2020年高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)步步高教師用書(shū)京津魯瓊專(zhuān)用第四章 4.6

222222222222222222222222

正弦定理余弦定理最新考綱

通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探掌握正弦定理、余弦定并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.正弦定、余弦定理在△,若角AB,C所的邊分是acR為△ABC外圓半,定理內(nèi)容

正弦定理b＝＝＝2sinAsinBsinC

余弦定理＝＋－2bccosA；＝＋a－2cosB；(3)a＝sinA,bRsinB

c＝

2

＋b－2cosC變形

c＝2Rsin；A＝,sinB＝,sin＝；R(5)a∶∶c＝∶∶C；(6)aB＝sinA,sin＝B,sin＝A

＋－a(7)cosA＝；cosBbcc＋－b＝；cosC＝ac＋b－cabeq\o\ac(△,在)ABC中已知a和A解的情況A為角圖形

A為角或直角關(guān)系式解的個(gè)數(shù)

＝sinA一解

sinA＜a＜b兩解

a一解

a一解三角形用面積公式＝ah(h表邊上高)；a

2ABC2ABC11＝absinCsinB＝sinA；2＝r(a＋cr為三角形內(nèi)切圓半徑)概念方法微思考在中∠A>是可推出sin提示在ABC,由>∠可出A>sinB.如在△,有如下結(jié)論bcosC＋cosB＝試比寫(xiě)出另外兩個(gè)式提示cos＋bcos＝c；cosCccosA＝b題組一思考辨析判下結(jié)論是否正(在括號(hào)中打“√”或“×)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之.(×)當(dāng)b

2

＋c－

2

>0時(shí)三形為銳角三角形(×

)a＋bc在ABC中＝sinAsin＋－C

.(√

)在三角形,已知兩邊和一角就能求三角形的面√)題組二教材改編在中acosA＝bcos,則這個(gè)三角形的形狀為答案等三角形或直角三角形【解析】B,sinAsin2,22ABπA

在中A＝AC＝則ABC的積為答案【解析】∵∴∴90°,sin60°sin∴AB∴×233.

2222222222題組三易錯(cuò)自糾在中角,,C所的邊分別為bc若＜bcos,則△ABC為()鈍三角形C.銳角三角形

直三形等三角形答案A【解析】CBcosA,∴)sin,∴sin,sinA∴cos∴B,△.桂質(zhì)檢在△,已知bc＝C則此三角形的解情況()有解C.無(wú)解

有解有但解的個(gè)數(shù)不確定答案【解析】,sinB×sin2∴B3>1.c20∴B.包模擬設(shè)△內(nèi)角AC所邊的長(zhǎng)分別為a,,.b＝a,A＝,則C＝

答案

2π7【解析】,3a5.b2ab,c,37bbCab5××2πC∈π),.

2

.題型一利正弦、余弦定理解三角形π例天津在△中內(nèi)角C對(duì)的邊分別為a,c已A＝acos－

2222222222222222222222求角的大小；設(shè)a＝c＝求sin(2A－B)值解

bABC,sinAsinBbsinasin.bsinacos

ππB,Bcos,sinB

πB,π∈π),πABCB,bcosbacos

πB,

7cA3A2sincosAA1.sin(2A)sin2AcosBAsin

×－×.72思維升華(1)正定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其元基本思想是方程思想即根據(jù)正弦定理理列出關(guān)于未知元素的方通過(guò)解方程求得未知元素正弦定理定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互,題時(shí)可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系,可以把已知條件化為三角形邊的關(guān).跟蹤訓(xùn)練1(1)(2018·天津河西區(qū)模擬在ABC中,三個(gè)內(nèi)角,B,所的邊分別為ab,c,若sin－－sin＝AsinC則B大小為)B.60°C.120°D.150°答案D【解析】sinB3sinAsinbcacacbac

22222222222622222222222262bcos,acB如圖所在△中D是上點(diǎn)且＝AD,2＝,BC2BD則sin的為

答案【解析】

∵AD,ABBD2BD∴a,

a4BC.△∠

aBD,∠ADB,BDC△BDC,a33a

BC∠BD·sin∠BDC∴.BC題型二和角形面積有關(guān)的問(wèn)題例(2018·南模擬在ABC中內(nèi)角A,B,C所的邊分別為bc,且b－cos＝c.證:tan＝－A若b

2

＋c＝

2

＋bc且△面積為求a證明sinBAsinA2sinCAsinABsinA),sinsinAtanBA.解a3bc,a33bcbcπ0AA,tanB2ππ0BCa,2π1Sac×aa2.22

2222222222222222222222222222222222222222思維升華對(duì)于面積公式S＝sinC＝acsinB＝一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式.與面積有關(guān)的問(wèn)一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn).跟蹤訓(xùn)練承質(zhì)檢)若AB＝AC＝BC則S的最大值為()ABCA.2

C.23答案A【解析】2SABsinBx1.①ABC2,AB4xcos.AB4x4x②①SABC

xx>22x22x222,x23S2A.ABCπ在ABC中內(nèi)角A,BC所對(duì)的邊分別是b.若c＝a－b)＋6,＝,△ABC的積是答案

【解析】∵(b

∴

b

2

2ab6.

①π∵C,π∴cb2cosb①②ab66.∴sin××.222

②

2222222222222題型三正定理、余弦定理的應(yīng)用命題點(diǎn)判斷三角形的形例在△,b分為角,BC所的邊若a2cosC則三角形一定是等直角三角形直三角形C.等腰三角形等三角形或直角三角形答案【解析】方法一a2

2ab

abc,,c△方法二sin,B)sinCsinCB)BB,△.設(shè)ABC內(nèi)角,BC對(duì)的邊分別為abc若cosC＋ccosB＝sinA則的狀為()銳三角形C.鈍角三角形

直三形不定答案B【解析】BCCcos,∴C)sinAsin(A)sinAsin∵∈π∴A∴A1,πA,∴△ABC引申探究本(2)中,若將條件變?yōu)?sincos＝判eq\o\ac(△,斷)的狀解

∵Bsinsin(A∴BsinAcosBcosAB,∴)0.

222222222222222222A.∴∴△.本(2)中,若將條件變?yōu)椋角褹B＝sinC判eq\o\ac(△,斷)的狀解

1∵aab∴cos,2ab2π0π,∴C,2cossinBB)∴A,△.命題點(diǎn)求解幾何計(jì)算問(wèn)π例4(2018·云11?？鐓^(qū)調(diào)研如,在邊形ABCD中∠＝,AD∶＝2BD＝7,AB⊥BC.求∠的；2π若＝求CD的長(zhǎng)解

(1)ADAB2AD2,πkBD∠DAB,π,(7)))2k×k,2,3,×AD∠2∠BD7AB,∠sin∠ABD

7BD∠,,∠BCDsin∠DBCCD

×.3思維升華判斷三角形形狀的方法①化邊:通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)②化角:通過(guò)三角恒等變得出內(nèi)角的關(guān)系此時(shí)要注意應(yīng)用＋＋Cπ這結(jié)論求解幾何計(jì)算問(wèn)題要注:

2222222222222222222222222222①根據(jù)已知的邊角畫(huà)出圖形并在中標(biāo)示；②選擇在某個(gè)三角形中運(yùn)用正弦理或余弦定.B＋跟蹤訓(xùn)練(1)(2018·安六校聯(lián)在ABC中cos＝(,c分別為角AB,C的邊)c則△形狀()等三角形直三角形C.等腰三角形或直角三角形等直角三角形答案BB1BBac【解析】∵,22cb∴Ba,∴a·a∴2

2

2

c

∴a

b

c

∴△洛統(tǒng)在ABC中＝30°,＝5,D是AB邊的一,＝若為角eq\o\ac(△,,)ACD的積為則＝

答案2【解析】CD∠∠4,sin∠ACD∠ACDcos∠ACD∠

△ACDCDAC·cos∠ACD4,AD·sin∠ACD1A∠sinAD△

ACBCAC·sinsinBsin在中角,,C所的邊分別為bc若＝13,＝＝60°,則邊等()A.1D.6答案【解析】∵ab2cos,

222A222A∴13

c×3cos60°,c30,c4c1()在中角,,C的邊分別為bc,＝b＝2C＝30°,則等于)或

B.60°或120°答案D【解析】∵2,b2C∴×sinsinB,b>c30°180°,c2∴60°B昌模擬在△中角ABC所的邊分別為a,,cos＝,bc＝則ABC的面積為()1B.答案A【解析】cosAsin12sin(),bc2,ABC1SbcA××＝.22在中,角AB的對(duì)邊分別為ab,c,已知三個(gè)向量acos

n＝bcos

B

p＝

c，cos

C

共線,則△形狀()等三角形C.直角三角形答案A

等三形等直角三角形【解析】∵macos

A

nbcos

B

,∴acos

Bbsin

BsinB2AA∴2sincos22sin

ABAπBπBsin.0∴B.222BC∴△A.

2222222222220π∴2222222222220π∴25.(2018·肥質(zhì))已知ABC的角A,C的邊分別為a,,＝cosA＋acosB＝則的外圓面積為)4πB.πC.πD.π答案21【解析】cbcosBcosC,C2sinR3,π,C.在中角,,C所的邊長(zhǎng)分別為bcAC成比數(shù)列且＝a則cos的值為()32B.D.43答案B【解析】sinABBsinsin42cacos.ac44成都模)在ABC中角ABC的邊分別ab,若acB3,則角的為答案

ππ或3【解析】Baccos·tan

∴B

πππ設(shè)的內(nèi)AB,C的對(duì)邊別為a,若a＝,,b＝6答案【解析】sinB且∈(0,π5或Bπ,BCππ2basin

sinπ12sinB13ABC22sinπ12sinB13ABC22b,1.ππ△內(nèi)角,,C的對(duì)邊分別為a,,已＝＝,,△的積為

答案

＋1ππ【解析】∵bB,sinBC×c2π∴Asin

ππππππsin4

2SbcsinA××221.2210.如圖,在△中已知點(diǎn)D在邊上,AD⊥∠＝AB32,AD3,則的長(zhǎng)為_(kāi)_______.答案

【解析】sin∠BAC

ADAC

π∠

cos∠△,BDAD2ABcos

3

2

22×珠模)設(shè)ABC的角,對(duì)邊分別為abc,atan.證:sin＝cosA；若sin－sinAB＝,B為角求A,B,C.

cosA2222cosA2222證明RsinsinC∴aRsin,2RsinBatansinA·

sinA

∵∈π),∴sinsinB∴1,sin.cosA解sinCsin知3)sinB,cosAsinB.4(1),sin∴cosAπ3A0,cos6sinB

2πB∴C(AB).12.(2018·北)△中a＝＝8,cosB＝－.求A；求邊的解

ABCcos3B1B.sinsin2ππ∠B,∠A,π∠.ABC,3sin(ABcos33a×.213.在△,

＋b

2

＋c＝23C,則ABC的狀是

)不腰的直角三角形等直角三角形

22222222222222222222C.鈍角三角形正角形答案Dπ【解析】aa2cosCab