正方形的性質(zhì)和判定

關(guān)于正方形的性質(zhì)和判定第1頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月正方形第2頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月正方形矩形鄰邊相等的矩形想一想：正方形是怎樣的矩形？第3頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月菱形正方形一個角是直角的菱形想一想：正方形是怎樣的菱形？第4頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月⑴有一組鄰邊相等的平行四邊形（菱形）

⑵并且有一個角是直角的平行四邊形（矩形）兩層含義正方形有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

1.正方形定義:第5頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月1、__________________的矩形叫做正方形。快速反應(yīng)

有一組鄰邊相等的2、

的菱形是正方形。

有一個角是直角的3、

的平行四邊形是正方形。

有一個角是直角且有一組鄰邊相等的第6頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2、正方形的性質(zhì)邊對角線對邊平行四邊相等對角線相等

互相垂直平分每條對角線平分一組對角四個角相等且都是直角角正方形性質(zhì)正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。第7頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

正方形的性質(zhì)定理1：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等且對邊平行。

正方形的性質(zhì)定理2：正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。二、正方形的性質(zhì)三段論形式：∵四邊形ABCD是正方形∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°∴AB＝BC＝CD＝DA∴AD∥BC，AB∥CD∴AC＝BD，AC⊥BD，AO＝CO＝BO＝DO∴AC平分∠BAD和∠BCD∴BD平分∠ABD和∠ADCADBCO第8頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月對稱軸第9頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月思考：1、平行四邊形、矩形、菱形、正方形分別有哪些性質(zhì)？這些性質(zhì)可以從哪幾個角度概括？平行四邊形矩形菱形對邊平行且相等

四條邊都相等對角相等四個角都是直角對角線互相平分對角線互相垂直對角線相等每條對角線平分一組對角性質(zhì)圖形有有有有有有有有有有有正方形有有有有有有有有有有有第10頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月請用這四種圖形填空A表示：B表示：C表示：D表示：平行四邊形矩形（菱形）菱形（矩形）正方形第11頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月有一個角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個角是直角有一組鄰邊相等且有一個角是直角正方形、矩形、菱形及平行四邊形四者之間的關(guān)系第13頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月3、正方形的判定:1.定義法2.先判定是矩形,再判定是菱形，或先判定是菱形,再判定是矩形。第14頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月動腦想一想①、對角線相等的菱形是正方形嗎？為什么？

②、對角線互相垂直的矩形是正方形嗎？為什么？③、對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形嗎？為什么？如果不是，應(yīng)該加上什么條件？④、能說“四條邊都相等的四邊形是正方形嗎？”為什么？⑤、能說“四個角都相等的四邊形是正方形嗎？”為什么？第15頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

例題1:四邊形ABCD是正方形,兩條對角線相交于點(diǎn)O,(1)求∠AOB,∠OAB的度數(shù)。8解：∵四邊形ABCD是正方形∴AC⊥BD∠AOB=900

∠BAC=∠DAC∴∠OAB=450

ABCDOEF(2)若AC=4，則正方形邊長;正方形的面積是4㎝(3)正方形的面積64cm2，則對角線交點(diǎn)到正方形一邊的距離2√2第16頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例2求證：正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形。

已知：四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O

求證：⊿ABO、⊿BCO、⊿CDO、⊿DAO是全等的等腰直角三角形

證明：∵四邊形ABCD是正方形

ADBCO

由于正方形的面積等于⊿ABO面積的4倍，所以正方形的面積等于對角線的平方的一半。∴AC＝BD，AC⊥BD，AO＝CO＝BO＝DO﹙正方形的對角線相等，并且互相垂直平分﹚∴⊿ABO、⊿BCO、⊿CDO、⊿DAO

都是等腰直角三角形，并且⊿ABO≌⊿BCO≌⊿CDO≌⊿DAO第17頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月做一做現(xiàn)在請大家做一做這樣一個實(shí)驗(yàn)：將一張長方形紙對折兩次，然后剪下一個角，打開，怎樣剪才能剪出一個正方形？第18頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月第19頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

解：∵四邊形ABCD是正方形∴AB＝BC＝2cm，∠ABC＝90°﹙正方形的四個角都是直角，四條邊都相等﹚練習(xí)

1、已知：正方形的一條邊長為2cm，求這個正方形的周長、對角線長和正方形的面積。ADBC∵邊長AB＝2cm∴周長C＝4AB＝8cm第20頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)

2、已知：正方形的一條對角線長為4cm

解：∵四邊形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠ABC＝90°

﹙正方形的四個角都是直角，四條邊都相等﹚ADBC1、正方形的面積等于邊長的平方。2、正方形的面積等于等于對角線的平方的一半。3、正方形的周長等于邊長的4倍。

在Rt⊿ABC中，求:它的邊長和面積。第21頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)3、已知：在正方形ABCD中，E、F分別在BC、DC

上，且BE＝DF，AC與BC相交于O點(diǎn)，EF

與AC相交于P點(diǎn)求證：EF⊥AC，EF∥BD

證明：∵四邊形ABCD是正方形∴BC＝CD

﹙正方形的四條邊都相等﹚∵BE＝DF∴EC＝FC∵AC平分∠BCD

﹙正方形的每條對角線平分一組對角﹚∴EF⊥AC∵AC⊥BD

（正方形的對角線互相垂直）∴EF∥BD

ABCDOPFE第22頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月矩形、正方形（2）

4、判斷。（1）正方形一定是矩形。（）（2）正方形一定是菱形。（）（3）菱形一定是正方形。（）（4）矩形一定是正方形。（）（5）正方形、矩形、菱形都是平行四邊形。（）快速反應(yīng)

第23頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月矩形、正方形（2）

1、在下列性質(zhì)中，平行四邊形具有的是_______，矩形具有的是_________，菱形具有的是_______，正方形具有的是_______________。（1）四邊都相等；（2）對角線互相平分；（3）對角線相等；（4）對角線互相垂直；（5）四個角都是直角；（6）每條對角線平分一組對角；（7）對邊相等且平行；（8）有兩條對稱軸。自主學(xué)習(xí)

第24頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月矩形、正方形（2）

2、正方形兩條對角線的和為8cm，它的面積為____________.自主學(xué)習(xí)

第25頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月矩形、正方形（2）

3、如圖，點(diǎn)E、F在正方形ABCD的邊BC、CD上，BE=CF.

（1）AE與BF相等嗎？為什么？（2）AE與BF是否垂直？說明你的理由。自主學(xué)習(xí)

第26頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月嘗試練習(xí)：（1）已知：如圖，ABCD和AKLM都是正方形，求證：MD=KB。第27頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月嘗試練習(xí)：（2）如圖，正方形ABCD中，AC交BD于O，點(diǎn)M、N分別在AC、BD上，且OM=ON，求證：BM=CN。第28頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

如何設(shè)計(jì)花壇？在一塊正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條直的小路將花壇平均分成面積相等的四部分（不考慮道路的寬度），你有幾種方法？（至少說出三種）

請你當(dāng)設(shè)計(jì)師第29頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)用舉例：ABCDC/A/B/D/已知：如圖點(diǎn)A'、B'、C'、D'分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，并且AA'=BB'=CC'=DD'求證：四邊形A'B'C'D'是正方形①、由已知正方形證三角形全等；②、證得菱形；③、再證直角；④、是正方形證題思路分析上一頁第30頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例1已知：如圖，在正方形ABCD中，A`A=B`B=C`C=D`D。求證：四邊形A`B`C`D`是正方形。

證明：∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC=CD=DA又∵A`A=B`B=C`C=D`D∴D`A=A`B=B`C=C`D∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C`∴四邊形A`B`C`D`是菱形

又∵∠AD`A`=∠BA`B`，∠AA`D`+∠AD`A`=90°∴∠AA`D`+∠BA`B`=90°∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90°∴四邊形A`B`C`D`是正方形。第31頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例2已知：如圖，在矩形ABCD中，AF，BH，CH，DF分別是各內(nèi)角平分線，AF和BH交于E，CH和DF交于G。求證：四邊形EFGH是