中考數(shù)學(xué)必會(huì)幾何模型角平分線四大模型

角分四模模1角分的向邊垂如圖，是MON平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，則PB＝模型分析利用角平分線的性質(zhì)平線的點(diǎn)到角兩邊的距離相等造模型邊相等相、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進(jìn)而可以快速找到解題的突破口模型實(shí)例（1如圖①，eq\o\ac(△,在)ABC中∠C＝90°，AD平∠，BC6,BD＝那么點(diǎn)到線距離是解答：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE點(diǎn)，∵平分∠CAB,∴CDDE.∵＝6,BD4,DE＝＝，即點(diǎn)D到線AB距離是2.（2如圖②，∠1∠，∠3＝∠4，求證平BAC證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作PD于，PE⊥于PF⊥于F，∵∠＝∠，∴＝PE,∵∠3＝∴PEPF∴PD＝又∵⊥AB，PF⊥AC，∴平BAC角平分線的判定）練1

1如，在四邊形ABCD中＞ABAD＝分∠，求證：＋∠＝180°證明：作⊥BC于E，作⊥的延長(zhǎng)線于，∴∠F＝∠＝∵分∠ABC,DF，又∵＝DC，∴△DFA≌∴∠FAD＝∠∵∠FAD∠＝，∠BAD∠＝180°如圖eq\o\ac(△,)ABC的外角∠ACD∠的平分線CP內(nèi)角ABC的平分線相于點(diǎn)P，若∠BPC，則∠＝解答：如圖所示，作PN⊥BD于N作PF⊥，交BA延長(zhǎng)線于，PM⊥于M∵、CP分是CBA和∠的平線，∴ABP＝∠∠＝ACPPF＝PNPM，∵∠BAC∠－，∠BPC＝∠－外角性)∴∠BAC∠－∠PBC∠－＝∠＝∴∠CAF＝180°－∠BAC＝，∵PF＝∴AP是∠的平分線，∴＝＝模2截構(gòu)造稱等如圖，是∠MON的平分線上的一點(diǎn)，點(diǎn)A是線OM上意一點(diǎn)，在ON上取OBOA,接，eq\o\ac(△,)≌△OPA模型分析利用角平分線圖形的對(duì)稱性在的兩邊構(gòu)造對(duì)稱全等三角形可以得到對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角相等，利用對(duì)稱性把些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧2

模型實(shí)例（1如圖①所示，eq\o\ac(△,)ABC中AD是BAC的角平分線是上于點(diǎn)A的意一點(diǎn)，試比較PB＋與AB＋的小，并說(shuō)明理由解題：＞證明：在的長(zhǎng)線上取點(diǎn)使AE＝連接PE∵平分∠CAE∴∠＝，eq\o\ac(△,)AEPeq\o\ac(△,)ACP中AE＝AB∠＝∠EAD,AP＝AP，∴△AEP△ACP（SAS，＝PC∵eq\o\ac(△,)PBE：＞＝＝AB+AC＞AB+AC（2如圖②所示，eq\o\ac(△,)的內(nèi)角平分線，其它條件不變，試比較－與AC大小，并說(shuō)明理由解答：AC-AB>PC-PB證明:eq\o\ac(△,)ABC中,在上一點(diǎn)E,使，∴AC-AE=AB-AC=BE∵AD分∠BAC，∠∠，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)中∴△AEP≌ABP(SAS)，∴，∵eq\o\ac(△,)CPE中CE>CP-PE，練已，eq\o\ac(△,)ABC中，∠A∠B,CD是ACB的分線AC16,AD＝求線段BC的長(zhǎng)解：如圖在BC邊截?。?，連結(jié)DEeq\o\ac(△,)ACDeq\o\ac(△,)ECD中ECCDCD3

∴△≌∴ADDE，∠A＝∠，∠A＝2B，∴∠1＝2B，∵∠＝∠B＋∠EDB，∴∠B∠EDB∴EBBED，∴EB＝DA＝8，＝ECBEACDA＝168＝24在ABC中AB＝AC,∠A108°,BD平∠ABC求證：BCAB＋證明：在BC上?。紹A，連結(jié)DE，∵分∠ABC,BE＝＝BD∴△ABD△EBD(SAS)，∠DEB＝A＝108°∴∠DEC＝－108°＝∵AB＝AC∴C＝∠＝－＝36°∴∠EDC＝，∴∠＝，CE，∴BE＋＝AB＋CD＝＋如圖所，eq\o\ac(△,)ABC中，A＝∠ABC是∠ABC的平分線，延長(zhǎng)BD至，使DE＝AD求證BCAB＋CE證明：在CB上點(diǎn)，使得BF＝AB,連結(jié)DF∵BD分，＝BD∴△ABD△FBD∴DFAD＝∠ADB＝∠FDB，∴BD平∠∴∠ABD20°,∠ADB－－100°＝＝∠∠＝180°－∠－∠＝60°，∴∠CDF∠，eq\o\ac(△,)CDEeq\o\ac(△,)中DF∴△≌，∴＝，∴BCBF＋＝ABCE模角分+垂構(gòu)等三形如圖P是MON的平分線上一點(diǎn)丄OP于點(diǎn)延長(zhǎng)交ON點(diǎn).eq\o\ac(△,)是等腰三角形.4

模分構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形"三線合一以到兩個(gè)全等的直角三角進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角相等.個(gè)模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起.模實(shí)如圖己知等腰直角三角形ABC中∠AB=AC,BD平∠ABC,丄BD.足為E.求證：BD=2C￡.解答：如圖，延長(zhǎng)CE交于點(diǎn)∵丄BD于∠，∴∠∠CED.∠又∵AB=AC,∠BAD=CAF=90°,△ACF.BD=CF.∵BD平∠ABC,∴∠∠又∴≌△BFE.∴練如圖eq\o\ac(△,)ABC中.BE是平分線.AD丄垂足為D.證：2=∠1+∠證明：延長(zhǎng)AD于∵⊥BE,∴∠∠∵∠ABD=FBD,∴∠2=∠BFD.∵∠BFD=∠1+∠C,∴∠∠1+C.如圖eq\o\ac(△,)ABC中.∠∠C,AD是BAC的分丄AD點(diǎn)求證

BE

ACAB

證明:長(zhǎng)交AC于∵AD為∠的角平分線,∠BAD=∠∵AE=AE,∴∠BAE=∠FAE,eq\o\ac(△,)AEB≌△，∴AB=AF,2=∠3.AC-AB=AC-AF=FC.∵∠∠∴∠1=∠∠1=1+∠∠1=3∠∴2∠∠即∠∠C∴BF=FO=2BE.

BE

FCACAB

5

模角分平行線模分有角平分線常過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角一邊的平行.構(gòu)等腰三角形為證明結(jié)論提供更多的條件.現(xiàn)了用平分線與等腰三角形之間的密切關(guān).模實(shí)解答下列問(wèn)題：如圖①△中EFBC,點(diǎn)D在上BD、分別分、∠ACB.寫(xiě)出線段EF與、什么數(shù)量關(guān)系？如圖②BD平分ABC,CD平外角∠DE//BCAB于點(diǎn)AC于F，線段EF與、什么數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理如圖③BDCD為外角CBM、的分線DE//BCAB延線于點(diǎn)E.交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)直接寫(xiě)出線段BE、有么數(shù)關(guān)系？解答(1)EF//BC,EDB=∠∴BD平∠EBCEBD=∠DBC=EDB.∴EB=ED.同理：∴6

圖②中有EF=BE=CF，BD平∠BAC,∴∠ABD=∠又、∴EDB=DBC.∴同理可證CF=DF∴EF=BE+CF.練如圖eq\o\ac(△,)ABC中ABC和ACB的分交于點(diǎn)E.過(guò)點(diǎn)E作∥BC交于M點(diǎn)交AC于N.若BM+CN=9，則線段MN的為解答：∵∠ABC、ACB的分線相交于點(diǎn)E,∴∠EBC∠∠ECB.∵M(jìn)N//BC,∴∠∠∠NEC=ECB.∴MBE-∠∠ECN.∴BM=ME,∴MN=ME+EN,MN=BM+CN.∵BM+CN=9,∴MN=9.如.eq\o\ac(△,)ABC中AD平分BAC.點(diǎn)EF分在BDAD上∥AB.且求證：EF=AC.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM交AD的長(zhǎng)線于點(diǎn)∵AB∴CM∴∠∵DE=CD