圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題

圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題一重點(diǎn)：求圓錐曲線(xiàn)中的各種最值問(wèn)題。二難點(diǎn)：題目中各種基本思想方法的靈活應(yīng)用。三基本方法：本節(jié)所用到換元、數(shù)形結(jié)合、目標(biāo)函數(shù)等數(shù)學(xué)思想和方法。四例題1.幾何法(I)有關(guān)點(diǎn)的最值問(wèn)題【練習(xí)1】橢圓三+y2=13>b>0)上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值是 ；最小值a2b2是;相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是.【練習(xí)2】雙曲線(xiàn)上-y2=1上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值是 ；相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)a2b2是.【練習(xí)3】橢圓上+y2=1(a>b>0)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值是 ;最小值a2b2是;相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是.【練習(xí)4】雙曲線(xiàn)上-y2=1上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值是 ；相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)a2b2是.【練習(xí)5】拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值是;相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是.【例1】點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上x(chóng)2二4y上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(8,7),則點(diǎn)P到x軸與到A點(diǎn)的距離之和的最小值為，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)?！窘馕觥縷PB|+|PA|=|PC|-|BC|+|PA|=|PF|+|PA|-|BC|>|FA|-|BC|=10-1=9,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是拋物線(xiàn)與點(diǎn)P是拋物線(xiàn)與FA的交點(diǎn)時(shí),PB|+|PA|=9最小。此時(shí)，由解得P(4,4)或P(-1,；)(舍去.但，是||PF|-|PA||的最大值點(diǎn)?P在線(xiàn)段外，有向線(xiàn)段方向問(wèn)題。||PF|-|PA||的最小值點(diǎn)即線(xiàn)段AF的垂直平分線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn))?！驹u(píng)析】(1)如何判斷點(diǎn)A的位置。參照區(qū)域判斷方法。(2)折線(xiàn)和化為直線(xiàn)段。(3)此題無(wú)最大值。(4)若點(diǎn)A在拋物線(xiàn)內(nèi)部，如何？(過(guò)A作x軸的垂線(xiàn)，垂線(xiàn)段長(zhǎng)即為所求，垂線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即為P點(diǎn)。此情況也無(wú)最大值。)||PF|-|PA||的最大、最小值點(diǎn)？說(shuō)明：①“兜底”②細(xì)節(jié)。

,P是其上一點(diǎn)，定點(diǎn)B(2,1),則|PB|+-|PF|最,小值為;|PB|+|PF|的最大、最小值為【解析】首先判斷定點(diǎn)B(2,1)的位置.|PB|+4|PF|=|PB|+|PQ|>|BC|；2a—|BF[<|PB|+|PF|=|PB|_|PF[+2a<2a+怛尸【評(píng)析】(1)|PB|+4|PF|的最大值存在，但求不出.(涉及4次方程)|PB|-4|PF|=|PB|+4(|PFf\-2a)能求最小，最大求不出.||PB|-|PF||的最大、最小值點(diǎn)？B(2,4)點(diǎn)在橢圓外，|PB|+5-|PF|如何？無(wú)法求出.|PB|+|PF|最小可求，即連接BF與橢圓的交點(diǎn)；|PB|+|PF|最大也可求，|PB|+|PF|=|PB|-|PF1+2a，連接BF'與橢圓的交點(diǎn);||PB|-|PF||的最大值可求，最小值與BF的垂直平分線(xiàn)和橢圓有無(wú)交點(diǎn)有關(guān)--有交點(diǎn)可求,無(wú)交點(diǎn)存在最小值但求不出.【變式2】已知雙曲線(xiàn)x2-號(hào)=1上有動(dòng)點(diǎn)P和定點(diǎn)A(2,1)，且F為雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，則|PA|+1|PF|的最小值 ;|PA|+|PF|的最小值(分P點(diǎn)在左、右支) 。^2

總結(jié)：(1)圓錐曲線(xiàn)上點(diǎn)到定點(diǎn)和焦點(diǎn)的距離和解法：①折線(xiàn)化直線(xiàn)段；②|尸川與|PF1轉(zhuǎn)化。(2)任意一點(diǎn)到圓錐曲線(xiàn)的距離最值存在，但求不出.(II)有關(guān)弦上的點(diǎn)最值問(wèn)題【例2】定長(zhǎng)為3的線(xiàn)段AB的端點(diǎn)A,B在拋物線(xiàn)y2=x上移動(dòng)，則AB中點(diǎn)M到)軸距離的最小值為【解析】|離的最小值為【解析】|AB|>通徑長(zhǎng)2P=1，所以AB過(guò)焦點(diǎn)是可能的。 AC +BD. .AF+BF. .1 ...M[R\=MN-NR= ^IR\= N^R\>-AB-NR 2 1 1 2 1 12 111=3-1=5,當(dāng)且僅當(dāng)直線(xiàn)AB過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)取最小值。244【評(píng)析】(1)最大值不存在。(2)一般，設(shè)|AB|=l，點(diǎn)A,B在拋物線(xiàn)y2=2px上，討論AB中點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的最小值？【解析】設(shè)直線(xiàn)AB的方程：x=ky+m,由jy2Px 消去x，得y2-2pky-2pm=0.[x=ky+m,設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2)，由A,B是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，所以，

(*)A=(2pk)2+8pm-4p(pk2+2m)>0(*)設(shè)M(x0,y°),韋達(dá)定理，得 y1+y2-2pk,y1gy2=-2pm，從而y-pk,x-ky+m-pk2+m.由|AB-l，得12-(1+k2)[(y+y)2-4yy]=(1+k2)(4p2k2+8pm)-4p(1+k2)(pk2+2m),. 1 l2 l2 pk2.?m-—( pk2) TOC\o"1-5"\h\z24p(1+k2) 8p(1+k2) 2于是，, pk2 12 p(1+k2) 12 px=pk2+m---+ - + —0 2 8p(1+k2) 2 8p(1+k2)21 121--[p(1+k2)+ ]2 4p(1+k2)（令"k2）二小，得1+k2-1?為下面分析提供依據(jù)）①當(dāng)1>2p時(shí)，x>--p，當(dāng)且僅當(dāng)k2---1,且m-p時(shí)，（*）成立，取得

022 2p 2最小值--^;22②當(dāng)1<2p時(shí)，由“對(duì)號(hào)”函數(shù)的單調(diào)性，得x>!（p+2）-p-匕，當(dāng)且僅當(dāng)k-0,02 4p28p且m-七時(shí)，（*）成立，取最小值匕.8p 8p【變式1】定長(zhǎng)為1（也<1<2a）的線(xiàn)段AB的端點(diǎn)A,B在橢圓上+4-1（a>b>0）上移

a a2b2動(dòng)，則AB中點(diǎn)M到右準(zhǔn)線(xiàn)距離的最小值為;最大值為【解析】|MM卜1AA卜叫-1A'+變■111 2 2eAB1>——;2e2e, ,|AA|+BB AF\+|BFMM-1 u=——L_!_1 2 2e

4a-(AF\+BF)2a(AF+BF)=111—= 112e e 2e/2a|AB|_2al、 一 = - e 2ee2e【評(píng)析】(1)當(dāng)0<l<生時(shí)，如何？a(2)雙曲線(xiàn)？2.代數(shù)法(I)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的最值問(wèn)題【練習(xí)1】線(xiàn)段AB是拋物線(xiàn)y2=2px的焦點(diǎn)弦，則線(xiàn)段AB的最小值是.【練習(xí)2】線(xiàn)段AB是橢圓上+y2=1(a>b>0)的焦點(diǎn)弦,則線(xiàn)段AB的最小值是 a2b2最大值是?！纠?】線(xiàn)段AB是雙曲線(xiàn)三-二=1的焦點(diǎn)弦，求線(xiàn)段AB的最小值.a2b2【解析】(1)若AB±x,|AB|=亥；a(2)AB不垂直x軸，設(shè)直線(xiàn)AB的方程：y=k(x+c).x2y2由|a-記=:消去y，得(b2-a2k2)x2-2a2k2cx-a2(c2k2+b2)=0.y=k(x+c)a2(c2k2+b2)xi挑2―—-b2-a2k2IABI2IABI2二(1+k2)[(x+x)2-4xx]=(1+k2)[()2+4a2(c2k2+b2)

b2-a2k2二(1+k2)4a2b4(1+k2)(b2-a2k2)2即|AB|2即|AB|2ab2(1+k2)

b2-a2k22ab2b2-a2k21+k22ab2①當(dāng)b2-a2k2>0即k2<一時(shí)(交點(diǎn)不在同一支),

a2AB=2ab22ab2c2 一a21AB=2ab22ab2c2 一a21+k2>用竺=2a,k=0時(shí)取最小值;c2一a21ABi=2ab22ab22ab2，且當(dāng)AB±x時(shí)|AB|=②當(dāng)b2-a2k2<0即k2>b2時(shí)(交點(diǎn)在同一支)，a2;最小值為Ab2Bab3.已知離心率為e;最小值為Ab2Bab3.已知離心率為e1,e2Cac區(qū)雙曲線(xiàn)潸2a22Dbc，則e1+e2的最小值a2一所以，AB(II)其他最值問(wèn)題【例4】設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足含￥=1，則x+2y的最大值為.【變式1】求y-1的范圍,【變式2】A、B是上面橢圓上的兩個(gè)頂點(diǎn)C、D是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且分別在直線(xiàn)AB的兩側(cè)，則四邊形ABCD面積的最大值。五課堂測(cè)試：.已知中心在原點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)P(2,l)點(diǎn)，則該橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍是.過(guò)橢圓a2%2=1(a>b>0)中心的直線(xiàn)與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F2(c,0),,?AABF2的最大面積為()為。4.已知橢圓的焦點(diǎn)為F1G1,0),F2(1,0),且與直線(xiàn)x-y+2=0有公共點(diǎn)，求長(zhǎng)軸最短的橢圓的方程。5.若P是橢圓上十二=1(a>b>0)上的一點(diǎn)，F(xiàn),F是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)/FPF最大時(shí),a2b2 12 12P的坐標(biāo)是

6.給