求輸入為下列函數(shù)時的零狀態(tài)響應(yīng)

(或畫出波形圖)。

(1)輸入為單位階躍函數(shù)E(/)；(2)輸入為人(/)如圖(b)所示;

(3)輸入為f2(t)如圖(c)所示；(4)輸入為于3⑺如圖(d)所示;

(5)輸入為力(一1+2)。

解由心(￡)的波形圖可得

/[(7)=€(￡)-￡(￡—2)=￡(，)*[8(z)—<5(i—2)J

(1)當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)￡(，)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

yt(t)=/(Z)*h⑺

=e(t)*e(z)*[賀加一S(t—2)]

=尼(t)*[3(7)—3(/-2)]

=tE(t)-(t-2)E(t-2)

=E(t2)J+2e(t—2)

(2)由輸入f,(/)的波形圖可得

/1(/)=e(t—2)—e(t—3)=e(t)*[S(f—2)—5(t—3)J

系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

=/()*/?)

=e(t)*L<5(z-2)-<5(/-3)]*e(z)*[33-5(/-2)]

=E(，)*￡(?)*[3(/2)3(t—3)]*[3(?)8(.i2)]

=/e(Z)*[3(t—2)—<5(/—3)—S(t—4)3(t—5)1

=(Z-2)e(/-2)-(Z-3)e(/-3)-(/-4)e(z-4)+(/—5作(，-5)

=(t-2)[e(/-2)-e(t-3)]+[e(/-3)-e(Z-4)]-(f5)Ee(z

4)—e(z5)[

(3)由輸入力(，)的波形圖可得

后(，)=4-[e(/)—e(z—2)]

La

系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

%(，)=/2(/)*/z(Z)

=—E(t—2)]*e(z)*[8(2—2)—8(t—3)]

--^-Qe(r)—e(r—2)]dr*[_8Ct-2)-8(t—3)]

J0z

=—4?(產(chǎn)—4)￡(?—2)1*[8G)—3(7-2)]

44

=[!?(￡(/)-E(/-2))+E(/—2)J*[3(f)—8(，-2)1

4

--rt~Ee(/)—e(/-2)]--^-(4/—/)[f(f—2)一￡(，-4)[

44

(4)由輸入人(/)的波形圖可得

九⑺=/(￡)—?2)+:44)

乙乙

(r(t)—/e(/)為斜升函數(shù))

系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

37-(力=人⑴*人⑺

=[^-r(Z)-r(/-2)+-1-r(Z-4)]*e(Z)*[S(/)—3(/—2)[

乙乙

—屋(t)——2)，￡(力-2)

4L

卜十(z4)~e(/4)]頭[臺(￡)—8Ct2)[

=2)2e(Z4)2e(/4)l)2e(z6)

444

(5)由輸入力(D的波形圖可得