高中數(shù)學學業(yè)水平考知識點總結

高中數(shù)學學業(yè)水平考知識點總結

高中數(shù)學學業(yè)水平考學問點總結1

1.萬能公式令tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2)cosa=(1-t^2)/(1+t^2)tana=2t/(1-t^2)

2.幫助角公式asint+bcost=(a^2+b^2)^(1/2)sin(t+r)cosr=a/[(a^2+b^2)^(1/2)]sinr=b/[(a^2+b^2)^(1/2)]tanr=b/a

3.三倍角公式sin(3a)=3sina-4(sina)^3cos(3a)=4(cosa)^3-3cosatan(3a)=[3tana-(tana)^3]/[1-3(tana^2)]sina_cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2cosa_sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa_cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2sina_sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

向量公式：

1.單位向量：單位向量a0=向量a/|向量a|

2.P(x,y)那么向量OP=x向量i+y向量j|向量OP|=根號(x平方+y平方)

3.P1(x1,y1)P2(x2,y2)那么向量P1P2={x2-x1,y2-y1｝|向量P1P2|=根號[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方]

4.向量a={x1,x2｝向量b={x2,y2｝向量a_向量b=|向量a|_|向量b|_Cosα=x1x2+y1y2Cosα=向量a_向量b/|向量a|_|向量b|(x1x2+y1y2)根號(x1平方+y1平方)_根號(x2平方+y2平方)

5.空間向量：同上推論(提示：向量a={x,y,z｝)

6.充要條件：假如向量a向量b那么向量a_向量b=0假如向量a//向量b那么向量a_向量b=|向量a|_|向量b|或者x1/x2=y1/y2

7.|向量a向量b|平方=|向量a|平方+|向量b|平方2向量a_向量b=(向量a向量b)平方

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1.“包含”關系—子集

留意：有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2.“相等”關系(5≥5，且5≤5，則5=5)

實例：設A={2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

結論：對于兩個集合A與B，假如集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B

①任何一個集合是它本身的子集。AíA

②真子集:假如AíB,且A1B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

③假如AíB,BíC,那么AíC

④假如AíB同時BíA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集

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1.求函數(shù)的單調性：

利用導數(shù)求函數(shù)單調性的基本方法：設函數(shù)yf（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，（1）假如恒f（x）0，則函數(shù)yf（x）在區(qū)間（a，b）上為增函數(shù)；（2）假如恒f（x）0，則函數(shù)yf（x）在區(qū)間（a，b）上為減函數(shù)；（3）假如恒f（x）0，則函數(shù)yf（x）在區(qū)間（a，b）上為常數(shù)函數(shù).

利用導數(shù)求函數(shù)單調性的基本步驟：①求函數(shù)yf（x）的定義域；②求導數(shù)f（x）；③解不等式f（x）0，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為增區(qū)間；④解不等式f（x）0，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為減區(qū)間.

反過來，也可以利用導數(shù)由函數(shù)的單調性解決相關問題（如確定參數(shù)的取值范圍）：設函數(shù)yf（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，

（1）假如函數(shù)yf（x）在區(qū)間（a，b）上為增函數(shù)，則f（x）0（其中使f（x）0的x值不構成區(qū)間）；

（2）假如函數(shù)yf（x）在區(qū)間（a，b）上為減函數(shù)，則f（x）0（其中使f（x）0的x值不構成區(qū)間）；

（3）假如函數(shù)yf（x）在區(qū)間（a，b）上為常數(shù)函數(shù)，則f（x）0恒成立.

2.求函數(shù)的極值：

設函數(shù)yf（x）在x0及其四周有定義，假如對x0四周的全部的點都有f（x）f（x0）（或f（x）f（x0）），則稱f（x0）是函數(shù)f（x）的微小值（或極大值）.

可導函數(shù)的極值，可通過討論函數(shù)的單調性求得，基本步驟是：

（1）確定函數(shù)f（x）的定義域；（2）求導數(shù)f（x）；（3）求方程f（x）0的全部實根，x1x2xn，順次將定義域分成若干個小區(qū)間，并列表：x變化時，f（x）和f（x）值的變化狀況：

（4）檢查f（x）的符號并由表格推斷極值.

3.求函數(shù)的值與最小值：

假如函數(shù)f（x）在定義域I內(nèi)存在x0，使得對任意的xI，總有f（x）f（x0），則稱f（x0）為函數(shù)在定義域上的值.函數(shù)在定義域內(nèi)的極值不肯定，但在定義域內(nèi)的最值是的.

求函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的值和最小值的步驟：（1）求f（x）在區(qū)間（a，b）上的極值；

（2）將第一步中求得的極值與f（a），f（b）比較，得到f（x）在區(qū)間[a，b]上的值與最小值.

4.解決不等式的有關問題：

（1）不等式恒成立問題（肯定不等式問題）可考慮值域.

f（x）（xA）的值域是[a，b]時，

不等式f（x）0恒成立的充要條件是f（x）max0，即b0；

不等式f（x）0恒成立的充要條件是f（x）min0，即a0.

f（x）（xA）的值域是（a，b）時，

不等式f（x）0恒成立的充要條件是b0；不等式f（x）0恒成立的充要條件是a0.

（2）證明不等式f（x）0可轉化為證明f（x）max0，或利用函數(shù)f（x）的單調性，轉化為證明f（x）f（x0）0.

5.導數(shù)在實際生活中的應用：

實際生活求解（?。┲祮栴}，通常都可轉化為函數(shù)的最值.在利用導數(shù)來求函數(shù)最值時，肯定要留意，極值點的單峰函數(shù)，極值點就是最值點，在解題時要加以說明.

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1、向量的加法

向量的加法滿意平行四邊形法則和三角形法則。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的運算律：

交換律：a+b=b+a;

結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的減法

假如a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量為0

AB-AC=CB.即“共同起點，指向被減”

a=(x,y)b=(x',y')則a-b=(x-x',y-y').

4、數(shù)乘向量

實數(shù)λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

當λ>0時，λa與a同方向;

當λ1時，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ0)或反方向(λA或者A=>B是否成立，只要把題目中所給的條件按規(guī)律關系畫出箭頭示意圖，再利用定義推斷即可.

2.轉換法：

當所給命題的充要條件不易推斷時，可對命題進行等價裝換，例如改用其逆否命題進行推斷.

3.集合法

在命題的條件和結論間的關系推斷有困難時，可從集合的角度考慮，記條件p、q對應的集合分別為A、B，則：

若A∩B，則p是q的充分條件.

若A∪B，則p是q的必要條件.

若A=B，則p是q的充要條件.

若A∈B，且B∈A，則p是q的既不充分也不必要條件.

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考點一、映射的概念

1.了解對應大千世界的對應共分四類，分別是：一對一多對一一對多多對多

2.映射：設A和B是兩個非空集合，假如根據(jù)某種對應關系f，對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都存在的一個元素y與之對應，那么，就稱對應f：A→B為集合A到集合B的一個映射（mapping）.映射是特別的對應，簡稱“對一”的對應.包括：一對一多對一

考點二、函數(shù)的概念

1.函數(shù)：設A和B是兩個非空的數(shù)集，假如根據(jù)某種確定的對應關系f，對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都存在確定的數(shù)y與之對應，那么，就稱對應f：A→B為集合A到集合B的一個函數(shù).記作y=f（x），xA.其中x叫自變量，x的取值范圍A叫函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y的值函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.函數(shù)是特別的映射，是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射.

2.函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應關系.這是推斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)的依據(jù).

3.區(qū)間的概念：設a，bR，且a

①（a，b）={xa

⑤（a，+∞）={>a}⑥[a，+∞）={≥a}⑦（—∞，b）={

考點三、函數(shù)的表示方法

1.函數(shù)的三種表示方法列表法圖象法解析法

2.分段函數(shù)：定義域的不同部分，有不同的對應法則的函數(shù).留意兩點：①分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要誤認為是幾個函數(shù).②分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

考點四、求定義域的幾種狀況

①若f（x）是整式，則函數(shù)的定義域是實數(shù)集R；

②若f（x）是分式，則函數(shù)的定義域是使分母不等于0的實數(shù)集；

③若f（x）是二次根式，則函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于0的實數(shù)集合；

④若f（x）是對數(shù)函數(shù)，真數(shù)應大于零.

⑤.由于零的零次冪沒有意義，所以底數(shù)和指數(shù)不能同時為零.

⑥若f（x）是由幾個部分的數(shù)學式子構成的，則函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合；

⑦若f（x）是由實際問題抽象出來的函數(shù)，則函數(shù)的定義域應符合實際問題

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有界性

設函數(shù)f（x）在區(qū)間X上有定義，假如存在M>0，對于一切屬于區(qū)間X上的x，恒有|f（x）|≤M，則稱f（x）在區(qū)間X上有界，否則稱f（x）在區(qū)間上無界.

單調性

設函數(shù)f（x）的定義域為D，區(qū)間I包含于D.假如對于區(qū)間上任意兩點x1及x2，當x1f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是單調遞減的.單調遞增和單調遞減的函數(shù)統(tǒng)稱為單調函數(shù).

奇偶性

設為一個實變量實值函數(shù)，若有f（—x）=—f（x），則f（x）為奇函數(shù).

幾何上，一個奇函數(shù)關于原點對稱，亦即其圖像在繞原點做180度旋轉后不會轉變.

奇函數(shù)的例子有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）.

設f（x）為一實變量實值函數(shù)，若有f（x）=f（—x），則f（x）為偶