2020-2021學(xué)年北京十九中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2020-2021學(xué)年北京十九中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，共48.0分）1．（4分）設(shè)z＝（2+i）i，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A．2i B．2 C．1 D．i2．（4分）直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和（1，﹣1），則它的傾斜角是（）A．45° B．﹣45° C．135° D．45°或135°3．（4分）已知圓（x+1）2+y2＝2，則其圓心和半徑分別為（）A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C．（1，0）， D．（﹣1，0），4．（4分）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（8，﹣2），斜率為﹣2的直線(xiàn)方程為（）A．x+2y﹣4＝0 B．x﹣2y﹣12＝0 C．2x+y﹣14＝0 D．x+2y+4＝05．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限 D．第四象限6．（4分）拋物線(xiàn)y2＝4x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為5，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A．3 B．4 C．5 D．67．（4分）如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（1，1，1） B．（，，1） C．（，，1） D．（，，1）8．（4分）已知橢圓上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A．2 B．5 C．6 D．79．（4分）圓x2+y2+4x﹣2y+1＝0截x軸所得弦的長(zhǎng)度等于（）A．2 B．2 C．2 D．410．（4分）已知點(diǎn)M（﹣2，0），N（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足條件．則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）A．（x＞0） B． C．﹣＝1（x＞0） D．11．（4分）設(shè)點(diǎn)A（﹣，0），B（，0），M為動(dòng)點(diǎn)，已知直線(xiàn)AM與直線(xiàn)BM的斜率之積為定值，點(diǎn)M的軌跡是（）A． B． C． D．12．（4分）數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線(xiàn)，曲線(xiàn)C：（x2+y2）3＝4x2y2被稱(chēng)為“四葉玫瑰線(xiàn)”（如圖所示）．給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線(xiàn)C關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)；②曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)1；③存在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、邊長(zhǎng)為的正方形，使曲線(xiàn)C在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③二、填空題（本大題共4小題，共16.0分）13．（4分）已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（﹣2，0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．14．（4分）橢圓+＝1的離心率e＝．15．（4分）如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成角的余弦值為．16．（4分）已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果＝（2，﹣1，﹣4），＝（4，2，0），＝（﹣1，2，﹣1）．對(duì)于結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥．其中正確的是．三、解答題（本大題共2小題，共36分）17．（18分）已知拋物線(xiàn)C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（2，m）為其上一點(diǎn)，且|MF|＝4．（1）求p與m的值；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，求直線(xiàn)OA、OB的斜率之積．18．（18分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，四邊形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA＝，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2．（Ⅰ）求證：QB∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣Q的大??；（Ⅲ）已知點(diǎn)H在棱PD上，且異面直線(xiàn)AH與PB所成角的余弦值為，求線(xiàn)段DH的長(zhǎng)．

2020-2021學(xué)年北京十九中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，共48.0分）1．（4分）設(shè)z＝（2+i）i，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A．2i B．2 C．1 D．i【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算出z，即可得到答案．【解答】解：z＝（2+i）i＝﹣1+2i，所以z的虛部為2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和（1，﹣1），則它的傾斜角是（）A．45° B．﹣45° C．135° D．45°或135°【分析】利用斜率的計(jì)算公式先求出直線(xiàn)的斜率，再利用正切函數(shù)求出直線(xiàn)的傾斜角．【解答】解：∵直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)（1，﹣1），∴直線(xiàn)l的斜率k＝＝﹣1，∴直線(xiàn)l的傾斜角α＝135°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線(xiàn)的傾斜角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意斜率公式的合理運(yùn)用．3．（4分）已知圓（x+1）2+y2＝2，則其圓心和半徑分別為（）A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C．（1，0）， D．（﹣1，0），【分析】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出結(jié)論．【解答】解：圓（x+1）2+y2＝2的圓心為（﹣1，0），半徑為．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．4．（4分）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（8，﹣2），斜率為﹣2的直線(xiàn)方程為（）A．x+2y﹣4＝0 B．x﹣2y﹣12＝0 C．2x+y﹣14＝0 D．x+2y+4＝0【分析】先求出直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式，然后化為一般式即可．【解答】解：由題意得，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（8，﹣2），斜率為﹣2的直線(xiàn)方程為y+2＝﹣2（x﹣8），即2x+y﹣14＝0．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限 D．第四象限【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化解，然后由已知的復(fù)數(shù)得到其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得答案．【解答】解：＝＝對(duì)應(yīng)點(diǎn)（）在第一象限．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．6．（4分）拋物線(xiàn)y2＝4x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為5，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由拋物線(xiàn)定義可知，拋物線(xiàn)上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是相等的，已知|MF|＝5，則M到準(zhǔn)線(xiàn)的距離也為5，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x+，將p的值代入，進(jìn)而求出x．【解答】解：∵拋物線(xiàn)y2＝4x＝2px，∴p＝2，由拋物線(xiàn)定義可知，拋物線(xiàn)上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是相等的，∴|MF|＝5＝x+，∴x＝4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】活用拋物線(xiàn)的定義是解決拋物線(xiàn)問(wèn)題最基本的方法．拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，叫焦半徑．到焦點(diǎn)的距離常轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線(xiàn)的距離求解．7．（4分）如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（1，1，1） B．（，，1） C．（，，1） D．（，，1）【分析】設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，由已知推導(dǎo)出OAME是平行四邊形，從而M是EF的中點(diǎn)，由此能求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，∵正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1M在EF上，且AM∥平面BDE，∴AM∥OE，又AO∥EM，∴OAME是平行四邊形，∴M是EF的中點(diǎn)，∵E（0，0，1），F(xiàn)（），∴M（）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．8．（4分）已知橢圓上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A．2 B．5 C．6 D．7【分析】先根據(jù)條件求出a＝5；再根據(jù)橢圓定義得到關(guān)于所求距離d的等式即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)所求距離為d，由題得：a＝5．根據(jù)橢圓的定義橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的和等于2a得：2a＝3+d?d＝2a﹣3＝7．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的定義．在解決涉及到圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的關(guān)系的問(wèn)題中，圓錐曲線(xiàn)的定義往往是解題的突破口．9．（4分）圓x2+y2+4x﹣2y+1＝0截x軸所得弦的長(zhǎng)度等于（）A．2 B．2 C．2 D．4【分析】首先令y＝0，整理得兩根和與兩根積，進(jìn)一步求出弦長(zhǎng)．【解答】解：令y＝0，則圓的方程轉(zhuǎn)換為x2+4x+1＝0，所以x1+x2＝﹣4，x1x2＝1，所以＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線(xiàn)圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．10．（4分）已知點(diǎn)M（﹣2，0），N（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足條件．則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）A．（x＞0） B． C．﹣＝1（x＞0） D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義可得，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支，即可求解．【解答】解：由題意可知，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支，∵點(diǎn)M（﹣2，0），N（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足條件，∴，∴，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（x＞0）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線(xiàn)的定義，屬于基礎(chǔ)題．11．（4分）設(shè)點(diǎn)A（﹣，0），B（，0），M為動(dòng)點(diǎn)，已知直線(xiàn)AM與直線(xiàn)BM的斜率之積為定值，點(diǎn)M的軌跡是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合斜率公式，即可求解．【解答】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），則，（x≠），∵直線(xiàn)AM與直線(xiàn)BM的斜率之積為定值，∴，化簡(jiǎn)可得，，故點(diǎn)M的軌跡方程為．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查軌跡方程的求解，掌握斜率公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．12．（4分）數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線(xiàn)，曲線(xiàn)C：（x2+y2）3＝4x2y2被稱(chēng)為“四葉玫瑰線(xiàn)”（如圖所示）．給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線(xiàn)C關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)；②曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)1；③存在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、邊長(zhǎng)為的正方形，使曲線(xiàn)C在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【分析】對(duì)于①，用（y，x）替換方程中的（x，y），方程形式不變，即可求解，對(duì)于②，設(shè)點(diǎn)P（x，y）是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則（x2+y2）3＝4x2y2，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為，再結(jié)合基本不等式的公式，即可求解，對(duì)于③，由②可知，包含該曲線(xiàn)的以原點(diǎn)為圓心的最小的圓的半徑為1，所以最小圓應(yīng)該是包含該曲線(xiàn)的最小正方形的內(nèi)切圓，即可求得正方形的邊長(zhǎng)最短為2，即可求解．【解答】解：對(duì)于①，用（y，x）替換方程中的（x，y），方程形式不變，所以曲線(xiàn)C關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)，故①正確，對(duì)于②，設(shè)點(diǎn)P（x，y）是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則（x2+y2）3＝4x2y2，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為，由（x2+y3）3＝4x2y2≤，解得，故②正確，對(duì)于③，由②可知，包含該曲線(xiàn)的以原點(diǎn)為圓心的最小的圓的半徑為1，所以最小圓應(yīng)該是包含該曲線(xiàn)的最小正方形的內(nèi)切圓，即正方形的邊長(zhǎng)最短為2，故③錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題的真假判斷與應(yīng)用，需要學(xué)生較強(qiáng)的綜合能力，屬于中檔題．二、填空題（本大題共4小題，共16.0分）13．（4分）已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（﹣2，0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【分析】先根據(jù)題意a＝2b，c＝2并且a2＝b2+c2求出a，b，c的值，代入標(biāo)準(zhǔn)方程得到答案．【解答】解：已知∴∴為所求；故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．屬基礎(chǔ)題．14．（4分）橢圓+＝1的離心率e＝．【分析】利用橢圓方程，求出實(shí)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，得到焦距的長(zhǎng)，然后求解離心率即可．【解答】解：橢圓可得：a＝5，b＝4，c＝3，所以橢圓的離心率e＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．15．（4分）如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成角的余弦值為．【分析】由題意畫(huà)出圖形，找出直線(xiàn)BC1與平面BB1D1D所成角，再求出BC1與平面BB1D1D所成角的余弦值即可．【解答】解：如圖，∵ABCD﹣A1B1C1D1為長(zhǎng)方體，∴平面BB1D1D⊥平面A1B1C1D1，取B1D1的中點(diǎn)O，連接C1O，∵B1C1＝C1D1，∴C1O⊥B1D1，又平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴C1O⊥平面BB1D1D，連接BO，則∠C1BO為直線(xiàn)BC1與平面BB1D1D所成角，由已知，可得，，則BO＝，∴BC1與平面BB1D1D所成角的余弦值為cos．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線(xiàn)與平面所成角，考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．16．（4分）已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果＝（2，﹣1，﹣4），＝（4，2，0），＝（﹣1，2，﹣1）．對(duì)于結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥．其中正確的是①②③．【分析】利用向量垂直與平行的性質(zhì)能求出結(jié)果．【解答】解：由＝（2，﹣1，﹣4），＝（4，2，0），＝（﹣1，2，﹣1），知：在①中，＝﹣2﹣2+4＝0，∴⊥，∴AP⊥AB，故①正確；在②中，?＝﹣4+4+0＝0，∴⊥，∴AP⊥AD，故②正確；在③中，由AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD＝A，知是平面ABCD的法向量，故③正確；在④中，＝（2，3，4），假設(shè)存在λ使得＝，則，無(wú)解，∴與不可能平行．故④不正確；綜上可得：①②③正確．故答案為：①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查向量垂直、向量平行等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題（本大題共2小題，共36分）17．（18分）已知拋物線(xiàn)C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（2，m）為其上一點(diǎn)，且|MF|＝4．（1）求p與m的值；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，求直線(xiàn)OA、OB的斜率之積．【分析】（1）求得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)方程，由拋物線(xiàn)的定義，可得p的方程，求得p和拋物線(xiàn)的方程，以及m的值；（2）求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，討論直線(xiàn)l的斜率不存在，求得交點(diǎn)A，B，可得斜率之積；直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)為k（k≠0），則其方程可表示為：y＝k（x﹣2），聯(lián)立拋物線(xiàn)的方程，消去x，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），運(yùn)用韋達(dá)定理和直線(xiàn)的斜率公式，計(jì)算即可得到所求之積．【解答】解：（1）拋物線(xiàn)C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為．由拋物線(xiàn)定義知：點(diǎn)M（2，m）到F的距離等于M到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，故，∴p＝4，拋物線(xiàn)C的方程為y2＝8x∵點(diǎn)M（2，m）在拋物線(xiàn)C上，∴m2＝16，即m＝±4∴p＝4，m＝±4；（2）證明：由（1）知：拋物線(xiàn)C的方程為y2＝8x，焦點(diǎn)為F（2，0）若直線(xiàn)l的斜率不存在，則其方程為：x＝2，代入y2＝8x，易得：A（2，4），B（2，﹣4），從而；若直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)為k（k≠0），則其方程可表示為：y＝k（x﹣2），由，消去x，得：，即ky2﹣8y﹣16k＝0（k≠0），Δ＝64+64k2＞0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，∴，從而．綜上所述：直線(xiàn)OA、OB的斜率之積為﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線(xiàn)的定義、方程和性質(zhì)，考查直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及直線(xiàn)的斜率公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．（18分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，四邊形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA＝，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2．（