圓的基本性質(zhì)及垂徑定理-學(xué)生版

知識(shí)精要一、圓的周長、面積、弧長和扇形面積計(jì)算圓的周長：C=2兀r=兀dn弧長：l=——nr180 弧長：l=——nr180360圓的面積:扇形面積:S=—nr2=11r

扇形360 2扇形面積:二、圓的確定1、圓：平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)所成的圖形，這個(gè)定點(diǎn)是圓心，聯(lián)結(jié)圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段是圓的半徑，這個(gè)定長是圓的半徑長。以點(diǎn)O為圓心的圓稱為圓O，記作eO。圓上的點(diǎn)到圓心的距離都等于定長；到圓心的距離等于該定長的點(diǎn)都在圓上。同圓的半徑長相等。2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:設(shè)一個(gè)圓的半徑長為R，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則點(diǎn)P在圓外0d>R點(diǎn)P在圓上=d=R點(diǎn)P在圓內(nèi)00<d<R由eC過A、B兩點(diǎn)，得CA=CB，可知圓心。在線段AB的垂直平分線上。不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。3、內(nèi)接與外接：三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓。經(jīng)過一個(gè)三角形各頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。例：^ABC是圓O的內(nèi)接三角形，AB是圓O的直徑，/ACB是多少度？答：90°外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心。鈍角三角形的外接圓的圓心在這個(gè)三角形的外部。三角形的外心就是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)。如果一個(gè)圓經(jīng)過一個(gè)多邊形的各頂點(diǎn)，那么這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓，這個(gè)多邊形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接多邊形。三、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系1、圓心角、弧、弦、弦心距的基本概念：圓?。簣A上任意兩點(diǎn)之間的部分叫做圓弧。（半圓、優(yōu)弧、劣弧、等?。┫遥郝?lián)結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。直徑：過圓心的弦是直徑。（等圓）弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距。圓心角：以圓心為頂點(diǎn)的角叫圓心角。同心圓：圓心相同、半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓。2、圓的對(duì)稱性：圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心。圓是軸對(duì)稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。圓是以圓心為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。3、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理及其推論：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，圓心角相等^劣?。ɑ騼?yōu)?。┫嗟萿弦相等u弦心距相等。四、垂徑定理定理：如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的弧。（包括弦所對(duì)的劣弧和優(yōu)?。┩普摚?.如果圓的直徑平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的弧。.如果圓的直徑平分弧，那么這條直徑就垂直平分這條弧所對(duì)的弦。.如果一條直線是弦的垂直平分線，那么這條經(jīng)過圓心，并且平分這條弦所對(duì)的弧。.如果一條直線平分弦和弦所對(duì)的一條弧，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且垂直于這條弦。.如果一條直線垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的一條弧，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且平分這條弦。歸納：①經(jīng)過圓心（直徑）②垂直于弦 ③平分弦（除直徑外）④平分弧滿足任意兩個(gè)條件，就能推出另外兩個(gè)條件。熱身練習(xí)一、填空題1、圓是平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)所形成的圖形，這個(gè)定點(diǎn)是，定長是圓的，圓心可以確定圓的，半徑可以確定圓的 。2、在平面上，經(jīng)過給定兩點(diǎn)的圓有 個(gè)，這些圓的圓心一定在聯(lián)結(jié)這兩點(diǎn)的線段 上。3、經(jīng)過平面內(nèi) 三點(diǎn)確定一個(gè)圓。因?yàn)槿切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)不在同一直線上，所以經(jīng)過三角形的各個(gè)頂點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做，這個(gè)圓的圓心叫做，而這個(gè)三角形叫各個(gè)頂點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做，這個(gè)圓的圓心叫做，而這個(gè)三角形叫做這個(gè)直角三角形的外心是圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是垂徑定理：如果圓的一條直徑一條弦，那么這條直徑這條弦，并已知扇形的面積為2n半徑等于6,則它的圓心角等于―20直角三角形的外心是圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是垂徑定理：如果圓的一條直徑一條弦，那么這條直徑這條弦，并已知扇形的面積為2n半徑等于6,則它的圓心角等于―20度。二、選擇題.有下列四個(gè)命題：①直徑是弦；②經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)一定可以作圓；③三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離都相等；④半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧.其中正確的有（ ）C.2個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)A.4個(gè)B.3個(gè).如圖，△ABC內(nèi)接于。O,D為線段AB的中點(diǎn)，延長OD交。O于點(diǎn)E,連接AE,BE,則下列五個(gè)結(jié)論 而_- -_AE=-AEB,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）①ABLDE,②AE;BE,③OD=DE,④NAEO=NC，⑤ 2,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A、2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè)3.如圖點(diǎn)B、C在。0上，且BO=BC,則/BAC等于（A.60。B.500C.40。D.30。4.如圖OO的直徑CDLAB,ZAOC=5G，則NB大小為（A.25°B.35°C.45°D.65°（第2題圖）精解名題例1：基本概念1.下面四個(gè)命題中正確的一個(gè)是（A.平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑B.平分一條弧的直線垂直于這條弧所對(duì)的弦C.弦的垂線必過這條弦所在圓的圓心D.在一個(gè)圓內(nèi)平分一條弧和它所對(duì)弦的直線必過這個(gè)圓的圓心2.下列命題中，正確的是（）.A.過弦的中點(diǎn)的直線平分弦所對(duì)的弧B.過弦的中點(diǎn)的直線必過圓心C.1.下面四個(gè)命題中正確的一個(gè)是（A.平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑B.平分一條弧的直線垂直于這條弧所對(duì)的弦C.弦的垂線必過這條弦所在圓的圓心D.在一個(gè)圓內(nèi)平分一條弧和它所對(duì)弦的直線必過這個(gè)圓的圓心2.下列命題中，正確的是（）.A.過弦的中點(diǎn)的直線平分弦所對(duì)的弧B.過弦的中點(diǎn)的直線必過圓心C.弦所對(duì)的兩條弧的中點(diǎn)連線垂直平分弦，且過圓心D.弦的垂線平分弦所對(duì)的弧3.下列命題中，不正確的是（A.平分弦的直徑垂直于弦B.垂直平分弦的直線必經(jīng)過圓心C.垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的弧 3.下列命題中，不正確的是（A.平分弦的直徑垂直于弦B.垂直平分弦的直線必經(jīng)過圓心4.下列語句中，正確的有（ ）⑴相等的圓心角所對(duì)的弧相等；⑵平分弦的直徑垂直于弦；⑶長度相等的兩條弧是等弧；⑷經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對(duì)稱軸；（A）1個(gè);（B）2個(gè);（C）3個(gè);（D）4個(gè);例2、在AABC中,ZACB=90。,CD±AB,D是垂足，/A=30。，AC=3cm，以C為圓心、Y3cm為半徑作圓C。 '\F」指出點(diǎn)A、B、D與圓C的位置關(guān)系； 歿一彳點(diǎn)*B如果要使圓C經(jīng)過點(diǎn)D，那么這個(gè)圓的半徑應(yīng)為多長？ 卜三一二［"b設(shè)圓C的半徑為R，要使點(diǎn)B在圓C內(nèi)，點(diǎn)A在圓C外，請(qǐng)寫出圓C的半徑R的取值范圍；要使點(diǎn)A在圓C外，點(diǎn)D在圓C內(nèi)，且點(diǎn)B又不在圓C上，試確定圓C的半徑R的取值范圍。例3、已知：4ABC內(nèi)接于。O,AB=AC,半徑08=5加，圓心0到BC的距離為3cm,求AB的長.例4、已知等邊^(qū)ABC的邊長為a，求這個(gè)三角形的外接圓半徑的長。解：例5、相交問題、平行問題 /.\1）、如圖，已知。0的直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E,AE=6cm,EB=2cm,NBED=30°，求CD的2）、在直徑為50cm的。O中，弦AB=40cm,弦CD=48cm,且AB〃CD,求：AB與CD之間的距離.例6、同心圓問題如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB，交小圓于C、D兩點(diǎn)，設(shè)大圓和小圓的半徑分別為a,b.求證AD?BD=a2—b2.例7、平行與相似已知：如圖，AB是。O的直徑，CD是弦，AE±CD于E,BF1CD于F.求證：EC=FD.鞏固練習(xí)1.如果兩個(gè)圓心角相等，那么（ ）A.A.這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦相等B.這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弧相等2.A.0.5n B.12.A.0.5n B.1C.2C.這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦的弦心距相等 D.以上說法都不對(duì)如果一個(gè)扇形的弧長等于它的半徑，那么此扇形稱為，等邊扇形”，則半徑為2的“等邊扇形”的面積為3.A.4B.3C.2D.14.如圖，。0是^ABC的外接圓AB是直徑.若NBOC=80°,則NA等于（50°40°3.A.4B.3C.2D.14.如圖，。0是^ABC的外接圓AB是直徑.若NBOC=80°,則NA等于（50°40°30°5.如圖，在RtAABC中，NC=90°AB=10,若以點(diǎn)C為圓心，CB長為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D,則AC的長等于（5<35D.6.如圖，已知正方形的邊長為2cm以對(duì)角的兩個(gè)頂點(diǎn)為圓心，2cm長為半徑畫弧，則所得到的兩條弧的長度之和為cm（結(jié)果保留n）.在AABC中，AB=AC=10,BC=12，求AABC外接圓半徑的長。有下列四個(gè)命題：1）直徑是弦；2）經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)一定可以作圓；3）三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離都相等；4）半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧。其中正確的有（ ）個(gè)。解：8.如圖，NAOB=90°,C、D是AB三等分點(diǎn)，AB分別交OC、0D于點(diǎn)E、F,求證：AE=BF=CD.解： AoB自我測試一、填空題1、過。O內(nèi)一點(diǎn)P的最長弦為10cm,最短的弦為6cm,則OP的長為..在。O中，弦AB長為8cm，圓心到弦AB的距離為女m，則。O半徑長為cm.半徑是5cm的圓中，圓心到8cm長的弦的距離是 cm.如圖，有一圓弧形橋拱，拱形的半徑OA=10m，橋拱的距度AB=16m,則拱高CD=m..一水平放置的圓柱型水管的橫截面如圖所示，如果水管橫截面的半徑是13cm,水面寬AB=24，則水管中水深是cm..已知。O中，OC，弦AB于點(diǎn)C,AB=8,OC=3,則。O的半徑長等于..如圖，4ABC為。O的內(nèi)接三角形，O為圓心，ODXAB,垂足為D,OELAC,垂足為E,若DE=3,則BC=.◎U.如圖，在直徑為10m的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，油面寬AB=8m,那么油的最大深度是 .9、圓的兩互相平行的弦長分別18cm和24cm，又兩弦之間距離為3cm，則圓的半徑長是 cm10、在半徑為5cm的圓內(nèi)有兩條互相平行的弦，弦長分別為8cm、6cm，則這兩條弦之間的距離為

二、選擇題TOC\o"1-5"\h\z1、如圖，AB是。O的弦，半徑OA=2,/AOB=120。，則弦AB的長是 （ ）（A）2.<2 （B）2a/3 （C）<5 （D）3,/22、如圖2,4ABC內(nèi)接于。O,若NOAB=28°,則NC的大小是（ ）A.62° B.56° C.28° D.32°3.如圖，點(diǎn)A、B、P在。O上，且NAPB=50°若點(diǎn)M是。O上的動(dòng)點(diǎn)，要使4ABM為等腰三角形，則所有符合條件的點(diǎn)M有（ ）A.1A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)（第1題圖） （第2題圖） （第3題圖）4、如圖，0O過點(diǎn)B、C0/4O在等腰直角4ABC的內(nèi)部，NBAC=900,OA=1,BC=6,則。O的半徑為（ ）A）<10 B）2A/3 C）3v2 D）<135.如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形的面積為5.如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形的面積為16cm2,則該半圓的半徑為（B.9cmcmC.4J5cmD.6y2cm.如圖，MN是半徑為1的。O的直徑，點(diǎn)A在。O上，/AMN=30°,B為AN弧的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑TOC\o"1-5"\h\zMN上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值