高中數(shù)學(xué)人教版選修2-3全套教案

word文檔精品文檔分享高中數(shù)學(xué)人教版選修2-3全套教案第一章計(jì)數(shù)原理1．1分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理〔第一課時(shí)〕分類加法計(jì)數(shù)原理〔1〕提出問題問題1.1：用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號(hào)，總共能夠編出多少種不同的？問題1.2：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車.如果一天中火車有3班，汽車有2班.那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？〔2〕發(fā)現(xiàn)新知分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.Nmn〔3〕知識(shí)應(yīng)用例1.在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，具體情況如下：A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？分析：由于這名同學(xué)在 A,B兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個(gè)專業(yè)，又由于兩所大學(xué)沒有共同的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，因此符合分類加法計(jì)數(shù)原理的條件．解：這名同學(xué)可以選擇A,B兩所大學(xué)中的一所．在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法．又由于沒有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，因此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有5+4=9〔種〕.變式：假設(shè)還有C大學(xué)，其中強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)為：新聞學(xué)、金融學(xué)、人力資源學(xué).那么，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有多少種？探究：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情有n類不同方案，在每一類中都有假設(shè)干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢？一般歸納：完成一件事情，有n類方法，在第1類方法中有m1種不同的方法，在第2類方法中有m2種不同的方法??在第n類方法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有word文檔精品文檔分享N m1m2mnword文檔精品文檔分享種不同的方法.理解分類加法計(jì)數(shù)原理：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類〞問題，完成一件事要分為假設(shè)干類，各類的方法相互獨(dú)立，各類中的各種方法也相對(duì)獨(dú)立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事.例2.一螞蟻沿著長(zhǎng)方體的棱,從的一個(gè)頂點(diǎn)爬到相對(duì)的另一個(gè)頂點(diǎn)的最近路線共有多少條？解:從總體上看,如,螞蟻從頂點(diǎn) A爬到頂點(diǎn) C1有三類方法,從局部上看每類又需兩步完成,所以,第一類, m1=1×2=2條第二類,m2=1×2=2條第三類, m3=1×2=2條word文檔精品文檔分享所以,根據(jù)加法原理,從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)C1最近路線共有N=2+2+2=6條練習(xí):(1〕一件工作可以用2種方法完成，有5人只會(huì)用第1種方法完成，另有4人只會(huì)用第2種方法完成，從中選出l人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是＿;(2〕從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B的路線有＿條．1．1分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理〔第二課時(shí)〕2分步乘法計(jì)數(shù)原理〔1〕提出問題問題2.1：用前6個(gè)大寫英文字母和1—9九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1,A2,?，B1,B2,?的方式給教室里的座位編號(hào)，總共能編出多少個(gè)不同的？用列舉法可以列出所有可能的：我們還可以這樣來思考：由于前6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與9個(gè)數(shù)字中的任何一個(gè)組成一個(gè)，而且它們各不一樣，因此共有6×9=54個(gè)不同的．〔2〕發(fā)現(xiàn)新知1類方案中有m種不同的方法，在第2類分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有Nmn種不同的方法.〔3〕知識(shí)應(yīng)用例1.設(shè)某班有男生30名，女生24名.現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級(jí)參加比賽，共有多少種不同的選法？分析：選出一組參賽代表，可以分兩個(gè)步驟．第l步選男生．第2步選女生．解：第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選擇；第2步，從24名女生中選出1人，有24種不同選擇．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有30×24=720種不同的選法．一般歸納：完成一件事情，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法??做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法.理解分步乘法計(jì)數(shù)原理：分步計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步〞問題，完成一件事要分為假設(shè)干步，各個(gè)步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成后，才算完成這件事.3．理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理異同點(diǎn)①一樣點(diǎn)：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題②不同點(diǎn)：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類〞問題，完成一件事要分為假設(shè)干類，各類的方法相互獨(dú)立，各類中的各種方法也相對(duì)獨(dú)立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事，是獨(dú)立完成；而分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步〞問題，完成一件事要分為假設(shè)干步，各個(gè)步驟相互依存，完成任何其中的word文檔精品文檔分享一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成.word文檔精品文檔分享例2.如圖,要給地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別涂上 3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用屢次,word文檔精品文檔分享但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？word文檔精品文檔分享解:按地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域依次分四步完成,第一步,m1=3種,第二步,m2=2種,第三步,m3=1種,第四步,m4=1種,所以根據(jù)乘法原理,得到不同的涂色方案種數(shù)共有N=3×2×1×1=6第三課時(shí)綜合應(yīng)用例1.書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第 3層放2本不同的體育書.①從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？②從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？③從書架上任取兩本不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？【分析】①要完成的事是“取一本書〞，由于不管取書架的哪一層的書都可以完成了這件事，因此是分類問題，應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理.②要完成的事是“從書架的第1、2、3層中各取一本書〞，由于取一層中的一本書都只完成了這件事的一局部，只有第1、2、3層都取后，才能完成這件事，因此是分步問題，應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理.③要完成的事是“取2本不同學(xué)科的書〞，先要考慮的是取哪兩個(gè)學(xué)科的書，如取計(jì)算機(jī)和文藝書各1本，再要考慮取1本計(jì)算機(jī)書或取 1本文藝書都只完成了這件事的一局部，應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理，上述每一種選法都完成后，這件事才能完成，因此這些選法的種數(shù)之間還應(yīng)運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理.解：(1)從書架上任取 1本書，有 3類方法：第 1類方法是從第 1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2類方法是從第 2層取1本文藝書，有 3種方法；第3類方法是從第 3層取1本體育書，有 2種方法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是word文檔精品文檔分享N m1m2m3=4+3+2=9;word文檔精品文檔分享(2機(jī)書，有〕從書架的第4種方法；第1,2,3層各取 1本書，可以分成2步從第 2層取1本文藝書，有3個(gè)步驟完成：第 1步從第 1層取 1本計(jì)算3種方法；第3步從第3層取1本體育書，word文檔精品文檔分享有2種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是m1m2m3=4×3×2=24.〔3〕N4 3 4 2 3 226。例2.要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出 2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？解：從 3幅畫中選出 2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成：第1步，從 3幅畫中1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是N=3×2=6.種掛法可以表示如下：word文檔精品文檔分享分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，答復(fù)的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問題．區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類〞問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事，分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步〞問題，各個(gè)步驟中的方法互相依存，只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事．例3.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長(zhǎng)，汽車牌照需交通管理部門出臺(tái)了一種汽車牌照組成方法，每一個(gè)汽車牌照都必須有3個(gè)不重復(fù)的英文字母和3個(gè)不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且3個(gè)字母必須合成一組出現(xiàn)，3個(gè)數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)．那么這種方法共能給多少輛汽車上牌照？分析：按照新規(guī)定，牌照可以分為2類，即字母組合在左和字母組合在右．確定一個(gè)牌照的字母和數(shù)字可以分6個(gè)步驟．解：將汽車牌照分為2類，一類的字母組合在左，另一類的字母組合在右．字母組合在左時(shí)，分6個(gè)步驟確定一個(gè)牌照的字母和數(shù)字：第1步，從26個(gè)字母中選 1個(gè)，放在首位，有26種選法；2步，從剩下的25個(gè)字母中選1個(gè)，放在第2位，有25種選法；3步，從剩下的24個(gè)字母中選1個(gè)，放在第3位，有24種選法；4步，從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，放在第4位，有10種選法；第5步，從剩下的 9個(gè)數(shù)字中選 1個(gè)，放在第5位，有9種選法；第6步，從剩下的 8個(gè)字母中選 1個(gè)，放在第6位，有8種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，字母組合在左的牌照共有26×25×24×10×9×8=11232000〔個(gè)〕.同理，字母組合在右的牌照也有11232000個(gè)．所以，共能給11232000+11232000=22464000〔個(gè)〕.輛汽車上牌照．用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，最重要的是在開場(chǎng)計(jì)算之前要進(jìn)展仔細(xì)分析―需要分類還是需要分步．分類要做到“不重不漏〞．分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)展計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)．分步要做到“步驟完整〞―完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨(dú)立．分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．練習(xí)word文檔精品文檔分享1．乘積〔a1a2a3)(b1b2b3)(c1c2c3c4c5)展開后共有多少項(xiàng)？word文檔精品文檔分享2．某局管轄X圍內(nèi)的由八位數(shù)字組成，其中前四位的數(shù)字是不變的，后四位數(shù)字都是。到9之間的一個(gè)數(shù)字，那么這個(gè)局不同的最多有多少個(gè)？3．從5名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各1名，有多少種不同的選法？4．某商場(chǎng)有 6個(gè)門，如果某人從其中的任意一個(gè)門進(jìn)人商場(chǎng)，并且要求從其他的門出去，共有多少種不同的進(jìn)出商場(chǎng)的方式？word文檔精品文檔分享第四課時(shí)例1.給程序模塊命名，需要用3個(gè)字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z,后兩個(gè)要求用數(shù)字1～9．問最多可以給多少個(gè)程序命名？分析：要給一個(gè)程序模塊命名，可以分三個(gè)步驟：第1步，選首字符；第2步，選中間字符；第步，選最后一個(gè)字符．而首字符又可以分為兩類．解：先計(jì)算首字符的選法．由分類加法計(jì)數(shù)原理，首字符共有7+6=13種選法．再計(jì)算可能的不同程序名稱．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，最多可以有13×9×9==10533word文檔精品文檔分享個(gè)不同的名稱，即最多可以給1053個(gè)程序命名．例2.核糖核酸〔RNA〕分子是在生物細(xì)胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分一個(gè)RNA分子是一個(gè)有著數(shù)百個(gè)甚至數(shù)千個(gè)位置的長(zhǎng)鏈，長(zhǎng)鏈中每一個(gè)位置上都由一種稱為堿基的化學(xué)成分所占據(jù)．總共有4種不同的堿基，分別用A,C,G,U表示．在一個(gè) RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個(gè)位置上的堿基與其他位置上的堿基無關(guān)．假設(shè)有一類RNA分子由100個(gè)堿基組成，那么能有多少種不同的RNA分子？word文檔精品文檔分享分析：用圖1.1一2來表示由100個(gè)堿基組成的長(zhǎng)鏈，這時(shí)我們共有100個(gè)位置，每個(gè)位置都可以word文檔精品文檔分享從A,C,G,U中任選一個(gè)來占據(jù)．word文檔精品文檔分享解：100個(gè)堿基組成的長(zhǎng)鏈共有100個(gè)位置，如圖 1.1一2所示．從左到右依次在每一個(gè)位置中，從A,C,G,U中任選一個(gè)填人，每個(gè)位置有4種填充方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，長(zhǎng)度為100的所有可能的不同RNA分子數(shù)目有word文檔精品文檔分享4444100〔個(gè)〕1003.電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)．因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有O或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制．為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)展編碼，每個(gè)字符可以用一個(gè)或多個(gè)字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由8個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成．問：(1〕一個(gè)字節(jié)〔 8位〕最多可以表示多少個(gè)不同的字符？(2〕計(jì)算機(jī)漢字國標(biāo)碼〔 GB碼〕包含了 6763個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對(duì)這些漢字進(jìn)展編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示？分析：由于每個(gè)字節(jié)有8個(gè)二進(jìn)制位，每一位上的值都有0,1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解此題．解：(1〕用圖1.1一3來表示一個(gè)字節(jié)．圖1.1一3一個(gè)字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一個(gè)字節(jié)最多可以表示2×2×28( 2〕由〔1〕知，用一個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個(gè)，我們就考慮用 2個(gè)字節(jié)能夠表示多少個(gè)字符．前一個(gè)字節(jié)有256種不同的表示方法，后一個(gè)字節(jié)也有256種表示方法．根據(jù)分步乘法word文檔精品文檔分享計(jì)數(shù)原理，2個(gè)字節(jié)可以表示256×256=65536個(gè)不同的字符，這已經(jīng)大于漢字國標(biāo)碼包含的漢字個(gè)數(shù)2個(gè)字節(jié)表示．6763．所以要表示這些漢字，每個(gè)漢字至少要用word文檔精品文檔分享例4.計(jì)算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對(duì)程序進(jìn)展測(cè)試．程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑〔即程序從開場(chǎng)到完畢的路線〕，以便知道需要提供多少個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)．一般地，一個(gè)程序模塊由許多子模塊組成．如圖1.1一4，它是一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊．問：這個(gè)程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？另外，為了減少測(cè)試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測(cè)試次數(shù)你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試方法，以減少測(cè)試次數(shù)嗎？圖1.1一4分析：整個(gè)模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開場(chǎng)執(zhí)行到A點(diǎn)；第2步是從A點(diǎn)執(zhí)行到完畢．而第1步可由子模塊1或子模塊2或子模塊3來完成；第2步可由子模塊4或子模塊來完成．因此，分析一條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理．解：由分類加法計(jì)數(shù)原理，子模塊1或子模塊2或子模塊3中的子路徑共有18+45+28=91〔條〕;子模塊4或子模塊5中的子路徑共有38+43=81〔條〕.又由分步乘法計(jì)數(shù)原理，整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑共有91×81=7371〔條〕.在實(shí)際測(cè)試中，程序員總是把每一個(gè)子模塊看成一個(gè)黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測(cè)試整個(gè)模塊．這樣，他可以先分別單獨(dú)測(cè)試5個(gè)模塊，以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常．總共需要的測(cè)試次數(shù)為18+45+28+38+43=172.再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，只需要測(cè)試程序第1步中的各個(gè)子模塊和第2步中的各個(gè)子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測(cè)試次數(shù)為3×2=6.如果每個(gè)子模塊都工作正常，并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常，那么整個(gè)程序模塊就工作正常．這樣，測(cè)試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)?72+6=178〔次〕.顯然，178與7371的差距是非常大的．穩(wěn)固練習(xí)：1.如圖,從甲地到乙地有 2條路可通,從乙地到丙地有 3條路可通;從甲地到丁地有 4條路可通,從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英語書．1〕假設(shè)從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？2〕假設(shè)從這些書中，取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？word文檔精品文檔分享〔3〕假設(shè)從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？3.如圖一,要給①,②,③,④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種,允許同一種顏色使用屢次,但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,那么不同涂色方法種數(shù)為()A.180B.160C.96D.60②①①④④③③④①②②圖一圖二圖三假設(shè)變?yōu)閳D二,圖三呢?五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多少？又他們爭(zhēng)奪這四項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？word文檔精品文檔分享6．〔2007年XX卷〕假設(shè)三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線互相平行，那么這三個(gè)平面把空間分成〔A．5局部B.6局部C.7局部D.8局部C〕word文檔精品文檔分享教學(xué)反思：課堂小結(jié)1．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是排列組合問題的最根本的原理，是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論依據(jù)，也是求解排列、組合問題的根本思想.2．理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，并加區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類〞問題，其中各種方法相對(duì)獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；而分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步〞問題，各個(gè)步驟中的方法相互依存，只有各個(gè)步驟都完成后才算做完這件事.3．運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的注意點(diǎn)：分類加法計(jì)數(shù)原理：首先確定分類標(biāo)準(zhǔn)，其次滿足：完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，并且分別word文檔精品文檔分享屬于不同的兩類的方法都是不同的方法，即"不重不漏".分步乘法計(jì)數(shù)原理：首先確定分步標(biāo)準(zhǔn)，其次滿足：必須并且只需連續(xù)完成這n個(gè)步驟，這件事才算word文檔精品文檔分享完成.分配問題把一些元素分給另一些元素來承受．這是排列組合應(yīng)用問題中難度較大的一類問題．因?yàn)檫@涉及到兩類元素：被分配元素和承受單位．而我們所學(xué)的排列組合是對(duì)一類元素做排列或進(jìn)展組合的，于是遇到這類問題便手足無措了．事實(shí)上，任何排列問題都可以看作面對(duì)兩類元素．例如，把10個(gè)全排列，可以理解為在10個(gè)人旁邊，有序號(hào)為1，2，??，10的10把椅子，每把椅子坐一個(gè)人，那么有多少種坐法？這樣就出現(xiàn)了兩類元素，一類是人，一類是椅子。于是對(duì)眼花繚亂的常見分配問題，可歸結(jié)為以下小的“方法構(gòu)造〞：m，這里nm.其中m是“承受單位〞的①.每個(gè)“承受單位〞至多承受一個(gè)被分配元素的問題方法是An個(gè)數(shù)。至于誰是“承受單位〞，不要管它在生活中原來的意義，只要nm.個(gè)數(shù)為m的一個(gè)元素就是“接少受單位〞，于是，方法還可以簡(jiǎn)化為A多.這里的“多〞只要“少〞.②.被分配元素和承受單位的每個(gè)成員都有“歸宿〞,并且不限制一對(duì)一的分配問題，方法是分組問題的計(jì)k算公式乘以Ak.word文檔精品文檔分享1．2．1排列第一課時(shí)一、復(fù)習(xí)引入：1分類加法計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類方法，在第一類方法中有m1種不同的方法，在第二類方法中有m2種不同的方法，??，在第n類方法中有mn種不同的方法那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法2.分步乘法計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，??，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有Nm1m2mn種不同的方法分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,答復(fù)的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題,區(qū)別在于:分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類〞問題,其中各種方法相互獨(dú)立,每一種方法只屬于某一類,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步〞問題,各個(gè)步驟中的方法相互依存,某一步驟中的每一種方法都只能做完這件事的一個(gè)步驟,只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事應(yīng)用兩種原理解題:1.分清要完成的事情是什么；2.是分類完成還是分步完成,“類〞間互相獨(dú)立，“步〞間互相聯(lián)系；3.有無特殊條件的限制二、講解新課：1問題：?jiǎn)栴}1．從甲、乙、丙3名同學(xué)中選取2名同學(xué)參加某一天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中一名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，一名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的方法？分析：這個(gè)問題就是從甲、乙、丙3名同學(xué)中每次選取2名同學(xué)，按照參加上午的活動(dòng)在前，參加下午活動(dòng)在后的順序排列，一共有多少種不同的排法的問題，共有6種不同的排法：甲乙甲丙乙甲乙丙甲丙乙，其中被取的對(duì)象叫做元素解決這一問題可分兩個(gè)步驟：第1步，確定參加上午活動(dòng)的同學(xué)，從3人中任選1人，有3種方法；第2步，確定參加下午活動(dòng)的同學(xué)，當(dāng)參加上午活動(dòng)的同學(xué)確定后，參加下午活動(dòng)的同學(xué)只能從余下的2人中去選，于是有2種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，在3名同學(xué)中選出2名，按照參加上午活動(dòng)在前，參加下午活動(dòng)在后的順序排列的不同方法共有3×2=6種，如圖 1.2一1所示．把上面問題中被取的對(duì)象叫做元素，于是問題可表達(dá)為：從3個(gè)不同的元素 a,b，。中任取2個(gè)，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？所有不同的排列是ab,ac,ba,bc,ca,cb,共有3×2=6種．問題2．從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？分析：解決這個(gè)問題分三個(gè)步驟：第一步先確定左邊的數(shù)，在4個(gè)字母中任取 1個(gè)，有4種方法；第二步確定中間的數(shù)，從余下的3個(gè)數(shù)中取，有 3種方法；第三步確定右邊的數(shù)，從余下的2個(gè)數(shù)中取，有2種方法word文檔精品文檔分享由分步計(jì)數(shù)原理共有：4×3×2=24種不同的方法，用樹型圖排出，并寫出所有的排列由此可寫出所有的排法顯然，從4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)，按“百〞“十〞“個(gè)〞位的順序排成一列，就得到一個(gè)三位數(shù)．因此有多少種不同的排列方法就有多少個(gè)不同的三位數(shù)．可以分三個(gè)步驟來解決這個(gè)問題：第1步，確定百位上的數(shù)字，在1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)，有4種方法；2步，確定十位上的數(shù)字，當(dāng)百位上的數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字只能從余下的3個(gè)數(shù)字中去取，3種方法；第3步，確定個(gè)位上的數(shù)字，當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后，個(gè)位的數(shù)字只能從余下的2個(gè)數(shù)字中去取，有 2種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從1,2,3,4這4個(gè)不同的數(shù)字中，每次取出3個(gè)數(shù)字，按“百〞“十〞“個(gè)〞位的順序排成一列，共有4×3×2=24種不同的排法，因而共可得到 24個(gè)不同的三位數(shù)，如圖1.2一2所示．由此可寫出所有的三位數(shù)：123，124,132,134,142,143，213，214,231,234,241,243，312，314,321,324,341,342，412，413,421,423,431,432。同樣，問題2可以歸結(jié)為：4個(gè)不同的元素a,b,c，d中任取3個(gè)，然后按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？所有不同排列是abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.共有4×3×2=24種.樹形圖如下word文檔精品文檔分享abｃｄｂｃｄａｃｄａｂｄａｂｃ2．排列的概念：從n個(gè)不同元素中，任取m〔mn〕個(gè)元素〔這里的被取元素各不一樣〕叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．．．．說明：〔1〕排列的定義包括兩個(gè)方面：①取出元素，②按一定的順序排列；〔2〕兩個(gè)排列一樣的條件：①元素完全一樣，②元素的排列順序也一樣3．排列數(shù)的定義：按照一定的順序排成一列，．．．．．word文檔精品文檔分享從n個(gè)不同元素中，任取m〔mn〕個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號(hào)Anm表示注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個(gè)排列〞是指：從n個(gè)不同元素中，任取m個(gè)元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)〞是指從n個(gè)不同元素中，任取m〔mn〕個(gè)元素的所有排．．．．．word文檔精品文檔分享列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù)所以符號(hào)Anm只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列4．排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：word文檔精品文檔分享由An2的意義：假定有排好順序的2個(gè)空位，從n個(gè)元素a1,a2,an中任取2個(gè)元素去填空，一個(gè)空word文檔精品文檔分享位填一個(gè)元素，每一種填法就得到一個(gè)排列，反過來，任一個(gè)排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，word文檔精品文檔分享所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)An2．由分步計(jì)數(shù)原理完成上述填空共有n(n1)種填法，∴word文檔精品文檔分享An2=n(n1)word文檔精品文檔分享由此，求An3可以按依次填3個(gè)空位來考慮，∴An3=n(n1)(n2)，word文檔精品文檔分享求Anm以按依次填m個(gè)空位來考慮Anmn(n1)(n2)(nm1)，word文檔精品文檔分享排列數(shù)公式：word文檔精品文檔分享Anmn(n1)(n2)(nm1)word文檔精品文檔分享m,nN,mn〕說明：〔1〕公式特征：第一個(gè)因數(shù)是n，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)1，最后一個(gè)因數(shù)是nm1，共有m個(gè)因數(shù)；2〕全排列：當(dāng)nm時(shí)即n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列全排列數(shù)：Annn(n1)(n2)21n!〔叫做n的階乘〕另外，我們規(guī)定0!=1.例1．用計(jì)算器計(jì)算：(1〕A104；(2〕A185;(3〕A1818A1313.解：用計(jì)算器可得：由〔2)(3〕我們看到，A185A1818A1313．那么，這個(gè)結(jié)果有沒有一般性呢？即AnmAnn(nn!.Annmmm)!排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式：Anmn(n1)(n2)(nm1)n(n1)(n2)(nm1)(nm)321n!Ann(nm)(nm1)321=nm.(nm)!Anm即Anm=(nn!m)!word文檔精品文檔分享例2．解方程：3Ax32Ax216Ax2．解：由排列數(shù)公式得：3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)，∵x3，∴3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，即3x217x100，解得x5或x2，∵x3，且xN，∴原方程的解為x5．3例3．解不等式：A9x6A9x2．解：原不等式即9!69!，(9x)!(11x)!也就是(91(11x)6x)(9x)!，化簡(jiǎn)得：x221x1040，x)!(10解得x8或x13，又∵2x9，且xN，所以，原不等式的解集為2,3,4,5,6,7．例4．求證：〔1〕AnnAnmAnnmm；〔2〕(2n)!135(2n1)．2nn!證明：〔1〕AnmAnnmm(nn!(nm)!n!Ann，∴原式成立m)!〔2〕(2n)!2n(2n1)(2n2)43212nn!2nn!2nn(n1)21(2n1)(2n3)312nn!n!13(2n3)(2n1)135(2n1)右邊n!∴原式成立說明：〔1〕解含排列數(shù)的方程和不等式時(shí)要注意排列數(shù)Anm中，m,nN且mn這些限制條件，要注意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值X圍；〔2〕公式Anmn(n1)(n2)(nm1)常用來求值，特別是m,n均為時(shí)，公式Anm=n!，(nm)!常用來證明或化簡(jiǎn)例5．化簡(jiǎn)：⑴123n1；⑵11!22!33!nn!2!3!4!n!⑴解：原式111111111!2!3!3!4!(n1)!n!12!n!word文檔精品文檔分享⑵提示：由n 1! n 1n! n n!n!，得n n! n 1!n!，word文檔精品文檔分享原式n1!1說明：n111．n!(n1)!n!第二課時(shí)例1．(課本例2)．某年全國足球甲級(jí)〔A組〕聯(lián)賽共有14個(gè)隊(duì)參加，每隊(duì)要與其余各隊(duì)在主、客場(chǎng)分別比賽一次，共進(jìn)展多少場(chǎng)比賽？解：任意兩隊(duì)間進(jìn)展1次主場(chǎng)比賽與1次客場(chǎng)比賽，對(duì)應(yīng)于從14個(gè)元素中任取2個(gè)元素的一個(gè)排列．因此，比賽的總場(chǎng)次是A142=14×13=182.例2．(課本例3)．(1〕從5本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？(2〕從5種不同的書中買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？解：(1〕從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，對(duì)應(yīng)于從5個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是A53=5×4×3=60.(2〕由于有5種不同的書，送給每個(gè)同學(xué)的1本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學(xué)每人各1本書的不同方法種數(shù)是5×5×5=125.例8中兩個(gè)問題的區(qū)別在于：(1〕是從5本不同的書中選出3本分送3名同學(xué)，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；而〔2〕中，由于不同的人得到的書可能一樣，因此不符合使用排列數(shù)公式的條件，只能用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)展計(jì)算．3．(課本例4)．用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析：在本問題的。到9這10個(gè)數(shù)字中，因?yàn)?。不能排在百位上，而其他?shù)可以排在任意位置上，因此。是一個(gè)特殊的元素．一般的，我們可以從特殊元素的排列位置人手來考慮問題解法1：由于在沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，百位上的數(shù)字不能是O，因此可以分兩步完成排列．第1步，排百位上的數(shù)字，可以從1到9這九個(gè)數(shù)字中任選 1個(gè)，有A19種選法；第2步，排十位和個(gè)位上的數(shù)字，可以從余下的 9個(gè)數(shù)字中任選 2個(gè)，有A92種選法〔圖1.2一5)．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，所求的三位數(shù)有A91A92=9×9×8=648〔個(gè)〕.解法2：如圖1.2一6所示，符合條件的三位數(shù)可分成3類．每一位數(shù)字都不是位數(shù)有A母?jìng)€(gè)，個(gè)位數(shù)字是O的三位數(shù)有揭個(gè)，十位數(shù)字是0的三位數(shù)有揭個(gè)．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)有A93 A92A92=648個(gè)．word文檔精品文檔分享解法3：從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為A103，其中O在百位上的排列數(shù)是A92，word文檔精品文檔分享它們的差就是用這10個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，即所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是A103-A92=10×9×8-9×8=648.對(duì)于例9這類計(jì)數(shù)問題，可用適當(dāng)?shù)姆椒▽栴}分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解題方法．解法1根據(jù)百位數(shù)字不能是。的要求，分步完成選3個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)這件事，依據(jù)的是分步乘法計(jì)數(shù)原理；解法2以O(shè)是否出現(xiàn)以及出現(xiàn)的位置為標(biāo)準(zhǔn)，分類完成這件事情，依據(jù)的是分類加法計(jì)數(shù)原理；解法3是一種逆向思考方法：先求出從10個(gè)不同數(shù)字中選3個(gè)不重復(fù)數(shù)字的排列數(shù)，然后從中減去百位是。的排列數(shù)〔即不是三位數(shù)的個(gè)數(shù)〕，就得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)．從上述問題的解答過程可以看到，引進(jìn)排列的概念，以及推導(dǎo)求排列數(shù)的公式，可以更加簡(jiǎn)便、快捷地求解“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n〕個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)〞這類特殊的計(jì)數(shù)問題．1.1節(jié)中的例9是否也是這類計(jì)數(shù)問題？你能用排列的知識(shí)解決它嗎？四、課堂練習(xí)：1．假設(shè)xn!，那么x〔〕(A)An3(B)Ann3(C)A3n(D)An333!2．與A103A77不等的是〔〕(A)A109(B)81A88(C)10A99(D)A10103．假設(shè)53(A)5(B)3(C)6(D)7mmA2A，那么m的值為〔〕4．計(jì)算：2A953A96；(m1)!．9!A106Amn11(mn)!5．假設(shè)2(m1)!42，那么m的解集是．Amm116．〔1〕A10m1095，那么m；〔2〕9!362880，那么A97=；〔3〕An256，那么n；〔4〕An27An24，那么n．7．一個(gè)火車站有8股岔道，停放4列不同的火車，有多少種不同的停放方法〔假定每股岔道只能停放1列火車〕？8．一部紀(jì)錄影片在4個(gè)單位輪映，每一單位放映1場(chǎng)，有多少種輪映次序？答案：1.B2.B3.A4.1,15.2,3,4,5,66.(1)6(2)181440(3)8(4)57.16808.24教學(xué)反思：排列的特征：一個(gè)是“取出元素〞；二是“按照一定順序排列〞,“一定順序〞就是與位置有關(guān)，這也是判斷一個(gè)問題是不是排列問題的重要標(biāo)志。根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列一樣，且僅當(dāng)兩個(gè)排列的元素完全一樣，而且元素的排列順序也一樣.了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法，從中體會(huì)“化歸〞的數(shù)學(xué)思想，并能運(yùn)用排列數(shù)公式進(jìn)展計(jì)算。對(duì)于較復(fù)雜的問題，一般都有兩個(gè)方向的列式途徑，一個(gè)是“正面湊〞，一個(gè)是“反過來剔〞．前者指，按照要求，一點(diǎn)點(diǎn)選出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，選出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法，從中體會(huì)“化歸〞的數(shù)學(xué)思想，并能運(yùn)用排列數(shù)公式進(jìn)展計(jì)算。word文檔精品文檔分享第三課時(shí)例1．〔1〕有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？〔2〕有5種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？解：〔1〕從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，對(duì)應(yīng)于從5個(gè)元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是：A5354360，所以，共有60種不同的送法〔2〕由于有5種不同的書，送給每個(gè)同學(xué)的1本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學(xué)，每人各1本書的不同方法種數(shù)是：555125，所以，共有125種不同的送法說明：此題兩小題的區(qū)別在于：第〔1〕小題是從5本不同的書中選出3本分送給3位同學(xué)，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；而第〔2〕小題中，給每人的書均可以從5種不同的書中任選1種，各人得到那種書相互之間沒有聯(lián)系，要用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)展計(jì)算例2．某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號(hào)，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號(hào)，一共可以表示多少種不同的信號(hào)？解：分3類：第一類用1面旗表示的信號(hào)有A31種；第二類用2面旗表示的信號(hào)有A32種；第三類用3面旗表示的信號(hào)有A33種，由分類計(jì)數(shù)原理，所求的信號(hào)種數(shù)是：A31A32A3333232115，例3．將4位司機(jī)、4位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，每一輛汽車分別有一位司機(jī)和一位售票員，共有多少種不同的分配方案？分析：解決這個(gè)問題可以分為兩步，第一步：把4位司機(jī)分配到四輛不同班次的公共汽車上，即從4個(gè)不同元素中取出4個(gè)元素排成一列，有A44種方法；第二步：把4位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，也有A44種方法，利用分步計(jì)數(shù)原理即得分配方案的種數(shù)解：由分步計(jì)數(shù)原理，分配方案共有NA44A44576〔種〕例4．用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解法1：用分步計(jì)數(shù)原理：所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：A91A92998648解法2：符合條件的三位數(shù)可以分成三類：每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)有A93個(gè)，個(gè)位數(shù)字是0的三位數(shù)有A92個(gè)，十位數(shù)字是0的三位數(shù)有A92個(gè)，由分類計(jì)數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：A93A92A92648．解法3：從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為A103，其中以0為排頭的排列數(shù)為A92，因此符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是A103A92648-A92．說明：解決排列應(yīng)用題，常用的思考方法有直接法和間接法直接法：通過對(duì)問題進(jìn)展恰當(dāng)?shù)姆诸惡头植?，直接?jì)算符合條件的排列數(shù)如解法1，2；間接法：對(duì)于有限制條件的排列應(yīng)用題，可先不考慮限制條件，把所有情況的種數(shù)求出來，然后再減去不符合限制條件的情況種數(shù)如解法3．對(duì)于有限制條件的排列應(yīng)用題，要恰當(dāng)?shù)卮_定分類與分步的標(biāo)準(zhǔn)，防止重復(fù)與遺漏word文檔精品文檔分享第四課時(shí)例5．〔1〕7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？解：?jiǎn)栴}可以看作：7個(gè)元素的全排列A77＝5040．2〕7位同學(xué)站成兩排〔前3后4〕，共有多少種不同的排法？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：7×6×5×4×3×2×1＝7?。?040．3〕7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？解：?jiǎn)栴}可以看作：余下的6個(gè)元素的全排列——A66=720．4〕7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步甲、乙站在兩端有A22種；第二步余下的5名同學(xué)進(jìn)展全排列有A55種，所以，共有A22A55=240種排列方法〔5〕7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法1〔直接法〕：第一步從〔除去甲、乙〕其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有A52種方法；第二步從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)展排列〔全排列〕有A55種方法，所以一共有A52A55＝2400種排列方法解法2：〔排除法〕假設(shè)甲站在排頭有A66種方法；假設(shè)乙站在排尾有A66種方法；假設(shè)甲站在排頭且乙站在排尾那么有A55種方法，所以，甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有A77－2A66＋A55=2400種．說明：對(duì)于“在〞與“不在〞的問題，常常使用“直接法〞或“排除法〞，對(duì)某些特殊元素可以優(yōu)先考慮6.從10個(gè)不同的文藝節(jié)目中選6個(gè)編成一個(gè)節(jié)目單，如果某女演員的獨(dú)唱節(jié)目一定不能排在第二個(gè)節(jié)目的位置上，那么共有多少種不同的排法？解法一：〔從特殊位置考慮〕A91A95136080；解法二：〔從特殊元素考慮〕假設(shè)選：5A95；假設(shè)不選：A96，那么共有5A95A96136080種；解法三：〔間接法〕A106A95136080第五課時(shí)例7．7位同學(xué)站成一排，〔1〕甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？解：先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁〞在一起看成一個(gè)元素與其余的5個(gè)元素〔同學(xué)〕一起進(jìn)展全排列有A66種方法；再將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁〞進(jìn)展排列有A22種方法．所以這樣的排法一共有A66A221440種〔2〕甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？解：方法同上，一共有A55A33＝720種〔3〕甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？word文檔精品文檔分享解法一：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁〞在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的5個(gè)元素中選取 2個(gè)元素放在排頭和排尾，有A52種方法；將剩下的4個(gè)元素進(jìn)展全排列有A44種方法；最后將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁〞進(jìn)展排列有A22種方法．所以這樣的排法一共有A52A44A22＝960種方法解法二：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁〞在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元素，假設(shè)丙站在排頭或排尾有2A55種方法，所以，丙不能站在排頭和排尾的排法有(A662A55)A22960種方法解法三：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁〞在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的四個(gè)位置選擇共有A41種方法，再將其余的5個(gè)元素進(jìn)展全排列共有A55種方法，最后將甲、乙兩同學(xué)“松綁〞，所以，這樣的排法一共有A41A55A22＝960種方法．4〕甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)必須站在一起，另外四個(gè)人也必須站在一起解：將甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)“捆綁〞在一起看成一個(gè)元素，另外四個(gè)人“捆綁〞在一起看成一個(gè)元素，時(shí)一共有 2個(gè)元素，∴一共有排法種數(shù)：A33A44A22288〔種〕說明：對(duì)于相鄰問題，常用“捆綁法〞〔先捆后松〕．8．7位同學(xué)站成一排，1〕甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？解法一：〔排除法〕 A77 A66 A223600；解法二：〔插空法〕先將其余五個(gè)同學(xué)排好有A55種方法，此時(shí)他們留下六個(gè)位置〔就稱為“空〞吧〕，再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個(gè)位置〔空〕有A62種方法，所以一共有 A55A623600種方法．〔2〕甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？解：先將其余四個(gè)同學(xué)排好有A44種方法，此時(shí)他們留下五個(gè)“空〞，再將甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)分別插入這五個(gè)“空〞有A53種方法，所以一共有A44A53＝1440種．說明：對(duì)于不相鄰問題，常用“插空法〞〔特殊元素后考慮〕．第六課時(shí)例9．5男5女排成一排，按以下要求各有多少種排法：〔1〕男女相間；〔2〕女生按指定順序排列解：〔1〕先將男生排好，有A55種排法；再將5名女生插在男生之間的6個(gè)“空擋〞〔包括兩端〕中，有2A55種排法故此題的排法有N2A55A5528800〔種〕；〔2〕方法1：NA1010A530240；A5510word文檔精品文檔分享方法2：設(shè)想有10個(gè)位置，先將男生排在其中的任意5個(gè)位置上，有A105種排法；余下的5個(gè)位置排女生，因?yàn)榕奈恢靡呀?jīng)指定，所以她們只有一種排法故此題的結(jié)論為NA105130240〔種〕2007年高考題1．〔2007年XX卷〕如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，那么不同的涂色方法共有390種〔用數(shù)字作答〕．2．〔2007年XX卷〕某校開設(shè)9門課程供學(xué)生選修，其中A,B,C三門由于上課時(shí)間一樣，至多項(xiàng)選擇一門，學(xué)校規(guī)定每位同學(xué)選修4門，共有75種不同選修方案?！灿脭?shù)值作答〕3．〔2007年卷〕記者要為5名志愿都和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有〔Ｂ〕Ａ．1440種Ｂ．960種Ｃ．720種Ｄ．480種4．圖３是某汽車維修公司的維修點(diǎn)分布圖，公司在年初分配給Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四個(gè)維修點(diǎn)的某種配件各５０件，在使用前發(fā)現(xiàn)需將Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四個(gè)維修點(diǎn)的這批配件分別調(diào)整為４０、４５、５４、６１件，但調(diào)整只能在相鄰維修點(diǎn)之間進(jìn)展，那么完成上述調(diào)整，最少的調(diào)動(dòng)件次〔ｎ個(gè)配件從一個(gè)維修點(diǎn)調(diào)整到相鄰維修點(diǎn)的調(diào)動(dòng)件次為ｎ〕為答案：B；〔Ａ〕１５〔Ｂ〕１６〔Ｃ〕１７〔Ｄ〕１８5．〔2007年全國卷I〕從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，那么不同的選法共有36種．〔用數(shù)字作答〕6．〔2007年全國卷Ⅱ〕從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參加公益活動(dòng)，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，那么不同的選派方法共有〔B〕A．40種B．60種C．100種D．120種7.〔2007年XX卷〕安排3名支教教師去6所學(xué)校任教，每校至多2人，那么不同的分配方案共有210種.〔用數(shù)字作答〕8．〔2007年XX卷〕用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共有〔〕〔A〕288個(gè)〔B〕240個(gè)〔C〕144個(gè)〔D〕126個(gè)解析：選B．對(duì)個(gè)位是0和個(gè)位不是0兩類情形分類計(jì)數(shù)；對(duì)每一類情形按“個(gè)位－最高位－中間三位〞分步計(jì)數(shù)：①個(gè)位是0并且比20000大的五位偶數(shù)有14A4396個(gè)；②個(gè)位不是0并且比20000大的五位偶數(shù)有23A43144個(gè)；故共有96144240個(gè)．此題考察兩個(gè)根本原理，是典型的源于教材的題目．9．〔2007年XX卷〕某校要求每位學(xué)生從7門課程中選修4門，其中甲乙兩門課程不能都選，那么不同的選課方案有____25_____種.〔以數(shù)字作答〕word文檔精品文檔分享10．〔2007年XX卷〕某校安排5個(gè)班到4個(gè)工廠進(jìn)展社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)工廠，每個(gè)工廠至少安排一個(gè)班，不同的安排方法共有240種．〔用數(shù)字作答〕11．〔2007年XX卷〕將數(shù)字1，2，3，4，5，6拼成一列，記第i個(gè)數(shù)為ai(i1，2，，6)，假設(shè)a11，a33，a55，a1a3a5，那么不同的排列方法有種〔用數(shù)字作答〕．解析：分兩步：〔1〕先排a1,a3,a5，a1=2，有2種；a1=3有2種；a1=4有1種，共有5種；〔2〕再排a2,a4,a6，共有A336種，故不同的排列方法種數(shù)為5×6=30，填30．1．2．2組合第一課時(shí)一、復(fù)習(xí)引入：1分類加法計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類方法，在第一類方法中有m1種不同的方法，在第二類方法中有m2種不同的方法，??，在第n類方法中有mn種不同的方法那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法2.分步乘法計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，??，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有Nm1m2mn種不同的方法3．排列的概念：從n個(gè)不同元素中，任取m〔mn〕個(gè)元素〔這里的被取元素各不一樣〕按照一定．．的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．．．．．．．4．排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中，任取m〔mn〕個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號(hào)Anm表示5．排列數(shù)公式：Anmn(n1)(n2)(nm1)〔m,nN,mn〕6階乘：n!表示正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘規(guī)定0!．17．排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式：Anm=n!(nm)!8.提出問題：例如1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？例如2：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？引導(dǎo)觀察：例如1中不但要求選出2名同學(xué)，而且還要按照一定的順序“排列〞，而例如2只要求選出word文檔精品文檔分享2名同學(xué)，是與順序無關(guān)的引出課題：組合．．．二、講解新課：1組合的概念：一般地，從n個(gè)不同元素中取出mm n個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合說明：⑴不同元素；⑵“只取不排〞——無序性；⑶一樣組合：元素一樣1．判斷以下問題是組合還是排列1〕在、XX、XX三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線上，有多少種不同的飛機(jī)票？有多少種不同的飛機(jī)票價(jià)？2〕高中部11個(gè)班進(jìn)展籃球單循環(huán)比賽，需要進(jìn)展多少場(chǎng)比賽？3〕從全班23人中選出3人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員三個(gè)職務(wù)，有多少種不同的選法？選出三人參加某項(xiàng)勞動(dòng)，有多少種不同的選法？〔4〕10個(gè)人互相通信一次，共寫了多少封信？〔5〕10個(gè)人互通一次，共多少個(gè)？問題：〔1〕1、2、3和3、1、2是一樣的組合嗎？〔2〕什么樣的兩個(gè)組合就叫一樣的組合．組合數(shù)的概念：從n個(gè)不同元素中取出mmn個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中2取出m個(gè)元素的組合數(shù)．用符號(hào)mCn表示．．．．7例2．用計(jì)算器計(jì)算C10．例3．計(jì)算：〔1〕C74；〔2〕C107；〔1〕解：C747654＝35；4!〔2〕解法1：C10710987654＝120．7!解法2：C10710!1098＝120．7!3!3!第二課時(shí)3．組合數(shù)公式的推導(dǎo)：〔1〕從4個(gè)不同元素a,b,c,d中取出3個(gè)元素的組合數(shù)C43是多少呢？啟發(fā)：由于排列是先組合再排列，而從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)3A4可以求得，故我們．．．．．．．．．可以考察一下C43和A43的關(guān)系，如下：組合排列word文檔精品文檔分享abcabc,bac,cab,acb,bca,cbaabdabd,bad,dab,adb,bda,dbaacdacd,cad,dac,adc,cda,dcabcdbcd,cbd,dbc,bdc,cdb,dcb由此可知,每一個(gè)組合都對(duì)應(yīng)著6個(gè)不同的排列，因此，求從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)A43，可以分如下兩步：①考慮從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合，共有C43個(gè)；②對(duì)每一個(gè)組合的3個(gè)不同元素進(jìn)展全排列，各有A33種方法．由分步計(jì)數(shù)原理得：A43＝C43A33，所以，C43A43．A33〔2〕推廣：一般地，求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)Anm，可以分如下兩步：①先求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)Cnm；②求每一個(gè)組合中m個(gè)元素全排列數(shù)Amm，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得：Anm＝CnmAmm．〔3〕組合數(shù)的公式：CnmAnmn(n1)(n2)(nm1)Ammm!或Cmnn!(n,mN,且mn)m!(nm)!規(guī)定:Cn01.三、講解X例：例4．求證：Cmnm1Cnm1．nm證明：∵Cmnn!m)!m!(nm1Cnm1m1(mn!m1)!nmnm1)!(n＝m1n!m1)!(m1)!(nm)(n＝n!m!(nm)!∴Cmnm1Cnm1nm例5．設(shè)xN,求Cx1C2x3的值2x3x1word文檔精品文檔分享解：由題意可得：2x3x1，解得2x4，x12x3∵xN，∴x2或x3或x4，x2時(shí)原式值為7；當(dāng)x3時(shí)原式值為7；當(dāng)x4時(shí)原式值為11．∴所求值為4或7或11．第三課時(shí)例6．一位教練的足球隊(duì)共有17名初級(jí)學(xué)員，他們中以前沒有一人參加過比賽．按照足球比賽規(guī)那么，比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是11人．問：這位教練從這17名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場(chǎng)方案？如果在選出11名上場(chǎng)隊(duì)員時(shí)，還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？分析：對(duì)于〔1)，根據(jù)題意，17名學(xué)員沒有角色差異，地位完全一樣，因此這是一個(gè)從17個(gè)不同元素中選出11個(gè)元素的組合問題；對(duì)于〔2)，守門員的位置是特殊的，其余上場(chǎng)學(xué)員的地位沒有差異，因此這是一個(gè)分步完成的組合問題．解：(1〕由于上場(chǎng)學(xué)員沒有角色差異，所以可以形成的學(xué)員上場(chǎng)方案有C｝手＝12376〔種〕.(2〕教練員可以分兩步完成這件事情：第1步，從17名學(xué)員中選出n人組成上場(chǎng)小組，共有C1711種選法；第2步，從選出的n人中選出1名守門員，共有C111種選法．所以教練員做這件事情的方法數(shù)有C1711C111=136136〔種〕.例7．〔1〕平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？(2〕平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？解：(1〕以平面內(nèi)10個(gè)點(diǎn)中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，就是從10個(gè)不同的元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，即線段共有word文檔精品文檔分享C1021091245〔條〕.word文檔精品文檔分享(2〕由于有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)中一個(gè)是起點(diǎn)、另一個(gè)是終點(diǎn)，以平面內(nèi)10個(gè)點(diǎn)中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，即有向線段共有A10210990〔條〕.例8．在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品．從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(1〕有多少種不同的抽法？(2〕抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？(3〕抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？解：(1〕所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)，所以共有31009998〔種〕.C100123=161700(2〕從2件次品中抽出1件次品的抽法有C21種，從98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C982種，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C12C982=9506(種).word文檔精品文檔分享(3〕解法1從100件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品兩種情況．在第〔2〕小題中已求得其中1件是次品的抽法有C21C982種，因此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C21C982+C22C981=9604〔種〕.解法2抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是次品的抽法的種數(shù)，也就是從100件中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件中都是合格品的抽法的種數(shù)，即C1003C983=161700-152096=9604〔種〕.說明：“至少〞“至多〞的問題，通常用分類法或間接法求解。變式：按以下條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？〔1〕甲、乙、丙三人必須中選；〔2〕甲、乙、丙三人不能中選；〔3〕甲必須中選，乙、丙不能中選；〔4〕甲、乙、丙三人只有一人中選；〔5〕甲、乙、丙三人至多2人中選；〔6〕甲、乙、丙三人至少1人中選；例9．〔1〕6本不同的書分給甲、乙、丙3同學(xué)，每人各得2本，有多少種不同的分法？解：C62C42C2290．〔2〕從5個(gè)男生和4個(gè)女生中選出4名學(xué)生參加一次會(huì)議，要求至少有2名男生和1名女生參加，有多少種選法？解：?jiǎn)栴}可以分成2類：第一類2名男生和2名女生參加，有C52C4260中選法；第二類3名男生和1名女生參加，有C53C4140中選法依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有100種選法錯(cuò)解：C52C41C61240種選法引導(dǎo)學(xué)生用直接法檢驗(yàn)，可知重復(fù)的很多例10．4名男生和6名女生組成至少有1個(gè)男生參加的三人社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組，問組成方法共有多少種？解法一：〔直接法〕小組構(gòu)成有三種情形：3男，2男1女，1男2女，分別有C43，C42C61，C41C62，所以，一共有C43+C42C61+C41C62＝100種方法．解法二：〔間接法〕C103C63100第四課時(shí)組合數(shù)的性質(zhì)1：CnmCnnm．一般地，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后，剩下nm個(gè)元素．因?yàn)閺膎個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的每一個(gè)組合，與剩下的個(gè)元素的每一個(gè)組合一一對(duì)應(yīng)，所以從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素nm．．．．m的組合數(shù)，等于從這n個(gè)元素中取出nm個(gè)元素的組合數(shù)，即：CnmCnnm．在這里，主要表達(dá)：“取法〞與“剩法〞是“一一對(duì)應(yīng)〞的思想證明：∵Cnnmn!(nn!m)!(nm)![nm)]!m!(nword文檔精品文檔分享又Cnmn!，∴CnmCnnmm!(n m)!說明：①規(guī)定：Cn01；②等式特點(diǎn)：等式兩邊下標(biāo)同，上標(biāo)之和等于下標(biāo)；③此性質(zhì)作用：當(dāng)mn時(shí)，計(jì)算Cnm可變?yōu)橛?jì)算Cnnm，能夠使運(yùn)算簡(jiǎn)化.2例如C20022001＝C200220022001＝C20021=2002；④CnxCnyxy或xyn．2．組合數(shù)的性質(zhì)2：Cnm1＝Cnm+Cnm1．一般地，從a1,a2,,an1這n+1個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)是Cnm1，這些組合可以分為兩類：一類含有元素a1，一類不含有a1．含有a1的組合是從a2,a3,,an1這n個(gè)元素中取出m1個(gè)元素與a1組成的，共有Cnm1個(gè)；不含有a1的組合是從a2,a3,,an1這n個(gè)元素中取出m個(gè)元素組成的，共有Cnm個(gè)．根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，可以得到組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)．在這里，主要表達(dá)從特殊到一般的歸納思想，“含與不含其元素〞的分類思想．word文檔精品文檔分享證明：CnmCnm1n!n!1)]!m!(nm)!(m1)![n(m(nm1m)n!(n1)!m!(nm1)!m!(nm1)!n!(n m 1)n!mm!(n m1)!Cnm1word文檔精品文檔分享∴Cnm1＝Cnm+Cnm1．說明：①公式特征：下標(biāo)一樣而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與大的一樣的一個(gè)組合數(shù)；②此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡(jiǎn)化運(yùn)算例11．一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小不同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球，1〕從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？2〕從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？3〕從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？解：〔1〕C8356,或C83C72C73，；〔2〕C7221；〔3〕C7335．例12．〔1〕計(jì)算：C73C74C85C96；2〕求證：Cmn2＝Cmn+2Cmn1+Cmn2．解：〔1〕原式C84C85C96C95C96C106C104210；證明：〔2〕右邊(CmnCmn1)(Cmn1Cmn2)Cmn1Cmn11Cmn2左邊word文檔精品文檔分享例13．解方程：〔1〕C13x1C132x3；〔2〕解方程：Cxx22Cxx231Ax33．10解：〔1〕由原方程得x12x3或x12x313，∴x4或x5，1x113又由12x313得2x8且xN，∴原方程的解為x4或x5xN上述求解過程中的不等式組可以不解,直接把x4和x5代入檢驗(yàn),這樣運(yùn)算量小得多.〔2〕原方程可化為Cxx321Ax33，即Cx531Ax33，∴(x3)!(x3)!，10105!(x2)!10x!∴11，2)!10x(x1)(x120(x2)!∴x2x120，解得x4或x3，經(jīng)檢驗(yàn)：x4是原方程的解第五課時(shí)例14．證明：CmnCnpCmpCmnpp。證明：原式左端可看成一個(gè)班有m個(gè)同學(xué)，從中選出n個(gè)同學(xué)組成興趣小組，在選出的n個(gè)同學(xué)中，p個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組，余下的np個(gè)同學(xué)參加物理興趣小組的選法數(shù)。原式右端可看成直接在m個(gè)同學(xué)中選出p個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組，在余下的mp個(gè)同學(xué)中選出np個(gè)同學(xué)參加物理興趣小組的選法數(shù)。顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。例15．證明：Cn0CmmCn1Cmm1?CnmCm0Cmmn〔其中nm〕。證明：設(shè)某班有n個(gè)男同學(xué)、m個(gè)女同學(xué)，從中選出m個(gè)同學(xué)組成興趣小組，可分為m1類：男同學(xué)0個(gè)，1個(gè)，?，m個(gè)，那么女同學(xué)分別為m個(gè)，m1個(gè)，?，0個(gè)，共有選法數(shù)為Cn0CmmCn1Cmm1?CnmCm0。又由組合定義知選法數(shù)為Cmmn，故等式成立。例16．證明：Cn12Cn23Cn3?nCnnn2n1。證明：左邊=Cn12Cn23Cn3?nCnn=C11Cn1C21Cn2C31Cn3?Cn1Cnn，其中Ci1Cni可表示先在n個(gè)元素里選i個(gè)，再從i個(gè)元素里選一個(gè)的組合數(shù)。設(shè)某班有n個(gè)同學(xué)，選出假設(shè)干人〔至少1人〕組成興趣小組，并指定一人為組長(zhǎng)。把這種選法按取到的人數(shù)i分類〔i1，2，?，n〕，那么選法總數(shù)即為原式左邊。現(xiàn)換一種選法，先選組長(zhǎng)，有n種選法，再?zèng)Q定剩下的n1人是否參加，每人都有兩種可能，所以組員的選法有2n1種，所以選法總數(shù)為n2n1種。顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。例17．證明：Cn122Cn232Cn3?n2Cnnn(n1)2n2。證明：由于i2CniCi1Ci1Cni可表示先在n個(gè)元素里選i個(gè)，再從i個(gè)元素里選兩個(gè)〔可重復(fù)〕的組合word文檔精品文檔分享數(shù)，所以原式左端可看成在例3指定一人為組長(zhǎng)根底上，再指定一人為副組長(zhǎng)〔可兼職〕的組合數(shù)。對(duì)原式右端我們可分為組長(zhǎng)和副組長(zhǎng)是否是同一個(gè)人兩種情況。假設(shè)組長(zhǎng)和副組長(zhǎng)是同一個(gè)人，那么有n2n1種選法；假設(shè)組長(zhǎng)和副組長(zhǎng)不是同一個(gè)人，那么有n(n1)2n2種選法。∴共有n2n1+n(n1)2n2n(n1)2n2種選法。顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。例18．第17屆世界杯足球賽于2002年夏季在韓國、日本舉辦、五大洲共有32支球隊(duì)有幸參加，他們先分成8個(gè)小組循環(huán)賽，決出16強(qiáng)〔每隊(duì)均與本組其他隊(duì)賽一場(chǎng)，各組一、二名晉級(jí)16強(qiáng)〕，這支球隊(duì)按確定的程序進(jìn)展淘汰賽，最后決出冠亞軍，此外還要決出第三、四名，問這次世界杯總共將進(jìn)展多少場(chǎng)比賽？答案是：8C42842264，這題如果作為習(xí)題課應(yīng)如何分析解：可分為如下幾類比賽：⑴小組循環(huán)賽：每組有6場(chǎng)，8個(gè)小組共有48場(chǎng)；⑵八分之一淘汰賽：8個(gè)小組的第一、二名組成16強(qiáng)，根據(jù)抽簽規(guī)那么，每?jī)蓚€(gè)隊(duì)比賽一場(chǎng)，可以決出8強(qiáng)，共有8場(chǎng)；⑶四分之一淘汰賽：根據(jù)抽簽規(guī)那么，8強(qiáng)中每?jī)蓚€(gè)隊(duì)比賽一場(chǎng)，可以決出4強(qiáng)，共有4場(chǎng)；⑷半決賽：根據(jù)抽簽規(guī)那么，4強(qiáng)中每?jī)蓚€(gè)隊(duì)比賽一場(chǎng)，可以決出2強(qiáng)，共有2場(chǎng)；⑸決賽：2強(qiáng)比賽1場(chǎng)確定冠亞軍，4強(qiáng)中的另兩隊(duì)比賽1場(chǎng)決出第三、四名共有2場(chǎng).綜上，共有82842264場(chǎng)C4四、課堂練習(xí)：．判斷以下問題哪個(gè)是排列問題，哪個(gè)是組合問題：1〕從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)安排游覽，有多少種不同的方法？2〕從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)，并確定這2個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序，有多少種不同的方法？2．7名同學(xué)進(jìn)展乒乓球擂臺(tái)賽，決出新的擂主，那么共需進(jìn)展的比賽場(chǎng)數(shù)為〔〕A．42B．21C．7D．63．如果把兩條異面直線看作“一對(duì)〞，那么在五棱錐的棱所在的直線中，異面直線有〔〕A．15B．25對(duì)C．30對(duì)D．20對(duì)對(duì)4．設(shè)全集Ua,b,c,d，集合A、B是U的子集，假設(shè)A有3個(gè)元素，B有2個(gè)元素，且ABa，求集合A、B，那么此題的解的個(gè)數(shù)為〔〕A．42B．21C．7D．35．從6位候選人中選出2人分別擔(dān)任班長(zhǎng)和團(tuán)支部書記，有種不同的選法6．從6位同學(xué)中選出2人去參加座談會(huì)，有種不同的選法7．圓上有10個(gè)點(diǎn)：〔1〕過每2個(gè)點(diǎn)畫一條弦，一共可畫條弦；〔2〕過每3個(gè)點(diǎn)畫一個(gè)圓內(nèi)接三角形，一共可畫個(gè)圓內(nèi)接三角形8．〔1〕凸五邊形有條對(duì)角線；〔2〕凸n五邊形有條對(duì)角線9．計(jì)算：〔1〕C153；〔2〕C63C84．10．A,B,C,D,E5個(gè)足球隊(duì)進(jìn)展單循環(huán)比賽，〔〕共需比賽多少場(chǎng)？〔〕假設(shè)各隊(duì)的得分互不一樣，那么冠、12亞軍的可能情況共有多少種？11．空間有10個(gè)點(diǎn)，其中任何4點(diǎn)不共面，〔1〕過每3個(gè)點(diǎn)作一個(gè)平面，一共可作多少個(gè)平面？〔2〕以每4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個(gè)四面體，一共可作多少個(gè)四面體？word文檔精品文檔分享12．壹圓、貳圓、伍圓、拾圓的人民幣各一X，一共可以組成多少種幣值？13．寫出從a,b,c,d,e這5個(gè)元素中每次取出4個(gè)的所有不同的組合答案：1.〔1〕組合,〔2〕排列2.B3.A4.D5.306.157.〔1〕45〔2〕1208.〔1〕5〔2〕n(n3)/29.⑴455；210.⑴10；⑵20⑵711.⑴C103120；⑵C10421012.C41C42C43C442411513.a,b,c,d；a,b,c,e；a,b,d,e；a,c,d,e；b,c,d,e教學(xué)反思：1注意區(qū)別“恰好〞與“至少〞從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的手套的不同取法共有多少種特殊元素〔或位置〕優(yōu)先安排將5列車停在 5條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上， b列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有種3“相鄰〞用“捆綁〞，“不鄰〞就“插空〞七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，那么不同的排法有多少種4、混合問題，先“組〞后“排〞對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一進(jìn)展測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止，假設(shè)所有次品恰好在第5次測(cè)試時(shí)全部發(fā)現(xiàn),那么這樣的測(cè)試方法有種可能？5、分清排列、組合、等分的算法區(qū)別今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分給甲一件,乙二件和丙三件,有多少種分法?今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分給三人,其中1人一件1人二件1人三件,有多少種分法?今有10件不同獎(jiǎng)品,從中選6件分成三份,每份2件,有多少種分法?6、分類組合,隔板處理從6個(gè)學(xué)校中選出 30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽 ,每校至少有 1人,這樣有幾種選法?1．3．1二項(xiàng)式定理第一課時(shí)一、復(fù)習(xí)引入：⑴(ab)2a22abb2C20a2C21abC22b2；⑵(ab)3a33a2b3ab2b3C30a3C31a2bC32ab2C33b3⑶(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)的各項(xiàng)都是4次式，即展開式應(yīng)有下面形式的各項(xiàng)：a4，a3b，a2b2，ab3，b4，展開式各項(xiàng)的系數(shù)：上面4個(gè)括號(hào)中，每個(gè)都不取b的情況有1種，即C40種，a4的系數(shù)是C40；恰有1個(gè)取b的情況有C14種，a3b的系數(shù)是C41，恰有2個(gè)取b的情況有C42種，a2b2的系數(shù)是C42，恰有3個(gè)取b的word文檔精品文檔分享情況有C43種，ab3的系數(shù)是C43，有4都取b的情況有C44種，b4的系數(shù)是C44，∴(ab)4C40a4C41a3bC42a2b2C43a3bC44b4．二、講解新課：二項(xiàng)式定理：(ab)nCn0anCn1anbCnranrbrCnnbn(nN)⑴(a b)n的展開式的各項(xiàng)都是n次式，即展開式應(yīng)有下面形式的各項(xiàng)：nnnrrna，ab，?，ab，?，b，每個(gè)都不取b的情況有1種，即Cn0種，an的系數(shù)是Cn0；恰有1個(gè)取b的情況有C1n種，anb的系數(shù)是Cn1，??，恰有r個(gè)取b的情況有Cnr種，anrbr的系數(shù)是Cnr，??，有n都取b的情況有Cnn種，bn的系數(shù)是Cnn，∴(ab)nCn0anCn1anbCnranrbrCnnbn(nN)，這個(gè)公式所表示的定理叫二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫(a)n的二項(xiàng)展開式，⑶它有n1項(xiàng)，各項(xiàng)的系b數(shù)Cnr(r0,1,n)叫二項(xiàng)式系數(shù)，⑷Cnranrbr叫二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tr1表示，即通項(xiàng)Tr1Cnranrbr．⑸二項(xiàng)式定理中，設(shè)a1,bx，那么(1x)n1Cn1xCnrxrxn三、講解X例：例1．展開(11)4．x1)4111112313(1414641解一：(1C4()C4()C4())xx2x3x4．xxxxx解二：(11)4(1)4(x1)4(1)4x4C41x3C41x2C43x1xxx14641．xx2x3x4例2．展開(2x1)6．x解：(2x1)616x3(2x1)xword文檔精品文檔分享16152433221(2x)1]3[(2x)C6(2x)C6(2x)C6(2x)C6(2x)C6x6012164x3192x2240x160．xx2x3第二課時(shí)例3．求(xa)12的展開式中的倒數(shù)第4項(xiàng)解：(xa)12的展開式中共13項(xiàng)，它的倒數(shù)第4項(xiàng)是第10項(xiàng)，T91C129x129a9C123x3a9220x3a9．例4．求〔1〕(2a3b)6，〔2〕(3b2a)6的展開式中的第3項(xiàng)．解：〔1〕T21C62(2a)4(3b)22160a4b2，〔2〕T21C62(3b)4(2a)24860b4a2．點(diǎn)評(píng)：(2a3b)6，(3b2a)6的展開后結(jié)果一樣，但展開式中的第r項(xiàng)不一樣例5．〔1〕求(x3)9的展開式常數(shù)項(xiàng)；3x〔2〕求(x3)9的展開式的中間兩項(xiàng)3x解：∵Tr1C9r(x)9r(3)rC9r32r93r9x2，3x∴〔1〕當(dāng)93r0,r6時(shí)展開式是常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)為T7C96332268；2〔2〕(x3)9的展開式共10項(xiàng)，它的中間兩項(xiàng)分別是第5項(xiàng)、第6項(xiàng)，3xT5C94389x91242C95310915378x3，T69x2x3第三課時(shí)例6．〔1〕求(12x)7的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)；〔2〕求(x1)9的展開式中x3的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)x解：(12x)7的展開式的第四項(xiàng)是T31C73(2x)3280x3，∴(12x)7的展開式的第四項(xiàng)的系數(shù)是280．word文檔精品文檔分享〔2〕∵(x1)9的展開式的通項(xiàng)是Tr1C9rx9r(1)r(1)rC9rx92r，xx∴92r3，r3，∴x3的系數(shù)(1)3C9384，x3的二項(xiàng)式系數(shù)C9384．例7．求(x23x4)4的展開式中x的系數(shù)分析：要把上式展開，必須先把三項(xiàng)中的某兩項(xiàng)結(jié)合起來，看成一項(xiàng)，才可以用二項(xiàng)式定理展開，然后再用一次二項(xiàng)式定理，，也可以先把三項(xiàng)式分解成兩個(gè)二項(xiàng)式的積，再用二項(xiàng)式定理展開解：〔法一〕(x23x4)4[(x23x)4]4C40(x23x)4C41(x23x)34C42(x23x)242C43(x23x)43C4444，顯然，上式中只有第四項(xiàng)中含x的項(xiàng)，∴展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)是C43343768〔法二〕：(x23x4)4[(x1)(x4)]4(x1)4(x4)4(C40x