安徽省合肥市科學島實驗中學高二數(shù)學理期末試題含解析

安徽省合肥市科學島實驗中學高二數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，則的取值范圍是（

）A（）

B（）

C（）

D（）參考答案：A略2.若二項式的展開式的第四項是，而第三項的二項式系數(shù)是，則的值為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B略3.（5分）拋物線y=4x2的焦點坐標是（） A． （0，1） B． （1，0） C． D． 參考答案：C考點： 拋物線的簡單性質．專題： 圓錐曲線的定義、性質與方程．分析： 把拋物線y=4x2的方程化為標準形式，確定開口方向和p值，即可得到焦點坐標．解答： 解：拋物線y=4x2的標準方程為

x2=y，p=，開口向上，焦點在y軸的正半軸上，故焦點坐標為（0，），故選C．點評： 本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質的應用；把拋物線y=4x2的方程化為標準形式，是解題的關鍵．4.已知集合M=(

)A、

B、C、

D、參考答案：A5.對于區(qū)間上有意義的兩個函數(shù)與，如果對于區(qū)間中的任意數(shù)均有，則稱函數(shù)與在區(qū)間上是密切函數(shù)，稱為密切區(qū)間.若與在某個區(qū)間上是“密切函數(shù)”，則它的一個密切區(qū)間可能是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D6.平面幾何中的三角形在立體幾何中類比的對象是

（

）A．三棱柱

B．三棱臺

C．三棱錐

D．正方體參考答案：C7.兩條平行直線和圓的位置關系定義為：若兩條平行直線和圓有四個不同的公共點，則稱兩條平行線和圓“相交”；若兩平行直線和圓沒有公共點，則稱兩條平行線和圓“相離”；若兩平行直線和圓有一個、兩個或三個不同的公共點，則稱兩條平行線和圓“相切”．已知直線，,和圓：相切，則實數(shù)的取值范圍是（▲）

A．或

B．或

C．或

D．或參考答案：C略8.函數(shù)的導數(shù)是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C略9.圓與圓的位置關系為（

）A．相交

B．外切

C．內切

D．外離參考答案：B10.已知＝（3，2），＝（－1，0），向量λ＋與－2垂直，則實數(shù)λ的值為（

）A．

B．－

C．

D．－參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.雙曲線與橢圓的中心在原點，其公共焦點在軸上，點是在第一象限的公共點．若，的離心率是，則雙曲線的漸近線方程是

．參考答案：12.一個物體的運動方程為，其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在3秒末的瞬時速度是

米/秒．

參考答案：D略13.已知數(shù)列{an}的前n項和，若此數(shù)列為等比數(shù)列，則a=__________．參考答案：－2【分析】先由，求出，；再由數(shù)列是等比數(shù)列，得到也滿足，列出等式，即可求出結果.【詳解】因為數(shù)列的前項和，所以，；又，因為數(shù)列為等比數(shù)列，則也滿足，即，解得.故答案為【點睛】本題主要考查由等比數(shù)列前項和求參數(shù)，熟記等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可，屬于?？碱}型.14.數(shù)列的通項公式是，若前n項的和為10，則項數(shù)n=

.參考答案：12015.曲線y=x3+x在點（1，）處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為．參考答案：考點：導數(shù)的幾何意義；直線的點斜式方程．專題：計算題．分析：先對函數(shù)進行求導，求出在x=1處的導數(shù)值即為切線的斜率值，從而寫出切線方程，然后求出切線方程與兩坐標軸的交點可得三角形面積．解答：解：∵y=x3+x，∴y'=x2+1∴f'（1）=2在點（1，）處的切線為：y=2x﹣與坐標軸的交點為：（0，），（，0）S=，故答案為：．點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義，即函數(shù)在某點處的導數(shù)值等于該點的切線的斜率．屬基礎題．16.下面給出的四個命題中：①以拋物線的焦點為圓心，且過坐標原點的圓的方程為；②若，則直線與直線相互垂直；③命題“，使得”的否定是“，都有”；④將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象。其中是真命題的有_________（將你認為正確的序號都填上）。參考答案：12317.集合A={2，3}，B={1，2，3}，從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是．參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式．【分析】利用古典概型概率計算公式求解．【解答】解：集合A={2，3}，B={1，2，3}，從A，B中各任意取一個數(shù)有2×3=6種，其兩數(shù)之和為4的情況有兩種：2+2，1+3，∴這兩數(shù)之和等于4的概率p==．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))，（）．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）當時，比較與的大小，并說明理由；（Ⅲ）證明：（）．參考答案：（Ⅰ）證明：設，所以．當時，，當時，，當時，．即函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得唯一極小值，因為，所以對任意實數(shù)均有．即，所以．（Ⅱ）當時，．用數(shù)學歸納法證明如下：①當時，由（1）知；②假設當（）時，對任意均有，令，，因為對任意的正實數(shù)，，由歸納假設知，，即在上為增函數(shù)，亦即，因為，所以．從而對任意，有,即對任意，有，這就是說，當時，對任意，也有．由①,②知，當時，都有．（Ⅲ）證明1：先證對任意正整數(shù)，．由（Ⅱ）知，當時，對任意正整數(shù)，都有．令，得．所以．再證對任意正整數(shù)，．要證明上式，只需證明對任意正整數(shù)，不等式成立．即要證明對任意正整數(shù)，不等式（*）成立．方法1（數(shù)學歸納法）：①當時，成立，所以不等式（*）成立．②假設當（）時，不等式（*）成立，即．則．

,這說明當時，不等式（*）也成立．由①，②知，對任意正整數(shù)，不等式（*）都成立．綜上可知，對，不等式成立．方法2（基本不等式法）：因為，，……，，將以上個不等式相乘，得．所以對任意正整數(shù)，不等式（*）都成立．綜上可知，對，不等式成立．19.已知x=是的一個極值點(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求函數(shù)的單調增區(qū)間；(Ⅲ)設，試問過點（2，5）可作多少條曲線y=g(x)的切線？為什么？參考答案：略20.已知數(shù)列的前項和，求通項。參考答案：解析：，∴

21.在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為

(為參數(shù)),在以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為．(1)分別將曲線的參數(shù)方程和直線的極坐標方程化為直角坐標系下的普通方程;(2)動點在曲線上,動點在直線上,定點的坐標為,求的最小值．參考答案：(1)由曲線的參數(shù)方程可得,所以曲線的普通方程為．由直線的極坐標方程:,可得,即．(2)設點關于直線的對稱點為,有:,解得:,由(1)知,曲線為圓,圓心坐標為,故．當四點共線時,且在之間時,等號成立,所以的最小值為．分析：本題主要考查的是參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程的互化以及對稱點的求解,意在考查學生的運算求解能力和化歸能力.(1)消參得到圓的方程;利用極坐標和直角坐標之間的關系得到直線的方程;(2)利用對稱點得到,從而進行求解.22.（1）如圖，證明命題“a是平面π內的一條直線，b是π外的一條直線（b不垂直于π），c是直線b在π上的投影，若a⊥b，則a⊥c”為真．（2）寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假（不需要證明）參考答案：【考點】向量語言表述線面的垂直、平行關系；四種命題；向量語言表述線線的垂直、平行關系．【分析】（1）證法一：做出輔助線，在直線上構造對應的方向向量，要證兩條直線垂直，只要證明兩條直線對應的向量的數(shù)量積等于0，根據(jù)向量的運算法則得到結果．證法二：做出輔助線，根據(jù)線面垂直的性質，得到線線垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理，得到線面垂直，再根據(jù)性質得到結論．（2）把所給的命題的題設和結論交換位置，得到原命題的逆命題，判斷出你命題的正確性．【解答】證明：（1）證法一：如圖，過直線b上任一點作平面α的垂線n，設直線a，b，c，n對應的方向向量分別是，則共面，根據(jù)平面向量基本定理，存在實數(shù)λ，μ使得，則=因為a⊥b，所以，