高中數(shù)學三角函數(shù)基礎知識點及答案

中學數(shù)學三角函數(shù)基礎學問點與答案1、角的概念的推廣：平面內(nèi)一條射線圍著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所的圖形。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角，一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時，稱它形成一個零角。射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊。2、象限角的概念：在直角坐標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角。假如角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限。3.終邊相同的角的表示：(1)終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在射線上)，留意：相等的角的終邊肯定相同，終邊相同的角不肯定相等.如與角的終邊相同，且肯定值最小的角的度數(shù)是＿＿＿，合＿＿＿弧度?；《龋阂恢艿幕《葦?shù)為2π2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度約為57.3°，即57°17'44.806''，1°為π/180弧度，近似值為0.01745弧度，周角為2π弧度，平角（即180°角）為π弧度，直角為π/2弧度。（答：；）(2)終邊與終邊共線(的終邊在終邊所在直線上).(3)終邊與終邊關(guān)于軸對稱.(4)終邊與終邊關(guān)于軸對稱.(5)終邊與終邊關(guān)于原點對稱.(6)終邊在軸上的角可表示為：；終邊在軸上的角可表示為：；終邊在坐標軸上的角可表示為：.如的終邊與的終邊關(guān)于直線對稱，則＝。（答：）4、與的終邊關(guān)系：由“兩等分各象限、一二三四”確定.如若是其次象限角，則是第象限角（答：一、三）5.弧長公式：，扇形面積公式：，1弧度(1).如已知扇形的周長是6，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。（答：2）6、隨意角的三角函數(shù)的定義：設是隨意一個角，P是的終邊上的隨意一點（異于原點），它與原點的距離是，那么，，，，。三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點P的位置無關(guān)。如（1）已知角的終邊經(jīng)過點P(5，－12)，則的值為＿＿。（答：）；（2）設是第三、四象限角，，則的取值范圍是（答：（－1，）；（3）若，試推斷的符號（答：負）7.三角函數(shù)線的特征是：正弦線“站在軸上(起點在軸上)”、余弦線“躺在軸上(起點是原點)”、正切線“站在點處(起點是)”.三角函數(shù)線的重要應用是比較三角函數(shù)值的大小和解三角不等式。如（1）若，則的大小關(guān)系為(答：)；（2）若為銳角，則的大小關(guān)系為（答：）；（3）函數(shù)的定義域是（答：）8.特別角的三角函數(shù)值：30°45°60°0°90°180°270°15°75°010－110－101002-2+1002+2-9.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：（1）平方關(guān)系：（2）倒數(shù)關(guān)系：111,（3）商數(shù)關(guān)系：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應用是，已知一個角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值。在運用平方關(guān)系解題時，要依據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范圍，以便進行定號；在詳細求三角函數(shù)值時，一般不需用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，而是先依據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的肯定值。如（1）函數(shù)的值的符號為（答：大于0）；（2）若，則使成立的的取值范圍是（答：）；（3）已知，，則＝（答：）；（4）已知，則＝；＝（答：；）；（5）已知，則等于A、B、C、D、（答：B）；（6）已知，則的值為（答：－1）。10.三角函數(shù)誘導公式（）的本質(zhì)是：奇變偶不變（對而言，指取奇數(shù)或偶數(shù)），符號看象限（看原函數(shù)，同時可把看成是銳角）.誘導公式的應用是求隨意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：（1）負角變正角，再寫成2,；(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。如（1）的值為（答：）；（2）已知，則，若為其次象限角，則。（答：；）隨堂練習例1已知角的終邊上一點P（－\r(3)，m），且θ=\f(\r(2),4)m，求θ與θ的值．分析已知角的終邊上點的坐標，求角的三角函數(shù)值，應聯(lián)想到運用三角函數(shù)的定義解題，由P的坐標可知，需求出m的值，從而應尋求m的方程．解由題意知\r(3＋m2)，則θ=\f()=\f(m,\r(3＋m2))．又∵θ=\f(\r(2),4)m，∴\f(m,\r(3＋m2))=\f(\r(2),4)m．∴0，±\r(5)．當0時，θ=－1，θ=0；當\r(5)時，θ=－\f(\r(6),4)，θ=－\f(\r(15),3)；當－\r(5)時，θ=－\f(\r(6),4)，θ=\f(\r(15),3)．點評已知一個角的終邊上一點的坐標，求其三角函數(shù)值，往往運用定義法(三角函數(shù)的定義)解決．例2已知集合｛θ｜θ＜θ，0≤θ≤2π}，｛θ｜θ＜θ}，求集合E∩F．分析對于三角不等式，可運用三角函數(shù)線解之．解｛θ｜\f(π,4)＜θ＜\f(5π,4)}，F(xiàn)=｛θ｜\f(π,2)＜θ＜π，或\f(3π,2)＜θ＜2π}，∴E∩｛θ｜\f(π,2)＜θ＜π}．例1化簡\f((2π-α)(π+α)(-α-π),(π-α)(3π-α))．分析式中含有較多角和較多三角函數(shù)名稱，若能削減它們的個數(shù)，則式子可望簡化．解原式=\f(（α）α［(α+π)］,(α)(π-α))=\f((α)α(α),(α)(α))=\f(α·\f(α,α),α)=1．點評將不同角化同角，不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù)是三角變換中常用的方法．例2若θθ=\f(1,8)，θ∈(\f(π,4)，\f(π,2))，求θ－θ的值．分析已知式為θ、θ的二次式，欲求式為θ、θ的一次式，為了運用條件，須將θ－θ進行平方．解(θ－θ)22θ2θ－2θθ=1－\f(1,4)=\f(3,4)．∵θ∈(\f(π,4)，\f(π,2))，∴θ＜θ．∴θ－θ=－\f(\r(3),2)．變式1條件同例，求θθ的值．變式2已知θ－θ=－\f(\r(3),2)，求θθ，θθ的值．點評θθ，θθ，θ－θ三者關(guān)系緊密，由其中之一，可求其余之二．例3已知θ=3．求2θθθ的值．分析因為2θθθ是關(guān)于θ、θ的二次齊次式，所以可轉(zhuǎn)化成θ的式子．解原式2θθθ=\f(2θθθ,2θ2θ)=\f(1θ,12θ)=\f(2,5)．點評1．關(guān)于θ、θ的齊次式可轉(zhuǎn)化成θ的式子．2．留意1的作用:12θ2θ等．例1已知α－β=－\f(1,3)，α－β=\f(1,2)，求(α－β)的值．分析由于(α－β)αβαβ的右邊是關(guān)于α、α、β、β的二次式，而已知條件是關(guān)于α、β、α、β的一次式，所以將已知式兩邊平方．解∵α－β=－\f(1,3)，①α－β=\f(1,2)，②①2＋②2，得2－2(α－β)=\f(13,36)．∴(α－β)=\f(72,59)．點評審題中要擅長找尋已知和欲求的差異，設法消退差異．例2求\f(210°20°,20°)的值．分析式中含有兩個角，故需先化簡．留意到10°=30°－20°，由于30°的三角函數(shù)值已知，則可將兩個角化成一個角．解∵10°=30°－20°，∴原式=\f(2(30°-20°)20°,20°)=\f(2(30°20°30°20°)20°,20°)=\f(\r(3)30°,20°)=\r(3)．點評化異角為同角，是三角變換中常用的方法．例1求下列各式的值（1）10°＋50°+\r(3)10°50°；(2)\f(（\r(3)12°-3）12°,4212°-2)．(1)解原式(10°+50°)（1－10°50°）+\r(3)10°50°=\r(3)．（2）分析式中含有多個函數(shù)名