陜西省西安市高陵縣通遠(yuǎn)鎮(zhèn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

陜西省西安市高陵縣通遠(yuǎn)鎮(zhèn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在樣本的頻率分布直方圖中，共有4個小長方形，這4個小長方形的面積由小到大依次構(gòu)成等比數(shù)列{an}，已知a2=2a1，且樣本容量為300，則對應(yīng)小長方形面積最小的一組的頻數(shù)為(

)A．20 B．40 C．30 D．無法確定參考答案：A【考點】頻率分布直方圖．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列；概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)題意等比數(shù)列前n項和頻率和為1，求出小長方形面積最小一組的頻率與頻數(shù)即可．【解答】解：根據(jù)題意，得；等比數(shù)列{an}中，a2=2a1，∴a3=4a1，a4=8a1；∴a1+2a1+4a1+8a1=15a1=1，解得a1=；又樣本容量為300，∴對應(yīng)小長方形面積最小的一組的頻數(shù)為300×=20．故選：A．【點評】本題考查了頻率和為1與等比數(shù)列的通項公式、前n項和的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為

(

）A．5

B．6

C．7

D．8參考答案：A3.設(shè)．過點且平行于軸的直線與曲線的交點為，曲線過點的切線交軸于點，則的面積的最小值是A．1

B．

C．

D．參考答案：B4.拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形面積等于()

A.

B.

C.2

D.參考答案：A5.若函數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由題意可得在區(qū)間上恒成立，可得的取值范圍.【詳解】解：由區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，可得，可得，，當(dāng)，可得，故選A.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題型，注意運算準(zhǔn)確.6.已知平面向量，，且，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略7.已知二項式的展開式中各項的二項式系數(shù)和為512，其展開式中的常數(shù)項為，則a=（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：C【分析】二項展開式二項式系數(shù)和為，可得，使其通項公式為常數(shù)項時，求得，從而得到關(guān)于的方程.【詳解】展開式中各項的二項式系數(shù)和為，，得，，當(dāng)時，，解得：.【點睛】求二項式定理展開式中各項系數(shù)和是用賦值法，令字母都為1；而展開式各項的二項式系數(shù)和固定為.8.已知函數(shù)，則當(dāng)取得極大值時，x的值應(yīng)為（

）

A． B． C． D．參考答案：C由函數(shù)的解析式可得：，則．即的值為．9.2012年倫敦奧運會某項目參賽領(lǐng)導(dǎo)小組要從甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機四項不同工作，若其中甲、乙只能從事前三項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有(

)

A．18種

B．36種

C．48種

D．72種參考答案：D分兩類：第一類，甲、乙兩人只選一人參加，共有：；第二類：甲乙兩人都選上，共有：，有分類計數(shù)原理，得不同的選派方案共有72種．10.已知變量x，y滿足目標(biāo)函數(shù)是z＝2x＋y，則有()A.zmax＝5，zmin＝3

B.zmax＝5，z無最小值C.zmin＝3，z無最大值

D.z既無最大值，也無最小值參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－x2－2x＋5，若對任意x∈[－1,2]都有f(x)<m成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．參考答案：(7,+∞)由題意知m大于f(x)在x∈[－1,2]上的最大值，求得f(x)max＝f(2)＝7，所以m>7.12.如果橢圓的弦被點（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是________參考答案：

y=-0.5x+4設(shè)弦為，且，代入橢圓方程得，兩式作差并化簡得，即弦的斜率為，由點斜式得，化簡得.13.函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有極大值又有極小值，則a的取值范圍是________．參考答案：

a>2或a<－1略14.已知圓C：x2+y2=1，點A（﹣2，0）及點B（2，a），若從A點觀察B點，要使視線不被圓C擋住，則a的取值范圍是

．參考答案：a＞或a．【考點】J7：圓的切線方程．【分析】先求過A與圓C：x2+y2=1相切的直線方程，再求a的取值范圍．【解答】解：過A與圓C：x2+y2=1相切的直線的斜率是，切線方程是y=（x+2），若從A點觀察B點，要使視線不被圓C擋住，B在x=2的直線上，且a＞或a．故選A＞或a．15.設(shè)函數(shù)f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若對于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，則實數(shù)a的值為

．參考答案：4【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】先求出f′（x）=0時x的值，進而討論函數(shù)的增減性得到f（x）的最小值，對于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，可轉(zhuǎn)化為最小值大于等于0即可求出a的范圍．【解答】解：由題意，f′（x）=3ax2﹣3，當(dāng)a≤0時3ax2﹣3＜0，函數(shù)是減函數(shù)，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，與已知矛盾，當(dāng)a＞0時，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=±，①當(dāng)x＜﹣時，f′（x）＞0，f（x）為遞增函數(shù)，②當(dāng)﹣＜x＜時，f′（x）＜0，f（x）為遞減函數(shù)，③當(dāng)x＞時，f（x）為遞增函數(shù)．所以f（）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可由f（）≥0，即a?﹣3?+1≥0，解得a≥4，由f（﹣1）≥0，可得a≤4，由f（1）≥0解得2≤a≤4，綜上a=4為所求．故答案為：4．16.已知向量和向量的夾角為，，，則向量和向量的數(shù)量積_________.

參考答案：3略17.如圖已知等邊的邊長為2，點在上，點在上，與交于點，則的面積為

．參考答案：以BC中點為坐標(biāo)原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)則因此的面積為三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知向量a＝(sin3x，－y)，b＝(m，cos3x－m)(m∈R)，且a＋b＝0.設(shè)y＝f(x)．(1)求f(x)的表達(dá)式，并求函數(shù)f(x)在上圖象最低點M的坐標(biāo)；(2)若對任意x∈，f(x)>t－9x＋1恒成立，求實數(shù)t的范圍．參考答案：(1)因為a＋b＝0，即消去m，得y＝sin3x＋cos3x，即f(x)＝sin3x＋cos3x＝2sin，當(dāng)x∈時，3x＋∈，sin∈，即f(x)的最小值為1，此時x＝．所以函數(shù)f(x)的圖象上最低點M的坐標(biāo)是．(2)由題，知f(x)>t－9x＋1，即2sin＋9x>t＋1，當(dāng)x∈時，函數(shù)f(x)＝2sin單調(diào)遞增，y＝9x單調(diào)遞增，所以g(x)＝2sin＋9x在上單調(diào)遞增，所以g(x)＝2sin＋9x的最小值為1，為要2sin＋9x>t＋1在任意x∈上恒成立，只要t＋1<1，即t<0.故實數(shù)t的范圍為(－∞，0)．19.某中學(xué)在高一開設(shè)了數(shù)學(xué)史等4門不同的選修課，每個學(xué)生必須選修，且只能從中選一門。該校高一的3名學(xué)生甲、乙、丙對這4門不同的選修課的興趣相同。

（1求恰有2門選修課這3個學(xué)生都沒有選擇的概率；

（2設(shè)隨機變量為甲、乙、丙這三個學(xué)生選修數(shù)學(xué)史這門課的人數(shù)，

求的分布列及期望，方差.參考答案：（1）；（2）E，(1）恰有2門選修課這3個學(xué)生都沒有選擇的概率：

= （Ⅲ）設(shè)數(shù)學(xué)史這門課這3個學(xué)生選擇的人數(shù)為，則=0，1，2，3

P(=0)= P(=1)= P(=2)= P(=3)= ∴的分布列為：0123P

∴期望E=np=,20.如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，底面四邊形ABCD為菱形，AB=2，BD=2，M，N分別是線段PA，PC的中點．（Ⅰ）求證：MN∥平面ABCD；（Ⅱ）求異面直線MN與BC所成角的大?。畢⒖即鸢福骸究键c】異面直線及其所成的角；直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）連結(jié)AC，交BD于點O，由已知得MN∥AC，由此能證明MN∥平面ABCD．（Ⅱ）由已知得∠ACB是異面直線MN與BC所成的角或其補角，由此能求出異面直線MN與BC所成的角．【解答】（Ⅰ）證明：連結(jié)AC，交BD于點O，∵M，N分別是PA，PC的中點，∴MN∥AC，∵MN?平面ABCD，AC?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠ACB是異面直線MN與BC所成的角或其補角，∵四邊形ABCD是菱形，AB=2，BO=，∴∠OCB=60°，∴異面直線MN與BC所成的角為60°．21.設(shè)a為實數(shù)，設(shè)函數(shù)的最大值為g（a）．（Ⅰ）設(shè)t=，求t的取值范圍，并把f（x）表示為t的函數(shù)m（t）；（Ⅱ）求g（a）；（Ⅲ）試求滿足的所有實數(shù)a．參考答案：【考點】函數(shù)最值的應(yīng)用．【分析】（I）先求定義域，再求值域．由轉(zhuǎn)化．（II）求g（a）即求函數(shù)的最大值．嚴(yán)格按照二次函數(shù)求最值的方法進行．（III）要求滿足的所有實數(shù)a，則必須應(yīng)用g（a）的解析式，它是分段函數(shù)，必須分情況選擇解析式進行求解．【解答】解：（I）要使有t意義，必須1+x≥0且1﹣x≥0，即﹣1≤x≤1，∴，t≥0①t的取值范圍是．由①得∴m（t）=a（）+t=

（II）由題意知g（a）即為函數(shù)的最大值．注意到直線是拋物線的對稱軸，分以下幾種情況討論．（1）當(dāng)a＞0時，函數(shù)y=m（t），的圖象是開口向上的拋物線的一段，由＜0知m（t）在．上單調(diào)遞增，∴g（a）=m（2）=a+2（2）當(dāng)a=0時，m（t）=t，，∴g（a）=2．（3）當(dāng)a＜0時，函數(shù)y=m（t），的圖象是開口向下的拋物線的一段，若，即則若，即則若，即則g（a）=m（2）=a+2綜上有

（III）情形1：當(dāng)a＜﹣2時，此時，由，與a＜﹣2矛盾．情形2：當(dāng)，時，此時，解得，與矛盾．情形3：當(dāng)，時，此時所以，情形4：當(dāng)時，，此時，，解得矛盾．情形5：當(dāng)時，，此時g（a）=a+2，由解得矛盾．情形6：當(dāng)a＞0時，，此時g（a）=a+2，由，由a＞0得a=1．綜上知，滿足的所有實數(shù)a為：，或a=122.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA=a?cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分別求a和c的值．參考答案：【考點】正弦定理；余弦定理．【專題】解三角形．【分析】（1）由bsinA=a?cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，化簡整理即可得出．（2）由sinC=2sinA，可得c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，代入計