桿系結(jié)構(gòu)單元

第五章桿系結(jié)構(gòu)單元5.1概述桿系結(jié)構(gòu)主要有：梁、拱、框架、桁架等，它們?？呻x散成桿元和梁元?！稹稹稹稹稹稹稹稹鹆汗翱蚣堋稹稹稹稹痂旒茏鴺讼涤邢拊械淖鴺讼涤薪Y(jié)構(gòu)坐標系和單元坐標系。對于一個結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)坐標系一般只有一個；而單元坐標系有很多個，一個單元就有一個單元坐標，并且對每一個單元的規(guī)定都是相同的，這樣，同類型單元的單元剛度矩陣相同，給單元分析帶來方便。XY○○○○○Pxyxy

桿系結(jié)構(gòu)單元主要有鉸接桿單元和梁單元兩種類型。它們都只有2個節(jié)點i、j。約定：單元坐標系的原點置于節(jié)點i；節(jié)點i到j(luò)的桿軸（形心軸）方向為單元坐標系中x軸的正向。y軸、z軸都與x軸垂直，并符合右手螺旋法則。對于梁單元，y軸和z軸分別為橫截面上的兩個慣性主軸。xyzij··5.2桿單元

下圖示出了一維鉸接桿單元，橫截面積為A，長度為l，彈性模量為E，軸向分布載荷為px。單元有2個結(jié)點i，j，單元坐標為一維坐標軸x?！ぁjxlLINKpxujui1、一維桿單元單元結(jié)點力向量：（1）位移模式和形函數(shù)①位移模式單元結(jié)點位移向量因為只有2個結(jié)點，每個結(jié)點位移只有1個自由度，因此單元的位移模式可設(shè)為：（5-3）式中a1、a2為待定常數(shù)，可由結(jié)點位移條件

x=xi時，u=ui

x=xj時，u=uj確定。再將由此確定的a1、a2其代入式（5-3），得（5-4）a1a2②形函數(shù)將式（5-4）改寫為下列形式（5-5）式中形函數(shù)[N]為（5-6）（2）應(yīng)變矩陣一維鉸接桿單元僅有軸向應(yīng)變將式（5-5）、（5-6）代入上式，得上式也可寫為（5-7）式中[B]為應(yīng)變矩陣（5-8）由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（3）應(yīng)力矩陣將式（5-7）代入上式，得（5-9）式中[S]為應(yīng)力矩陣（5-10）(4)單元剛度矩陣單元剛度矩陣仍式（1-33）推出（1-33）對于等截面鉸接桿單元（截面積為A），v=Adx，故有：(5-11)

(5)等效節(jié)點力單元上作用分布力px，則等效節(jié)點力計算公式仍為以下形式當(dāng)分布力集度px為常數(shù)時，有（5-13）（5-12）將式（5-8）代入上式，得例5-1一維拉桿圖示階梯形直桿，各段長度均為，橫截面積分別為3A，2A，A，材料重度為γ，彈性模量E。求結(jié)點位移和各段桿中內(nèi)力。離散化：將單元劃分為3個單元，4個結(jié)點。單元剛度矩陣：122334等效結(jié)點荷載：按靜力等效原則，有:對號入座，組成總剛，形成整體結(jié)構(gòu)平衡方程:設(shè)結(jié)點1的約束反力為F1，則有:

整體結(jié)構(gòu)平衡方程劃去節(jié)點1所對應(yīng)的第1行、行1列。解得結(jié)點位移單元應(yīng)力單元應(yīng)變單元應(yīng)變：2、平面桁架桿單元（2DLINK1）1234ijxyl（1）單元坐標單元位移向量1234ijxy看成局部坐標下的拉壓桿（2）位移模式和形函數(shù)①位移模式由于平面鉸接桿單元只有軸向力。位移模式同式（5-3）、（5-4）。（y方向位移不引起單元力）

②形函數(shù)（5-14）應(yīng)變矩陣[B]為（5-15）（4）應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣[S]為（5-16）（3）應(yīng)變矩陣（5-16）(6)局部坐標單元剛度矩陣對于等截面鉸接桿單元，（5-17）(5)等效節(jié)點力靜力等效ijxylz3、陵空間臨桿單腹元（眼3D緩L繭IN材K8休）（1巧）單鐮元坐灘標單階元位預(yù)移向匯量124536（5-18）（2挑）形鏈函數(shù)（5-19）（3華）應(yīng)晝變矩裕陣（5-20）（4搬）應(yīng)崗力矩哈陣（5-21）(5酬)普等剃價節(jié)物點力（5-22）(6管)告單濾元坐領(lǐng)標單末元剛腦度矩挨陣對于勻等截隱面鉸膝接桿懇單元扮，（5-23）5.耍4贏梁鼻單元1、緞兩端毅承受處剪力靠、彎呢矩的宣平面宵梁單朋元ijxyijxy1234lF1F2F3F4l（1澤）局腥部坐嗽標下壤單元匹位移秘和單慘元力①胞單素元位牙移（5-24）其中勿，v—宜—y方向叢位移塔，即透撓度振?！汀菗湮灰普?。②筑單查元力（5-26）其中奸，Q—包—剪力M——爺彎矩（5-27）（2螺）位丑移函菌數(shù)和描形函旺數(shù)（5-28）①濁位街移模掉式設(shè)單撇元坐測標位數(shù)移模捏式為②談形火函數(shù)由單取元兩蓄端點要的節(jié)鏟點位少移條縫件，工解出軌式（吧5-彎28富）中肆的a1、a2、a3、a4。再您代入蔬該式盜，可饑將位命移模片式寫澇為以循下形慢式：ijxy1234l梁單缺元內(nèi)聾一點丘有2真?zhèn)€位盈移：v、因為牌，=攝dv/dx；僅一箭個位野移是請獨立腰的，盞取v。（5-29）式中（5-30）（5-31）（3粘）應(yīng)震變矩親陣①今單朵元彎筆曲應(yīng)裙變b與節(jié)菊點位竟移曠e的關(guān)卷系。梁單瞧元上氧任一裳點的訓(xùn)應(yīng)變頁和該則點撓能度之濤間關(guān)亂系為堅：（5-32）11xyyρ將式伐（5踢-2星9）驕代入轟（5刮-3有2）恭，得雁單元印彎曲則應(yīng)變擇和單扛元位背移之捧間關(guān)稀系（5鼻-3洪4）（5-33）（4欄）應(yīng)歐力矩詳陣（5-35）[D][B](5右)盼等剝效節(jié)間點力對于肅梁上烤作用權(quán)的集不中力岔或集暫中力革矩，來在劃年分單綠元時播可將吧其作李用點藏取為茅結(jié)點碑，按疫結(jié)構(gòu)遵的節(jié)巴點載廚荷處刊理。這里冊僅考歇慮把吵單元捆上的鄉(xiāng)豐橫向量分布惹載荷撥轉(zhuǎn)化汽為等帖價節(jié)苦點力四問題恥。xyijlpy(x)（5-36）將形計函數(shù)刺矩陣庫[N育]代箱入上橋式，未積分度可得押分布騰荷載踩的等懷效結(jié)固點力減。表啞1給做出了脹幾種茫特殊趁情況嚇的等疑價節(jié)修點力域。荷載分布QiMiQjMjql/2ql2/12ql/2-ql2/123ql/20ql2/307ql/20-ql2/20ql/45ql2/96ql/4-5ql2/96ijqqijqij幾種潤橫向惕分布丸荷載柳等價喜節(jié)點年力透表抗1(6沫)窄單徑元坐釘標單竟元剛饒度矩綠陣梁單杜元剛?cè)醵染刂陵嚬甘綖閷⑹奖恚?懼-3稍4）贏代入關(guān)上式巾進行窩積分走，并康注意基到Iz——襪梁截君面對鍵Z軸腰（主池軸）甜的慣身性矩得單哪元坐溝標單貨元剛鄉(xiāng)豐度矩犯陣[溜k]e:（5-37）單元唉剛度鵝矩陣械式(全5-愿38頑)適樓合于連續(xù)際梁分析梯。（5-38）整體剃坐標靜與局管部坐牢標方突向一滑致。例5伴-4牙變霧截面幸梁有一證變截哈面梁障，一故端固聚定，佛另一介端鉸松支。勇梁長怪為2l，固倆支端互的截唇面盡前寸為免b×幅1.謊6h著，鉸輪支端堪的截猾面尺糟寸為尺b×萬h。疼梁上虹作用舒均布掉載荷遮p0。求婦梁端么的約肅束反蘿力。xy離散槽化將梁筑劃分勇成2霧個單助元，醫(yī)3個失結(jié)點甲。每油個單攔元窮長度五為,攀截面忍取平倉均截耕面。，單元粘剛度兇矩陣ij1夕22橋3對號浪入座嘴，組合整授體剛器度矩強陣1覆2葉3123荷載撕等效散結(jié)點力壯向量約束弟反力用向量1越2茂3總荷血載向拿量引入滋邊界蓄條件將整鑒體平眉衡方寇程中花對應(yīng)蹄的1杰、2肝、5醬行和竿總剛分中1毅、2疲、5禾列刪該去奏，得解方穩(wěn)程組假，得替結(jié)點礦位移篩值將結(jié)號點位賣移值銅代入侍整體禍平衡消方程無，可辭得約貌束反辨力2、迅兩端繞承受佳軸力醉、剪塊力、騾彎矩洋的平抄面梁虎單元（平司面剛抗架，賽BE誘AM借3)ijxyijxy2356l14F2F3F5F6lF1F4（1踐）單差元坐程標單挪元位來移和夜單元償力①于單取元位樓移（5-39）其中常，u—?！獂方向摧（軸程向）扛位移憑。v—紛—y方向猾位移鵝，即稻撓度儲?！h—角腰位移制。②龍單灑元力（5-40）其中部，N—粘—軸卻向力Q—莊—剪力M—放—彎番矩對于較小變秩形問位題，齒可以澆認為逝軸向環(huán)變形維和彎壁曲變塊形互菊不影政響，稍因此段，位選移模理式和餓形函悅數(shù)可蹈以分嶄別按解5.受3節(jié)一維辯拉壓劉桿單仇元和彎剪霉平面幅梁單劣元的結(jié)顏果（轎式5去-3恩和式迎5-銜28股）簡漠單集莊合而鄙成。（2作）位屬移函猛數(shù)和盡形函地數(shù)①哄位島移模屢式ijxy2356l14（5-41）②亭形商函數(shù)式中流形函邊數(shù)[伸N]愿為：（5-42）（5-43）其中切,（3琴）應(yīng)買變矩去陣①創(chuàng)單巖元彎抵曲應(yīng)東變與節(jié)帥點位刺移棍e的關(guān)顫系。軸剪園彎梁談單元上任粒一點鍛的應(yīng)駁變，魄應(yīng)為伸該點初撓度庭（v）引籃起的打應(yīng)變竹和軸送向位接移（u）引尋起的哨應(yīng)變牌之和衣。單元鐮?wèi)?yīng)變攻矩陣淘為：（5-44）（5-45）(5男)器等野價節(jié)集點力xyijl圖4-9qy(x)（4且）應(yīng)布力矩嗎陣（5-46）qx將式企彎剪挨梁（趟5-舟36泛）、劑一維聾桿（印5-妥11盈）膨戚脹成刊6×剪1矩拐陣后惕相加源，并愧注意女到式支（5貓-4例3）猾，有（5-36）（5-11）一維捕桿彎剪赤梁最后京得等縮慧價節(jié)向點力乘矩陣（5-47）荷載分布NiQiMiNjQjMj表父2繁幾不種橫院向分效布荷苦載等乘價節(jié)引點力ijqyqxqyijqxqyijqx(6璃)蜘單殺元坐形標單衣元剛暈度矩給陣梁單胞元剛盈度矩肌陣公王式為（5-48）5.訪5坐標烈變換在5煙.3億、5惡.4單節(jié)中軋，單倚元位罷移和奇單元吉力都體是按煙單元躁坐標怒系的軍坐標屆軸分撕量定仔義的違，由悅此建臭立的臉單元控剛度戰(zhàn)矩陣姑屬于蘿單元貴坐標巨單元級剛度達矩陣恨。進行驅(qū)系統(tǒng)娃分析遲時，尋需要蓬把單拾元力究按統(tǒng)歉一的云結(jié)構(gòu)炭坐標抗軸的擁分量世表示描出來凳，以章便建耽立結(jié)插點平撞衡方戴程。宗因此損，在殲進行申系統(tǒng)衫分析壞之前惹，必嚴須把單末元坐趁標系丈中的圍單元漠力以銷及單遭元剛殘度矩雞陣都豆轉(zhuǎn)換亮到結(jié)相構(gòu)坐竿標系態(tài)中去昏。此外何，還急需要限把結(jié)礎(chǔ)構(gòu)坐豎標系鴨中的亂節(jié)點瞎位移鈴轉(zhuǎn)換若到單胃元坐距標系紙中去乞，以預(yù)計算婆結(jié)構(gòu)膠內(nèi)力槳。這踩一轉(zhuǎn)鐵換過務(wù)程稱趙為坐標都變換浙。(一銹維桿閣和彎紹剪梁狂單元劈燕不需潤要坐鳥標變教換，干因兩穿種坐跳標系存統(tǒng)方錢向一皺致)結(jié)構(gòu)濁坐標符號碎約定劇：凡—瓜—結(jié)繞構(gòu)坐果標單瘋元位晃移F遙—呆—結(jié)丟構(gòu)坐粱標單殼元力[k之]—哲—結(jié)歇構(gòu)坐皺標單半元剛柜度矩細陣1、震坐標飛變換衫矩陣牙定義把單完元位訪移從塌結(jié)構(gòu)巖坐標脊系轉(zhuǎn)監(jiān)換到宇單元債坐標河系的德變換局矩陣林定義簡為坐標斧變換猴矩陣，用蘇符號怪[T杜]表沙示。賠有單元言坐標擦中的赴符號輪約定途：通e——彼單元啊坐標恨單元仇位移F凍e——衣單元猾坐標派單元漂力[k枕]e——妖單元而坐標壘單元巡壽剛度增矩陣式（嫁5-旦58濁）給躺出了登結(jié)構(gòu)禁坐標撒單元處位移億轉(zhuǎn)換涼為單抗元坐尾標單女元位棒移的費轉(zhuǎn)換筑式，拴同時降是坐惕標變紐奉換矩忠陣[猛T]聰?shù)亩ㄤP義式條。2、腥結(jié)構(gòu)屬坐標版單元脹力單元劑力在莊單元慚位移猴上作蓬的功掃，不領(lǐng)因其任坐標狼系的儲改變吹而變欠。則蟻有（5-58）將式怎（5斷-5報8）比代入假，對上機式兩病端進察行轉(zhuǎn)搶置，料注意路到消去湯，邀得即得（5-59）式（鵝5-說59匹）表灘明：結(jié)構(gòu)農(nóng)坐標水單元可力等未于單非元坐岡標單營元力來前乘杏坐標脊變換圍矩陣粘的轉(zhuǎn)嘴置。在單頓元坐撓標系災(zāi)中，證有3、啊結(jié)構(gòu)南坐標社單元博剛度濃矩陣上式隸兩端哥左乘帝[T道]T，注意塞到式技（5厭-5煩8）銀、（嗎5-適59格），封有（5-58）（5-59）[k貨]—示—結(jié)員構(gòu)坐蛋標單呈元剛筍度矩烤陣。得（5-60）式（伐5-距60困）給拿出了敗把單孕元坐泊標單晴元剛坡度矩循陣轉(zhuǎn)全換為罰結(jié)構(gòu)江坐標菊單元比剛度肆矩陣崖的轉(zhuǎn)漠換式眠。引入5.祖6潤坐標靈變換遵矩陣坐標觸變換喊矩陣停因單熔元類援型不餐同而且異。1、鋪平面票鉸接惹桿單杠元（創(chuàng)桁架由元）設(shè)O標XY壞為結(jié)泄構(gòu)坐盜標，ox慕y(tǒng)為單攔元坐紐奉標。為葛從單仰元i端出堅發(fā)的跨任一彼矢量丘。它凡在結(jié)內(nèi)構(gòu)坐散標系漂中的驢分量殊為X、Y；在讓單元愉坐標緞系中漸的分逃量為袍x、y。結(jié)樣構(gòu)坐題標系燈中的浸分量準X、Y在單棟元坐腎標x軸上計投影秘的代辭數(shù)和方給出膜x。同銹理，深X、Y在單轉(zhuǎn)元坐困標y軸上潛投影歡的代窯數(shù)和嶺給出甜y。XYxyXYxy（5-61）寫成錄矩陣常形式速，iim+mnbamnab-am取——i節(jié)點在單元坐標系中的位移向量——i節(jié)點在結(jié)構(gòu)坐標系中的位移向量x對X翠、Y激的方販向余載弦y對X議、Y盒的方刑向余栽弦同理蚊可得晉單元j節(jié)點榨在單把元坐凳標系暖和結(jié)疲構(gòu)坐荒標系龜中的路位移渠向量師：有組合慰上述距結(jié)果超，得斜平面渡鉸接層桿單拿元的卸單元犯坐標鬼單元亦位移碰和結(jié)貿(mào)構(gòu)坐錦標單狀元位枕移之卸間關(guān)緞系：i、j兩節(jié)至點間蹈的位準移變淡換關(guān)愛系互韻不耦濟合。上式培可寫浮成坐標劃變換吧矩陣俗[T談]的脫計算方式：（5-62）（5蕉-6斥0）○○○○○XYij(e愁)x（5-62a）式中培，（協(xié)Xi，Yi）和結(jié)（Xj，Yj）分析別為燦節(jié)點i和節(jié)襯點j在結(jié)木構(gòu)坐次標系泄中的悅坐標咐值。例5惠-2申兩腹根桁賞架兩根首桿件剖的橫諸截面秘積為府A，息彈性怪模量農(nóng)為E專，垂激直桿節(jié)長為殼，兩市桿鉸吧接處代受到違水平籃方向倘的外淡力P百。求肺結(jié)點鎮(zhèn)位移畫和桿毒中的科內(nèi)力刷。XY（1里）單蝦元劃不分①單元拿：i=朵1，駛j=魄2，α=寇45缺°,單剛墊為：②單元家：i=碗2，鄭j=當(dāng)3，α=夠-9詠0°快,單剛盟為：2舅3(2辦)整腹體剛奮度矩育陣1嫩2該3123(3齡)乳等價高結(jié)點歪力：路僅結(jié)慌點2肆的結(jié)醋點力貧可以獵確定（4迎）結(jié)典構(gòu)整慮體平凍衡方箏程（5噸）引世入約跨束1、尼3結(jié)版點約灑束，臥劃去胞1、器2、荒5、坐6行板與列片，得（6秘）節(jié)遮點位備移（7柱）單贈元內(nèi)燃力整體節(jié)寫點位像移變案換到波單元束節(jié)點斃位移愉。單元傳應(yīng)變曠為單元驢應(yīng)力起為單元蒜力為（7核）單控元內(nèi)坊力對于①單旁元，i=恨1,才j=傅2,桿勾長對于②單他元，i=尊2,中j=肆3,桿儲長l（8慮）支徐反力根據(jù)伶單元株平衡芝求支凍反力任。F1xF1y（7為）結(jié)駛點力掛量笛（利紡用整氧體平前衡方妹程）將結(jié)呀點位糟移分靈量代診入整叮體平遇衡方絹程，笨得結(jié)既點力脖量（8法）單酸元內(nèi)疲力2、都彎剪思平面設(shè)梁