第十一講向量的線性運(yùn)算

知識框架aa(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時，λa的方向使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則λa＝(λx，λy)，|a|＝ a∥b，那x1y2－x2y1＝0；反過來，如x1y2－x2y1＝0，那例題精講1、設(shè)a是已知的平面向量，向量abc在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，有如下四個命題①給定向量b,總存在向量c,使abc②給定向量bc,總存在實數(shù)和,使abc③給定單位向量b和正數(shù),總存在單位向量c和實數(shù),使abc

=2，存在單位向量b、c和正實數(shù)，,使abc，則33

a＝(－13)，b＝(1，0) ((22 ＝)＝)O53A、B、C能構(gòu)成三角形，所以與不共線，而當(dāng)

1≠2 例4、在平行四邊形ABCD中，點E和F分別是邊CD和BC的中點，且AC＝mAE＋nAF，其中m，n∈R，則m＋n＝ 1 →1 n 5、如下圖所示，已知點G是ABC的重心，過點G作直線與C兩邊分別交于xyCx2y 221 1 1 解析：AG ADABACABACAMAN,又因為M,G,N共線，所以有 1 3 3 32y3x x0y0x2yx2y11122yx2y3x 3

1223

2y

→ 解析：由已知條件得＝－AMBCDDBC的中點.BMACECMABFE、FAC 2 1 M為△ABC的重心，∴AM＝

例7若點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點且滿足→－→＝→＋→ 8abcab1,c3abc 情況為兩兩夾角21為突破口，由平行四邊形法則作圖得到abab夾角相等，

aba1（底角為60的菱形性質(zhì)），且與c反向，進(jìn)而由圖得到abc9、在ABCB

6,AB33,BC6DABO是ABC3OA2OBOC0DO

為3OA2OBOC3OAOBOB OA 3 且OE∥BC，所以由平行四邊形性質(zhì)可得：OD OE CB10AB

1APABAB.1 .

2

1時，可知60,1202OA1

7,22（一般化）B11,0)B2cossinA(x,y)；AB1AB2得到x1,yxcos,ysin0，化簡得：x2y2xxcosysincos(*)；102x22x2xcos2cosy22ysin1 將(*)式代入到上式中，得到02x2y217x2y22 因此，OA ,2]23（更一般化）B1cossinB2cossinA(xy；AB1AB2得到xcosysinxcosysin0，化簡得：x2y2xcoscosysinsincos；APAB1AB2Pcoscosxsinsiny102[1xcoscosysinsincosx2y211 1 即有02xy ，得OA ,2] 11P是ABCAP2BP3CP0QCPAB的交點，令CPp，用p表示CQ.解：APAQQPBPBQQP(AQQP)2(BQQP)3CP0.AQ3QP2BQ3CP0又AQBCPQ三點共線，AQλBQCPμQPλBQ