公平的評卷系統(tǒng)模型

公平的競賽評卷系統(tǒng)模型摘本文針對數學建模競賽評卷系統(tǒng)進行模型建立和求解．問題一：研究一種答卷編號加密和解密的數學公式方法（其中題號為明號；通過碼制轉換和異或運算進行簡單易算、可隨意轉換且保密性良好的加密和解密方法。問題二：研究一種評閱答卷分配的數學公式方法。通過以滿意度最大為目標函數建立0-1整數規(guī)劃模型，把所有評委分組，分別為{7,8,5,5}，再引入隸屬度函數，以廣泛度最大為目標函數，回避本校答卷和滿足某些特殊要求為約束條件建立優(yōu)化模型，給各題組的評委具體分配答卷。問題三：研究評分一致性或公正性的檢驗方法。通過運用統(tǒng)計學的原理分析了評委的類型—客觀公平型、一致性偏高型、一致性偏低型、大幅度波動型和作弊型。問題四：研究最終的分數調整計算公式，該公式要處理那些可能出現的“不公平及尺度偏差。通過對各類型的評委的評分作出合理的量化，并以這些量作為權值對不合理分數進行最終調整，最終調整公式為：．jiiji綜上所述，利本文所建立的各種模，可以有效的對試卷編進行加密，合的對試卷分配，根評委的公正性和每份卷打分的置信區(qū)間可以出最終分數的算公式，反應了試卷的實水平。關詞：

加密系統(tǒng)，滿意度，廣泛度--

問題提（1）數學建模競賽吸引了眾多的大學生、研究生甚至中學生的參與，越來越多的人關心競賽評卷的公平性．現今大多數的評卷工作是這樣進行的：先將答卷編成密號，評委由各參賽學校（20-50所）派出，按不同的題目分成幾個題組，每個題組由M個評委組成，評閱N份答卷，每份答卷經L個評委評閱，評委對每份答卷給出等級分

,A,AB

,BB

,C

,,C

,D如果個評委給出的分數基本一致就給出這份答卷的平均分，否則需討論以達成一致（其10,60L假定有35所學校298個參賽隊參賽數據見附錄1其中數字前兩位代表學校，甲組選做AB題；乙組選CD題25名評委所屬的學校編號為1-17202122，24，26，28，29，30．每份試卷經四位評委評閱，編號為1522的只容許評C，D題，編號為26的只容許評A，題，編號為，4，6，12，16的評委要求評A題，編號為2，，7，10的評委要求評B題；編號為的評委要求評C題，編號29的評委要求評D題．其余按所在學校的甲、乙組別及個人的要求安排。二模假與號明（一）模型假設1假設除了問題中某些評委提出的要求，其他評委無明確要求；2假設每個評委的評卷速度和閱卷量相近；3假設每個評委在評卷過程中不會交流評卷業(yè)務以外的試卷信息，獨立地評出每份答卷的分數對于評閱同一份答卷的評委不會相互交流各自所評的分數．（二）符號說明1.答卷的加密與解密BCK

——明文空間，它是全體明文的集合；——密文空間，它是全體密文的集合；——密鑰空間，密鑰是加密算法中的可變參數；

——加密算法，它是一族由

C的加密變換；D

——解密算法，它是一族C到B的加密變換．--

jjjjjj2.答卷的分配c：分配到題組、B、C、D的評委數目；

kij

：在第k題組中，i個評委評閱第j所學校答卷的份數；U

kj

：在第k題組中，第j所校的答卷數；ki

：第k個題組的總答卷數；：在k個題組中，i評委評閱答卷的總份數；

k

：第k題組的評委數；

k

：k個題組的參賽學校數．3.分數調整計算ss

ijj

：i個評委評閱第j答卷的分數；：第份答卷的平均分；

j

：第份答卷的最終分數；i

：i個評的類型系數．4.統(tǒng)計量說明1）標準差系數選擇標準差系數考察平均分的代表性標準差是反映一組數據分布的離散程度的統(tǒng)計指標，以絕對值表示．標準差系數是標準差與平均數的比值，用百分比表示，即：V

X

（1）比較每份答卷的標準差系數．若答卷A比答卷B的標準差系數大，說明評委對答卷A的意見差異更大，即使答卷A和B平均分相同，答卷A評分問題上存在較大爭議，應當慎重考慮，需要進一步考察．2）離差絕對值之和

ia將某評委對每份答卷的評分，分別減去該答卷的平均分，即得到該評委對該答卷的離差，將全部離差的絕對值累加求和，得出該評委的離差絕對值之和，即：iaijj

j

（2）上式

xij

表示i個評對第j份答卷的評分j

表示第份答卷的平均分．--

rr離差絕對值之和的大小反映各個評委對測評對象整體水平的看法離差絕對值之和與測評對象整體水平成負相關，離差絕對值之和越大，測評對象整體水平越不整齊，內部差異即離散程度則越大．3）離差代數和

id將各個評委對每一份答卷的評分，分別減去該答卷的平均分，即得到該評委對該答卷的離差，將全部離差累加求和，即得到該評委的離差代數和，離差代數和沒有直接意義，必須與離差絕對值之和結合起來考察，才有實際意義．4）絕代比

rad絕代比是每個評委的離差絕對值之和與其離差代數和的比值，即：ri

SS

ii

（3）rad

有以下三種情況：①

rad

，這是因為每一離差均取正值或負值，其代數和不存在正負抵消現象，正好與離差絕對值之和一致，這種情況只有該評委的評分全部低于或高于平均分時才出現；②ad的比值很高，也就是說，離差絕對值之和遠遠大于離差代數和的絕對值，這種情況，往往因為該評委的評分往往遠離總體平均分，同時，具體評分圍繞平均分上下波動，因此，離差正負相抵后所得的代數和，其數值較小，兩相比較，

rad

的數值較大；③

rad

比1大，是因為該評委所評分數在平均分數線上下小幅波動．三模分、立求1.模型分析：（1）對加密系統(tǒng)的分析通過對編號的碼制轉換便于我們對位進行異或邏輯運算，從而使加密過程更加隱蔽、易行；（2）把所有答卷編號進行矩陣排列，再按列操作，可以簡化加密作量；（3）通過要求評委們各自秘密發(fā)送個字母給公證人，再由公證人順序或逆序排列（只有所有評委和公證人的“密鑰”都被知道了，已知道加密算法的人才能破譯該系統(tǒng)從而大大增加了破譯的難度，提高了加密系統(tǒng)的保密性能；（）異或邏輯運算是一種可逆運算，簡單易行，不僅隱蔽了原本學校和參賽的信息同時又保證了針對每個不同的序號能得到一個唯一與其對應的二進制序列，實現對于答卷分配的分析,我們先提出滿意度函數入模糊數學中的隸屬度函數來求解，較好地滿足了回避本校答卷和評委廣泛度盡量大的要求；運用統(tǒng)計學的原理，根據不同的評分特點把評委分成不同類型，再用層次分析法來--

lkylkyY''檢驗評委的公平性，使得問題的描述比較清晰；運用加權的方法調整分數，在實際操作上具有一定的意義．2.模型建立：1）評委分組：依題意，把25評委分配到A、B、D四個題組，必須滿足以下要求：．每個評委只能分配到一個題組中；b．為了回避本校答卷，分組過程中每個評委所在的題組需要評閱題目是該評委所在學校的參賽隊選擇最少的題目；c．嚴格滿足特殊要求中某評委只容許評閱的題組的要求；d．在滿足公平原則和以上3項原則前提下，盡量滿足特殊要求中某些評委要求評閱的題組的要求；．在滿足以上原則的前提下，使每個評委評閱的答卷盡可能廣泛；f對于沒有提出要求或題目沒有明確限制評閱題組的評委，在滿足以上幾項原則前提下，我們對這些評委進行隨機分配．基于以上原則，我們采用數學規(guī)劃中的整數規(guī)劃，引入滿意度的概念，并用決策變量

y

kl

表示對其量化：用

k

表示四個題組A、、C、D，用

l1,2,

表示25個評委1-17、20、、22、、26、、、30，表示第個評委被分到第個題組的滿意度大?。疂M意度定義為：）當某個評委的“只容許”條件被滿足時，

y2kl

，否則為-2；b）當某個評委的“要求”條件被滿足時，

ykl

，否則為-1；c）當沒有特殊要求的評委分到任意題組時，其滿意度為．我們可以Y表示由

y

kl

組成的矩陣，Y可寫成以下形式：

由于每個評委只能分配到一個題組所以對于矩陣的每一列個元素只能選取其中一個，于是我們以最大滿意度為目標函數：

425kl

y

kl

（4）其中，是基于矩陣的得到的一系列矩陣中的最優(yōu)矩的元素．由題目可知，每個題組至少要有個評委評閱答卷，同時從表可以看到選擇題--

ff1i組A、B的參賽隊要比選擇題組C、的多，為了保證閱卷的公平性，分配到題組AB評委數目應該比C的多不妨假設題組A和B的評委數至少分別比題組和D的多1于是有以下模型（Ⅰ

425

y

klst

kl2512c

（Ⅰ）我們運用數學軟件Lingo9.0求解以上的數學模型，得到下面的分配結果（見表表3.1評委答卷分配題該題組評委該題組評委所在學校編號組數目A，，6，12，，，B82，5，7，10，17，20，，C511，，，15，D，8，9，，2）答卷分配：在評閱過程中份答卷必須經四位不同的評委評閱時要求評委回避本校答卷，滿足某些特殊要求，在此基礎上盡可能使評委評閱的答卷廣泛，也就是說，該評委所評閱的答卷含不同學校數目盡量多．在上一步中已經討論了把名評委分到四個題組的問題在我們以題組A為例，建立模型求解出題組A評委的具體分配情況，其他題組可以類似地求解．題組A的評委數為7，分別是、、6、12、、、，我們重新對這些評委編號為12A的校編號為，2為了使評委評閱答卷盡可能廣泛，我們引入模糊數學的柯西型隸屬度函數，給出各評委每評閱一份答卷的值——廣泛度：ijij

（5）其中廣泛度

ij是

xij

的減函數，表示當第個評委評閱的答卷越廣泛，即所含學校越多，

xij

越小，則廣泛度

ij越大，(見表：表3.2

x

ij

函數表

ij

1

2

3

4

5

6ij

--

771919j771919jmxijKC

ij

7

8

9

10

11

12ij

0于是，我們以廣泛度最大為目標函數建立優(yōu)化模型（Ⅱfijij

ijU,jijjstijij,iiji

（Ⅱ）在模型（Ⅱ）中，第一約束條件表示每所學校的每份答卷都4評委評閱；第二約束條件表示所有的答卷都有4位評委評閱；第三、四約束條件表示每個評委評閱一定量的答卷，且答卷量相當．推廣到其他題組，把模型（Ⅱ）寫成模型（Ⅲmax

m

f,ijij

ijxijUj,jnstij,imijikjbk,il

（Ⅲ）其中bk分別表示第個題組評委評閱答卷數的下界和上界．3.模型求解：1）答卷的加密一個密碼系統(tǒng)，通常簡稱為密碼體制，由五部分組成，可用數學符號描述如下[1]：KED

（1）對于每一個確定的密鑰，加密算法將確定一個具體的加密變換，解密算法將確定一個具體的解密變換，而且解密變換就是加密變換的逆變換．對于明文空間B中的每一個明文，加密算法

E

在密鑰的控制下將明文

B

加密成密文：--

CC

（5）于是，我們對加密算法以下步驟對答卷編號進行加密：Step1進行碼制轉換；Step2確定密鑰；Step3明文與密鑰進行異或運算；Step4把結果轉換為十進制；Step5添加題組標示，即為密文．為了更好地理解該算法，我們選取了一個編號（B題來簡單描述：Step1把1209每個數字轉換為四位二進制，即0000Step2隨機選取一個個字母的英文單詞，如num把每一個字母轉化為碼110109把ASCII碼轉換為二進制00101110取前16，即1101；Step3按位進行異或運算，即用密鑰

K

與Step1得到的二進制序列00011001或，得到序列11000001；Step4把新得到的序列轉換為十進制，即五位數字；Step5在49153最高位前添加2即249153代表該參賽隊是B組（數字12、34別代表題組A、、C、故：編號1209B題的密號為為了減少工作量和提高加密系統(tǒng)的保密性我們可將所有的參賽隊編號按先后順序先自上而下、后從左到右地排列成n矩陣；按每一列逐列進行整體加密；每一個評委分別秘密地發(fā)給公證人（注：該公證人不參與評卷工作，只負責對答卷加密、解密和分配答卷的工作個字母的英文單詞公證人按順序或逆序把每一個字母轉化為ASCII碼，再把各ASCII碼轉換為二進制，取一定的位數，此位數取決于每一列的編號轉換為二進制后的全體比特數．這樣，就可以簡化了Step2隨機選取密鑰的工作量，同時不會降低其保密性能．而解密算法D在密鑰

d

的控制下將密C解密出同一明文：M

d

d

（6）如果一個密碼體制的

K

d

，則成為單密鑰密碼體制或對稱密碼體制，否則成為雙密鑰密碼體制．我們在本文中采用單密鑰密碼體制，即

K

d

，對答卷編號進行加密和解密．針對本題我們加密的目的是把各參賽隊的序號反映出來的學校信息以及每個參賽學校不同隊伍的組號信息進行隱藏，即對答卷編號隱藏，而各答卷編號（即題號）是明號．因此可以得出以下結論：明文空為各參賽隊的序號，密文空間為我們對明文空間B行加密后的號碼．--

2）答卷的解密對密號進行解密實際上是對加密算法的逆運算DE我們對解密算D按以下步驟對密號進行解密：Step1評委們公開各人秘密發(fā)給公證人的字母，公證人公開其按順序還是逆序排列評委們的字母；Step2把所有字母轉換為ASCII把各ASCII碼轉換為二進制一定的位數，此位數取決于每一列的編號轉換為二進制后的全體比特數；Step3取密號的后五位，轉換成二進制，得到的結果與密鑰進行異或運算；Step4所得結果每四位二進制轉換成一位十進制，按順序逐個轉換，得到的結果每四位十進制便是明號，即答卷的編號．3）數據的處理在答卷數量不至于太多同時參賽學校不至于太少的情況下我們要求每個評委來自不同學校，以示其公平性．而本問題中要求，每個題組的M個評委來自不同學校，則我們不需要考慮某學校參賽隊數目與來自該校的評委數比例關系的公平性問題．對于附錄給出的數據我們經統(tǒng)計可得以下的信息35學校298參賽隊各參賽隊選擇題組分別為A題95、B107、C題50、D題46個（見下表名評委分別來自不同學校，評委所屬的學校編號分別為：1-17、20、222426、28、、30．對于評委評閱答卷，還有些特殊要求，如：編號、只容許評C、D，編號為26的只容許評A、題，編號為1、461216的評委要求評A，編號為257、的評委要求評B；編號為的評委要求評題，編號為的評委要求評D題（見表3.3表3.3

參賽學校與組隊情況表3.4評委評閱答卷的特殊要求--

4）評委的公平性評價在評卷過程中，不可避免地會出現評分一致偏高或偏低的情況，也有可能出現某些評委評分不公正的現象．于是，給出一種評分一致性或公正性的檢驗方法，是非常必要的．本文運用統(tǒng)計學的原理，引入幾個統(tǒng)計量，根據各評委的評分特點在這些統(tǒng)計量上表現出來的不同特征，對不同特點的評委進行分類，從而實現評分一致性或公正性的檢驗．4．1評分特點的分類從經驗角度看，觀察評委的評分線與平均分線的關系，實際上有這樣幾種評委的評分傾向：1）客觀公平型：這種評委的評分線圍繞平均分線做小幅波動．他試圖按照客觀標準掌握評分標準，保持客觀公允態(tài)度，謹慎小心，離差絕對值較小，即使在平均分線上下波動，但起伏不大，其離差絕對值之和與離差代數和的比值雖大與1但比較接近1，或者比在開區(qū)間，）里．從經驗角度看，這類評委的評分水平比較高，主觀傾向與客觀實際相接近，是比較理想的評委．圖1公平型評委評分曲線圖2）一致性偏高型：評委的評分線始終高于全體評委打分確定的平分線，與平均--

分線呈近似平行的關系．這種評委是一種帶有主觀色彩的“公正”評委，有一個穩(wěn)定的主觀傾向在理解和掌握評分標準，堅持按偏松的傾向打分，

rad

．圖2偏高型評委評分曲線圖3）一致性偏低型：評委的評分線始終低于全體評委打分確定的平分線，與平均分線呈近似平行的關系．與一致性偏高型評委相似，堅持從嚴的傾向打分，

rad

．圖3偏低型評委評分曲線圖--

4）大幅度波動型：這種類型的評分其離差代數值的方差較大，離絕對值方差較?。x差絕對值之和較大，離差代數和較小，

r

的絕對值較大且符號不定．圖4波動型評委評分曲線圖5）作弊型：這種評委的評分線與平均分線的關系有明顯的不規(guī)則形態(tài)．這里最常見的情況是，該評委給出的大多數對象的分數與平均分線呈一有規(guī)律的吻合，但是在少數個別分數上出現明顯的跳躍，遠離平均分線．似乎在有意壓低其他大多數測評對象的分數，而故意抬高自己看好或是有特殊關系的個別測評對象的分數．圖5作弊型評委評分曲線圖--

rri4．2檢驗方法采用層次分析法，其檢驗步驟如下圖：全部評委大作弊型

大不公平型Dia

iDd小大幅度波動型

大

小公平型ia

小客觀公平型高一致性偏高型

riad

低一致性偏低型圖6層次分析法其中，

id

表示i個評委的離差代數值的方差，

ia

表示i個評委的離差絕對值的方差．首先計算全部評委的離差代數值的方差，將超20視為不公平型，將低20視為公平型．其次，對于不公平型計算離差絕對值的方差，以15門限將其分為大幅波動型和作弊型．同時，對于公平型首先利用離差絕對值之和將其分為評分一致型和客觀公正型，劃分的標準以該評委評閱試卷的份數乘5為區(qū)分大小的臨界值．最后對于評分一致性再計算，通過判斷其符號將其分為一致性偏高和一致性偏低．這樣就將評委分為五類．5）分數調整計算1“不公平”及尺度偏差的處理在分數調整中，我們要處理那些可能出現的“不公平”及尺度偏差．由于每份答卷只由四名評委評閱使用除去最高分和最低分后求平均分的方法只剩下名評委，再求平均分就沒有普遍意義了．從第三問中，我們已經把評委分成不同特點的類型：客觀公平型、一致性偏高型、一致性偏低型和作弊型．根據不同的類型，分別把評委的分數乘以該類型的權系數，再累加求平均．1）客觀公平型：這種類型的評委評分比較公正，權系數可以認為是．2）一致性偏高（偏低）型：-13

nninnnini

j

jij

（7）j其中，j

s

ij

表示第個評委評閱的全部份答卷的總分，j

s

j

表答卷平均分的總分．該權值表示了一個相對合理的分數占該評委所給分數的比例．3）大幅度波動型：將大幅度波動型評委所評的成績分為大幅偏高和大幅偏低兩種，分別按照（9）所給的權系數公式進行折算．對于這類評委所評成績高（或低）出平均分兩個等級分以上的試卷認為此時的成績合理性較低，取消該評委對此份試卷的評分．4）作弊型：評委如在某些試卷上出現作弊行為則取消該評委對該張試卷的評分以其他三個評委所評的分數作為有效成績進行下一步處理．2最終分數調整公式綜上所述，我們給出的最終分數調整公式為：Swjii

ij

（8）其中m示第j份答卷評委最終評出的有效分數時評委的數，即去除被取消成績的評委人數．4）答卷分配經數學軟件．的編程求解（程序見附錄們得到以下的答卷分配結果（見表3.5,表3.6.表3.7.表3.8表3.5A組的答卷分配情況學校編號評委編號

135671012131415161714612162830

091010878

2233222

2112123

5034435

4444444

5404443

4433433

4444444

3443334

3232222

2322322

3230233

5444443

3333233

1111211

1211021

4332332

2111111

2111111表3.6B題組的答卷分配情--

份學校編號

1

2

3

4

5

6

7

8

91011121314161819評委編號2571017202126

88999889

02332222

22212111

32222122

30222322

22222222

43043222

67676776

22222222

34403343

33333333

33333333

34444445

33333333

12212211

33323222

21110111

33333333

00010111學校編號評委編號

5

表3.7C題組的答卷分情況14212324252628313233341113141524

21212

22022

32232

22121

55657

23322

33330

33433

33334

22323

22233

33343

22121

23223

01111

21212

11110

11101學校編號評委編號

5

表3.8D題組的答卷分配情況142021222324252627282930313233343892229

21212

12122

33433

54465

33303

12212

43333

21221

33334

22233

22233

44440

33222

01111

10111

01111

11011其中，A組的評委每人閱卷

份，B題組的評委每人閱卷

份，C題組的評委每人閱卷40，D題組的評委每人閱卷

四、結評價對模型的最終結果進行了預期估算和實際模型檢驗我們以本班同學模擬參賽隊并以另一部分作為評委，按照本模型給出的方法進行求解，其結果符合預期期望并且符合計算結果，因此其結果是可靠的。五、模檢驗1）對于問題一由加密表得知，不同的明文經加密后產生不同的密文，并且經過解密--

后得到的明文與原明文相同，合理達到了題目要求的簡單算，可隨意變，保密性好的要求。2）從試的分配表中，我們實現題目中的各項約，包括評委不評本試卷和評閱他所對應的題的要求3）由作圖可分析，用此模型求解符合實情況。六、模評價1）對于問題1提出的加密系統(tǒng)模型，實質上是對明文進行碼制轉換和異或邏輯運算，簡單易行，可隨意變換且保密性能好；2對于答卷分配，我們先提出滿意度函數，再引入模糊數學中的隸屬度函數來求解，較好地滿足了回避本校答卷和評委廣泛度盡量大的要求；3運用統(tǒng)計學的原理，根據不同的評分特點把評委分成不同類型，再用層次分析法來檢驗評委的公平性，使得問題的描述比較清晰；4）運用加權的方法調整分數，在實際操作上具有一定的意義．七、推與應用結合實際情況，該模型可作為比賽時的評分規(guī)則，依照該模型的公平性原則進行統(tǒng)計評分，可保證比賽的公平性。參考文[1]張煥國，劉玉珍，密碼學引論[M]，武漢：武漢大學出版社，[2][美]D.E.R.丹寧，密碼學與數據安全[M]，北京：科學出版社，[3]韓中庚，數學建模方法及其應用[M]，北京：高等教育出版社，[4]謝金星，薛毅，優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件[M]，北京：清華大學出版社2005.7[5]段華洽，評委打分的真實有效性問題的統(tǒng)計檢驗，--

附錄附錄1XX賽區(qū)參賽情況表XX賽區(qū)參賽情況表序號

選題

序號

選題

序號

選題

序號

選題

序號

選題

序號

選題

序號

選題

序號

選題

序號

選題

序號

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附錄2lingo程序代碼4-18-

附錄

matlab

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