湖南省邵陽市武岡頭堂鄉(xiāng)學(xué)區(qū)石羊中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測試題含解析

湖南省邵陽市武岡頭堂鄉(xiāng)學(xué)區(qū)石羊中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知=21，則（2﹣）n的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（） A．160 B． ﹣160 C． 960 D． ﹣960參考答案：B2.若函數(shù)，則在點(diǎn)處切線的傾斜角為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略3.在正四面體P－ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是()A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC

D．平面PAE⊥平面ABC參考答案：C略4.下列三句話按“三段論”模式，小前提是（）①y=cosx（x∈R）是三角函數(shù)；②三角函數(shù)是周期函數(shù)；③y=cosx（x∈R）是周期函數(shù)．A．① B．② C．③ D．①或③參考答案：A【考點(diǎn)】F6：演繹推理的基本方法．【分析】根據(jù)三段論”的排列模式：“大前提”→“小前提”?“結(jié)論”，分析即可得到正確的次序．【解答】解：根據(jù)“三段論”：“大前提”→“小前提”?“結(jié)論”可知：①y=cosx（x∈R）是三角函數(shù)是“小前提”；②三角函數(shù)是周期函數(shù)是“大前提”；③y=cosx（x∈R）是周期函數(shù)是“結(jié)論”；故選：A【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是演繹推理的基本方法：大前提一定是一個(gè)一般性的結(jié)論，小前提表示從屬關(guān)系，結(jié)論是特殊性結(jié)論．5.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上．若軸，則點(diǎn)到軸的距離為()A．

B．3

C

.

D.

參考答案：A6.橢圓上一點(diǎn)，以及點(diǎn)及、為頂點(diǎn)的三角形面積為1，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．A． B．C． D．參考答案：D設(shè)，則，∵，∴，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選D．7.已知(4,2)是直線l被橢圓＋＝1所截得的線段的中點(diǎn),則l的方程是 （） A.x＋2y+8＝0 B.x＋2y－8＝0 C.x-2y－8＝0 D.x-2y+8＝0參考答案：B8.如圖所示的流程圖中，輸出d的含義是（

）A.點(diǎn)到直線的距離B.點(diǎn)到直線的距離的平方C.點(diǎn)到直線距離的倒數(shù)D.兩條平行線間的距離參考答案：A【分析】將代入中,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得.【詳解】因?yàn)?,所以,故d的含義是表示點(diǎn)到直線的距離.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖以及點(diǎn)到直線的距離公式,屬基礎(chǔ)題.9.反證法證明三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不小于60°，反設(shè)正確的是（）A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60°B．假設(shè)三內(nèi)角都小于60°C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)小于60°參考答案：B【考點(diǎn)】R9：反證法與放縮法．【分析】由于本題所給的命題是一個(gè)特稱命題，故它的否定即為符合條件的反設(shè)，寫出其否定，對照四個(gè)選項(xiàng)找出答案即可【解答】解：用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°”時(shí)，應(yīng)由于此命題是特稱命題，故應(yīng)假設(shè)：“三角形中三個(gè)內(nèi)角都小于60°”故選：B【點(diǎn)評】本題考查反證法的基礎(chǔ)概念，解答的關(guān)鍵是理解反證法的規(guī)則及特稱命題的否定是全稱命題，本題是基礎(chǔ)概念考查題，要注意記憶與領(lǐng)會．10.下表是降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)，據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程為＝0.7x＋0.35，那么表中值為

x3456y2.544.5（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

．參考答案：由,得a1=S1=1，由，得4=(+)2，又an>0，∴2Sn=+,即Sn=an+1，當(dāng)n≥2時(shí),=an，兩式作差得：an=an+1?an,即=2，又由S1=1,

,求得a2=1，∴當(dāng)n≥2時(shí),an=.驗(yàn)證n=1時(shí)不成立，∴，

12.給出下列命題：①y＝1是冪函數(shù)；

②函數(shù)f(x)＝2x－log2x的零點(diǎn)有1個(gè)；③的解集為[2，＋∞)；④“x<1”是“x<2”的充分不必要條件；⑤函數(shù)y＝x3是在O(0,0)處的切線是x軸．其中真命題的序號是________(寫出所有正確命題的序號)．參考答案：④⑤13.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則|3x+4y﹣7|的最大值是．參考答案：14【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部，再將直線l：t=3x+4y﹣7對應(yīng)的直線進(jìn)行平移，觀察截距的變化可得t的范圍，由此可得|3x+4y﹣7|的最大值．【解答】解：作出不等式組，表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（﹣1，﹣1），B（0，1），C（1，0）設(shè)t=F（x，y）=3x+4y﹣7，將直線l：t=3x+4y﹣7進(jìn)行平移，當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值；當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值∴t最大值=F（0，1）=﹣3，t最小值=F（﹣1，﹣1）=﹣14∴|3x+4y﹣7|∈[3，14]，故Z=|3x+4y﹣7|的最大值是14．故答案為：14．14.已知，則

．參考答案：915.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，△POF2是面積為的正三角形，則b2的值是

參考答案：16.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是A1B1與B1C1的中點(diǎn)；求EF與DB1所成的角。參考答案：900

17.為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則

.參考答案：21三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n-1an＝，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.參考答案：20、解：(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，

①∴當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝.

②①－②得3n－1an＝，an＝.在①中，令n＝1，得a1＝，適合an＝，∴an＝.(2)∵bn＝，∴bn＝n3n.∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n3n，

③∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n3n＋1.

④④－③得2Sn＝n3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，即2Sn＝n3n＋1－，

∴Sn＝＋.略19.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，（1）當(dāng)k=1時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最小值。參考答案：（1），，令得x=0令，令......5分所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是......6分（2），

令；......7分令，令.所以在上遞減，在上遞增；......8分當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上遞增，所以；......9分當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上遞減，上遞增，所以；......12分當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上遞減，所以。......13分

綜上，。。。。。。。。。。。......14分20.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P（x0，y0）是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且x02+y02=．（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)S（0，﹣）且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，問：在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)和△MAB面積的最大值；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；平面向量及應(yīng)用；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合條件，可得c=1，再由離心率公式，可得a，由a，b，c的關(guān)系可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)動直線l的方程為y=kx﹣，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)M（0，m），滿足題設(shè)，求得向量MA，MB的坐標(biāo)，再由數(shù)量積為0，化簡整理，可得m=1，在y軸上存在定點(diǎn)M，使得以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)；求得M到AB的距離，弦長AB，由△MAB的面積公式，化簡整理，再設(shè)1+2k2=t（t≥1），轉(zhuǎn)化為t的式子，配方即可得到所求最大值．【解答】解：（1）設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），由?=，即為（﹣c﹣x0，﹣y0）?（c﹣x0，﹣y0）=，即有x02+y02﹣c2=，又x02+y02=，解得c=1，又e==，則a=，b=1，因此所求橢圓的方程為：+y2=1；（2）動直線l的方程為y=kx﹣，由，得（1+2k2）x2﹣kx﹣=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=﹣，假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)M（0，m），滿足題設(shè)，則=（x1，y1﹣m），=（x2，y2﹣m），?=x1x2+（y1﹣m）（y2﹣m）=x1x2+y1y2﹣m（y1+y2）+m2=x1x2+（kx1﹣）（kx2﹣）﹣m（kx1﹣+kx2﹣）+m2=（1+k2）x1x2﹣k（+m）（x1+x2）+m2+m+=﹣﹣k（+m）?+m2+m+=，由假設(shè)得對于任意的k∈R，?=0恒成立，即，解得m=1．因此，在y軸上存在定點(diǎn)M，使得以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）這時(shí)，點(diǎn)M到AB的距離d=，|AB|=，S△MAB=|AB|d====，設(shè)1+2k2=t則k2=得t∈[1，+∞），∈（0，1]，所以=≤，當(dāng)且僅當(dāng)=1時(shí)，上式等號成立．因此，△MAB面積的最大值是．【點(diǎn)評】通過幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．21.在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，底面ABC是邊長為2的正三角形，D'是棱A'C'的中點(diǎn)，且AA'=2．（1）試在棱CC'上確定一點(diǎn)M，使A'M⊥平面AB'D'；（2）當(dāng)點(diǎn)M在棱CC'中點(diǎn)時(shí)，求直線AB'與平面A'BM所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MI：直線與平面所成的角；LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（1）取AC邊中點(diǎn)為O，則OB⊥AC，連接OD'，建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OD'為z軸的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出當(dāng)CM=時(shí)，A'M⊥平面AB'D'．（2）當(dāng)點(diǎn)M在棱CC'中點(diǎn)時(shí)，M（0，1，），求出平面A′BM的一個(gè)法向量，利用向量法能求出直線AB'與平面A'BM所成角的正弦值．【解答】解：（1）取AC邊中點(diǎn)為O，∵底面ABC是邊長為2的正三角形，∴OB⊥AC，連接OD'，∵D'是邊A'C'的中點(diǎn)，∴OD'⊥AC，OD'⊥OB，建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OD'為z軸如圖所示的空間直角坐標(biāo)系…則有O（0，0，0），A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），B'（，0，2），A'（0，﹣1，2），D'（0，0，2），C'（0，1，2），設(shè)M（0，1，t），則=（0，2，t﹣2），=（0，1，2），=（，1，2）…若A'M⊥平面AB'D'，則有A'M⊥AD'，A'M⊥AB'，∴，解得t=，即當(dāng)CM=時(shí)，A'M⊥平面AB'D'．…（2）當(dāng)點(diǎn)M在棱CC'中點(diǎn)時(shí)，M（0，1，），∴=（﹣），=（0，2，﹣），設(shè)平面A′BM的一個(gè)法向量=（x，y，z），∴，令z=，得=（），…設(shè)直線AB'與平面A'BM所成角為θ，則sinθ==．∴直線AB'與平面A'BM所成角的正弦值為．…22.已知函數(shù)．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求f(x)在[－1,4]上的值域．參考答案：(1)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)后，分別在和兩種情況下討論導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得到的單調(diào)性；（