上海市北中學高三數(shù)學理期末試題含解析

上海市北中學高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若函數(shù),則的值是（

）A． B．

C．

D．參考答案：C略2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，會輸出一列數(shù)，則這個數(shù)列的第3項是

A．870

B．30

C．6

D．3參考答案：B

【知識點】程序框圖．L1解析：當N=1時，A=3，故數(shù)列的第1項為3，N=2，滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，A=3×2=6；當N=2時，A=6，故數(shù)列的第2項為6，N=3，滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，A=6×5=30；當N=3時，A=30，故數(shù)列的第3項為30，故選：B．【思路點撥】根據(jù)已知的框圖，可知程序的功能是利用循環(huán)計算數(shù)列an的各項值，并輸出，模擬程序的運行結(jié)果，可得答案．3.函數(shù)的零點個數(shù)是(

)(A)0

(B)l

(C)2

(D)4參考答案：C略4.等差數(shù)列{an}中，a1=2，a5=a4+2，則a3=（）A．4 B．10 C．8 D．6參考答案：D【考點】等差數(shù)列的通項公式．【分析】利用等差數(shù)列通項公式求出首項和公差，由此能求出a3．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}中，a1=2，a5=a4+2，∴，解得a1=2，d=d=2，∴a3=2+2×2=6．故選：D．5.某企業(yè)擬生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知每件甲產(chǎn)品的利潤為萬元，每件乙產(chǎn)品的利潤為萬元，且甲、乙兩種產(chǎn)品都需要在、兩種設備上加工．在每臺設備、每臺設備上加工1件甲產(chǎn)品所需工時分別為和，加工1件乙產(chǎn)品所需工時分別為和，設備每天使用時間不超過，設備每天使用時間不超過，則通過合理安排生產(chǎn)計劃，該企業(yè)在一天內(nèi)的最大利潤是

(

)A．萬元

B.

萬元

C.萬元 D.萬元 參考答案：D6.P=log23，Q=log32，R=log2(log32)，則(

)A.R<Q<P

B.P<R<Q

C.Q<R<P

D.R<P<Q參考答案：A7.在直角坐標系中，直線的傾斜角是

A．

B．

C．

D．參考答案：D直線的斜截式方程為，即直線的斜率，所以，選D.8.己知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，滿足，，，則不等式的解集為 (A) (B) (C) (D)參考答案：B9.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．且c=4，B=45°，面積S=2，則b等于（）A．5B．C．D．25參考答案：A略10.在△ABC中,A=60，若a,b,c成等比數(shù)列，則

A.

B．

C.

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知x>0,y>0,且，則的最小值為________.參考答案：1212.以等腰直角的兩個頂點為焦點，且經(jīng)過第三個頂點的雙曲線的離心率為

．參考答案：

略13.已知全集U=R，不等式的解集A，則

．參考答案：或略14.若函數(shù)f（x）=x﹣sin2x+asinx為R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[﹣，]【分析】令cosx=t，通過討論t=0的情況，再討論t∈（0，1]的情況，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：f′（x）=1﹣cos2x+acosx，若f（x）在R遞增，則f′（x）≥0在R恒成立，即acosx≥cos2x﹣1=cos2x﹣在R恒成立，令cosx=t，則t∈[﹣1，1]，則at≥t2﹣在t∈[﹣1，1]恒成立，t=0時，顯然成立，t∈（0，1]時，a≥t﹣，令h（x）=t﹣，顯然h（t）在（0，1]遞增，a≥h（x）max=h（1）=﹣，t∈[﹣1，0）時，a≤t﹣，故a≤h（x）min=h（﹣1）=，綜上，a∈[﹣，]，故答案為：[﹣，]．【點評】本題考查不等式恒成立問題，解題的關鍵是分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解15.設是的三邊中垂線的交點,分別為角對應的邊,已知,則的范圍是___________．參考答案：略16.若cos2α=，則sin4α﹣cos4α=．參考答案：﹣【考點】二倍角的余弦．【專題】計算題．【分析】把所求的式子利用平方差公式化簡，利用同角三角函數(shù)間的平方關系sin2α+cos2α=1進行化簡，提取﹣1后再根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式變形，將coc2α的值代入即可求出值．【解答】解：∵cos2α=，∴sin4α﹣cos4α=（sin2α﹣cos2α）（sin2α+cos2α）=﹣（cos2α﹣sin2α）=﹣cos2α=﹣．故答案為：﹣【點評】此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關系，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及平方差公式的運用，熟練掌握公式是解本題的關鍵．17.設向量與的夾角為，，，則等于

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知,是橢圓：的左右焦點，是橢圓上的兩點，且都在軸上方，，設的交點為．（Ⅰ）求證：為定值；（Ⅱ）求動點的軌跡方程．參考答案：解：（I）證1：設直線所在直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立

化簡可得因為點在軸上方，所以所以同理可得：…………4分所以，所以===………………7分證2：如圖2所示，延長交橢圓于,由橢圓的對稱性可知：,所以只需證明為定值，設直線所在直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立

化簡可得：所以………………7分

（II）解法1：設直線，所在直線的方程為，所以點的坐標為……10分又因為，所以所以

，所以所以……………………15分解法2：如圖3所示，設，則，所以

又因為,所以所以

……10分同理可得，所以

……………12分由(I)可知

……………14分所以所以動點的軌跡方程為………………15分19.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為矩形，，均為等邊三角形，，．（Ⅰ）過BD作截面與線段CF交于點N，使得平面，試確定點N的位置，并予以證明；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求直線BN與平面ABF所成角的正弦值．參考答案：（1）當為線段的中點時，使得平面．（2）試題分析：(1)當為線段的中點時，平面．連結(jié)AC交BD于M,連結(jié)MN.利用中位線定理即可證明,于是平面．(2)通過線面關系證得，．分別以，，的方向為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，用向量法求解即可.試題解析：（1）當為線段的中點時，使得平面．證法如下：連接，，設，∵四邊形為矩形，∴為的中點，又∵為的中點，∴為的中位線，∴，∵平面，平面，∴平面，故為的中點時，使得平面．（2）過作分別與，交于，，因為為的中點，所以，分別為，的中點，∵與均為等邊三角形，且，∴，連接，，則得，∵，，，∴，，∴四邊形為等腰梯形．取的中點，連接，則，又∵，，，∴平面，過點作于，則，∴，．分別以，，的方向為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，不妨設，則由條件可得：，，，，，．設是平面的法向量，則即所以可取，由，可得，∴直線與平面所成角的正弦值為．點睛：高考對空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個方面：①求異面直線所成的角，關鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標系和表示出所需點的坐標是解題的關鍵.20.已知二次函數(shù)對任意實數(shù)都滿足，的最小值為且．令（）．（1）求的表達式；（2）若使成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）設，，證明：對、，恒有．參考答案：（Ⅱ）（）①當時，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，的值域為；②當時，，對，恒成立；③當時，由得，

…7分列表：—0+減極小增這時，．．綜合①②③若，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．故存在使成立，實數(shù)的取值范圍為．

…………10分（Ⅲ）證明：因為對，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減．于是，．

…………13分記（），則，所以函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，所以，故命題成立．

………………21.已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程;(2)求的單調(diào)區(qū)間.參考答案：(1)因為，，所以切線方程為即（2）當時，所以在區(qū)間上，在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.當時，由，可得.所以，在