專題46 古典概型與概率的基本性質(zhì)（解析版）

專題46古典概型與概率的基本性質(zhì)【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】知識(shí)點(diǎn)1、隨機(jī)事件的概率對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件的概率用表示.知識(shí)點(diǎn)2、古典概型（1）定義一般地，若試驗(yàn)具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.（2）古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件的概率.知識(shí)點(diǎn)3、概率的基本性質(zhì)（1）對(duì)于任意事件都有：．（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：．（4）對(duì)立事件的概率：若事件與事件互為對(duì)立事件，則，，且．（5）概率的單調(diào)性：若，則．（6）若，是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則．【方法技巧與總結(jié)】1、解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)與事件中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：(1)本試驗(yàn)是否具有等可能性；(2)本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；(3)事件是什么．2、解題實(shí)現(xiàn)步驟：(1)仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；(2)判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件；(3)分別求出基本事件的個(gè)數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；(4)利用公式求出事件的概率．3、解題方法技巧：(1)利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率(2)利用分析法求解古典概型．①任一隨機(jī)事件的概率都等于構(gòu)成它的每一個(gè)基本事件概率的和．②求試驗(yàn)的基本事件數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)的方法有列舉法、列表法和樹狀圖法．【題型歸納目錄】題型一：簡單的古典概型問題題型二：古典概型與向量的交匯問題題型三：古典概型與幾何的交匯問題題型四：古典概型與函數(shù)的交匯問題題型五：古典概型與數(shù)列的交匯問題題型六：古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合題型七：有放回與無放回問題的概率題型八：概率的基本性質(zhì)【典例例題】題型一：簡單的古典概型問題例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））池州九華山是著名的旅游勝地．天氣預(yù)報(bào)8月1日后連續(xù)四天，每天下雨的概率為0.6，現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十個(gè)整數(shù)值中，假定0，1，2，3，4，5表示當(dāng)天下雨，6，7，8，9表示當(dāng)天不下雨．在隨機(jī)數(shù)表中從某位置按從左到右的順序讀取如下20組四位隨機(jī)數(shù)：95339522001874720018387958693281789026928280842539908460798024365987388207538935據(jù)此估計(jì)四天中恰有三天下雨的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由表中數(shù)據(jù)可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3281，8425，2436，0753，共8組，所以估計(jì)四天中恰有三天下雨的概率為.故選：B.例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））假定某運(yùn)動(dòng)員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每兩個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：93281245856968343125

73930275564887301135據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員兩次擲鏢恰有一次正中靶心的概率為（

）A．0.50 B．0.45 C．0.40 D．0.35【答案】A【解析】解析：兩次擲鏢恰有一次正中靶心表示隨機(jī)數(shù)中有且只有一個(gè)數(shù)為1，2，3，4中的之一.它們分別是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10個(gè)，因此所求的概率為=0.50.故選：A.例3．（2022·河北·武安市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）一袋中裝有除顏色外完全相同的4個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中有放回的摸球3次，每次摸一個(gè)球．用模擬實(shí)驗(yàn)的方法，讓計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1～9的隨機(jī)數(shù)，若1～4代表白球，5～9代表黑球，每三個(gè)為一組，產(chǎn)生如下20組隨機(jī)數(shù)：917

966

191

925

271

932

735

458

569

683431

257

393

627

556

488

812

184

537

989則三次摸出的球中恰好有兩次是白球的概率近似為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】20組隨機(jī)數(shù)恰好有兩個(gè)是的有191，271，932，393，812，184共6個(gè)，因此概率為．故選：B．變式1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））從3名男生和2名女生中隨機(jī)選取3人參加書法展覽會(huì)，則選取的3人中至少有2名男生的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】記3名男生分別為，，，2名女生分別為，，從5人中隨機(jī)選取3人，所有的可能結(jié)果為，，，，，，，，，，共10種，“其中至少有2名男生”對(duì)應(yīng)的結(jié)果有7種，故所求概率為.故選：B.變式2．（2022·江蘇·南京市秦淮中學(xué)高三階段練習(xí)）我們的祖先創(chuàng)造了一種十分重要的計(jì)算方法：籌算.籌算用的算籌是竹制的小棍，也有骨制的.據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識(shí)其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當(dāng).即在算籌計(jì)數(shù)法中，表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，如圖所示，例如：表示62，表示26，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方式表示兩位數(shù)（算籌不剩余且個(gè)位不為0），則這個(gè)兩位數(shù)大于40的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意可知：一共5根算籌，十位和個(gè)位上可用的算籌可以分為共四類情況；第一類：，即十位用4根算籌，個(gè)位用1根算籌，那十位可能是4或者8，個(gè)位為1，則兩位數(shù)為41或者81；第二類：，即十位用3根算籌，個(gè)位用2根算籌，那十位可能是3或者7，個(gè)位可能為2或者6，故兩位數(shù)可能32，36，72，76；第三類：，即十位用2根算籌，個(gè)位用3根算籌，那么十位可能是2或者6，個(gè)位可能為3或者7，故兩位數(shù)可能是23，27，63，67；第四類：，即十位用1根算籌，個(gè)位用4根算籌，那么十位為1，個(gè)位可能為4或者8，則該兩位數(shù)為14或者18，綜上可知：所有的兩位數(shù)有14，18，23，27，32，36，41，63，67，72，76，81共計(jì)12個(gè)，其中大于40的有41，63，67，72，76，81共計(jì)6個(gè)，故這個(gè)兩位數(shù)大于40的概率為，故選：B.變式3．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）在某種信息傳輸過程中，用6個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，例如001100就是一個(gè)信息．在所有信息中隨機(jī)取一信息，則該信息恰有2個(gè)1的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】每個(gè)位置可排0或1，故有2種排法，因此用6個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列的總個(gè)數(shù)為，恰好有2個(gè)1的排列的個(gè)數(shù)共有，故概率為：，故選：D變式4．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問成績，回答者對(duì)甲說：“很遺憾，你和乙都沒有獲得冠軍.”對(duì)乙說：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的.”若在此對(duì)話的基礎(chǔ)上5人名次的情況是等可能的，則最終丙和丁獲得前兩名的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，當(dāng)甲同學(xué)為第5名時(shí)，乙同學(xué)可能是第2，3，4名，故有種，當(dāng)甲同學(xué)不是第5名時(shí)，甲、乙同學(xué)可能是第2，3，4名，故有種，故滿足回答者的所有情況共種.其中，最終丙和丁獲得前兩名的情況有兩類，當(dāng)甲同學(xué)為第5名，丙和丁獲得前兩名時(shí)有種；當(dāng)甲同學(xué)不是第5名，丙和丁獲得前兩名時(shí)，有種，所以，最終丙和丁獲得前兩名的情況有種，所以，最終丙和丁獲得前兩名的概率為故選：A變式5．（2022·全國·成都七中高三開學(xué)考試（理））已知某校高三年級(jí)共?人，按照順序從?到?編學(xué)號(hào).為了如實(shí)了解學(xué)生“是否有帶智能手機(jī)進(jìn)入校園的行為”，設(shè)計(jì)如下調(diào)查方案：先從裝有?個(gè)黑球和?個(gè)白球的不透明盒子中隨機(jī)取出?個(gè)球，如果是白球，回答問題一；否則回答問題二.問題如下：一、你的學(xué)號(hào)的末位數(shù)字是奇數(shù)嗎？二、你是否有帶智能手機(jī)進(jìn)入校園的行為？現(xiàn)在高三年級(jí)?人全部參與調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)：有?人回答“否”，其余人回答“是”.則該校高三年級(jí)“帶智能手機(jī)進(jìn)入校園”的人數(shù)大概為（

）A．? B．? C．? D．?【答案】B【解析】根據(jù)題意，?人分為?（人）和?（人），?人中將有?人回答“否”，則?人中有?(人)回答“否”，?人回答“是”，則問是否帶手機(jī)的回答是人數(shù)約占?，該校高三年級(jí)“帶智能手機(jī)進(jìn)入校園”的人數(shù)約為?（人）.故選：B題型二：古典概型與向量的交匯問題例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，若向量，，則向量與所成的角為銳角的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】向量與所成的角為銳角等價(jià)于，且與的方向不同，即，則滿足條件的向量有，其中或時(shí)，與同向，故舍去，故共有4種情況滿足條件，又的取法共有種，則向量與所成的角為銳角的概率是．故選：B．例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量與向量垂直的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，可以組成向量的個(gè)數(shù)是（個(gè)；其中與向量垂直的向量是和，共2個(gè)；故所求的概率為．故選：B．例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，向量，則的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以或或，因此概率為＝.故選：B.變式6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量.若分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足的概率.【解析】分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，有序數(shù)對(duì)可能情況有36種，即，包含的情況有三種，所以滿足的概率為.故答案為：.變式7．（2022·福建省福州外國語學(xué)校高三階段練習(xí)）將一顆骰子擲兩次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為m，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為n，向量=（m，n），=（2，6），則向量與共線的概率為___________【答案】【解析】試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是一顆骰子擲兩次,共有種結(jié)果,滿足條件事件是向量與共線,即，，滿足這種條件的有,共有2種結(jié)果,向量與共線的概率,故答案為：.題型三：古典概型與幾何的交匯問題例7．（2022·安徽馬鞍山·二模（文））在邊長為1的正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離大于1的概率為______.【答案】【解析】由題意，從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)，有，，，，，，共有6種結(jié)果，若這2個(gè)點(diǎn)間的距離大于該正方形邊長，則為，，共有2個(gè)結(jié)果，所以對(duì)應(yīng)的概率，故答案為：例8．（2022·云南·一模（理））河圖洛書是中國古代流傳下來的神秘圖案，被譽(yù)為“宇宙魔方”，九宮格源于河圖洛書.如圖是由9個(gè)單位正方形（邊長為1個(gè)單位的正方形）組成的九宮格，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)沿單位正方形的邊以最短路徑運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，共有種不同的路線，則在這些路線中，該質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)的概率為______.【答案】【解析】一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)沿單位正方形的邊以最短路徑運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，共有n＝＝20種不同的路線，則在這些路線中，該質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過p點(diǎn)包含的基本事件有m＝6×2＝12種，該質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過p點(diǎn)的概率為P＝.故答案為：.例9．（2022·安徽·安慶一中高三期末（理））連續(xù)擲骰子兩次得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a和b，則使直線與圓相交的概率為___________.【答案】【解析】連擲骰子兩次試驗(yàn)結(jié)果共有36種，要使直線與圓相交，則，即滿足．符合題意的有，共21種，由古典概型的概率計(jì)算公式可得所求概率為．故答案為：變式8．（2022·四川·高考真題（文））在集合中任取一個(gè)偶數(shù)和一個(gè)奇數(shù)構(gòu)成以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量，從所有得到的以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量中任取兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，記所有作成的平行四邊形的個(gè)數(shù)為，其中面積等于的平行四邊形的個(gè)數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，則以、為鄰邊的平行四邊形的面積為，其中以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量有、、、、、，共個(gè)，其中滿足的向量、可以為、、，則滿足面積為的平行四邊形的個(gè)數(shù)為，即，其中能構(gòu)成平行四邊形的向量組有：、、、、、、、、、、、、、、，共種，即，因此，.故選：B.變式9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）平面內(nèi)有個(gè)點(diǎn)等分圓周，從個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)，可構(gòu)成直角三角形的概率為，連接這個(gè)點(diǎn)可構(gòu)成正多邊形，則此正多邊形的邊數(shù)為（

）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】C【解析】從個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，共有種，三個(gè)點(diǎn)要構(gòu)成直角三角形，則有兩個(gè)點(diǎn)為直徑的端點(diǎn)，共有條直徑，還剩個(gè)點(diǎn)，從個(gè)點(diǎn)中取一個(gè)點(diǎn)即可，則可構(gòu)成直角三角形有，所以可構(gòu)成直角三角形的概率為，解得，所以共有個(gè)等分點(diǎn)，所以正多邊形的邊數(shù)為12.故選：C.變式10．（2022·河北邯鄲·高三開學(xué)考試）從正方體的個(gè)頂點(diǎn)和中心中任選個(gè)，則這個(gè)點(diǎn)恰好構(gòu)成三棱錐的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】從正方體的個(gè)頂點(diǎn)和中心中任取個(gè)，有個(gè)結(jié)果，個(gè)點(diǎn)恰好構(gòu)成三棱錐分兩種情況：①從正方體的個(gè)頂點(diǎn)中取個(gè)點(diǎn)，共有個(gè)結(jié)果，其中四點(diǎn)共面有兩種情況：一是四點(diǎn)構(gòu)成側(cè)面或底面，有種情況，二是四點(diǎn)構(gòu)成對(duì)角面（如平面），有種情況.在同一個(gè)平面的有個(gè)，構(gòu)成三棱錐有個(gè)；②從正方體的個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)，共有個(gè)結(jié)果，其中所取點(diǎn)與中心共面，則這個(gè)點(diǎn)在同一對(duì)角面上，共有個(gè)結(jié)果，因此，所選點(diǎn)與中心構(gòu)成三棱錐有個(gè).故從正方體的個(gè)頂點(diǎn)和中心中任選個(gè)，則這個(gè)點(diǎn)恰好構(gòu)成三棱錐的個(gè)數(shù)為，故所求概率.故選：D.變式11．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））對(duì)于正方體6個(gè)面的中心，甲，乙兩人分別從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閺恼襟w6個(gè)面的中心中任取兩點(diǎn)連成直線，可得條直線，如圖所示：設(shè)正方體的邊長為2，則，，,,由正方體性質(zhì)可得平面,平面,平面,四邊形,四邊形，四邊形均為正方形，故當(dāng)甲選時(shí),乙選或或或或或時(shí)，甲，乙所選的點(diǎn)的連線垂直，甲選時(shí)，乙選或或時(shí)，甲，乙所選的點(diǎn)的連線垂直，所以甲，乙兩人分別從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線共有種選法，所以甲選相對(duì)兩個(gè)面的中心時(shí)，甲乙所選的點(diǎn)的連線垂直的選法有種，若甲選相鄰兩個(gè)側(cè)面的中心時(shí)，滿足甲乙所選的點(diǎn)的連線垂直的選法有種，故甲，乙所選的點(diǎn)的連線垂直的選法共有54種，所以事件甲乙所選的點(diǎn)的連線垂直的概率,故選：A.變式12．（2022·浙江嘉興·高三階段練習(xí)）從圓內(nèi)接正八邊形的個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三角形，則所得的三角形是直角三角形的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】從圓內(nèi)接正八邊形的個(gè)頂點(diǎn)中任取兩點(diǎn)連成線段，其中有條為圓的直徑，若從這個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三角形，所得的三角形是直角三角形，則其中直角三角形的斜邊為圓的直徑，然后從剩余的個(gè)頂點(diǎn)（除去直角三角形斜邊的頂點(diǎn)）中任取一個(gè)點(diǎn)，與斜邊的頂點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形，故所求事件的概率為.故選：D.題型四：古典概型與函數(shù)的交匯問題例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，從集合A中任取一個(gè)元素a，使函數(shù)是奇函數(shù)且在上遞增的概率為__．【答案】【解析】從集合中任取一個(gè)元素a，使函數(shù)是奇函數(shù)且在上遞增，則，所以其概率為．故答案為：．例11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一個(gè)盒子中裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)：，，，，，．現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片并判函數(shù)的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一張寫有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，設(shè)抽取次數(shù)為X，則的概率為___________．【答案】【解析】易判斷，，為偶函數(shù)，所以寫有偶函數(shù)的卡片有3張，的取值范圍是．

，，所以．故答案為：例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)，若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)都有，則稱函數(shù)為“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”，若函數(shù)的定義域，值域?yàn)?，則函數(shù)為“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的概率是______．【答案】【解析】基本事件總數(shù)為：把D中的5個(gè)數(shù)分成三堆：①1，1，3：，②1，2，2：,則總共有種，求函數(shù)是“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的情況，等價(jià)于在1，2，3，4，5中間有4個(gè)空，插入2塊板分成3組，分別從小到大對(duì)應(yīng)6,7,8共有種情況，函數(shù)是“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的概率是故答案為：.變式13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知四條直線，，，從這三條直線中任取兩條，這兩條直線都與函數(shù)的圖象相切的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設(shè)，，當(dāng)，得，若，則，即切點(diǎn)為的切線為；若，則，即切點(diǎn)為的切線為，當(dāng)，得，若，則切點(diǎn)為，切線方程為：，若，則切點(diǎn)為，切線方程為：，故直線與的圖象不相切，所以從已知三條直線中任取兩條共有三種情況，與的圖象相切只有，故概率為．故選：B變式14．（2022·河北·唐山市海港高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)．若a，b分別是從1，2，3中任取的一個(gè)數(shù)，則函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得有兩個(gè)根,則有，解得，a，b分別是從1，2，3中任取的一個(gè)數(shù)，表示為，有如下，共種情況，其中滿足的有，共6種情況，則函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為，即，故選:C．變式15．（2022·河南·鶴壁高中高三階段練習(xí)（理））一個(gè)盒子中裝有6張卡片，上面分別寫著如下6個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)：f1（x）=x，f2（x）=cosx，f3（x）=x3，f4（x）=x5，f5（x）=sinx，f6（x）=|x|．現(xiàn)從盒子中任取2張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到一個(gè)新函數(shù)，則所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率是（

）A．0.2 B．0.25 C．0.75 D．0.4【答案】D【解析】由題可知為奇函數(shù)，從盒子中任取2張卡片抽取2個(gè)共有15種方法，抽到中的兩個(gè)有6種可能，所以概率為故選：D變式16．（2022·廣東·金山中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若是從三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，是從五個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，那么恒成立的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“＝”，∴，于是恒成立就轉(zhuǎn)化為成立；當(dāng)時(shí)，，設(shè)事件A：“恒成立”，則基本事件總數(shù)為15個(gè)，即（0，1），（0，2）（0，3），（0，4），（0，5），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；事件A包含事件：（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）共9個(gè)所以.故選：A.變式17．（2022·江西·南昌市豫章中學(xué)高三開學(xué)考試（文））已知集合，則“使函數(shù)的定義域?yàn)椤钡母怕蕿椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知又因?yàn)椋詳?shù)形成的數(shù)組有，共36種情況，其中，，共17種情況滿足，所以所求概率故選：C.變式18．（2022·廣東·東莞市東華高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）在不超過18的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于16的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】不超過18的素?cái)?shù)有：2,3,5,7,11,13,17，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)有種，和等于16的有共2種，所以和等于16的概率是.故選:B.變式19．（2022·江蘇江蘇·高三階段練習(xí)）從屬于區(qū)間的整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則至少有一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】區(qū)間的整數(shù)共有7個(gè)，則質(zhì)數(shù)有2，3，5，7共4個(gè)；非質(zhì)數(shù)有3個(gè)；設(shè)事件：從屬于區(qū)間的整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，至少有一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，由，故選：變式20．（2022·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））從n個(gè)正整數(shù)1，2…n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則n的值為（

）A．6 B．8 C．10 D．14【答案】B【解析】兩數(shù)之和為有兩種情況，故，故，解得.故選：B題型五：古典概型與數(shù)列的交匯問題例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））在二項(xiàng)式的展開式，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，把展開式中所有的項(xiàng)重新排成一列，有理項(xiàng)中恰有兩項(xiàng)相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】展開式通項(xiàng)為，由題意．所以當(dāng)時(shí)為整數(shù)，相應(yīng)的項(xiàng)為有理項(xiàng)，因?yàn)槎?xiàng)式展開式中共有9項(xiàng)，其中有3項(xiàng)是有理項(xiàng)，6項(xiàng)是無理項(xiàng)，所求恰有兩項(xiàng)有理項(xiàng)相鄰的概率為．故選：B．例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，也叫“兔子數(shù)列”，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列被以下遞推方法定義：數(shù)列滿足，，先從該數(shù)列前12項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，是質(zhì)數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系可知，前12項(xiàng)分別為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，所以基本事件數(shù)共有12，其中質(zhì)數(shù)有2，3，5，13，89，共5種，故是質(zhì)數(shù)的概率為．故選：A．例15．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，在數(shù)集中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)作為，在數(shù)集中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)作為.在這些不同數(shù)列中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)列，則是遞增數(shù)列的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，即，即，所有樣本點(diǎn)有：、、、、、、、、，共個(gè)，其中，滿足是遞增數(shù)列的樣本點(diǎn)有：、，共個(gè)，故所求概率為.故選：B.變式21．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，在數(shù)集中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)作為a，在數(shù)集中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)作為b，則滿足的概率為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由己知得，如果，則，滿足，概率為，如果，則是的最小值，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，a＞0，故，此時(shí)概率為，∴的概率為，故選：D．變式22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若數(shù)列滿足，從中任取兩個(gè)數(shù)，則至少一個(gè)數(shù)滿足的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于①，當(dāng)時(shí)，得，解得；當(dāng)時(shí)，②，①-②化簡可得，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；因?yàn)?，所以，令得，解得或，從中任取兩個(gè)數(shù)共有，，，，，，，，，，，，，，15種，其中至少一個(gè)6或7的有9種，所以至少一個(gè)數(shù)滿足的概率為，故選：B.變式23．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習(xí)）袋中裝有大小相同的四個(gè)球.四球上分別標(biāo)有數(shù)字“2”、“0”、“2”、“2”，現(xiàn)從中隨機(jī)選取三個(gè)球，則所選三個(gè)球上的數(shù)字能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】從四個(gè)球中任取3個(gè)，共有種不同的取法，其中能成等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)的情況只有一種，為“2”、“2”、“2”.所以概率為.故選:D.變式24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個(gè)有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，，若從該數(shù)列的前96項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是奇數(shù)的概率為_________．【答案】【解析】由題意可知，該數(shù)列連續(xù)三個(gè)數(shù)有兩個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)，則該數(shù)列的前96項(xiàng)中奇數(shù)共有，即這個(gè)數(shù)是奇數(shù)的概率為.故答案為：題型六：古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合例16．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））下圖是國家統(tǒng)計(jì)局7月發(fā)布的2021年6月至2022年6月規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速的月度走勢(shì)，其中2022年1~2月看作1個(gè)月，現(xiàn)有如下說法：①2021年10月至2022年3月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速呈現(xiàn)上升趨勢(shì)；②2021年6月至2022年6月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速的中位數(shù)為5.9；③從這12個(gè)增速中隨機(jī)抽取2個(gè)，增速都超過10的概率為．則說法正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】從2021年10月至2022年3月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，故①正確；2021年6月至2022年6月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速的中位數(shù)為，故②正確；從這12個(gè)增速中隨機(jī)抽取2個(gè)，都超過10的概率，故③正確.故選:D．例17．（2022·四川·樹德中學(xué)高三階段練習(xí)（文））2022年9月30日至10月9日，第56屆國際乒聯(lián)世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽在成都市高新區(qū)體育中心舉行．某學(xué)校統(tǒng)計(jì)了全校學(xué)生在國慶期間觀看世乒賽中國隊(duì)比賽直播的時(shí)長情況（單位：分鐘），并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(2)采用以樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣方式，從觀看時(shí)長在的學(xué)生中抽取6人．現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取3人在全校交流觀看體會(huì)，記“抽取的3人中恰有2人的觀賽時(shí)長在”為事件，求．【解析】（1）由題意得,解得，由頻率分布直方圖可知,觀看時(shí)長在分鐘以下的樣本所占比例為，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為160；（2）由題意，觀看時(shí)長在，對(duì)應(yīng)的頻率分別為和，所以采用分層隨機(jī)抽樣的方式在這兩個(gè)區(qū)間中應(yīng)分別抽取4人和2人，設(shè)觀看時(shí)長在的4人為觀看時(shí)長在的2人為，從中抽取3人的基本事件有：共20個(gè)，其中事件的基本事件有共12個(gè)，所求概率為例18．（2022·四川·樹德懷遠(yuǎn)中學(xué)高三開學(xué)考試（文））2021年秋季學(xué)期，某省在高一推進(jìn)新教材，為此該省某市教育部門組織該市全體高中教師在暑假期間進(jìn)行相關(guān)學(xué)科培訓(xùn)，培訓(xùn)后舉行測(cè)試（滿分100分），從該市參加測(cè)試的數(shù)學(xué)老師中抽取了100名老師并統(tǒng)計(jì)他們的測(cè)試分?jǐn)?shù)，將成績分成五組，第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值以及這100人中測(cè)試成績?cè)诘娜藬?shù)；(2)估計(jì)全市老師測(cè)試成績的平均數(shù)和中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）；(3)若要從第三、四、五組老師中用分層抽樣的方法抽取6人作學(xué)習(xí)心得交流分享，并在這6人中再抽取2人擔(dān)當(dāng)分享交流活動(dòng)的主持人，求第四組至少有1名老師被抽到的概率.【解析】（1）由題意得，解得，所以這100人中測(cè)試成績?cè)诘娜藬?shù)為（人），（2）平均數(shù)為分，因?yàn)榍?組的頻率和為，前3組的頻率為，所以中位數(shù)在中，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)約為分，（3）第三組的頻率為，第四組的頻率為，第五組的頻率為，所以從第三、四、五組老師中用分層抽樣的方法抽取6人作學(xué)習(xí)心得交流分享，三組人數(shù)分別為3人，2人和1人，設(shè)第三組抽取的人為，第四組抽取的人為，第五組抽取的人為，則從這6人中抽取2人的所有情況如下：,,，,共15種，其中第四組至少有1名老師被抽到的有：,，共9種，所以第四組至少有1名老師被抽到的概率為.變式25．（2022·陜西·安康市教學(xué)研究室高三階段練習(xí)（文））“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時(shí)代中國特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)．該平臺(tái)首次實(shí)現(xiàn)了“有組織，有管理，有指導(dǎo)，有服務(wù)”的學(xué)習(xí)，極大地滿足了廣大黨員干部和人民群眾多樣化、自主化、便捷化的學(xué)習(xí)需求，日益成為老百姓了解國家動(dòng)態(tài)，緊跟時(shí)代脈搏的熱門APP．某市宣傳部門為了解市民利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)國家政策的情況，從全市抽取1000人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的時(shí)長，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖．(1)估計(jì)該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”時(shí)長在區(qū)間內(nèi)的概率；(2)估計(jì)該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的平均時(shí)長；(3)若宣傳部為了解市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從和組中抽取7人了解情況，從這7人中隨機(jī)選取2人參加座談會(huì)，求所選取的2人來自不同的組的概率．【解析】（1）由題意知，該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”時(shí)長在內(nèi)的頻率為，所以估計(jì)該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”時(shí)長在內(nèi)的概率為0.3．（2）由題意知各組的頻率分別為0.05，0.1，0.25，0.3，0.15，0.1，0.05，所以，所以估計(jì)該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的平均時(shí)長在6.8小時(shí)．（3）由（2）知，利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”時(shí)長在和的頻率分別為0.25，0.1，故兩組人數(shù)分別為250，100，采用分層抽樣的方法從組抽取人數(shù)為，記作a，b，c，d，e；從組抽取人數(shù)為，記作A，B；從7人中抽取2人的基本事件有，共21個(gè)，來自不同組的基本事件有，共10個(gè)，故所求概率．變式26．（2022·陜西·安康市教學(xué)研究室三模（文））某學(xué)校為了解高三尖子班數(shù)學(xué)成績，隨機(jī)抽查了60名尖子生的期中數(shù)學(xué)成績，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表：期中數(shù)學(xué)成績（單位：分）頻數(shù)頻率30.05xp90.15150.25180.30yq合計(jì)601.00若數(shù)學(xué)成績超過135分的學(xué)生為“特別優(yōu)秀”，超過120分而不超過135分的學(xué)生為“優(yōu)秀”，已知數(shù)學(xué)成績“優(yōu)秀”的學(xué)生與“特別優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)比恰好為．(1)求x，y，p，q的值；(2)學(xué)校教務(wù)為進(jìn)一步了解這60名學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，從數(shù)學(xué)成績“優(yōu)秀”、“特別優(yōu)秀”的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，求至少抽到2名學(xué)生數(shù)學(xué)成績“特別優(yōu)秀”的概率．【解析】（1）根據(jù)題意有，解得，．（2）用分層抽樣的方法選取5人，則數(shù)學(xué)成績“特別優(yōu)秀”的有人，“優(yōu)秀”的有人．設(shè)抽到3名數(shù)學(xué)成績“特別優(yōu)秀”的學(xué)生為，抽到2名數(shù)學(xué)成績“優(yōu)秀”的學(xué)生為，從5人中選取3人的所有情況為，，共10種情況，至少抽到2人數(shù)學(xué)成績”特別優(yōu)秀”的為，有7種情況，∴至少抽到2名學(xué)生數(shù)學(xué)成績“特別優(yōu)秀”的概率．變式27．（2022·四川·高三開學(xué)考試（理））致敬百年，讀書筑夢(mèng)，某學(xué)校組織全校學(xué)生參加“學(xué)黨史頌黨恩，黨史網(wǎng)絡(luò)知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，并從中抽取100位學(xué)生的競(jìng)賽成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．規(guī)定：成績?cè)趦?nèi)為優(yōu)秀，成績低于60分為不及格．(1)求a的值，并用樣本估算總體，能否認(rèn)為該校參加本活動(dòng)的學(xué)生成績符合“不及格的人數(shù)低于20％”的要求；(2)若樣本中成績優(yōu)秀的男生為5人，現(xiàn)從樣本的優(yōu)秀答卷中隨機(jī)選取3份作進(jìn)一步分析，求其中至少有1份是男生的概率．【解析】（1）由頻率分布直方圖得，解得，成績不及格的頻率為，∴“成績不及格”的概率估計(jì)值為21％，∵21％＞20％，∴不能認(rèn)為該校參加本活動(dòng)的學(xué)生成績符合“不及格的人數(shù)低于20％”的要求．（2）方法一：由（1）可知樣本中成績優(yōu)秀有20人，其中男生5人，故女生15人，記事件A＝“從樣本的優(yōu)秀答卷中隨機(jī)選取3份作進(jìn)一步分析，求其中至少有1份是男生”，則，∴所求概率為．方法二：由（1）可知樣本中成績優(yōu)秀的有20人，其中男生5人，故女生15人，記事件A＝“從優(yōu)秀答卷中隨機(jī)選取3份，其中至少有1份是男生”，則“從優(yōu)秀答卷中隨機(jī)選取3份，全是女生”，則，∴，∴所求概率為．【方法技巧與總結(jié)】1、有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型，已成為高考考查的熱點(diǎn)，概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只需要能夠從題中提煉出需要的信息，即可解決此類問題．2、求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法： 一是將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的和；二是先求其對(duì)立事件的概率，然后再應(yīng)用公式求解．如果采用解法一，一定是將事件拆分成若干個(gè)互斥事件，不能重復(fù)和遺漏；如果采用第二種，一定要找準(zhǔn)其對(duì)立事件，否則容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．題型七：有放回與無放回問題的概率例19．（2022·湖南·長郡中學(xué)高三階段練習(xí)）一個(gè)盒子里裝有除顏色外完全相同的6個(gè)小球，盒子中有編號(hào)分別為1、2、3、4的紅球4個(gè)，編號(hào)分別為4、5的白球2個(gè)，從盒子中任取3個(gè)小球（假設(shè)取到任何一個(gè)小球的可能性相同）.則在取出的3個(gè)小球中，小球編號(hào)最大值為4的概率是________.【答案】【解析】由題意，從6個(gè)小球，任取3個(gè)小球，可得基本事件總數(shù)為種，若編號(hào)為4的球有且只有一個(gè)且為白球，有種取法；若編號(hào)為4的球有且只有一個(gè)且為紅球，有種取法；若編號(hào)為4的球紅球白球都取到，有種取法，小球編號(hào)最大值為4的基本事件個(gè)數(shù)為種，所以小球編號(hào)最大值為4的概率力.故答案為：例20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）從標(biāo)有1，2，3，4的卡片中不放回地先后抽出兩張卡片，則4號(hào)卡片“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整個(gè)抽樣過程中被抽到的概率”分別是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】A【解析】4號(hào)卡片“第一次被抽到的概率”，“第二次被抽到的概率”，“在整個(gè)抽樣過程中被抽到的概率”．故選：A.例21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一箱中裝有6個(gè)同樣大小的紅球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，還有4個(gè)同樣大小的黃球，編號(hào)為7，8，9，10．現(xiàn)從箱中任取4個(gè)球，下列變量服從超幾何分布的是（

）A．X表示取出的最小號(hào)碼B．若有放回的取球時(shí)，X表示取出的最大號(hào)碼C．取出一個(gè)紅球記2分，取一個(gè)黃球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分D．若有放回的取球時(shí)，X表示取出的黃球個(gè)數(shù)【答案】C【解析】超幾何分布的概念為：設(shè)總體有N個(gè)，其中含有M個(gè)不合格品。若從中隨機(jī)不放回抽取n個(gè)產(chǎn)品，則不合格品的個(gè)數(shù)X是一個(gè)離散隨機(jī)變量，若n>M，則可能取0,1,2…，M，由古典方法可以求得的概率是：，，假如n≤M，則X可能取0,1,2…，n；此時(shí)求得的概率是：，，根據(jù)超幾何分布的定義，可知ABD均不合要求，C選項(xiàng)滿足A選項(xiàng)，X可能取值為1,2,3,4,5,6,7，，，，，，，，X的分布列為：X1234567PB選項(xiàng)，若有放回的取球時(shí)，X表示取出的最大號(hào)碼，則X的取值可能為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，，，，，，故不滿足超幾何分布；C選項(xiàng)，X表示取出的4個(gè)球的總得分，則X的取值可能為4,5,6,7,8，，，，，，顯然滿足超幾何分布，D選項(xiàng)，若有放回的取球時(shí)，X表示取出的黃球個(gè)數(shù)，則X的可能取值為0,1,2,3,4，由于是有放回的取球，故，故D不滿足超幾何分布；故選：C變式28．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））紙箱里有編號(hào)為1到9的9個(gè)大小相同的球，從中不放回地隨機(jī)取9次，每次取1個(gè)球，則編號(hào)為偶數(shù)的球被連續(xù)抽取出來的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】從紙箱中不放回地隨機(jī)取9次，共有種情況，偶數(shù)的球被連續(xù)抽取出來，共有，則偶數(shù)的球被連續(xù)抽取出來的概率.故選：C變式29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）每次從0～9這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字（取后放回），連續(xù)取n次，依次得到n個(gè)數(shù)字組成的數(shù)字序列．若使該序列中的數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9，則n的最小值是（

）（參考數(shù)據(jù)）A．23 B．22 C．21 D．20【答案】B【解析】有放回地排列個(gè)數(shù)字，得個(gè)基本事件，其中不含0的基本事件為．由題意得，即，∴．∴最小取22．故選：B．變式30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）不透明袋中裝有質(zhì)地，大小相同的4個(gè)紅球，m個(gè)白球，若從中不放回地取出2個(gè)球，在第一個(gè)取出的球是紅球的前提下，第二個(gè)取出的球是白球的概率為．(1)求白球的個(gè)數(shù)m；(2)若有放回的取出兩個(gè)求，記取出的紅球個(gè)數(shù)為X，求，．【解析】（1）由題意知，袋中裝有質(zhì)地，大小相同的4個(gè)紅球，m個(gè)白球，因?yàn)榈谝粋€(gè)取出的球是紅球，第二個(gè)取出的球是白球的概率為，可得，解得．（2）由題意，隨機(jī)變量可能為，則，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：012則期望為，方差為.變式31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知甲袋中有4個(gè)白球2個(gè)黑球，乙袋中有3個(gè)白球2個(gè)黑球.現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，然后再從乙袋中任取1個(gè)球.(1)求甲袋中任取出的2個(gè)球?yàn)橥虻母怕剩?2)求乙袋中任取出1球?yàn)榘浊虻母怕?【解析】（1）由題意，從甲袋中任取出的2個(gè)球均為白色的概率為，任取出的2個(gè)球均為黑色的概率為，故從甲袋中任取出的2個(gè)球?yàn)橥虻母怕蕿椋?）由題意，從甲袋中任取出的2個(gè)球均為白色和均為黑色，或一黑一白三種情況.當(dāng)甲袋中任取出的2個(gè)球均為白色時(shí)，從乙袋中任取出1球?yàn)榘浊虻母怕蕿椋划?dāng)甲袋中任取出的2個(gè)球均為黑色時(shí)，從乙袋中任取出1球?yàn)榘浊虻母怕蕿椋划?dāng)甲袋中任取出的2個(gè)球?yàn)橐缓谝话讜r(shí)，概率為，故再從乙袋中任取出1球?yàn)榘浊虻母怕蕿?故乙袋中任取出1球?yàn)榘浊虻母怕蕿樽兪?2．（2022·江西·南昌市八一中學(xué)三模（理））甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行摸球游戲，盒中裝有6個(gè)大小和質(zhì)地相同的球，其中有4個(gè)白球，2個(gè)紅球．(1)甲、乙先后不放回地各摸出1個(gè)球，求兩球顏色相同的概率；(2)甲、乙兩人先后輪流不放回地摸球，每次摸1個(gè)球，當(dāng)摸出第二個(gè)紅球時(shí)游戲結(jié)束，或能判斷出第二個(gè)紅球被哪位同學(xué)摸到時(shí)游戲也結(jié)束．設(shè)游戲結(jié)束時(shí)甲、乙兩人摸球的總次數(shù)為X，求X的分布列和期望．【解析】(1)兩球顏色相同分為都是紅球或白球，其概率為；(2)依題意X=2，3，4，5，，X=3，就是前2個(gè)一個(gè)是紅球，一個(gè)是白球，第3個(gè)是紅球，

，X=4，就是前3個(gè)有2個(gè)白球一個(gè)紅球，第4個(gè)是紅球，或前四個(gè)全是白球，

，X=5，分為前4個(gè)球中有3個(gè)白球1個(gè)紅球，第5個(gè)是紅球，或者是前4個(gè)球中3個(gè)白球一個(gè)紅球，第5個(gè)是白球

，分布列為：X2345P數(shù)學(xué)期望；變式33．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三學(xué)業(yè)考試）袋中有8個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中1個(gè)黑球，3個(gè)白球，4個(gè)紅球．(1)若從袋中一次摸出2個(gè)小球，求這兩個(gè)小球恰為異色球的概率；(2)若從袋中一次摸出3個(gè)小球，求黑球與白球的個(gè)數(shù)都沒有超過紅球個(gè)數(shù)的概率；(3)若從袋中不放回的取3次球，每次取1球，取到黑球記0分，取到白球記4分，取到紅球記2分，求最后得分為8分的概率．【解析】(1)摸出的2個(gè)小球?yàn)楫惿虻姆N數(shù)為++=19，從8個(gè)球中摸出2個(gè)小球的種數(shù)為，故所求概率；(2)從袋中一次摸出3個(gè)小球，黑球與白球的個(gè)數(shù)都沒有超過紅球個(gè)數(shù)有三種情況：①摸出1個(gè)紅球，1個(gè)黑球，1個(gè)白球，共有種；②摸出2個(gè)紅球，1個(gè)其他顏色球，共有種；③摸出3個(gè)球均為紅球，共有種；因?yàn)閺?個(gè)球中摸出3個(gè)小球的種數(shù)為，所以所求概率；(3)由題意，最后得分為8分有兩種情況：摸出2個(gè)白球1個(gè)黑球或1個(gè)白球2個(gè)紅球，所以所求概率.變式34．（2022·天津外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校高三階段練習(xí)）一個(gè)口袋里有形狀一樣僅顏色不同的5個(gè)小球，其中白色球3個(gè)，黑色球2個(gè)．若從中任取1個(gè)球，每次取球后都放回袋中，則事件“連續(xù)取球3次，恰好取到兩次白球”的概率為_____________；若從中任取2個(gè)球，記所取球中白球可能被取到的個(gè)數(shù)為，則隨機(jī)變量的期望為_____________．【答案】

【解析】“連續(xù)取球3次，恰好取到兩次白球”的概率，由題意，的可能值為，則，，，所以.故答案為：，.變式35．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）從裝有大小完全相同的m個(gè)白球，n個(gè)紅球和3個(gè)黑球共6個(gè)球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回地摸取3次，記摸取的白球個(gè)數(shù)為X，若，則__________，__________．【答案】

2

【解析】由題意知：摸到白球的概率為，則，則，解得；摸到白球的概率為，則.故答案為：2；.題型八：概率的基本性質(zhì)例22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1【答案】B【解析】因?yàn)椋?，則，所以事件與事件不相互獨(dú)立，．故選：B例23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一架飛機(jī)向目標(biāo)投彈，擊毀目標(biāo)的概率為0.2，目標(biāo)未受損的概率為0.4，則使目標(biāo)受損但未擊毀的概率是（

）A．0.4 B．0.48 C．0.6 D．0.8【答案】A【解析】目標(biāo)受損但未擊毀的概率是.故選：A例24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知事件A?B相互獨(dú)立，，則（

）A．0.58 B．0.9 C．0.7 D．0.72【答案】A【解析】由題意故故選：A變式36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為，和棋的概率為，則乙獲勝的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】記“甲獲勝”為事件，“和棋”為事件，“乙獲勝”為事件，則，，所以．故選：D變式37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因隨機(jī)事件，互斥，則，依題意及概率的性質(zhì)得，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C變式38．（2022·全國·高三專題練習(xí)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“向上的點(diǎn)數(shù)不超過3”，則P(A∪B)=（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】A包含向上的點(diǎn)數(shù)是1，3，5的情況，B包含向上的點(diǎn)數(shù)是1，2，3的情況，所以A∪B包含了向上的點(diǎn)數(shù)是1，2，3，5的情況.故P(A∪B)=.故選：B．變式39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1<x2，則P(x1≤ξ≤x2)等于()A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)【答案】B【解析】由隨機(jī)事件概率的性質(zhì)得P(x1≤ξ≤x2)＝P(ξ≤x2)＋P(ξ≥x1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β).故選：B變式40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列四個(gè)命題：①對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對(duì)立事件；②若為兩個(gè)事件，則；③若事件兩兩互斥；④若滿足且，則是對(duì)立事件.其中錯(cuò)誤的命題個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】對(duì)于①：對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對(duì)立事件；故①正確；對(duì)于②：若為兩個(gè)事件，則；故②不正確；對(duì)于③：若事件兩兩互斥，若，則，故③不正確；對(duì)于④：對(duì)于幾何概型而言，若事件滿足，，則不一定是對(duì)立事件，故④錯(cuò)誤.所以錯(cuò)誤的命題有個(gè)，故選：D【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））下圖是國家統(tǒng)計(jì)局7月發(fā)布的2021年6月至2022年6月規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速的月度走勢(shì)，其中2022年1~2月看作1個(gè)月，現(xiàn)有如下說法：①2021年10月至2022年3月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速呈現(xiàn)上升趨勢(shì)；②2021年6月至2022年6月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速的中位數(shù)為；③從這12個(gè)增速中隨機(jī)抽取1個(gè)，增速超過10的概率為．則說法正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】從2021年10月至2022年3月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，故①正確；2021年6月至2022年6月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速的的中位數(shù)為，故②正確；從這12個(gè)增速中隨機(jī)抽取1個(gè)，超過10的概率為，故③正確.故選：D．2．（2022·福建·福州十八中高三開學(xué)考試）將5個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意總的排列方法有種，利用擋板法，5個(gè)1有6個(gè)位置可以放0，故2個(gè)0不相鄰的排列方法有種，所以所求概率為．故選：B．3．（2022·四川成都·高三開學(xué)考試（文））從3男2女共5名醫(yī)生中，抽取2名醫(yī)生參加社區(qū)核酸檢測(cè)工作，則至少有1名女醫(yī)生參加的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】將3名男性醫(yī)生分別設(shè)為a，b，c，2名女性醫(yī)生分別設(shè)為d，e，這個(gè)實(shí)驗(yàn)的樣本空間可記為，共包含10個(gè)樣本點(diǎn)，記事件A為至少有1名女醫(yī)生參加，則，則A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為7，∴，故選：C．4．（2022·上海交大附中高三開學(xué)考試）分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長（單位：h），得如圖所示莖葉圖，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長的樣本中位數(shù)為7.4B．乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長的樣本平均數(shù)約為8.60（按四舍五入精確到0.01）C．甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長大于8的概率的估計(jì)值小于0.4D．乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長的方差約為0.80（按四舍五入精確到0.01）【答案】B【解析】A：甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長的樣本中位數(shù)為，正確.B：乙同學(xué)課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長的樣本平均數(shù)為：，錯(cuò)誤.C：甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長大于的概率的估計(jì)值，正確.D：乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長的方差約為：，正確.故選：B5．（2022·四川·樹德懷遠(yuǎn)中學(xué)高三開學(xué)考試（理））20名學(xué)生，任意分成甲、乙兩組，每組10人，其中2名學(xué)生干部恰好被分在不同組內(nèi)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】20名學(xué)生，任意分成甲、乙兩組，每組10人，共有種分法；考慮學(xué)生干部A，其所在的組有種可能，該組中余下9人有種可能性；故所求概率為．故選：A．6．（2022·四川·模擬預(yù)測(cè)（文））從集合中任取2個(gè)不同的質(zhì)數(shù)，則的概率為（

）A．

B．

C．

D．【答案】A【解析】集合中的質(zhì)數(shù)有11，13，17，19，共4個(gè)數(shù)，任取2個(gè)不同的質(zhì)數(shù)，，記作的情況有，，，，，，，，，，，，共12種；符合的有，，，，，，，，共8種，所以概率為.故選：A.7．（2022·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試（理））為進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)校美育育人功能，構(gòu)建“五育并舉”的全面培養(yǎng)的教育體系，某校開設(shè)了傳統(tǒng)體育、美育、書法三門選修課程，該校某班級(jí)有6名同學(xué)分別選修其中的一門課程，每門課程至少有一位同學(xué)選修，則恰有2名同學(xué)選修傳統(tǒng)體育的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】6名同學(xué)分別選修一門課程，每門課程至少有一位同學(xué)選修，共有種.恰有2名同學(xué)選修傳統(tǒng)體育的情況：種.∴.故選：D二、多選題8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）記分別為事件A，B發(fā)生的概率，則下列結(jié)論中可能成立的有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】當(dāng)事件A，B相互獨(dú)立時(shí)，，A可能；當(dāng)事件A，B互斥時(shí)，，B可能；當(dāng)事件A，B不互斥時(shí)，，C可能；而不可能出現(xiàn)，D不可能.故選：ABC9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量ξ的分布如下：則實(shí)數(shù)a的值為（

）ξ123PA．－ B． C． D．【答案】BC【解析】由題可得，∴或，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意.故選：BC.10．（2022·湖南·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且或的概率均為.設(shè)能被3整除的概率為，則（

）A． B． C． D．當(dāng)時(shí)，【答案】BC【解析】由題可知，，故B正確；被3整除的余數(shù)有3種情況，分別為0，1，2，所以，則，所以，即，所以，A錯(cuò)誤，C正確；，令，則，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．（2022·浙江·慈溪中學(xué)高三開學(xué)考試）盒中裝有大小相同的5個(gè)小球（編號(hào)為1至5），其中黑球3個(gè)，白球2個(gè).每次取一球（取后放回），則（

）A．每次取到1號(hào)球的概率為B．每次取到黑球的概率為C．“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互獨(dú)立事件D．“每次取到3號(hào)球”與“每次取到4號(hào)球”是對(duì)立事件【答案】AC【解析】對(duì)于A，每次取到1號(hào)球的概率為，故正確；對(duì)于B，每次取到黑球的概率為，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”相互之間沒有影響，所以“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互獨(dú)立事件，故正確；對(duì)于D，每次取到3號(hào)球的概率為，每次取到4號(hào)球的概率為，它們互斥事件，而不是對(duì)立事件，故錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）通過手機(jī)驗(yàn)證碼登錄哈羅單車，驗(yàn)證碼由四位數(shù)字隨機(jī)組成，如某人收到的驗(yàn)證碼滿足，則稱該驗(yàn)證碼為遞增型驗(yàn)證碼，某人收到一個(gè)驗(yàn)證碼，那么是首位為2的遞增型驗(yàn)證碼的概率為__．【答案】【解析】∵，∴從3,4,5,6,7,8,9中選，只要選出3個(gè)