大數(shù)定律與中心極限定理-PPT

大數(shù)定律與中心極限定理1、切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=,方差D(X)=2,則對(duì)任意的正數(shù)，不等式或成立.利用切比雪夫不等式能夠估計(jì)一些隨機(jī)事件的概率。例1設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞燈,夜晚每一盞燈開(kāi)燈的概率是0、7,假定開(kāi)、關(guān)時(shí)間相互獨(dú)立,估計(jì)夜晚同時(shí)開(kāi)著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率解設(shè)X表示在夜晚同時(shí)開(kāi)著的燈的數(shù)目,它服從參數(shù)為n=10000,p=0、7的二項(xiàng)分布,則有而用切比雪夫不等式估計(jì)E(X)=np=7000,D(x)=np(1-p)=2100P(6800<X<7200)=P(|X-7000|<200)>0、95使用切比雪夫不等式只能得到事件的大致概率,能否得到其較精確的概率呢？這就要用到中心極限定理2、大數(shù)定律

定義1

設(shè)Y1，Y2，，Yn，,是一隨機(jī)變量序列，a為一常數(shù).若對(duì)任意給定正數(shù)>0,有則稱(chēng)隨機(jī)變量序列Y1,Y2,,Yn,,依概率收斂于a．定義2

設(shè)X1，X2，，Xn，是一隨機(jī)變量序列.若存在常數(shù)列{an}使對(duì)任意給定的正數(shù)，恒有,則稱(chēng)隨機(jī)變量序列{Yn}服從大數(shù)定律．注意:切比雪夫大數(shù)定理若X1，X2，，Xn，，為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列,E(Xk)=

D(Xk)=2(k=1,2,…)，則對(duì)任意的正數(shù)>0,有或注意證明:(利用切比雪夫不等式)依照已知條件由切比雪夫不等式,有又因此伯努利大數(shù)定理設(shè)nA為是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率,則對(duì)任意的正數(shù)>0,有或證:設(shè)由切比雪夫大數(shù)定理,有因此

即那么相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為p的0—1分布，E(Xk)=p，D(Xk)=p(1-p).辛欽大數(shù)定理若X1，X2，，Xn，，為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列,E(Xk)=(k=1,2,…)，則對(duì)任意的正數(shù)>0,有或第二節(jié)中心極限定理設(shè){Xn}為獨(dú)立隨機(jī)變量序列,記其和為問(wèn)這個(gè)和的極限分布是什么？1、獨(dú)立同分布中心極限定理若X1，X2，，Xn，，為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列,E(Xk)=

D(Xk)=2(k=1,2,…)，則隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化量的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)于任意x滿(mǎn)足例2每袋味精的凈重為隨機(jī)變量,平均重量為100克,標(biāo)準(zhǔn)差為10克、一箱內(nèi)裝200袋味精,求一箱味精的凈重大于20500克的概率?解:設(shè)箱中第i袋味精的凈重為Xi,則Xi

獨(dú)立同分布,且E(Xi)=100,Var(Xi)=100,

由中心極限定理得,所求概率為:故一箱味精的凈重大于20500克的概率為0、0002、2、李雅普諾夫中心極限定理若X1，X2，，Xn，，為獨(dú)立隨機(jī)變量序列,，若存在正數(shù)，使當(dāng)時(shí)，則隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化量Zn的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)于任意x滿(mǎn)足說(shuō)明:中心極限定理表明不管各隨機(jī)變量Xk(k=1,2,)服從什么分布,只要滿(mǎn)足定理的條件,那么他們的和當(dāng)n特別大時(shí),就近似服從正態(tài)分布,這就是為什么正態(tài)隨機(jī)變量在概率論中占有特別重要地位的一個(gè)基本原因3、棣莫弗——拉普拉斯中心極限定理定理表明:二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布,即設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意x，有小結(jié)中心極限定理注例3解:因此例4(供電問(wèn)題)某車(chē)間有200臺(tái)車(chē)床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車(chē)、設(shè)開(kāi)工率為0、7,并設(shè)每臺(tái)車(chē)床的工作是獨(dú)立的,且在開(kāi)工時(shí)需電力15千瓦、問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99、9%的概率保證該車(chē)間可不能因供電不足而影響生產(chǎn)?解供電所至少要供給這個(gè)車(chē)間x千瓦的電力,才能以99、9%的概率保證這個(gè)車(chē)間可不能因供電不足而影響生產(chǎn)、以X記200臺(tái)車(chē)床在同一時(shí)間段內(nèi)開(kāi)動(dòng)的臺(tái)數(shù),則由已知條件X服從參數(shù)為200,0、7的二項(xiàng)分布,因此由棣莫弗——拉普拉斯中心極限定理有即供電所至少要供給這個(gè)車(chē)間2392、6千瓦的電力、例5關(guān)于一個(gè)學(xué)生而言,來(lái)參加家長(zhǎng)會(huì)的家長(zhǎng)人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量,設(shè)一個(gè)學(xué)生無(wú)家長(zhǎng)、1名家長(zhǎng)、2名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的概率分別為0、05、0、8、0、15、若學(xué)校共有400名學(xué)生,設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)相互獨(dú)立,且服從同一分布、(1)求參加會(huì)議的家長(zhǎng)人數(shù)X超過(guò)450的概率;

(2)求有1名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的學(xué)生人數(shù)不多于340的概率、解

(1)以Xk記第k個(gè)學(xué)生來(lái)參加會(huì)議的家長(zhǎng)人數(shù),則由已知條件Xk的分布率為Xk012P0、050、80、15能夠計(jì)算E(Xk)=1、1,D(Xk)=0、19,k=1,2,,400、由獨(dú)立同分布中心極限定理,得(2)以Y記由一名家長(zhǎng)參加會(huì)議的學(xué)生人數(shù),則Y服從參數(shù)為400,0、8的二項(xiàng)分布、因此由棣莫弗——拉普拉斯中心極限定理,得從而有1名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的學(xué)生人數(shù)不多于340的概率約為0、9938、例6在一個(gè)罐子中,裝有10個(gè)編號(hào)為0-9的同樣的球,從罐中有放回地抽取若干次,每次抽一個(gè),并記下號(hào)碼、(1)至少應(yīng)取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0、09-0、11之間的概率至少是0、95?(2)用中心極限定理計(jì)算在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率、

設(shè)，k=1,2,…解(1)設(shè)應(yīng)取球n次,0出現(xiàn)頻率為由中心極限定理欲使即查表得從中解得即至少應(yīng)取球3458次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0、09-0、11之間的概率至少是0、95、（2）在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)為由中心極限定理,其中E(Xk)=0、1,D(Xk)=0、09即=0、6826即在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率為0、6826、考慮題1、甲乙兩電影院在競(jìng)爭(zhēng)1000名觀眾