二次根式的認識

15.1二次根式第十五章二次根式第1課時二次根式的認識目前一頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點1課堂講解2課時流程逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升二次根式的定義二次根式的“雙重”非負性二次根式目前二頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點如圖，架在消防車上的云梯AB長為15m，AD∶BD＝1∶0.6，云梯底部離地面的距離為2m.你能求出云梯的頂端離地面的距離AE嗎?ABCED目前三頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點一艘快艇的航線如下圖所示，從O港出發(fā)，1小時后回到O港.若行駛中快艇的速度保持不變.則快艇駛完AB這段路程用了多少時間?ABO北東45°45°目前四頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點1知識點二次根式的定義知1－導1.(1)2，18，，的算術(shù)平方根是怎樣表示的?(2)非負數(shù)m，p＋q，t2－1的算術(shù)平方根又是怎樣表示的?（來自《教材》）目前五頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點知1－導（來自《教材》）2.學校要修建一個占地面積為Sm2

的圓形噴水池，它的半徑應為多少米?如果在這個圓形噴水池的外圍增加一個占地面積為am2的環(huán)型綠化帶，那么所成大圓的半徑應為多少米?目前六頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點（來自《點撥》）知1－講二次根式：形如(a≥0)的式子叫做二次根式，其中“”稱為二次根號，a稱為被開方數(shù)．要點精析：

(1)二次根式的定義是從代數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式上界定的，必須含有二次根號“”；“”的根指數(shù)為2，即，“2”一般省略不寫．(2)被開方數(shù)a可以是一個數(shù)，也可以是一個含有字母的式子，但前提是a必須大于或等于0.目前七頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點（來自《點撥》）知1－講(3)在具體問題中，已知二次根式，就意味著給出了a≥0這一條件．

(4)形如(a≥0)的式子也是二次根式．b與是相乘的關(guān)系，當b為帶分數(shù)時，要寫成假分數(shù)的形式．易錯警示：(1)二次根式是從形式上定義的，不能從化簡結(jié)果上判斷，如：等都是二次根式．(2)像

＋1(a≥0)這樣的式子只能稱為含有二次根式的式子，不能稱為二次根式．目前八頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點判斷下列各式是否為二次根式，并說明理由．(1)

(2)

(3)

(4)＋1(a≥0);(5)(6)(7)

(8)判斷一個式子是不是二次根式，實質(zhì)是看它是否具備二次根式定義的條件，緊扣定義進行識別．例1導引：（來自《點撥》）知1－講目前九頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點（來自《點撥》）知1－講(1)∵的根指數(shù)是3，∴不是二次根式．(2)∵不論x為何值，都有x2＋1＞0，∴是二次根式．(3)當－5a≥0，即a≤0時，是二次根式；當a＞0時，－5a＜0，則不是二次根式．∴不一定是二次根式．(4)＋1(a≥0)只能稱為含有二次根式的代數(shù)式，不能稱為二次根式．目前十頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點（來自《點撥》）知1－講(5)當x＝－3時，無意義，∴也無意義；當x≠－3時，＞0，∴

是二次根式．∴不一定是二次根式．(6)當a＝4，即a－4＝0時，是二次根式；當a≠4時，－(a－4)2＜0，∴不是二次根式．∴不一定是二次根式．目前十一頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點（來自《點撥》）知1－講(7)∵x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，∴是二次根式．(8)∵|x|≥0，∴

是二次根式．目前十二頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點總

結(jié)

二次根式的識別方法：判斷一個式子是否為二次根式，一定要緊扣二次根式的定義，看所給的式子是否同時具備二次根式的兩個特征：(1)含根號且根指數(shù)為2(通常省略不寫)；(2)被開方數(shù)為非負數(shù)．知1－講（來自《點撥》）目前十三頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點1下列各式中，一定是二次根式的是(

)A. B. C. D.知1－練D目前十四頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點2下列式子不一定是二次根式的是(

)A. B. C. D.（來自《典中點》）知1－練A目前十五頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點3下列式子：中，一定是二次根式的有(

)A．2個 B．3個C．4個 D．5個（來自《典中點》）知1－練C目前十六頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點2知識點二次根式的“雙重”非負性

(a≥0)是一個非負數(shù).1.理解二次根式的非負性應從算術(shù)平方根入手，當a≥0時，表示a的算術(shù)平方根，因此≥0.所以“二次根式”包含有兩個“非負”即：(1)被開方數(shù)非負：a≥0；(2)二次根式的值非負：≥0.2.若則a＝0，b＝0.由于二次根式都是非負數(shù)，所以它們的值都為0.知2－講目前十七頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點若則x－y的值為(

)A．1 B．－1 C．7 D．－7例2分析：知2－講據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解．因為都是非負數(shù)，它們的和為0，所以所以y＋3＝0，x＋y－1＝0，解得y＝－3，x＝4，所以x－y＝7.故選C．C目前十八頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點總

結(jié)兩個非負數(shù)的和為0時，這兩個非負數(shù)都為0．知2－講目前十九頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點1

若

求a2012＋b2012的值．知2－練解：∵

又∵∴a＋1＝0，b－1＝0，∴a＝－1，b＝1，∴原式＝(－1)2012＋12012＝1＋1＝2.分析：根據(jù)兩個非負數(shù)的和為0，則這兩個非負數(shù)都為0，列方程求出a和b的值，再把a和b的值代入所求的代數(shù)式中，求出代數(shù)式的值.目前二十頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點2

【中考·攀枝花】若

則xy＝________.（來自《典中點》）知2－練9目前二十一頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點知3－導3知識點二次根式1.小亮和小穎對二次根式“

(a≥0)”分別有如下的觀點.你認同小亮和小穎的觀點嗎?請舉例說明.2.計算(a≥0)，并與大家交流你的結(jié)果.小亮的觀點

因為

表示的是非負數(shù)a的算術(shù)平方根，所以，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，有

≥0.小穎的觀點

因為

表示的是非負數(shù)a的算術(shù)平方根，所以，根據(jù)算術(shù)平方根和被開方數(shù)的關(guān)系，有（來自《教材》）目前二十二頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點歸納事實上，對于二次根式，有

(a≥0)是一個非負數(shù)，＝a(a≥0)，＝a(a≥0).知3－導（來自《教材》）目前二十三頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點化簡：(1) (2)例3解：知3－講（來自《教材》）目前二十四頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點總

結(jié)運用＝a(a≥0)，進行化簡的方法：(1)化簡直接運用＝a(a≥0)．(2)化簡一般有兩個步驟：①去掉二次根號，寫成絕對值的形式，即

＝|a|；②去掉絕對值符號，根據(jù)絕對值的意義進行化簡，即知3－講（來自《點撥》）目前二十五頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點1化簡：(1) (2) (3)(4)（來自《點撥》）知3－練解：目前二十六頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點（來自《點撥》）知3－練＝|x－1|＋|x－3|.∵1≤x＜3，∴x－1≥0，x－3＜0.∴原式＝x－1－(x－3)＝2.目前二十七頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點2下列結(jié)論正確的是(

)A． B．C.

D．（來自《點撥》）知3－練A目前二十八頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點3若＝1－2a，則(

)A．a(chǎn)＞

B．a(chǎn)≤C．a(chǎn)＞

D．a(chǎn)≥（來自《點撥》）知3－練B目前二十九頁\總數(shù)三十二頁\編于十八點1.二次根式的條件:(1)帶二次根號“”；(2)被開方數(shù)是非負數(shù).2.常見具有“非負性”的三類數(shù)：(n為正整數(shù))；3.二次根式的性質(zhì):(1)中a≥0，

≥0