四年級奧數知識點(上)

四年級奧數基礎講練教程四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第1頁。第一講加減法的巧算速算四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第2頁。

奧數知識：在巧算方法里，蘊含著一種重要的解決問題的策略。轉化問題法即把所給的算式，根據運算定律和運算性質，或改變它的運算順序，或減整從而變成一個易于算出結果的算式。

【例題1】

計算9+99+999+9999

【思路】這四個加數分別接近10、100、1000、10000。在計算這類題目時，常使用減整法，例如將99轉化為100－1。這是小學數學計算中常用的一種技巧。9+99+999+9999=（10－1）+（100－1）+（1000－1）+（10000－1）=10+100+1000+10000－4=11106四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第3頁?！纠}2】計算489+487+483+485+484+486+488

【思路】認真觀察每個加數，發(fā)現(xiàn)它們都和整數490接近，所以選490為基準數。489+487+483+485+484+486+488=490×7－1－3－7－5－6－4－2=3430－28=3402想一想：如果選480為基準數，可以怎樣計算？.四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第4頁?！纠}3】計算下面各題。（1）632－156－232（2）128+186+72－86

【思路】在一個沒有括號的算式中，如果只有第一級運算，計算時可以根據運算定律和性質調換加數或減數的位置。（2）128+186+72－86=128+72+186－86=（128+72）+（186－86）=200+100=300（1）632－156－232=632－232－156=400－156=244四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第5頁?！纠}4】計算：1.248+（152－127）2.324－（124－97）【思路】在計算有括號的加減混合運算時，有時為了使計算簡便可以去括號，如果括號前面是“+”號，去括號時，括號內的符號不變；如果括號前面是“－”號，去括號時，括號內的加號就要變成減號，減號就要變成加號。

我們可以把上面的計算方法概括為：括號前面是加號，去掉括號不變號；括號前面是減號，去掉括號要變號。1.248+（152－127）2.324－（124－97）=248+152－127=324-124+97=400－127=200+97=273=297

四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第6頁?！纠}5】計算下面各題。（1）286+879－679（2）812－593+193

【思路】在計算沒有括號的加減法混合運算式題時，有時可以根據題目的特點，采用添括號的方法使計算簡便，與前面去括號的方法類似，我們可以把這種方法概括為：括號前面是加號，添上括號不變號；括號前面是減號，添上括號要變號。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第7頁。小結：加減法的巧算速算共5種典型題型一是減整法二是選定基數法三是調換運算順序法四是去括號法五是添括號法四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第8頁。練習：【練習1】1.99999+9999+999+99+92.9+98+996+9997

3.1999+2998+396+4974.198+297+396+495

5.1998+2997+4995+59946.19998+39996+49995+69996.【練習2】1.50+52+53+54+512.262+266+270+268+264

3.89+94+92+95+93+94+88+96+874.381+378+382+383+379

5.1032+1028+1033+1029+1031+10306.2451+2452+2446+2453.【練習3】1.1208－569－2082.283+69－1833.132－85+684.2318+625－1318+375

四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第9頁。【練習4】1.348+（252－166）2.629+（320－1293.462－(262－129)4.662－(315－238)5.5623－(623－289)+452－(352－2116.736+678+2386－(336+278)－186【練習5】1.368+1859－8592.582+393－2933.632－385+2854.2756－2748+1748+2445.612－375+275+（388+2866.756+1478+346－（256+278）－246四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第10頁。第二講

乘除法的巧算速算

四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第11頁。奧數知識：

乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的運算定律和運算性質以及積、商的變化規(guī)律，通過對算式適當變形，將其中的數轉化成整十、整百、整千…的數，或者使這道題計算中的一些數變得易于口算，從而使計算簡便?！纠?】計算325÷25。

【思路】在除法里，被除數和除數同時擴大或縮小相同的倍數，商不變。利用這一性質，可以使這道計算題簡便。325÷25=（325×4）÷（25×4）=1300÷100=13四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第12頁。【例2】計算25×125×4×8

【思路】經過仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)：在這道連乘算式中，如果先把25與4相乘，可以得到100；同時把125與8相乘，可以得到1000；再把100與1000相乘就簡便了。這就啟發(fā)我們運用乘法交換律和結合律使計算簡便。25×125×4×8=（25×4）×（125×8）=100×1000=100000四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第13頁?！纠?】計算（1）（360+108）÷36（2）（450－75）÷15

【思路】兩個數的和（或差）除以一個數，可以用這個數分別去除這兩個數，再求出兩個商的和（或差）。

利用這一性質，可以使這道題計算簡便。（1）（360+108）÷36（2）（450－75）÷15=360÷36+108÷36=450÷15－75÷15=10+3=30－5=13=25四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第14頁。【例4】計算158×61÷79×3。

【思路】在乘除法混合運算中，如果算式中沒有括號，計算時可以根據運算定律和性質調換因數或除數的位置。

158×61÷79×3=158÷79×61×3=2×61×3=366四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第15頁?！纠?】計算下面各題。（1）123×96÷16（2）200÷（25÷4）

【思路】這兩道題都是乘除混合運算式題，我們可以根據這兩道題的特點，采用加括號或去括號的方法，使計算簡便。其方法與加減混合運算添、去括號的方法類似，可以概括為：括號前是乘號，添、去括號不變號；括號前是除號，添、去括號要變號。（1）123×96÷16（2）200÷（25÷4）=123×（96÷16）=200÷25×4=123×6=8×4=738=32

四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第16頁。小結：乘除法的巧算速算常用3種方法：一是同時擴大（縮?。┏龜蹬c被除數倍數湊整二是調換運算順序湊整三是去括號（添括號）四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第17頁?！揪毩?】1.450÷252.525÷253.3500÷1254.10000÷6255.9000÷225

【練習2】1.125×15×8×42.25×3.25×5×64×1254.125×25×325.75×166.125×16【練習3】計算下面各題。1．（720+96）÷242．（4500－90）÷453．8811÷894．73÷36+105÷36+146÷365．（10000－1000－100－10）÷10

【練習4】1.238×36÷119×52.624×48÷312÷8

3.138×27÷69×504.406×312÷104÷203【練習5】計算下面各題。1.612×366÷1832.1000÷（125÷4）3.（13×8×5×6）÷（4×5×6）4.241×345÷678÷345×（678÷241）

四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第18頁。第三講小數巧算四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第19頁。知識點撥一、基本運算律及公式一、加法加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，他們的和不變。即：a＋b＝b＋a其中a，b各表示任意一數．例如，7＋8＝8＋7＝15.總結：多個數相加，任意交換相加的次序，其和不變．四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第20頁。加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，再加上第三個數；或者先把后兩個數相加，再與第一個數相加，他們的和不變。即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）其中a，b，c各表示任意一數．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).總結：多個數相加，也可以把其中的任意兩個數或者多個數相加，其和不變。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第21頁。二、減法在連減或者加減混合運算中，如果算式中沒有括號，那么計算時要帶數字前面的運算符號“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中a，b，c各表示一個數．在加減法混合運算中，去括號時：如果括號前面是“＋”號，那么去掉括號后，括號內的數的運算符號不變；如果括號前面是“－”號，那么去掉括號后，括號內的數的運算符號“＋”變?yōu)椤埃保埃弊優(yōu)椤埃保纾篴＋（b－c）＝a＋b－c四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第22頁。a－（b＋c）＝a－b－ca－（b－c）＝a－b＋c在加、減法混合運算中，添括號時：如果添加的括號前面是“＋”，那么括號內的數的原運算符號不變；如果添加的括號前面是“－”，那么括號內的數的原運算符號“＋”變?yōu)椤埃保埃弊優(yōu)椤埃?。如：a＋b－c＝a＋（b－c）a－b＋c＝a－（b－c）a－b－c＝a－（b＋c）四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第23頁。二、加減法中的速算與巧算速算巧算的核心思想和本質：湊整常用的思想方法：1、分組湊整法．把幾個互為“補數”的減數先加起來，再從被減數中減去，或先減去那些與被減數有相同尾數的減數．“補數”就是兩個數相加，如果恰好湊成整十、整百、整千……，就把其中的一個數叫做另一個數的“補數”．2、加補湊整法．有些算式中直接湊整不明顯，這時可“借數”或“拆數”湊整．四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第24頁。3、數值原理法．先把加在一起為整十、整百、整千……的數相加，然后再與其它的數相加．4、“基準數”法，基準當幾個數比較接近于某一整數的數相加時，選這個整數為“基準數”（要注意把多加的數減去，把少加的數加上）例題精講四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第25頁。模塊一：分組湊整思想【例

1】91.8186.789.6270.490.288.891.5【鞏固】2006＋200.6＋20.06＋2.006＋994＋99.4＋9.94＋0.994＝【例3】計算56.43＋12.96＋13.57－4.33－8.96－5.67四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第26頁。模塊二、加補湊整思想【例

5】(1)0.999990.99990.9990.990.9(2)199.819.971.996(3)999999999.799.79.70.7【鞏固】（1）9.996＋29.98＋169.9＋3999.5（2）89＋899＋8999＋89999＋899999四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第27頁。模塊三、位值原理【例

7】924.68724.68524.68324.68124.68

模塊四、基準數思想【例

8】計算

0.999990.99990.9990.990.9

【鞏固】199.819.971.996四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第28頁。第四講體育比賽中的數學問題

四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第29頁。一、知識點總結1.單循環(huán)賽：每兩個隊之間都要比賽一場，無主客場之分。（通俗的說就是除了不和自己比賽，其他人都要比）四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第30頁。2.雙循環(huán)賽：每兩個隊都要比賽一場，有主客場之分。

（每個隊和同一個對手交換場地賽兩次）

一共比賽場數=（人數-1）×人數3.淘汰賽：每兩個隊用一場比賽定勝負，經過若干輪之后，最后決出冠軍。

（每場比賽輸者打包回家）

四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第31頁。二、做題方法1.點線圖2.列表法3.極端性分析------根據個人比賽場數，猜個人最高分根據得分，猜“戰(zhàn)況”

四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第32頁。例題分析

例題1：三年級四個班進行足球比賽，每兩個班之間都要賽一場，每個班賽幾場？一共要進行多少場比賽？

解析：除了不和自己賽，和其他班都要賽，所以每個班賽4-1=3場。

一共進行的場數：3×4÷2=6場

練習1：每個學校都要賽一場，共賽了28場，那么有幾個學校參加比賽？

解析：方法一：“老土方法”：1+2+3+4+……7=287+1=8個方法二：（人數-1）×人數=28×2=567×8=56，所以為8人四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第33頁。例題2：20名羽毛球運動員參加單打比賽，淘汰賽，那么冠軍一共要比賽多少場？解析：第一輪：20÷2=10（場），10名勝利者進入下一輪

第二輪：10÷2=5（場），5名勝利者進入下一輪第三輪：5÷2=2（場）....1人，3名勝利者進入下一輪第四輪：2÷2=1（場）勝利者和第三輪中剩下的一人進入下一輪比賽第五輪：2÷2=1（場）冠軍一共參加了5場比賽。決出冠軍一共要比賽的場數：一場比賽淘汰一人，除了冠軍不被淘汰：20-1=19場

四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第34頁。例題3：A,B,C,D,E,五位同學一起比賽象棋，單循環(huán)比賽，A已經賽了4盤，B已經賽了3盤，C賽了2盤，D賽了1盤，此時E賽了幾盤？

解析：利用點線圖四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第35頁。

例題4：A,B,C,D,E,五位同學一起比賽乒乓球，單循環(huán)比賽，勝者得2分，負者不得分，比賽結果如下：(1)A與E并列第一(2)B是第三名(3)C和D并列第四名求B得分？解析：根據個人比賽場數猜最高分每人比賽4場，全勝得8分，有并列第一，就沒有全勝，所以不可能得8分；有并列倒數第一，所以沒有全敗，沒有0分；而每個人得分是個偶數，在0和8之間的偶數只有2,4,6，三個分數，三個名次，所以B得4分

四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第36頁。學案5：四名同學單循環(huán)比賽，勝者得2分，負者得0分，平者各得1分。已知甲乙丙三人得分分別為3分，4分，4分，且丙無平局，甲有勝局，乙有平局，那么丁同學得分？解析：共比賽場數3×4÷2=6場每場比賽兩人共得2分，6場比賽共得6×2=12分所以丁得分12-2-4-4=1分四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第37頁。第五講整除

四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第38頁。概念復習：約數：整數a除以整數b(b≠0)除得的商正好是整數而沒有余數，我們就說a能被b整除，或b能整除a。a稱為b的倍數，b稱為a的約數。如：4是2的倍數，2是4的約數。公約數：亦稱“公因數”。它是幾個整數同時均能整除的整數。如果一個整數同時是幾個整數的約數，稱這個整數為它們的“公約數”；如：3是6和9的公約數；30和40，它們的公約數有1，2，5，10。最大公約數：公約數中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。如30和40，它們的最大公約數是10?；ベ|數：公約數只有1的兩個數，叫做互質數。稱兩數互質。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第39頁。

整除的特性：一、看末位：能被2整除的特征：如果一個數的個位數字是偶數，那么這個數能被2整除。能被5整除的特征：如果一個數的個位數字是0或5，那么這個數能被5整除。能被4（或25）整除的特征：如果一個數的末兩位數能被4（或25）整除，那么這個數能被4（或25）整除。能被8（或125）整除的特征：如果一個數的末三位數能被8（或125）整除，那么這個數能被8（或125）整除。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第40頁。二、看數字和：能被3（9）整除的特征：如果一個數的各位數字之和能被3（9）整除，那么這個數能被3（9）整除。能被99整除的特征：如果一個數從右向左兩位兩位和能被99整除，那么這個數能被99整除。能被999整除的特征：如果一個數從右向三位三位和能被999整除，那么這個數能被999整除。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第41頁。三、看數段差

能被7（11/13）整除的特征：如果一個數奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差（大數減小數）能被7（11/13）整除，那么這個數能被7（11/13）整除。當一個多位數中有一個或幾個數字用字母表示時，為防止理解錯誤，就在這個多位數的上面劃一線段來表示這個多位數。例如，表示這個三位數的百、十、個位依次是3，a，5；四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第42頁。例1：判斷下列各數是否能被3整除：2574，38974，587931例2：六位數能被3整除，字a=？解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，數字a只能是2，5或8。即符合題意的a是2，5或8。例3：已知一個6位數14A52B能被5和9整除，求這個6位數。【解題步驟】能被5整除的數的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的數字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。當B=0時，A取6；當B=5時，A取1。所以這個6位數是141525或146520四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第43頁。例4：

在四位數56□2中，被蓋住的十位數分別等于幾時，這個四位數分別能被9，8，4整除？

解：如果56□2能被9整除：

那么5＋6＋□＋2＝13＋□應能被9整除，

所以當十位數是5，即四位數是5652時能被9整除；

如果56□2能被8整除：

那么6□2應能被8整除，

所以當十位數是3或7，即四位數是5632或5672時能被8整除；

如果56□2能被4整除：

那么□2應能被4整除，

所以當十位數是1，3，5，7，9，即四位數是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第44頁。數的整除具有如下性質：性質1：

如果甲數能被乙數整除，乙數能被丙數整除，那么甲數一定能被丙數整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性質2：

如果兩個數都能被一個自然數整除，那么這兩個數的和與差也一定能被這個自然數整除。例如，21與15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。性質3：如果一個數能分別被兩個互質的自然數整除，那么這個數一定能被這兩個互質的自然數的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質，那么126能被9×7＝63整除。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第45頁。根據整除的性質3，我們可以把判斷整除的范圍進一步擴大。例如，判斷一個數能否被6整除，因為6＝2×3，2與3互質，所以如果這個數既能被2整除又能被3整除，那么根據整除的性質3，可判定這個數能被6整除。同理，判斷一個數能否被12整除，只需判斷這個數能否同時被3和4整除；判斷一個數能否被72整除，只需判斷這個數能否同時被8和9整除；如此等等。例5：要使六位數18ABC6能被36整除，而且所得的商最小，這個六位數是多少？四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第46頁?！景l(fā)散思維】由于18ABC6能被36整除，36=4×9，且4和9互質，所以這個6位數既能被4整除又能被9整除。

再考慮“所得的商最小”這個條件，應首先是A盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小?！窘忸}步驟】18ABC6能被4整除，則C6能被4整除，因此C可能取1、3、5、7、9。18ABC6能被9整除，則1+8+A+B+C+6=15+A+B+C能被9整除。

要使所得的商最小，就要使18ABC6盡可能小，即ABC盡可能小，因此首先A盡可能小，其次B,最后C盡可能小。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第47頁。

先試取A=0，此六位數之和為15+B+C,欲使B+C盡可能小，而且15+B+C能被9整除，則（B+C）取3，因為B+C=3，且C只能取1、3、5、7、9。則C=3,B=0.當A=0,B=0,C=3時，此六位數能被36整除，而且所得的商最小，為180036÷36=5001。例6：

五位數

能被72整除，A與B各代表什么數字？分析與解：已知

能被72整除。因為72＝8×9，8和9是互質數，所以

既能被8整除，又能被9整除。根據能被8整除的數的特征，要能被8整除，那么末三位數

能被8整除，由此可確定B＝6。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第48頁。再根據能被9整除的數的特征（各位數字之和能被9整除），即：A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，能被9整除因為l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在這個范圍內只有27能被9整除，所以A＝7。解答例4的關鍵是把72分解成8×9，再分別根據能被8和9整除的數的特征去討論B和A所代表的數字。在解題順序上，應先確定B所代表的數字，因為B代表的數字不受A的取值大小的影響，一旦B代表的數字確定下來，A所代表的數字就容易確定了。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第49頁。

【鞏固練習】在865后面補上三個數字，組成一個六位數，使它能被3、4、5整除，且使這個數值盡可能得小。解：假設這個數為865ABC，因為能被5整除，所以C為0或5因為能被4整除，所以末兩位BC數能被4整除，當C為0時，B為2、4、6、8；當C為5時，B沒有取值，所以，C只能為0；

因為能夠被3整除，所以各位數字之和能被3整除，即8+6+5+A+B+C能被3整除。8+6+5+A+B+C=8+6+5+A+B+0=19+A+B當B為2時，19+A+B=21+A，所以A為0、3、6、9；當B為4時，

19+A+B=23+A，所以A為1、4、7當B為6時，

19+A+B=25+A，所以A為2、5、8四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第50頁。當B為8時，19+A+B=27+A，所以A為0、3、6、9因為要求這個數值盡可能的小，所以A、B、C要盡可能的小，所以：A=0，B=2，C=0，所以這個數為：865020例7：要使六位數

能被36整除，而且所得的商最小，問A，B，C各代表什么數字？四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第51頁。分析與解：因為36＝4×9，且4與9互質，所以這個六位數

應既能被4整除又能被9整除。六位數能被4整除，就要

能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。要使所得的商最小，就要使

這個六位數

盡可能小。因此首先是A盡量小，其次是B盡量小，最后是C盡量小。先試取A=0。六位數

的各位數字之和為12＋B＋C。它應能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因為B，C應盡量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使

盡可能小，應取B＝1，C＝5。當A=0，B=1，C＝5時，六位數能被36整除，而且所得商最小，為150156÷36＝4171。

四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第52頁。例8：

判斷七位數1839673能否被11整除。分析與解：奇數位上的數字之和為1＋3＋6＋3=13，偶數位上的數字之和為8＋9＋7=24，因為24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。

根據能被11整除的數的特征，也能求出一個數除以11的余數。

一個數除以11的余數，與它的奇數位上的數字之和減去偶數位上的數字之和（大數減小數）所得的差除以11的余數相同。

例9：求

除以11的余數。

分析與解：奇數位是101個1，偶數位是100個9。（9×100-1×101）÷11=799÷11=72……7，

11-7=4，所求余數是4。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第53頁。

例10：六位數

能被33整除，求A+B。

分析與解：

由33=3×11，且3與11互質，所以六位數

既能被3整除又能被11整除。

因為能被3整除，

所以5+A+6+3+4+B=18+A+B能被3整除，所以：A+B可以為0、3、6、9、12、15、18

因為能被11整除，所以（A+3+B）-（5+6+4）=（A+B）-12能被11整除。

如果（A+B）—12能被11整除，則A+B可以為12、23.

因為A+B小于20，所以A+B=12四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第54頁。試除法和數字謎法：當末尾數不知道，用試除法。當前邊或中間數不知道，用數字謎法。例11：9是12的倍數，求這個數的末位？解：設=9，則99÷12=8......3，99-3=96，則=6例12：如果2能被79整除，求這個數的末兩位？解1：設這個數為299，則299÷79=3......62，299-62=237,這個數的末兩位為37.解2：設這個數為200，則200÷79=42，200+（79-42）=237四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第55頁。例13：能同時被7、17整除的最大和最小四位數是多少？解（一）設這個數為9999：則：9999÷7=1428......3，說明能被7整除的最大四位數是9999-3=9996，那么9996-n×7都能被7整除，依次為9989、9982、9975......9999÷17=576......7，說明能被17整除的最大四位數是9999-7=9992，那么9992-n×17都能被17整除，依次為9975、9958、9941......綜上，能同時被7、17整除的最大四位數是9975。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第56頁。（二）設這個數為1000：則1000÷7=142......6，說明能被7整除的最小四位數是1000+（7-6）=1001，那么1001+n×7都能被7整除，依次為1008、1015、1022、1029、1036、1043、1050、1057、1064、1071、1078.....1000÷17=58......14，說明能被17整除的最小四位數是1000+（17-14）=1003，那么1003+n×17都能被17整除，依次為1020、1037、1054、1071......。綜上，能同時被7、17整除的最小四位數是1071四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第57頁。例14：一個五位數的末三位為999，如果這個數能被23整除，那么這個五位數最小是多少？（數字謎法）

解：設這個五位數數為999。999除以23，可以是四位數或三位，因為求最小值，所以，商為三位數，設為

，則得豎式：

×23

999

根據上圖計算，這個五位數為25999四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第58頁。第六講

列方程式解應用題

四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第59頁。一、解簡易方程

什么是方程？首先，它是一個等式（用等號連接的式子）。例如：X+2=7這里的x是我們要求的數，在沒有求出之前我們還不知道x是多少，稱它為未知數。像上面的“含有未知數的等式”叫做方程。

求方程的未知數的值（叫做方程的解）的過程叫做解方程。

使得方程的左右兩邊都相等的未知數的值稱之為方程的解。

二、等式的基本性質1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數，結果還是等式.2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為零的數，結果還是等式.四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第60頁。

【例】下列各式，屬于方程的是？（1）68-3.4=-x（2）5x-3.6÷1.2(3)x÷3.2=6(4)0=x(5)x+y=5(6)6(x-2)>7(7)2.3(1-1.5)x=x+x【例】解方程。

6x+5-7=164×0.9-4x=1.2600÷（15－x）=200x÷6－2.5=1.1四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第61頁。三、解方程的一般步驟

（一）把一個數從方程的一邊移動到另一邊，要改變符號（加變減，減變加，乘變除，除變乘）。

10-3x=43x-5+2x+4=1445-6x+9x=157x+18-6x+12=60（二）有多個未知數的方程，要把含有未知數的部分移動到方程的同一邊，不含有未知數的部分移動到方程的另一邊。

3x+5=6x-105x-8=16-3x20-4x=x+516-2x=46-8x（三）有括號的先打開括號（原則：乘法對加減法的分配律）。2×(4x+3)=x+13×(2x-3)=22x-3(4x-9)=x-6括號前面的乘號可以省略：2(2x+7)=5-4(x-1)+21四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第62頁。四、列方程解應用題的一般步驟是（五步）

①弄清題意，找出已知條件和所求問題；

②設未知數x，依題意確定等量關系；③根據等量關系列出方程；

④解方程；

⑤檢驗，寫出答案。【例】已知一個三角形的面積是40平方厘米，它的高時8厘米，請問高所在的底邊長多少？

【解析】1、已知兩個條件：三角形面積=40平方厘米，高=8厘米。求一個量：高所在的底邊長？四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第63頁。2、依題意確定等量關系：三角形面積公式：面積=底邊長×高；設未知數x：設高所在的底邊長為x厘米：底×高÷2

=三角形面積

設為X8厘米40平方厘米3、列方程：40=x×8÷24、解方程：x=10（厘米）5、檢驗，把x=10帶入方程，看等式兩邊是否相等。6、寫答案：答：高所在的底邊長為10厘米。*紅字為解題過程四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第64頁。六、方程解應用題與算術解應用題的聯(lián)系與區(qū)別

聯(lián)系：都是以四則運算的意義，相互關系以及常見的數量關系為基礎和依據的

區(qū)別：1、解題思路不同。列方程解應用題，以字母“X”代替未知數,按題中的等量關系,使字母“X”直接參與列式計算；而算術解時,

未知數處于特殊的地位,不能直接參加運算,只根據已知條件和問題間的數量關系直接用已知數量列出算式。例3：一個三角形的面積是100平方厘米，它的底是20厘米，高是多少厘米？如果本例用算術解，就屬于逆向思考的問題，從而使學生思考困難，會出現(xiàn)不應有的錯誤。這時，應利用三角形的面積計算公式列出方程求解。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第65頁。2、解題的步驟與方法不同。列方程解應用題是利用等式的性質進行計算，而算術解主要通過四則運算及其定律進行計算。比如上面例3就可用方程解：20×X÷2＝100；算術解則就是100÷20×2。3、難易程度不同。算術法比較曲折、間接、不大容易掌握。而方程解則比較簡明、清晰、容易掌握。在小學的應用題教學中，即使學了方程解法，也不宜用其完全代替算術解法。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第66頁。例4：買3張桌子和4把椅子一共用了308元。每把椅子32元，每把桌子多少元？本例是逆向思考的題目，如果用算術方法來想，解題思路和列式就很難。如果把每張桌子的價錢用X表示，進行順向思考，按照數量間的相等關系列方程就比較容易。桌子椅子總數個數34每個的錢數設為X

32花費總數3X+32×4=308

四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第67頁。七、設未知數的方法。列方程解應用題，首先要設未知數X,是關鍵。一般來說，設未知數有兩種方法：1.直接設未知數。題目問什么（求什么）就設什么。例5：少年宮合唱隊有64人，比舞蹈隊人數的2倍多16人，舞蹈隊有多少人？這題就直接設題目中問什么，即設舞蹈隊人數有x人。根據題目的意思，列出方程：2X＋16＝64。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第68頁。2、間接設未知數。用間接法求出的X并不是題目要求的結果，求出X后，還要根據題目中的數量關系求出題中要求的未知量。例6：果園里桃樹和杏樹一共180棵，杏樹的棵數是桃樹的3倍，桃樹和杏樹各有多少棵？這例要求的未知數有兩個，有很多的同學就會直接設桃樹和杏樹各有X棵。這樣設的話，就顯得模棱兩可的，不知道到底是設哪一個量。如果設杏樹為X棵，就會給列方程和解方程帶來困難。間接設桃樹為X棵,就顯得容易多了.四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第69頁。八、正確分析數量關系，掌握列方程解應用題的思路和途徑。列方程解應用題的思路和途徑是多種多樣的：。1.利用數形結合找等量關系列方程。在感知應用題情景的基礎上，畫出示意圖，采用數形結合的方法分析數量關系，實際上使視覺參與了解題過程，它能直觀地再現(xiàn)題目的數量關系，便于列出方程。例：同學們種向日葵，四年級種的棵數是三年級的3倍，還知道四年級比三年級多種128棵，問兩個年級各種多少棵？解：設三年級種X棵，那么，四年級種3X棵。三年級：X四年級：3X可列出方程：3X－X＝128四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第70頁。2、借助數量關系，找出等量關系列出方程。在小學數學中，數量關系很多，比如面積、體積公式；常見的“三量”關系（單價×數量＝總價、．．．．．．），幾何圖形的特征等。根據數量關系就可列出方程。例8：已知：∠1＝37°、∠2＝63°。求：∠3＝？。這題就根據“任意三角形的內角和是180°”這個特征來列出一個方程：37°＋63°＋X＝180°，這樣既簡單又明了。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第71頁。九、直接設未知數解應用題例1：長方形周長是66厘米，長比寬多3厘米，求長方形的長和寬各是多少厘米？

周長=

2

×（長+寬）66厘米X+3厘米設為X厘米解：依題意設長方形的寬是x厘米，則長方形的長3+x（厘米）

則：[（3+x）+x]×2=666+4x=66

4x=60

x=15（厘米）

x+3=18（厘米）

答：長方形的長18厘米，長方形的寬是15厘米四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第72頁。例2：某八位數形如

2abcdrfg

，它與3的乘積形如abcdrfg4，則七位數abcdrfg

應是

？解：設abcdrfg=x則：2abcdrfg

=20000000+abcdrfg=20000000+xabcdrfg

4=10×abcdrfg+4=10x+4依據題意列方程：3×

（20000000+x）=10x+460000000+3x=10x+459999996=7xx=8571428答：七位數abcdrfg

應是8571428。

四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第73頁。例3：有三個連續(xù)的整數，已知最小的數加上中間的數的兩倍再加上最大的數的三倍的和是68，求這三個連續(xù)整數。解：設最小的那個數為X，那么中間的數和最大的數分別為X+1和X+2。則X+2（X+1）+3（X+2）=686X+8=686X=60X=10所以這三個連續(xù)整數依次為10、11、12．四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第74頁。二、間接設未知數解應用題例：平行四邊形ABCD的周長是80厘米（cm），以AD邊為底時，高為12cm，以AB為底邊時，高為20cm，求ABCD的面積。分析：平行四邊形的周長是兩條鄰邊之和的2倍，所以：AB+AD=40cm設：AB=Xcm，則AD=（40-X）cm根據平行四邊形面積公式，得AB×

20=AD×

12，則：20X=12（40-X）解得：X=15所以：平行四邊形面積=15×20=300（平方厘米）四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第75頁。例：小龍、小虎、小方和小圓四個孩子共有45個球，但不知道每個人各有幾個球，如果變動一下，小龍的球減少2個，小虎的球增加2個，小方的球增加一倍，小圓的球減少一半，那么四個人球的個數就一樣多了．求原來每個人各有幾個球？設：變動后，每個孩子有X個球

小龍

小虎

小方

小圓

共有原來：X+2X-2X÷2X×245個得：（X+2）+（X-2）+（X÷2）+（X×2）=45解：4.5X=45X=10所以：小龍有12個，小虎8個，小方5個，小10個。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第76頁。練習：1.已知三個連續(xù)奇數之和為為75，求這三個數？2.兄弟二人共養(yǎng)鴨550只，當哥哥賣掉自己養(yǎng)鴨總數的一半，弟弟賣出70只時，兩人余下的鴨只數相等，求兄弟兩人原來各養(yǎng)鴨多少只？3.一人看見山上有一群羊，他自言自語到：“我如果有這些羊，再加上這些羊，然后加上這些羊的一半，又加上這些羊一半的一半，最后再加上我家里的那只，一共有

只羊”．山上的羊群共有______只．4.某班原分成兩個小組活動，第一組26人，第二組22人，根據學?；顒悠鞑牡臄盗?，要將一組人數調整為二組人數的一半，應從一組調多少人到二組去？四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第77頁。第七講行程問題

四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第78頁。相遇問題：所謂相遇問題就是指兩個運動物體以不同的地點作為出發(fā)地作相向運動的問題。基本公式：相遇路程=速度和×相遇時間相遇時間=相遇路程÷速度和速度和=相遇路程÷相遇時間例1：甲乙兩人分別從相距20千米的兩地同時出發(fā)相向而行，甲每小時走6千米，乙每小時走4千米。兩人幾小時后相遇？分析與解答：這是一道相遇問題。根據題意，出發(fā)時甲乙兩人相距20千米，以后兩人的距離每小時縮短6＋4=10千米，這也是兩人的速度和。所以，求兩人幾小時相遇，就是求20千米里面有幾個10千米。因此，兩人20÷（6＋4）=2小時后相遇。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第79頁。例2：王欣和陸亮兩人同時從相距2000米的兩地相向而行，王欣每分鐘行110米，陸亮每分鐘行90米。如果一只狗與王欣同時同向而行，每分鐘行500米，遇到陸亮后，立即回頭向王欣跑去；遇到王欣后再回頭向陸亮跑去。這樣不斷來回，直到王欣和陸亮相遇為止，狗共行了多少米？分析與解答：要求狗共行了多少米，一般要知道狗的速度和狗所行的時間。根據題意可知，狗的速度是每分鐘行500米，關鍵是要求出狗所行的時間，根據題意可知：狗與主人是同時行走的，狗不斷來回所行的時間就是王欣和陸亮同時出發(fā)到兩人相遇的時間，即2000÷（110＋90）=10分鐘。所以狗共行了500×10=5000米。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第80頁。所謂相背問題是指兩個運動的物體作背向運動的問題。在相背問題中，相遇問題的基本數量關系仍然成立。例3：甲每小時行7千米，乙每小時行5千米，兩人于相隔18千米的兩地同時相背而行，幾小時后兩人相隔54千米？分析與解答：這是一道相背問題。根據題意，甲乙兩人共行的路程應該是54－18=36千米，而兩人每小時共行7＋5=12千米。要求幾小時能行完36千米，就是求36千米里面有幾個12千米。所以，36÷12=3小時。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第81頁。追及問題：追及問題的地點可以相同（如環(huán)形跑道上的追及問題），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就發(fā)生快的追及慢的問題。根據速度差、距離差和追及時間三者之間的關系，常用下面的公式：速度差=快的速度-慢的速度距離差（路程差）=速度差×追及時間追及時間=距離差（路程差）÷速度差速度差=距離差（路程差）÷追及時間平均速度=總路程÷總時間解題的關鍵是：在互相關聯(lián)、互相對應的距離差、速度差、追及時間三者之中，找出兩者，然后運用公式求出第三者來達到解題目的。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第82頁。例4：甲乙兩人分別從相距24千米的兩地同時向東而行，甲騎自行車每小時行13千米，乙步行每小時走5千米。幾小時后甲可以追上乙？分析與解答：這是一道追及問題。根據題意，甲追上乙時，比乙多行了24千米（路程差）。甲騎自行車每小時行13千米，乙步行每小時走5千米，甲每小時比乙多行13－5=8千米（速度差），即甲每小時可以追上乙8千米。所以要求追上乙所用的時間，就是求24千米里面有幾個8千米。因此，24÷8=3小時甲可以追上乙。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第83頁。火車行程問題：

1、火車＋樹(電線桿)：一個有長度、有速度，一個沒長度、沒速度

解法：總路程(火車車長)＝火車速度×通過時間；路程長火車車長四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第84頁。2、火車過橋（隧道）：一個有長度、有速度，一個有長度、但沒速度，

解法：火車車長＋橋(隧道)長度(總路程)＝火車速度×通過的時間；

火車車長橋長路程長四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第85頁。3、火車＋人：一個有長度、有速度，一個沒長度、但有速度（1）火車＋迎面行走的人：相當于相遇問題，

解法：路程和

(火車車長)＝(火車速度＋人的速度)×迎面錯過的時間；火車車長(路程和)人路程火車路程四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第86頁。（2）火車＋同向行走的人：相當于追及問題，解法：路程差

(火車車長)＝(火車速度—人的速度)×追及的時間；人路程車路程火車車長(路程差)

四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第87頁。4、火車＋火車：一個有長度、有速度，一個也有長度、有速度，（1）錯車問題：相當于相遇問題，解法：路程和(快車車長＋慢車車長)＝(快車速度＋慢車速度)×錯車時間；慢車路程路程和快車路程快車車長慢車車長四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第88頁。（2）超車問題：相當于追及問題

解法：路程差

(快車車長＋慢車車長)＝(快車速度—慢車速度)×錯車時間；快車路程慢車路程路程差慢車車長快車車長四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第89頁。例1：一列火車通過一條長240米的鐵路橋用了30秒，用這樣的速度通過320的隧道用了34秒，求火車的車長和車速。分析與解：從圖中可知，火車過橋行駛的路程是橋長+車長；同樣的道理，火車過隧道行駛的路程是隧道長+車長。兩次所用時間的不同是因為鐵路橋與隧道的長度不同引起的，利用兩次的時間差與路程差可以求出火車的速度。

四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第90頁。解：火車的速度：（320－240）÷（34－30）=20米/秒；

車長：20×30－240=360米。答：火車的車長是360米，車速是20米/秒。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第91頁。第八講加法原理和乘法原理

四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第92頁。1、加法原理做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。每一種方法都能夠直接達成目標。2、乘法原理做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第93頁。3、注意區(qū)分兩個原理。要做一件事，完成它若是有n類辦法，是分類問題，第一類中的方法都是獨立的，因此使用加法原理；做一件事，需要分n個步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個互相聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理。完成一件事的分“類”和“步”是有本質區(qū)別的，因此也將兩個原理區(qū)分開來。4、口訣加法原理：類類獨立；乘法原理：類類相關。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第94頁。例1：從甲地到乙地，有3條公路和2條鐵路可以直接到達。從甲地到乙地共有多少種走法？

【思路導航】加法原理。

分類：第一類，“走公路”，共有3種方法。

第二類，“走鐵路”，共兩種方法。

所以從甲地到乙地的方法總和是3+2=5（種）

解答：從甲地到乙地共有5種走法。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第95頁。例2：十把鑰匙開十把鎖，但不知道哪把鑰匙開哪把鎖。請問：最多試開多少次，就能把鎖和鑰匙配起來?

【分析】任意取一把鑰匙去試開鎖，要試9次；其次，再從剩下的9把鑰匙中任取一把去試開鎖，要試8次?照此方法進行下去，最后，只剩下一把鑰匙和一把鎖，就不需要試了。運用加法原理。

解：9+8+7+......+3+1=45

答：最多試開45次，就能把鎖和鑰匙配起來。四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第96頁。例3：用0,1,2,3,4,5,6組成四位數的密碼共有幾種？思路：其實就是組成四位數（千位可以為0）。分四步：確定個位數字個數、確定十位數字個數、確定百位數字個數、確定千位數字個數。（用乘法原理）。每一位都有0,1,2,3,4,5,6，六種選擇（加法原理）四位數個數=個位數字個數×十位數字個數×百位數字個數×千位數字個數=6×6×6×6四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第97頁。例4：如圖，從甲地到乙地有三條路，從乙地到丁地有三條路，從甲地到丙地有兩條路，從丙地到丁地有四條路。問：從甲地到丁地有多少條路？【分析】1、甲到丁，是完成一件事，有兩種途徑，即：甲經乙到丁和甲經丙到丁，用加法原理。即：甲地到丁的路=甲經乙到丁+甲經丙到丁2、甲經乙到丁，分兩步：即甲先到乙，由乙到丁，屬完成一件事情的兩步，用乘法原理，即甲經乙到丁的路=甲到乙的路×乙到丁的路=3×3同理，甲經丙到丁的路=甲到丙的路×丙到丁的路=2×4。所以：甲地到丁的路=甲經乙到丁+甲經丙到丁=（甲到乙的路×乙到丁的路）+（甲到丙的路×丙到丁的路）=3×3+2×4=9+8=17四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第98頁。例5：從1到500的所有自然數中,不含有數字4的自然數有多少個?分析：從1到500的所有自然數可分為三大類，即一位數，兩位數，三位數．

一位數中：不含4的有8個，它們是1、2、3、5、6、7、8、9；

兩位數中：不含4的可以這樣考慮：十位上，不含4的有1、2、3、5、6、7、8、9這八種情況．個位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個兩位數，可以先取十位數，再取個位數，應用乘法原理，這時共有8×9=72個數不含4．

四年級奧數知識點(上)全文共318頁，當前為第99頁。三位數中，小于500并且不含數字4的可以這樣考慮：百位上，不含4的有1