第12章-二次根式的乘除重點(diǎn)講義資料

第1頁(yè)（共1頁(yè)）第12章二次根式的乘除提高訓(xùn)練一．選擇題（共8小題）1．若有意義，則滿足條件的a的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．42．若，且x+y=5，則x的取值范圍是（）A．x＞ B．≤x＜5 C．＜x＜7 D．＜x≤73．下列計(jì)算正確的是（）A．﹣=﹣3 B．（﹣）2=64 C．=±25 D．=34．實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|a|+的結(jié)果是（）A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b5．下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．6．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．7．已知xy＜0，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果為（）A． B． C． D．8．已知：a=，b=，則a與b的關(guān)系是（）A．a(chǎn)b=1 B．a(chǎn)+b=0 C．a(chǎn)﹣b=0 D．a(chǎn)2=b2二．填空題（共7小題）9．化簡(jiǎn)=．10．當(dāng)x≤0時(shí)，化簡(jiǎn)|1﹣x|﹣的結(jié)果是．11．化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果是．12．已知：a＜0，化簡(jiǎn)=．13．實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)a+|a+b|﹣﹣|b﹣c|=．14．若實(shí)數(shù)a滿足|a﹣8|+=a，則a=．15．觀察下列二次根式的化簡(jiǎn)：，，，…從計(jì)算結(jié)果中找到規(guī)律，再利用這一規(guī)律計(jì)算下列式子的值．=．三．解答題（共15小題）16．化簡(jiǎn)下列各式：（1）÷（2）?；（4）．；（6）．（7）4x2．計(jì)算：（1）．（2）2×÷10．（3）（4）．（5）3÷×．（6）÷3×5；（7）﹙﹣﹚÷（）．（8）2÷?．如果=?成立，求x的取值范圍．已知=，且x為偶數(shù)，求（1+x）的值．20.小明在解決問(wèn)題：已知a=，求2a2﹣8a+1的值，他是這樣分析與解答的：∵a===2﹣，∴a﹣2=﹣，∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3∴a2﹣4a=﹣1．∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2（﹣1）+1=﹣1．請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：若a=，求4a2﹣8a﹣3的值．21．先閱讀，后解答：===3+像上述解題過(guò)程中，﹣與+相乘，積不含有二次根式，我們可將這兩個(gè)式子稱為互為有理化因式，上述解題過(guò)程也稱為分母有理化，（1）的有理化因式是；+2的有理化因式是．（2）將下列式子進(jìn)行分母有理化：=；=．已知a=，b=2﹣，比較a與b的大小關(guān)系．

第12章二次根式的乘除參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2016?滑縣二模）若有意義，則滿足條件的a的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和偶次方的非負(fù)性列出算式，求出a的值．【解答】解：由題意得，﹣（1﹣a）2≥0，則（1﹣a）2≤0，又，（1﹣a）2≥0，∴（1﹣a）2=0，解得，a=1，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2016?蕭山區(qū)模擬）若，且x+y=5，則x的取值范圍是（）A．x＞ B．≤x＜5 C．＜x＜7 D．＜x≤7【分析】直接利用二次根式有意義的條件，得出y的取值范圍，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵，∴y+2≥0，2x﹣1＞0，解得：y≥﹣2，x＞，∵x+y=5，∴＜x≤7．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，得出y的取值范圍是解題關(guān)鍵．3．（2016春?閔行區(qū)期末）下列計(jì)算正確的是（）A．﹣=﹣3 B．（﹣）2=64 C．=±25 D．=3【分析】原式各項(xiàng)利用二次根式性質(zhì)及乘除法則計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷．【解答】解：A、原式=﹣|﹣3|=﹣3，正確；B、原式=8，錯(cuò)誤；C、原式=|﹣25|=25，錯(cuò)誤；D、原式==，錯(cuò)誤，故選A【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．4．（2016?濰坊）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|a|+的結(jié)果是（）A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b【分析】直接利用數(shù)軸上a，b的位置，進(jìn)而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用絕對(duì)值以及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：如圖所示：a＜0，a﹣b＜0，則|a|+=﹣a﹣（a﹣b）=﹣2a+b．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)以及實(shí)數(shù)與數(shù)軸，正確得出各項(xiàng)符號(hào)是解題關(guān)鍵．5．（2016春?滄州期末）下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】化簡(jiǎn)得到結(jié)果，即可作出判斷．【解答】解：A、，本選項(xiàng)不合題意；B、，本選項(xiàng)不合題意；C、，本選項(xiàng)符合題意；D、，本選項(xiàng)不合題意；故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)公式是解本題的關(guān)鍵．6．（2016?雅安校級(jí)自主招生）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．【分析】先由﹣≥0，可知a＜0，再根據(jù)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【解答】解：∵﹣≥0，∴a＜0，∴===﹣．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，利用二次根式的被開(kāi)方數(shù)具有非負(fù)性得出a＜0是解題的關(guān)鍵．7．（2016?綿陽(yáng)校級(jí)自主招生）已知xy＜0，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果為（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)xy＜0，考慮有兩種情況，再根據(jù)所給二次根式可確定x、y的取值，最后再化簡(jiǎn)即可．【解答】解：∵xy＜0，∴x＞0，y＜0或x＜0，y＞0，又∵x有意義，∴y＜0，∴x＞0，y＜0，當(dāng)x＞0，y＜0時(shí)，x=，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)．解題的關(guān)鍵是能根據(jù)已知條件以及所跟二次根式來(lái)確定x、y的取值．8．（2016?臨朐縣一模）已知：a=，b=，則a與b的關(guān)系是（）A．a(chǎn)b=1 B．a(chǎn)+b=0 C．a(chǎn)﹣b=0 D．a(chǎn)2=b2【分析】先分母有理化求出a、b，再分別代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每個(gè)式子的值，即可得出選項(xiàng)．【解答】解：a===2+，b===2﹣，A、ab=（2+）×（2﹣）=4﹣3=1，故本選項(xiàng)正確；B、a+b=（2+）+（2﹣）=4，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、a﹣b=（2+）﹣（2﹣）=2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2﹣）2=4﹣4+3=7﹣4，∴a2≠b2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分母有理化的應(yīng)用，能求出每個(gè)式子的值是解此題的關(guān)鍵．二．填空題（共7小題）9．（2010?澄海區(qū)校級(jí)模擬）化簡(jiǎn)=2．【分析】先將1﹣4x+4x2化成（1﹣2x）2，再根據(jù)（）2有意義，即可求得x的取值范圍，從而化簡(jiǎn)得出結(jié)果．【解答】解：∵（）2有意義，∴2x﹣3≥0，∴x≥1.5，∴2x﹣1≥3﹣1=2，∴=﹣2x+3=2x﹣1﹣2x+3=2，故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式和二次根式的化簡(jiǎn)和求值，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．10．（2009?崇左）當(dāng)x≤0時(shí)，化簡(jiǎn)|1﹣x|﹣的結(jié)果是1．【分析】依據(jù)絕對(duì)值和平方根的性質(zhì)解題．【解答】解：∵x≤0，∴1﹣x＞0∴|1﹣x|﹣=1﹣x﹣|x|=1﹣x﹣（﹣x）=1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了絕對(duì)值和平方根的性質(zhì)，要求掌握絕對(duì)值和平方根的性質(zhì)及其定義，并能熟練運(yùn)用到實(shí)際當(dāng)中．絕對(duì)值規(guī)律總結(jié)：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．二次根式規(guī)律總結(jié)：當(dāng)a≥0時(shí)，=a；當(dāng)a≤0時(shí)，=﹣a．11．（2009?瓊海模擬）化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果是．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)及定義解答．【解答】解：由二次根式的性質(zhì)得﹣a3b≥0∵a＜b∴a＜0，b＞0∴原式==﹣a．【點(diǎn)評(píng)】解答此題，要弄清以下問(wèn)題：1、定義：一般地，形如（a≥0）的代數(shù)式叫做二次根式．2、性質(zhì)：=|a|．12．（2004?寧波）已知：a＜0，化簡(jiǎn)=﹣2．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)．【解答】解：∵原式=﹣=﹣又∵二次根式內(nèi)的數(shù)為非負(fù)數(shù)∴a﹣=0∴a=1或﹣1∵a＜0∴a=﹣1∴原式=0﹣2=﹣2．【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)二次根式內(nèi)的數(shù)為非負(fù)數(shù)得到a的值．13．（2000?河南）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)a+|a+b|﹣﹣|b﹣c|=0．【分析】為了去掉絕對(duì)值和根號(hào)，首先要判斷它們的符號(hào)．根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，知：a＞0，b＜0，c＜0；且|b|＞|a|＞|c|，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，得a+b＜0，b﹣c＜0，運(yùn)用絕對(duì)值的性質(zhì)：負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；正數(shù)的絕對(duì)值是它本身．再對(duì)原式化簡(jiǎn)．【解答】解：根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，知：a＞0，b＜0，c＜0；且|b|＞|a|＞|c|，∴原式=a﹣（a+b）+c+b﹣c=a﹣a﹣b+c+b﹣c=0．【點(diǎn)評(píng)】能夠根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置正確判斷數(shù)的符號(hào)和數(shù)的絕對(duì)值的大小，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則判斷式子的符號(hào)，再根據(jù)絕對(duì)值的意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值．同時(shí)要熟悉去括號(hào)法則以及合并同類項(xiàng)法則．14．（2009?興化市模擬）若實(shí)數(shù)a滿足|a﹣8|+=a，則a=74．【分析】由可得a≥10，再對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而求出a的值．【解答】解：根據(jù)題意得：a﹣10≥0，解得a≥10，∴原等式可化為：a﹣8+=a，即=8，∴a﹣10=64，解得：a=74．【點(diǎn)評(píng)】二次根式中被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，是解此題的突破口．15．（2013?莊浪縣校級(jí)模擬）觀察下列二次根式的化簡(jiǎn)：，，，…從計(jì)算結(jié)果中找到規(guī)律，再利用這一規(guī)律計(jì)算下列式子的值．=2009．【分析】先將第一個(gè)括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)分母有理化，此時(shí)發(fā)現(xiàn)，除第二項(xiàng)和倒數(shù)第二項(xiàng)外，其他各項(xiàng)的和為0，由此可計(jì)算出第一個(gè)括號(hào)的值，然后再計(jì)算和第二個(gè)括號(hào)的乘積．【解答】解：原式=（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）（+1）=（﹣1）（+1）=2009．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的分母有理化以及二次根式的加減運(yùn)算．能夠發(fā)現(xiàn)式子的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．三．解答題（共15小題）16．（2016春?紅橋區(qū)期中）化簡(jiǎn)下列各式：（Ⅰ）÷（Ⅱ）?（Ⅲ）；（Ⅳ）．【分析】（Ⅰ）直接利用二次根式的除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求出答案；（Ⅱ）直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求出答案；（Ⅲ）直接利用二次根式的除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求出答案；（Ⅳ）直接利用二次根式的除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求出答案．【解答】解：（Ⅰ）原式===2；（Ⅱ）原式==9x；（Ⅲ）原式==3；（Ⅳ）原式===．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的乘除法，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．17．（2012秋?合浦縣月考）把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：（1）；（2）．【分析】本題需先將二次根式分母有理化，分子的被開(kāi)方數(shù)中，能開(kāi)方的也要移到根號(hào)外．【解答】解：（1）原式==××==；（2）原式=﹣××=．【點(diǎn)評(píng)】化簡(jiǎn)二次根式的過(guò)程，一般按以下步驟：把根號(hào)下的帶分?jǐn)?shù)或絕對(duì)值大于1的小數(shù)化成假分?jǐn)?shù)，把絕對(duì)值小于1的小數(shù)化成分?jǐn)?shù)；被開(kāi)方數(shù)是多項(xiàng)式的要因式分解；使被開(kāi)方數(shù)不含分母；將被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式用它的算術(shù)平方根代替后移到根號(hào)外面；化去分母中的根號(hào)；約分．18．（2016春?吉林期末）．【分析】運(yùn)用（a≥0，b＞0）直接進(jìn)行計(jì)算．也可以先分子做減法運(yùn)算，再分子、分母做除法運(yùn)算．【解答】解：原式===3﹣2=1．【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于二次根式的乘除法，應(yīng)結(jié)合給出的算式的特點(diǎn)靈活進(jìn)行計(jì)算．19．（2016春?端州區(qū)期末）計(jì)算：2×÷10．【分析】先化簡(jiǎn)二次根式，再用乘法和除法運(yùn)算即可．【解答】解：2×÷10=2×2××=【點(diǎn)評(píng)】此題是二次根式的乘除法，主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)，分母有理化，解本題的關(guān)鍵是分母有理化的運(yùn)用．20．（2016春?潮南區(qū)月考）化簡(jiǎn)：4x2．【分析】直接利用二次根式乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求出答案．【解答】解：4x2=4x2÷12×3=x2=xy．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算法則，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．21．（2016春?咸豐縣校級(jí)月考）計(jì)算：（1）（2）．【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法，可得答案；（2）根據(jù)二次根式的乘除法，可得答案．【解答】解：（1）原式=﹣12=﹣12×9=﹣108；（2）原式=÷×==1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的乘除法，?=，÷=．22．（2016秋?欽州校級(jí)月考）計(jì)算3÷×．【分析】先進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，再結(jié)合二次根式的乘除法運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可．【解答】解：原式=3×3÷××=9÷××=45×=20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的乘除法，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)及二次根式乘除法的運(yùn)算法則．23．（2013秋?云夢(mèng)縣校級(jí)期末）（1）÷3×5；（2）﹙﹣﹚÷（）．【分析】（1）利用二次根式的乘除運(yùn)算法則將除法變?yōu)槌朔?，根?hào)內(nèi)的和根號(hào)內(nèi)部相乘除，根號(hào)外的與根號(hào)外部相乘除，進(jìn)而化簡(jiǎn)得出即可；（2）利用二次根式的乘除運(yùn)算法則將除法變?yōu)槌朔?，根?hào)內(nèi)的和根號(hào)內(nèi)部相乘除，根號(hào)外的與根號(hào)外部相乘除，進(jìn)而化簡(jiǎn)得出即可．【解答】解：（1）÷3×5=×5=；（2）﹙﹣﹚÷（）=﹣××3=﹣=﹣9x2y．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．24．（2015秋?閘北區(qū)期中）計(jì)算：2÷?．【分析】直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求出答案．【解答】解：原式=2×6=12=8．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．25．（2016春?利川市校級(jí)月考）如果=?成立，求x的取值范圍．【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出關(guān)于x的不等式組進(jìn)而求出答案．【解答】解：∵=?成立，∴，解得：﹣1≤x≤2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的乘除以及二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的定義是解題關(guān)鍵．26．（2016春?滑縣校級(jí)月考）已知=，且x為偶數(shù)，求（1+x）的值．【分析】根據(jù)題意，求出x的取值范圍，然后化簡(jiǎn)求解即可．【解答】解：∵=，∴6＜x≤9，∵x為偶數(shù)，∴x=8，則（1+x）=（1+x）===6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的乘法運(yùn)算，根據(jù)題意，求出x的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵．27．（2016春?東湖區(qū)期中）小明在解決問(wèn)題：已知a=，求2a2﹣8a+1的值，他是這樣分析與解答的：∵a===2﹣，∴a﹣2=﹣，∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3∴a2﹣4a=﹣1．∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2（﹣1）+1=﹣1．請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：若a=，求4a2﹣8a﹣3的值．【分析】根據(jù)平方差公式，可分母有理化，根據(jù)整體代入，可得答案．【解答】解：a===+1，（a﹣1）2=2，a2﹣2a+1=2，a2﹣2a=1．4a2﹣8a﹣3=4（a2﹣2a）﹣3=4×1﹣3=1，4a2﹣8a﹣3的值是1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分母有理化的應(yīng)用，能求出a的值和正確變形是解此題的關(guān)鍵．28．（2016春?郴州校級(jí)期中）先閱讀，后解答：===3+像上述解題過(guò)程中，﹣與+相乘，積不含有二次根式，我們可將這兩個(gè)式子稱為互為有理化因式，上述解題過(guò)程也稱為分母有理化，（1）