2020-2021學(xué)年北京師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年北京師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1．（5分）數(shù)列，，2，，???的一個通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．2．（5分）求函數(shù)f（x）＝sinα+cosα的導(dǎo)數(shù)（）A．cosα+sinx B．cosα﹣sinx C．﹣sinx D．03．（5分）數(shù)列{an}滿足，，則a2021等于（）A．﹣1 B． C．2 D．34．（5分）函數(shù)y＝x﹣lnx的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（0，1） B．（﹣∞，1） C．（1，2） D．（1，+∞）5．（5分）用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）時，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式（）A． B． C． D．6．（5分）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝n2﹣9n﹣10，記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若使Sn取得最小值，則n＝（）A．5 B．5或6 C．10 D．9或107．（5分）設(shè)三次函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），函數(shù)y＝x?f′（x）的圖象的一部分如圖所示，則正確的是（）A．f（x）的極大值為，極小值為 B．f（x）的極大值為，極小值為 C．f（x）的極大值為f（﹣3），極小值為f（3） D．f（x）的極大值為f（3），極小值為f（﹣3）8．（5分）已知函數(shù)f（x）＝﹣ax，x∈（0，+∞），當(dāng)0＜x1＜x2時，不等式x1f（x1）＜x2f（x2）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C．（﹣∞，e） D．（﹣∞，e]二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）9．（5分）等比數(shù)列{an}中，已知a2＝2，a4＝4，則a6＝．10．（5分）已知函數(shù)y＝﹣x3+3x2+m的極大值為5，則實(shí)數(shù)m＝．11．（5分）各項(xiàng)都為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中，2a3﹣a72+2a11＝0，則a5+a9＝．12．（5分）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2，則an＝．13．（5分）若曲線f（x）＝（ax﹣1）ex﹣2在點(diǎn)（2，f（2））處的切線過點(diǎn)（3，3），則實(shí)數(shù)a的值為．14．（5分）數(shù)列{an}滿足a1＝1，，實(shí)數(shù)k為常數(shù)．①數(shù)列{an}有可能是常數(shù)列；②k＝1時，數(shù)列為等差數(shù)列；③若a3＞a1，則k的取值范圍是（﹣2，0）；④k＞0時，數(shù)列{an}單調(diào)遞減．則以上判斷正確的序號是.（寫出符合條件的所有序號）三、解答題（本大題共3小題，共30分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15．（10分）已知等差數(shù)列{an}滿足：a1＝2，且a1、a2、a5成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．（2）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由．16．（10分）已知函數(shù)f（x）＝2x3+3ax2+3bx+1且在x＝1及x＝2處取得極值．（1）求a，b的值；（2）求函數(shù)y＝f（x）在[0，3]上的最大值與最小值的差．17．（10分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)a＝1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．二卷四、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）18．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sinx﹣，x∈（0，π），則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為．19．（5分）數(shù)列{an}中，若a1＝2，，則an＝．20．（5分）已知實(shí)數(shù)a，b，c，d成等比數(shù)列，對于函數(shù)，當(dāng)x＝b時取到極大值c，則ad＝．21．（5分）等比數(shù)列{an}中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表中的同一列，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝．第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行981822．（5分）設(shè)數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式分別為，bn＝3n+2，令cn＝an?bn，則c1＝，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn＝．23．（5分）記f′（x），g′（x）分別為函數(shù)f（x），g（x）的導(dǎo)函數(shù)．若存在x0∈R，滿足f（x0）＝g（x0）且f′（x0）＝g′（x0），則稱x0為函數(shù)f（x）與g（x）的一個“S點(diǎn)”．（1）以下函數(shù)f（x）與g（x）存在“S點(diǎn)”的是．①函數(shù)f（x）＝x與g（x）＝x2+2x﹣2；②函數(shù)f（x）＝x+1與g（x）＝ex；③函數(shù)f（x）＝sinx與g（x）＝cosx．（2）已知m，n∈R，若函數(shù)f（x）＝mx2+nx與g（x）＝lnx存在“S點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．五、解答題（本大題共2小題，共20分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）24．（10分）已知{an}是等差數(shù)列，記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a8＝1，S16＝24．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若{bn}是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且b1+b4＝9，b2b3＝8，求（a1﹣b1）+（a2﹣b2）+（a3﹣b3）+???+（an﹣bn）．25．（10分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣ln（1+x）．（1）求函數(shù)f（x）的極小值；（2）若對任意的x∈[0，+∞），有kx2≥f（x）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）證明：．

2020-2021學(xué)年北京師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1．（5分）數(shù)列，，2，，???的一個通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)被開方數(shù)的特點(diǎn)即可求出．【解答】解：數(shù)列，，2，，???即為，，，，???，則發(fā)現(xiàn)被開方數(shù)成等差數(shù)列，即其中一個通項(xiàng)公式為，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了通過數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式，主要考查了歸納能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）求函數(shù)f（x）＝sinα+cosα的導(dǎo)數(shù)（）A．cosα+sinx B．cosα﹣sinx C．﹣sinx D．0【分析】根據(jù)題意，分析可得sinα+cosα為常數(shù)，則函數(shù)f（x）＝sinα+cosα為常數(shù)函數(shù)，求出其導(dǎo)數(shù)即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，sinα+cosα為常數(shù)，則函數(shù)f（x）＝sinα+cosα為常數(shù)函數(shù)，則f′（x）＝0；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式．3．（5分）數(shù)列{an}滿足，，則a2021等于（）A．﹣1 B． C．2 D．3【分析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的周期，進(jìn)一步求出結(jié)果．【解答】解：數(shù)列{an}滿足，，當(dāng)n＝1時，解得，當(dāng)n＝2時，解得，當(dāng)n＝3時，解得，當(dāng)n＝4時，解得，．故數(shù)列的周期為3．故a2021＝a673×3+2＝a2＝﹣1．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)列的周期，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）函數(shù)y＝x﹣lnx的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（0，1） B．（﹣∞，1） C．（1，2） D．（1，+∞）【分析】對函數(shù)y＝x﹣lnx求導(dǎo)，解不等式y(tǒng)′＞0′便得到原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【解答】解：y′＝，∵x＞0，∴x＞1時，y′＞0，所以原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），故選：D．【點(diǎn)評】考查求導(dǎo)數(shù)來找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法，比較容易求解．5．（5分）用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）時，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式（）A． B． C． D．【分析】直接利用數(shù)學(xué)歸納法寫出n＝2時左邊的表達(dá)式即可．【解答】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明（n∈N+，n＞1）時，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式為：；故選：B．【點(diǎn)評】在數(shù)學(xué)歸納法中，第一步是論證n＝1時結(jié)論是否成立，此時一定要分析不等式左邊的項(xiàng)，不能多寫也不能少寫，否則會引起答案的錯誤．6．（5分）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝n2﹣9n﹣10，記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若使Sn取得最小值，則n＝（）A．5 B．5或6 C．10 D．9或10【分析】直接利用數(shù)列的通項(xiàng)公式，二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用求出數(shù)列的和的最小值．【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)：an＝n2﹣9n﹣10＝（n﹣10）（n+1）≥0，當(dāng)n＝10時，a10＝0，由于S9＝S10，故當(dāng)n＝9或10時，取得最小值．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）設(shè)三次函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），函數(shù)y＝x?f′（x）的圖象的一部分如圖所示，則正確的是（）A．f（x）的極大值為，極小值為 B．f（x）的極大值為，極小值為 C．f（x）的極大值為f（﹣3），極小值為f（3） D．f（x）的極大值為f（3），極小值為f（﹣3）【分析】觀察圖象知，x＜﹣3時，f′（x）＜0．﹣3＜x＜0時，f′（x）＞0．由此知極小值為f（﹣3）．0＜x＜3時，yf′（x）＞0．x＞3時，f′（x）＜0．由此知極大值為f（3）．【解答】解：觀察圖象知，x＜﹣3時，y＝x?f′（x）＞0，∴f′（x）＜0．﹣3＜x＜0時，y＝x?f′（x）＜0，∴f′（x）＞0．由此知極小值為f（﹣3）．0＜x＜3時，y＝x?f′（x）＞0，∴f′（x）＞0．x＞3時，y＝x?f′（x）＜0，∴f′（x）＜0．由此知極大值為f（3）．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查極值的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要仔細(xì)圖象，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．8．（5分）已知函數(shù)f（x）＝﹣ax，x∈（0，+∞），當(dāng)0＜x1＜x2時，不等式x1f（x1）＜x2f（x2）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C．（﹣∞，e） D．（﹣∞，e]【分析】問題轉(zhuǎn)化為2a≤在（0，+∞）上恒成立，令h（x）＝（x＞0），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的取值范圍即可．【解答】解：令g（x）＝xf（x）＝ex﹣ax2，∵當(dāng)0＜x1＜x2時，不等式x1f（x1）＜x2f（x2）恒成立，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g′（x）＝ex﹣2ax≥0在（0，+∞）上恒成立，∴2a≤在（0，+∞）上恒成立，令h（x）＝（x＞0），則h′（x）＝，令h′（x）＞0，解得：x＞1，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴h（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，∴h（x）min＝h（1）＝e，∴2a≤e，∴a≤，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是中檔題．二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）9．（5分）等比數(shù)列{an}中，已知a2＝2，a4＝4，則a6＝8．【分析】由等比數(shù)列的定義和性質(zhì)可得a2、a4、a6也成等比數(shù)列，可得＝a2?a6，由此求得a6的值．【解答】解：等比數(shù)列{an}中，已知a2＝2，a4＝4，且a2、a4、a6也成等比數(shù)列，∴＝a2?a6，解得a6＝8，故答案為8．【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，得到a2、a4、a6也成等比數(shù)列，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．10．（5分）已知函數(shù)y＝﹣x3+3x2+m的極大值為5，則實(shí)數(shù)m＝1．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極大值，得到關(guān)于m的方程，解出即可．【解答】解：y′＝﹣3x2+6x＝﹣3x（x﹣2），令y′＞0，解得：0＜x＜2，令y′＜0，解得：x＞2或x＜0，故函數(shù)y＝﹣x3+3x2+m在（﹣∞，0）遞減，在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減，故x＝2時，y取極大值，極大值是﹣8+12+m＝5，解得：m＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．11．（5分）各項(xiàng)都為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中，2a3﹣a72+2a11＝0，則a5+a9＝8．【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到＝0，求出a7＝4，再由a5+a9＝2a7，能求出結(jié)果．【解答】解：∵各項(xiàng)都為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中，2a3﹣a72+2a11＝0，∴＝0，解得a7＝4，∴a5+a9＝2a7＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的兩項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．12．（5分）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2，則an＝6n﹣3．【分析】根據(jù)題意，當(dāng)n＝1時，a1＝S1，當(dāng)n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1，求出an的表達(dá)式，驗(yàn)證可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3，當(dāng)n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝3n2﹣3（n﹣1）2＝6n﹣3，a1＝3符合an＝6n﹣3，故an＝6n﹣3；故答案為：6n﹣3．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的表示方法，注意數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）若曲線f（x）＝（ax﹣1）ex﹣2在點(diǎn)（2，f（2））處的切線過點(diǎn)（3，3），則實(shí)數(shù)a的值為1．【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出曲線f（x）＝（ax﹣1）ex﹣2在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程，把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求解a值．【解答】解：由f（x）＝（ax﹣1）ex﹣2，得f′（x）＝aex﹣2+（ax﹣1）ex﹣2，∴f′（2）＝a+2a﹣1＝3a﹣1，又f（2）＝2a﹣1，∴曲線f（x）＝（ax﹣1）ex﹣2在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y﹣2a+1＝（3a﹣1）（x﹣2），代入（3，3），得4﹣2a＝3a﹣1，解得a＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，關(guān)鍵是簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，是中檔題．14．（5分）數(shù)列{an}滿足a1＝1，，實(shí)數(shù)k為常數(shù)．①數(shù)列{an}有可能是常數(shù)列；②k＝1時，數(shù)列為等差數(shù)列；③若a3＞a1，則k的取值范圍是（﹣2，0）；④k＞0時，數(shù)列{an}單調(diào)遞減．則以上判斷正確的序號是①②④.（寫出符合條件的所有序號）【分析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的單調(diào)性判斷①②③④的結(jié)論．【解答】解：數(shù)列{an}滿足a1＝1，，實(shí)數(shù)k為常數(shù)．對于①，當(dāng)k＝0時，數(shù)列{an}是常數(shù)列，故①正確；對于②，k＝1時，整理得（常數(shù)），所以數(shù)列為等差數(shù)列，故②正確；對于③，若a3＞a1，故，解得﹣1＜k＜0，故k的取值范圍是（﹣1，0），故③錯誤；對于④，令n＝3，所以：＝，猜想歸納，由于k＞0，所以，則an＞an+1，故數(shù)列{an}單調(diào)遞減，故④正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的單調(diào)性，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題（本大題共3小題，共30分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15．（10分）已知等差數(shù)列{an}滿足：a1＝2，且a1、a2、a5成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．（2）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由．【分析】（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得Sn，再利用一元二次不等式的解法即可得出．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a1＝2，且a1、a2、a5成等比數(shù)列．∴＝a1a5，即（2+d）2＝2（2+4d），解得d＝0或4．∴an＝2，或an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．（2）當(dāng)an＝2時，Sn＝2n，不存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n+800．當(dāng)an＝4n﹣2時，Sn＝＝2n2，假設(shè)存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n+800，即2n2＞60n+800，化為n2﹣30n﹣400＞0，解得n＞40，∴n的最小值為41．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．16．（10分）已知函數(shù)f（x）＝2x3+3ax2+3bx+1且在x＝1及x＝2處取得極值．（1）求a，b的值；（2）求函數(shù)y＝f（x）在[0，3]上的最大值與最小值的差．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合題意得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值和最小值，作差即可．【解答】解：（1）∵f（x）＝2x3+3ax2+3bx+1，∴f′（x）＝6x2+6ax+3b，∵f（x）在x＝1及x＝2處取得極值，∴，解得：；（2）由（1）得：f（x）＝2x3﹣9x2+12x+1，則f′（x）＝6x2﹣18x+12＝6（x﹣1）（x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，故f（x）在（﹣∞，1）遞增，在（1，2）遞減，在（2，+∞）遞增，故f（x）在[0，1）遞增，在（1，2）遞減，在（2，3]遞增，故f（x）的最大值是max{f（1），f（3）}＝max{6，10}＝10，f（x）的最小值是min{f（0），f（2）}＝min{1，5}＝1，故f（x）的最大值和最小值的差是10﹣1＝9．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是中檔題．17．（10分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)a＝1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．【分析】（1）把a(bǔ)＝1代入函數(shù)f（x）解析式，對f（x）求導(dǎo)，分別解出f'（x）≥0和f'（x）＜0的解，分別得出增區(qū)間和減區(qū)間即可；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增；即g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；分離參數(shù)，解出a，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）求最值問題，求出最值，即可得出a的取值范圍，若解不出最值，說明a不存在．【解答】解（1）當(dāng)a＝1時，．所以＝，令f'（x）≥0，則0＜x≤1或x≥2，令f'（x）＜0，則1＜x＜2，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1]和[2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，2）；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，滿足題設(shè)．因?yàn)楹瘮?shù)＝，所以，要使函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，，即4x3+3x2﹣6x+6a≥0，x∈（0，+∞）?，x∈（0，+∞），令，x∈（0，+∞），則h'（x）＝2x2+x﹣1＝（2x﹣1）（x+1），所以當(dāng)時，h'（x）＜0，h（x）在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，h'（x）＞0，h（x）在上單調(diào)遞增，所以是h（x）的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，且，所以存在a≥使函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)求單調(diào)區(qū)間問題和已知單調(diào)區(qū)間求字母取值范圍問題，注意條件的等價轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．二卷四、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）18．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sinx﹣，x∈（0，π），則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（，π）．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)小于0，求解函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即可．【解答】解：函數(shù)f（x）＝sinx﹣，可得f′（x）＝cosx﹣，由cosx﹣＜0，x∈（0，π），可得：x∈（，π），故答案為：（，π）．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的求法，考查計(jì)算能力．19．（5分）數(shù)列{an}中，若a1＝2，，則an＝．【分析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，利用疊乘法的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：數(shù)列{an}中，若a1＝2，，所以，當(dāng)n≥2時，，，…，所有的式子相乘得，解得（首項(xiàng)符合通項(xiàng)），故．故答案為：【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，疊乘法的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．20．（5分）已知實(shí)數(shù)a，b，c，d成等比數(shù)列，對于函數(shù)，當(dāng)x＝b時取到極大值c，則ad＝1．【分析】對已知函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的極大值點(diǎn)與極大值，從而可得b，c的值，最后根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得ad＝bc．【解答】解：∵，∴y′＝（x＞0）．當(dāng)0＜x＜e時，f′（x）＞0，函數(shù)在區(qū)間（0，e）為增函數(shù)；當(dāng)x＞e時，f′（x）＜0，函數(shù)在區(qū)間（e，+∞）為減函數(shù)．∴當(dāng)x＝e時，函數(shù)有極大值為f（e）＝，∴b＝e，c＝，又∵實(shí)數(shù)a，b，c，d成等比數(shù)列，∴ad＝bc＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，同時還考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．21．（5分）等比數(shù)列{an}中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表中的同一列，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2×3n﹣1．第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818【分析】由表格可看出a1，a2，a3分別是2，6，18，由此可求出{an}的首項(xiàng)和公比，繼而可求通項(xiàng)公式．【解答】解：當(dāng)a1＝3時，不合題意當(dāng)a1＝2時，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝6，a3＝18時符合題意，當(dāng)a1＝10時，不合題意因此a1＝2，a2＝6，a3＝18，所以q＝3，所以an＝2×3n﹣1．故答案為：2×3n﹣1【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．22．（5分）設(shè)數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式分別為，bn＝3n+2，令cn＝an?bn，則c1＝10，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn＝（3n﹣1）?2n+1+2．【分析】首先利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的首項(xiàng)，在利用錯位相減法求出數(shù)列的和．【解答】解：數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式分別為，bn＝3n+2，令cn＝an?bn，則c1＝a1b1＝10，因?yàn)?，所以①，②，①﹣②得，所以．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系式，數(shù)列的求和，錯位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．23．（5分）記f′（x），g′（x）分別為函數(shù)f（x），g（x）的導(dǎo)函數(shù)．若存在x0∈R，滿足f（x0）＝g（x0）且f′（x0）＝g′（x0），則稱x0為函數(shù)f（x）與g（x）的一個“S點(diǎn)”．（1）以下函數(shù)f（x）與g（x）存在“S點(diǎn)”的是②．①函數(shù)f（x）＝x與g（x）＝x2+2x﹣2；②函數(shù)f（x）＝x+1與g（x）＝ex；③函數(shù)f（x）＝sinx與g（x）＝cosx．（2）已知m，n∈R，若函數(shù)f（x）＝mx2+nx與g（x）＝lnx存在“S點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為[﹣，+∞）．【分析】（1）根據(jù)題意看方程f（x0）＝g（x0）與f′（x0）＝g′（x0）是否有公共解即可；（2）由f（x0）＝g（x0）且f′（x0）＝g′（x0），得到m關(guān)于x0的函數(shù)，通過求函數(shù)值域，可求得m取值范圍．【解答】解：（1）①由函數(shù)f（x）＝x與g（x）＝x2+2x﹣2得f′（x）＝1與g′（x）＝2x+2，根據(jù)題意解方程：x0＝x02+2x0﹣2得x0＝﹣2或1，由2x0+2＝1解得x0＝﹣，兩方程無公共解，∴不選①．②由函數(shù)f（x）＝x+1與g（x）＝ex得f′（x）＝1與g′（x）＝ex，根據(jù)題意解方程：x0+1＝e得x0＝0，由1＝e得x0＝0，∴存在x0＝0，滿足f（x0）＝g（x0）且f′（x0）＝g′（x0），0為函數(shù)f（x）與g（x）的一個“S點(diǎn)”，∴選②．③由函數(shù)f（x）＝sinx與g（x）＝cosx得f′（x）＝cosx與g′（x）＝﹣sinx．根據(jù)題意解方程：sinx0＝cosx0且cosx0＝﹣sinx0，可知兩方程無公共解．∴不選③．（2）由若函數(shù)f（x）＝mx2+nx與g（x）＝lnx得f′x）＝2mx+n與g（x）＝，根據(jù)題意解方程：mx02+nx0＝lnx0且2mx0+n＝，得mx02+lnx0＝1，∴m＝（x0＞0），∴m′＝，由m′＞0得lnx0＞，∴x0＞e，函數(shù)m＝（x0＞0）的單調(diào)遞增區(qū)間是（，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，），得函數(shù)m＝（x0＞0）的最小值是＝﹣，∴m∈[﹣，+∞）．故答案為：[﹣，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)與方程應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于難題．五、解答題（本大題共2小題，共20分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）24．（10分）已知{an}是等差數(shù)列，記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a8＝1，S16＝24．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若{bn}是單調(diào)遞增的等比