浙江省杭州市北苑實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

浙江省杭州市北苑實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A2.如果等差數(shù)列中，++=12，那么++…+=

（

）A．21

B．28

C．14

D．35參考答案：B略3.若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為A．

B．

C．

D．參考答案：B4.下列各式：①|(zhì)a|＝；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③－＝；④在任意四邊形ABCD中，M為AD的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，則＋＝2；⑤a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a與b不共線，則(a＋b)⊥(a－b)．其中正確的個(gè)數(shù)為

()A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C略5.（理）設(shè)，則的值等于

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D6.已知復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=1+3i（i是虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)為（）A．1﹣i B．1+i C．2﹣i D．2+i參考答案：C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．【解答】解：（1+i）z=1+3i（i是虛數(shù)單位），∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i）（1+3i），化為2z=4+2i，∴z=2+i．則z的共軛復(fù)數(shù)為2﹣i．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7.若展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則n的值可以是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C略8.對(duì)于函數(shù)，若存在區(qū)間，使得，則稱區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“穩(wěn)定區(qū)間”．現(xiàn)有四個(gè)函數(shù)①；

②

③

④．其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有（

）

A．①②

B．②③

C．③④

D．②④參考答案：B9.（5分）將函數(shù)y=2sin2x圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，然后把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，（縱坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=f（x）的圖象，則f（x）等于（） A． 2sin（x﹣） B． 2sin（x﹣） C． 2sin（4x﹣） D． 2sin（4x﹣）參考答案：D考點(diǎn)： 函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： 直接由函數(shù)圖象的平移得答案．解答： 將函數(shù)y=2sin2x圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，所得圖象的解析式為y=2sin（2x﹣），然后把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=f（x）的圖象的解析式為f（x）=2sin（4x﹣）．故選：D．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)圖象的平移，注意變化順序是關(guān)鍵，是中檔題．10.已知冪函數(shù)

(p,q∈N+且p與q互質(zhì))的圖象如圖所示,則(

)

A.p、q均為奇數(shù)且<0

B.p為奇數(shù),q為偶數(shù)且<0C.p為奇數(shù),q為偶數(shù)且>0

D.p為偶數(shù),q為奇數(shù)且<0參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，且，則=

▲

．參考答案：9

略12.（2013?黃埔區(qū)一模）已知函數(shù)，且關(guān)于x的方程f（x）+x﹣a=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．參考答案：（﹣∞，1]略13.已知平面向量滿足，則的最小值是．參考答案：4【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；向量的模．【分析】不妨設(shè)=（1，0），=（m，n），=（p，q），根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算得到n=﹣，再根據(jù)向量的模的和基本不等式即可求出答案．【解答】解：不妨設(shè)=（1，0），=（m，n），=（p，q）則m=1，p=2，=2+nq=1，則nq=﹣1，∴n=﹣，∴=（1，﹣），=（2，q），∴2=+2+2+2?=1+1++4+q2+2+2+4=14++q2≥14+2=16，∴≥4，當(dāng)且僅當(dāng)q2=1，即q=±1時(shí)“=”成立．故答案為：414.若關(guān)于的方程有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：15.如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，將△ABD沿對(duì)角線BD折起到△A′BD的位置，使點(diǎn)A′在平面BCD內(nèi)的射影點(diǎn)O恰好落在BC邊上，則異面直線A′B與CD所成角的大小為

；A′D與平面A′BC所成的角的大小為

.參考答案：90°

30°16.已知直線2x+y+a=0與圓心為C的圓相交于兩點(diǎn)，且，則圓心的坐標(biāo)為

；實(shí)數(shù)a的值為

.參考答案：（-1，2）；.試題分析：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得到結(jié)論．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心C（-1，2），半徑∴圓心C到直線AB的距離所以圓心坐標(biāo)為：（-1，2）；實(shí)數(shù)考點(diǎn)：直線與圓17.已知函數(shù)有六個(gè)不同零點(diǎn)，且所有零點(diǎn)之和為3，則的取值范圍為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)，對(duì)于，都有成立.（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）證明：（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)證明【分析】（Ⅰ）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再由導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性，確定其最小值，結(jié)合題中條件列出不等式，即可得出結(jié)果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：當(dāng)時(shí)，，即，即，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)，，再令，可得，最后將化簡(jiǎn)整理，即可得出結(jié)論成立.詳解】解：（Ⅰ），當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，都成立，.又，所以由，得.；的取值范圍是.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，即..當(dāng)時(shí)，.令，則.且時(shí)，.，.；即恒成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，通常需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性、最值等即可，屬于?？碱}型.19.設(shè)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，且是曲線上任意兩點(diǎn)，若對(duì)任意的，直線的斜率大于常數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍參考答案：解：（1）的定義域R，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即的單調(diào)遞增區(qū)間為R當(dāng)時(shí)，令，解得

令，解得

所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為R當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是

略20.（本小題滿分12分）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D－AF－E與二面角C－BE－F都是60°．（I）證明：平面ABEF⊥平面EFDC；（II）求二面角E－BC－A的余弦值．參考答案：解：（I）由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，所以AF⊥平面EFDC．又AF平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC．（II）過(guò)D作DG⊥EF，垂足為G，由（I）知DG⊥平面ABEF．以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G－xyz．由（I）知∠DFE為二面角D－AF－E的平面角，故∠DFE=60°，則|DF|=2，|DG|=，可得A(1，4，0)，B(－3，4，0)，E(－3，0，0)，D(0，0，)．由已知，AB∥EF，所以AB∥平面EFDC．又平面ABCD∩平面EFDC=CD，故AB∥CD，CD∥EF．由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF為二面角C－BE－F的平面角，∠CEF=60°．從而可得C(－2，0，)．所以，=(0,4,0)，，=(－4,0,0)．設(shè)n=(x,y,z)是平面BCE的法向量，則，即所以可取n=(3，0，－)．設(shè)m是平面ABCD的法向量，則同理可取m=(0，，4)．則．故二面角E－BC－A的余弦值為．21.已知函數(shù).（1）若點(diǎn)()為函數(shù)與的圖象的公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸，求的值;(3)求函數(shù)的值域。參考答案：om]--------444444(2)∵∴∴=---------8分(3)∵ks5u∴--------9分----------11分∵

∴∴

∴.即函數(shù)的值域?yàn)?-------14分

略22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2