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文檔簡介

§4.2洛必達(dá)法則一、未定式五、其他類型未定式的極限二、“

”型未定式的極限三、“

”型未定式的極限四、洛必達(dá)法則失效的情況一、未定式例如

下列極限都是未定式

如果在某一過程中函數(shù)f(x)與F(x)同是無窮小量或同是無窮大對于型極限有沒有更簡單、更一般的求解方法？?因式分解復(fù)雜二、“

”型未定式的極限定理41(洛必達(dá)法則I)說明

當(dāng)定理中xa改為x時(shí)洛必達(dá)法則同樣有效

(L’Hospital，1661-1704，法國數(shù)學(xué)家)設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)滿足條件

令f(a)g(a)0

于是f(x)及g(x)在點(diǎn)a的某鄰域內(nèi)連續(xù)在該鄰域內(nèi)應(yīng)用柯西中值定理有

簡要證明

定理41(洛必達(dá)法則I)如果函數(shù)f(x)及g(x)滿足

(1)當(dāng)xa時(shí)

f(x)0

g(x)0

(2)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)且g(x)0

解

原式

解

例2.

解

驗(yàn)型

解

例3.例4.例5.解：原式=

存在非零因子化簡例7.例8.

因ex1~x(x0)

故有exsinx1~xsinx(x0)

因arcsinx~x(x0)

故有arcsinx3~x3(x0)例9.

注：

洛必達(dá)法則是求解未定式極限的有效方法,但是要結(jié)合各種方法，以求最捷方式.1）等價(jià)無窮小替換法2）將極限存在的非零因子分離出來不參與洛必達(dá)法則的運(yùn)算.3）過程中注意化簡.2.只要滿足條件，可多次使用洛必達(dá)法則.但每次使用前都必須檢驗(yàn)極限類型是否為型.

定理42(洛必達(dá)法則II)

設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)滿足

說明

當(dāng)定理中xa改為x時(shí)洛必達(dá)法則同樣有效

三、“

”型未定式的極限

解

例10.例11.例12.結(jié)論：都是無窮大量，但是它們的階數(shù)不相同，即有：極限不存在出現(xiàn)循環(huán)四、洛必達(dá)法則失效的情況

注：

使用洛必達(dá)法則時(shí),若不存在，也不為，這不能說明原極限不存在，此時(shí)洛必達(dá)法則“失效”，應(yīng)改用其它方法計(jì)算.五、其他類型未定式的極限

對于未定式0、、00、1、0都可以轉(zhuǎn)化為例13.

解

例14.

解

因?yàn)槔?5.

解因?yàn)槔?6.例17.洛必達(dá)

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