北京房山區(qū)韓村河中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

北京房山區(qū)韓村河中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)m，n是兩條不同的直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面，下面命題正確的是（

）

A．若m⊥n，m⊥，n∥，則∥

B．若m∥，則n∥，∥，則m∥nC．若m⊥，則n∥，∥，則m⊥n

D．若m∥n，則m∥，n∥，則∥參考答案：C2.一電子廣告，背景是由固定的一系列下頂點(diǎn)相接的正三角形組成，這列正三角形的底邊在同一直線(xiàn)上，正三角形的內(nèi)切圓由第一個(gè)正三角形的點(diǎn)沿三角形列的底邊勻速向前滾動(dòng)（如圖），設(shè)滾動(dòng)中的圓與系列正三角形的重疊部分（如圖中的陰影）的面積關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為，則下列圖中與函數(shù)圖像最近似的是參考答案：B3.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，若且，則的值

（

）

A．恒大于0

B．恒小于0

C．可能等于0

D．可正可負(fù)參考答案：答案:B4.若函數(shù)y=2圖象上存在點(diǎn)滿(mǎn)足約束條件,則實(shí)數(shù)的最大值為（

）

A．

B．1

C．

D．2參考答案：B5.已知集合A＝{x|5x－a≤0}，B＝{x|6x－b＞0}，a，b∈N，且A∩B∩N＝{2，3，4}，則整數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為A．20

B．25

C．30

D．42

參考答案：C解：5x－a≤0Tx≤；6x－b＞0Tx＞．要使A∩B∩N＝{2，3，4}，則，即所以數(shù)對(duì)(a，b)共有C61C51＝30個(gè)．6.一支人數(shù)是5的倍數(shù)且不少于1000人的游行隊(duì)伍，若按每橫排4人編隊(duì)，最后差3人；若按每橫排3人編隊(duì)，最后差2人；若按每橫排2人編隊(duì)，最后差1人．則這只游行隊(duì)伍的最少人數(shù)是A

1025

B

1035

C

1045

D

1055參考答案：C7.已知平面α⊥平面β，直線(xiàn)m，n均不在平面α、β內(nèi)，且m⊥n，則（）A．若m⊥β，則n∥β B．若n∥β，則m⊥β C．若m⊥β，則n⊥β D．若n⊥β，則m⊥β參考答案：A【考點(diǎn)】LP：空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)空間線(xiàn)面位置關(guān)系的定義及判定定理或結(jié)合圖形，給出反例進(jìn)行判斷．【解答】解：對(duì)于A(yíng)，若m⊥β，m⊥n，則n∥β或n?β，又直線(xiàn)m，n均不在平面α、β內(nèi)，∴n∥β，故A正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于B，若n∥β，則β內(nèi)存在無(wú)數(shù)條平行直線(xiàn)l，使得l∥n，∵m⊥n，∴l(xiāng)⊥m，根據(jù)線(xiàn)面垂直的定義可知m與β不一定垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，若n⊥β，m⊥β，則m∥n，與條件m⊥n矛盾，故D錯(cuò)誤．故選A．8.我國(guó)古代名著《九章算術(shù)》中有這樣一段話(huà)：“今有金錘，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤,中間三尺重幾何．”意思是：“現(xiàn)有一根金錘，長(zhǎng)5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，問(wèn)中間三尺共重多少斤．”（A）6斤

（B）7斤

（C）8斤

（D）9斤參考答案：D原問(wèn)題等價(jià)于等差數(shù)列中，已知，求的值.由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：，則，即中間三尺共重斤.本題選擇D選項(xiàng).

9.離心率為的橢圓與離心率為的雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)，且橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)、短軸的端點(diǎn)、焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的距離依次構(gòu)成等比數(shù)列，則(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：D10.已知雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)與以橢圓的左焦點(diǎn)為圓心、半徑為的圓相切，則雙曲線(xiàn)的離心率為

A． B．

C． D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.平面，，兩兩垂直且交于一點(diǎn)O，若空間有一點(diǎn)P到這三個(gè)平面的距離分別是3、4、12則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為_(kāi)_______．參考答案：.試題分析：由題意得，點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，故填：.考點(diǎn)：立體幾何中的距離.已知，均為銳角，且，，則

，=

．

【答案】，.【解析】考點(diǎn)：三角恒等變形.【方法點(diǎn)睛】熟知一些恒等變換的技巧：①公式的正用、逆用及變形用；②熟悉角的拆拼技巧，理解倍角與半角是相對(duì)的，如，，是的半角，是的倍角等；③在三角函數(shù)運(yùn)算、求值、證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，尤其要重視常數(shù)“1”的各種變形，例如：，等；④在進(jìn)行三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值、恒等式證明時(shí)，常常采用切化弦、異名化同名、異角化同角、高次降低次的方法，達(dá)到由不統(tǒng)一轉(zhuǎn)化到統(tǒng)一，消除差異的目的．12.用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，從“到”左端需增乘的代數(shù)式為

．參考答案：2（2k+1）略13.已知直線(xiàn)與圓相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)（C為圓心），且△ABC為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______.參考答案：【分析】根據(jù)三角形為等腰直角三角形可知圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑的，由此列方程，解方程求得的值.【詳解】由于三角形為等腰直角三角形，所以圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑的.直線(xiàn)的一般方程為，圓的方程為，圓心為，半徑為.故，解得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，屬于中檔題.14.已知橢圓與直線(xiàn)，，過(guò)橢圓上一點(diǎn)P作l1，l2的平行線(xiàn)，分別交l1，l2于M，N兩點(diǎn)．若|MN|為定值，則的值是

．參考答案：2【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】取點(diǎn)P為上下定點(diǎn)，分別求出MN的長(zhǎng)度，兩次求出MN相等，即可得到a、b的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)P為（0，b）時(shí)，過(guò)橢圓上一點(diǎn)P作l1，l2的平行線(xiàn)分別為+b，+b，聯(lián)立可得M（b，），同理可得N（﹣b，），|MN|=2b．當(dāng)點(diǎn)P為（a，0）時(shí)，過(guò)橢圓上一點(diǎn)P作l1，l2的平行線(xiàn)分別為﹣，+，聯(lián)立可得M（，），同理可得N（，﹣），），|MN|=．若|MN|為定值，則2b=，?，∴則的值是2．故答案為：2．15.等比數(shù)列{an}中，若a1=﹣2，a5=﹣4，則a3=．參考答案：【考點(diǎn)】88：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由題意，{an}是等比數(shù)列，a1=﹣2，設(shè)出公比q，表示出a5=﹣4，建立關(guān)系，求q，可得a3的值【解答】解：由題意，{an}是等比數(shù)列，a1=﹣2，設(shè)公比為q，∵a5=﹣4，即﹣2×q4=﹣4，可得：q4=2，則那么a3=故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的第3項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用16.已知函數(shù)在區(qū)間[1,e]上取得最小值4，則m=

參考答案：-3e17.大廈一層有A，B，C，D四部電梯，3人在一層乘坐電梯上樓，其中2人恰好乘坐同一部電梯，則不同的乘坐方式有

種．（用數(shù)字作答）參考答案：36【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將3人分成2組，再在A(yíng)，B，C，D四部電梯中任選2部，安排2組人乘坐，分別求出每一種的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將3人分成2組，有C32=3種分組方法，再在A(yíng)，B，C，D四部電梯中任選2部，安排2組人乘坐，有C42A22=12種情況，則3人不同的乘坐方式有3×12=36種；故答案為：36．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，短半軸的端點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的距離為，過(guò)焦點(diǎn)F作直線(xiàn)，交橢圓于兩點(diǎn)．（Ⅰ）求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若橢圓上有一點(diǎn)，使四邊形AOBC恰好為平行四邊形，求直線(xiàn)的斜率．參考答案：．解:（Ⅰ）由已知，可設(shè)橢圓方程為，……1分則，．

…………2分所以，…………………3分所以橢圓方程為．…………4分（Ⅱ）若直線(xiàn)軸，則平行四邊形AOBC中，點(diǎn)C與點(diǎn)O關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，此時(shí)點(diǎn)C坐標(biāo)為．因?yàn)?，所以點(diǎn)C在橢圓外，所以直線(xiàn)與軸不垂直．

…………6分于是，設(shè)直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)，，…7分則整理得，…8分，

…………9分所以．

………

10分因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以?/p>

………

11分所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，……………12分所以，

……………13分解得，所以．………………14分略19.（本小題滿(mǎn)分15分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面底面，點(diǎn)在棱上，且．求證：平面平面；已知與底面所成角為，求二面角的正切值．參考答案：20.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．（1）當(dāng)a=b=時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)a=0，b=﹣1時(shí)，方程f（x）=mx在區(qū)間[，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需m=1+有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，令g（x）=1+，（x＞0），求出g（x）的最值，從而求出m的范圍即可．【解答】解：（1）當(dāng)a=b=時(shí)，f（x）=lnx﹣x2﹣x（x＞0），f′（x）=﹣x﹣=，易知f（x）在（0，1]上遞增，在[1，+∞）上遞減，故f（x）的最大值為f（1）=﹣．（2）當(dāng)a=0，b=﹣1時(shí)，f（x）=lnx+x，由f（x）=mx，得lnx+x=mx，又x＞0，于是m=1+，要使方程f（x）=mx在區(qū)間[，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，只需m=1+區(qū)間[，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令g（x）=1+，（x＞0），于是g′（x）=，由g′（x）＞0，得0＜x＜e，由g′（x）＜0，得x＞e，于是g（x）在區(qū)間[，e]上是增函數(shù)，在區(qū)間[e，+∞）上是減函數(shù)，g（）=1﹣e，g（e）=1+，故1﹣e≤m＜1+．21.已知函數(shù)y＝sin(2x＋)＋，x∈R.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；(3)該函數(shù)的圖象可由y＝sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換而得到？參考答案：(1)振幅A＝，周期T＝＝π，初相φ＝；(2)當(dāng)sin(2x＋)＝1，即2x＋＝＋2kπ，k∈Z時(shí)，取最大值＋＝，此時(shí)x＝kπ＋，k∈Z.(3)把y＝sinx的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y＝sin(x＋)的圖象，然后再把y＝sin(x＋)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)＝sin(2x＋)的圖象，然后再把y＝sin(2x＋)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(橫坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)＝sin(2x＋)的圖象，最后把y＝sin(2x＋)的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，就得y＝sin(2x＋)＋的圖象．22.已知橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的離心率為e=，且C1的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)C2：y2=4x的焦點(diǎn)相同．（1）求橢圓C1的方程；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（﹣2，0）分別作斜率為k1、k2（k1≠k2）的兩條直線(xiàn)，兩直線(xiàn)分別與橢圓C1交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)MN與y軸垂直時(shí)，求k1?k2的值．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）由橢圓的離心率和且C1的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)C2：y2=4x的焦點(diǎn)相同，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C1的方程．（2）設(shè)直線(xiàn)PM：y=k1（x+2），與橢圓聯(lián)立，求出M，同理求出N，由直線(xiàn)MN與y軸垂直，得，由此能求出k1k2的值．【解答】解：（1）∵橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的離心率為e=，且C1的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)C2：y2=4x的焦點(diǎn)相同，∴，解得a=2，c=，b2=4﹣3=1，∴橢圓C1的方程為．（2）由題意，當(dāng)k1=0時(shí)，M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，直線(xiàn)MN與y軸垂直，則點(diǎn)N的縱坐標(biāo)也為0，∴k1=k2=0，與k1≠k2矛盾，∴k1≠0，設(shè)直線(xiàn)PM：y=k1（x+2），由，得，解得或y=0（舍），∴M（，），同理N（，），∵直線(xiàn)MN與y軸垂直，∴=，化簡(jiǎn)，得，∴（k2﹣k1）（4k1k2﹣1）=0，又由k1≠k2，得4k1k2﹣1=0，∴k1k2=．已知函數(shù)f（x）=x2+alnx的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線(xiàn)斜率為10．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）判斷方程f（x）=2x根的個(gè)數(shù)，證明你的結(jié)論；（Ⅲ）探究：是否存在這樣的點(diǎn)A（t，f（t）），使得曲線(xiàn)y=f（x）在該點(diǎn)附近的左、右的兩部分分別位于曲線(xiàn)在該點(diǎn)處切線(xiàn)的兩側(cè)？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】【解析】【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】解法一：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求f（x）的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線(xiàn)斜率k，結(jié)合已知可求a（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣2x=x2﹣2x+8lnx，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)F（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，結(jié)合F（1）=﹣1＜0，F(xiàn)（2）=8ln2＞0，可證（Ⅲ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)A處的切線(xiàn)方程（x＞0），構(gòu)造函數(shù)h（x）=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣（x＞0），對(duì)h（x）求導(dǎo)，通過(guò)討論t的取值范圍來(lái)判斷h′（x）的符號(hào)，進(jìn)而可判斷h（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，即可判斷解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；（Ⅲ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)A處的切線(xiàn)方程（x＞0），構(gòu)造函數(shù)h（x）=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣（x＞0），對(duì)h（x）求導(dǎo)，若存在這樣的點(diǎn)A（t，f（t）），使得曲線(xiàn)y=f（x）在該點(diǎn)附近的左、右兩部分都位于曲線(xiàn)在該點(diǎn)處切線(xiàn)的兩側(cè)，則問(wèn)題等價(jià)于t不是極值點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)可求【解答】解法一：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=x2+alnx，所以，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線(xiàn)斜率k=f'（1）=2+a．由2+a=10得：a=8．

…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x2+8lnx，令F（x）=f（x）﹣2x=x2﹣2x+8lnx．因?yàn)镕（1）=﹣1＜0，F(xiàn)（2）=8ln2＞0，所以F（x）=0在（0，+∞）至少有一個(gè)根．又因?yàn)?，所以F（x）在（0，+∞）上遞增，所以函數(shù)F（x）在（0，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程f（x）=2x有且只有一個(gè)實(shí)根．

…（Ⅲ）證明如下：由f（x）=x2+8lnx，，可求得曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)A處的切線(xiàn)方程為，即（x＞0）．

…記h（x）=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣（x＞0），則．

…（1）當(dāng)，即t=2時(shí)，對(duì)一切x∈（0．+∞）成立，所以h（x）在（0，+∞）上遞增．又h（t）=0，所以當(dāng)x∈（0，2）時(shí)h（x）＜0，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)h（x）＞0，即存在點(diǎn)A（2，4+8ln2），使得曲線(xiàn)在點(diǎn)A附近的左、右兩部分分別位于曲線(xiàn)在該點(diǎn)處切線(xiàn)的兩側(cè)．

…（2）當(dāng)，即t＞2時(shí)，時(shí)，h'（x）＞0；時(shí)，h'（x）＜0；x∈（t