黑龍江省綏化市青岡縣一中2023屆高三下學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

黑龍江省綏化市青岡縣一中2023屆高三下學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則（）A． B．2 C． D．2．設(shè)點，，不共線，則“”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件3．下圖是我國第24~30屆奧運獎牌數(shù)的回眸和中國代表團獎牌總數(shù)統(tǒng)計圖，根據(jù)表和統(tǒng)計圖，以下描述正確的是（）．金牌（塊）銀牌（塊）銅牌（塊）獎牌總數(shù)2451112282516221254261622125027281615592832171463295121281003038272388A．中國代表團的奧運獎牌總數(shù)一直保持上升趨勢B．折線統(tǒng)計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化，不具有實際意義C．第30屆與第29屆北京奧運會相比，奧運金牌數(shù)、銀牌數(shù)、銅牌數(shù)都有所下降D．統(tǒng)計圖中前六屆奧運會中國代表團的奧運獎牌總數(shù)的中位數(shù)是54.54．設(shè)M是邊BC上任意一點，N為AM的中點，若，則的值為()A．1 B． C． D．5．過橢圓的左焦點的直線過的上頂點，且與橢圓相交于另一點，點在軸上的射影為，若，是坐標(biāo)原點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．6．已知復(fù)數(shù)，若，則的值為（）A．1 B． C． D．7．已知直線與直線則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知表示兩條不同的直線，表示兩個不同的平面，且則“”是“”的()條件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要9．直線與拋物線C：交于A，B兩點，直線，且l與C相切，切點為P，記的面積為S，則的最小值為A． B． C． D．10．已知向量，夾角為，，，則()A．2 B．4 C． D．11．已知直線y=k(x+1)(k>0)與拋物線C相交于A，B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若|FA|=2|FB|，則|FA|=（）A．1 B．2 C．3 D．412．設(shè)函數(shù)定義域為全體實數(shù)，令．有以下6個論斷：①是奇函數(shù)時，是奇函數(shù)；②是偶函數(shù)時，是奇函數(shù)；③是偶函數(shù)時，是偶函數(shù)；④是奇函數(shù)時，是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù)；⑥對任意的實數(shù)，．那么正確論斷的編號是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，，，則繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積為______________.14．在棱長為6的正方體中，是的中點，點是面，所在平面內(nèi)的動點，且滿足，則三棱錐的體積的最大值是__________.15．（5分）某膳食營養(yǎng)科研機構(gòu)為研究牛蛙體內(nèi)的維生素E和鋅、硒等微量元素（這些元素可以延緩衰老，還能起到抗癌的效果）對人體的作用，現(xiàn)從只雌蛙和只雄蛙中任選只牛蛙進(jìn)行抽樣試驗，則選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________．16．設(shè)函數(shù)，，其中．若存在唯一的整數(shù)使得，則實數(shù)的取值范圍是_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，點分別是的中點．（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．18．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，點P在棱DF上．（1）若P是DF的中點，求異面直線BE與CP所成角的余弦值；（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值為，求PF的長度．19．（12分）如圖所示，直角梯形ABCD中，，，，四邊形EDCF為矩形，，平面平面ABCD．(1)求證：平面ABE；(2)求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值．(3)在線段DF上是否存在點P，使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為，若存在，求出線段BP的長，若不存在，請說明理由．20．（12分）設(shè)前項積為的數(shù)列，（為常數(shù)），且是等差數(shù)列.（Ｉ）求的值及數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)是數(shù)列的前項和，且，求的最小值.21．（12分）三棱柱中，平面平面，，點為棱的中點，點為線段上的動點.（1）求證：；（2）若直線與平面所成角為，求二面角的正切值.22．（10分）如圖，已知三棱柱中，與是全等的等邊三角形.（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

把代入，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，由實部為0且虛部不為0求解即可．【詳解】∵，∴，∵為純虛數(shù)，∴，解得．故選C．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．2、C【解析】

利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運算，結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點，，不共線，則“”；故“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)表格和折線統(tǒng)計圖逐一判斷即可.【詳解】A.中國代表團的奧運獎牌總數(shù)不是一直保持上升趨勢，29屆最多，錯誤；B.折線統(tǒng)計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化，不表示某種意思，正確；C.30屆與第29屆北京奧運會相比，奧運金牌數(shù)、銅牌數(shù)有所下降，銀牌數(shù)有所上升，錯誤；D.統(tǒng)計圖中前六屆奧運會中國代表團的奧運獎牌總數(shù)按照順序排列的中位數(shù)為,不正確；故選：B【點睛】此題考查統(tǒng)計圖，關(guān)鍵點讀懂折線圖，屬于簡單題目.4、B【解析】

設(shè)，通過，再利用向量的加減運算可得，結(jié)合條件即可得解.【詳解】設(shè)，則有.又，所以，有.故選B.【點睛】本題考查了向量共線及向量運算知識，利用向量共線及向量運算知識，用基底向量向量來表示所求向量，利用平面向量表示法唯一來解決問題.5、D【解析】

求得點的坐標(biāo)，由，得出，利用向量的坐標(biāo)運算得出點的坐標(biāo)，代入橢圓的方程，可得出關(guān)于、、的齊次等式，進(jìn)而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由，得，則，即.而，所以，所以點.因為點在橢圓上，則，整理可得，所以，所以.即橢圓的離心率為故選：D.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，解答的關(guān)鍵就是要得出、、的齊次等式，充分利用點在橢圓上這一條件，圍繞求點的坐標(biāo)來求解，考查計算能力，屬于中等題.6、D【解析】由復(fù)數(shù)模的定義可得：，求解關(guān)于實數(shù)的方程可得：.本題選擇D選項.7、B【解析】

利用充分必要條件的定義可判斷兩個條件之間的關(guān)系.【詳解】若，則，故或，當(dāng)時，直線，直線，此時兩條直線平行；當(dāng)時，直線，直線，此時兩條直線平行.所以當(dāng)時，推不出，故“”是“”的不充分條件，當(dāng)時，可以推出，故“”是“”的必要條件，故選：B.【點睛】本題考查兩條直線的位置關(guān)系以及必要不充分條件的判斷，前者應(yīng)根據(jù)系數(shù)關(guān)系來考慮，后者依據(jù)兩個條件之間的推出關(guān)系，本題屬于中檔題.8、B【解析】

根據(jù)充分必要條件的概念進(jìn)行判斷.【詳解】對于充分性：若，則可以平行，相交，異面，故充分性不成立；若，則可得，必要性成立.故選：B【點睛】本題主要考查空間中線線，線面，面面的位置關(guān)系，以及充要條件的判斷，考查學(xué)生綜合運用知識的能力.解決充要條件判斷問題，關(guān)鍵是要弄清楚誰是條件，誰是結(jié)論.9、D【解析】

設(shè)出坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用弦長公式求得，再由點到直線的距離公式求得到的距離，得到的面積為，作差后利用導(dǎo)數(shù)求最值．【詳解】設(shè)，，聯(lián)立，得則，則由，得設(shè)，則，則點到直線的距離從而．令當(dāng)時，；當(dāng)時，故，即的最小值為本題正確選項：【點睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值的問題．解決圓錐曲線中的面積類最值問題，通常采用構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的方式，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來求解最值.10、A【解析】

根據(jù)模長計算公式和數(shù)量積運算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】由于，故選：A.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，模長的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.11、C【解析】

方法一：設(shè)，利用拋物線的定義判斷出是的中點，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得點的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義求得，進(jìn)而求得.方法二：設(shè)出兩點的橫坐標(biāo)，由拋物線的定義，結(jié)合求得的關(guān)系式，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，寫出韋達(dá)定理，由此求得，進(jìn)而求得.【詳解】方法一：由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程為，直線恒過定點，過分別作于，于，連接，由，則，所以點為的中點，又點是的中點，則，所以，又所以由等腰三角形三線合一得點的橫坐標(biāo)為，所以，所以．方法二：拋物線的準(zhǔn)線方程為，直線由題意設(shè)兩點橫坐標(biāo)分別為，則由拋物線定義得又①②由①②得.故選：C【點睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.12、A【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當(dāng)是偶函數(shù)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)是奇函數(shù)時，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)為非奇非偶函數(shù)時，例如：，則，，此時，故⑥錯誤；故③④正確.故選：A【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，根據(jù)圓錐側(cè)面積計算公式可得.【詳解】解：由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，在中，，，，如下圖所示，底面圓的半徑為，則所形成的幾何體的表面積為.故答案為：.【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積計算問題，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)與相似，，過作于，利用體積公式求解OP最值，根據(jù)勾股定理得出，，利用函數(shù)單調(diào)性判斷求解即可.【詳解】∵在棱長為6的正方體中，是的中點，點是面所在平面內(nèi)的動點，且滿足，又，∴與相似∴，即，過作于，設(shè)，，∴，化簡得：，，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷，時，取得最大值36，，在正方體中平面.三棱錐體積的最大值為【點睛】本題考查三角形相似，幾何體體積以及函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，難度一般.15、【解析】

記只雌蛙分別為，只雄蛙分別為，從中任選只牛蛙進(jìn)行抽樣試驗，其基本事件為，共15個，選出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件為，共9個，故選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是．16、【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式畫出圖像,再根據(jù)存在唯一的整數(shù)使得數(shù)形結(jié)合列出臨界條件滿足的關(guān)系式求解即可.【詳解】解：函數(shù),且畫出的圖象如下：因為,且存在唯一的整數(shù)使得,故與在時無交點,,得；又,過定點又由圖像可知,若存在唯一的整數(shù)使得時,所以,存在唯一的整數(shù)使得所以.根據(jù)圖像可知,當(dāng)時,恒成立.綜上所述,存在唯一的整數(shù)使得,此時故答案為：【點睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合分析參數(shù)范圍的問題,需要根據(jù)題意分別分析定點右邊的整數(shù)點中為滿足條件的唯一整數(shù),再數(shù)形結(jié)合列出時的不等式求的范圍.屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）取的中點，連接，通過證明，即可證得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】（1）證明：取的中點，連接．是的中點，，又，四邊形是平行四邊形．，又平面平面，平面．（2），，同理可得：，又平面．連接，設(shè)，則，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)平面的法向量為，則，則，?。本€與平面所成角的正弦值為．【點睛】此題考查證明線面平行，求線面角的大小，關(guān)鍵在于熟練掌握線面平行的證明方法，法向量法求線面角的基本方法，根據(jù)公式準(zhǔn)確計算.18、（1）．（2）．【解析】

（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），計算夾角得到答案.（2）設(shè)，0≤λ≤1，計算P（0，2λ，2﹣2λ），計算平面APC的法向量（1，﹣1，），平面ADF的法向量（1，0，0），根據(jù)夾角公式計算得到答案.【詳解】（1）∵BAF＝90°，∴AF⊥AB，又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，∴AF⊥平面ABCD，又四邊形ABCD為矩形，∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，P是DF的中點，∴B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1），（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），設(shè)異面直線BE與CP所成角的平面角為θ，則cosθ，∴異面直線BE與CP所成角的余弦值為．（2）A（0，0，0），C（2，2，0），F(xiàn)（0，0，2），D（0，2，0），設(shè)P（a，b，c），，0≤λ≤1，即（a，b，c﹣2）＝λ（0，2，﹣2），解得a＝0，b＝2λ，c＝2﹣2λ，∴P（0，2λ，2﹣2λ），（0，2λ，2﹣2λ），（2，2，0），設(shè)平面APC的法向量（x，y，z），則，取x＝1，得（1，﹣1，），平面ADP的法向量（1，0，0），∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值為，∴|cos|，解得，∴P（0，，），∴PF的長度|PF|．【點睛】本題考查了異面直線夾角，根據(jù)二面角求長度，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.19、（I）見解析（II）（III）【解析】試題分析：（Ⅰ）取為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得平面的法向量，且，據(jù)此有，則平面．（Ⅱ）由題意可得平面的法向量，結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論可得，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．（Ⅲ）設(shè)，，則，而平面的法向量，據(jù)此可得，解方程有或．據(jù)此計算可得．試題解析：（Ⅰ）取為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，∴，，設(shè)平面的法向量，∴不妨設(shè)，又，∴，∴，又∵平面，∴平面．（Ⅱ）∵，，設(shè)平面的法向量，∴不妨設(shè)，∴，∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為．（Ⅲ）設(shè)，，∴，∴，又∵平面的法向量，∴，∴，∴或．當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，，∴．綜上，．20、（Ⅰ），；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時，由，得到，兩邊同除以，得到.再根據(jù)是等差數(shù)列.求解.（Ⅱ），根據(jù)前n項和的定義得到，令，研究其增減性即可.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時，，所以，即，所以.因為是等差數(shù)列.，所以，，令，，，所以，即；（Ⅱ），所以，，令，所以，，即，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，即.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義，前n項和以及數(shù)列的增減性，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.21、（1）見解析；（2）【解析】

（1）可證面，從而可得.（2）可證點為線段的三等分點，再過作于，過作，垂足為，則為二面角的平面角，利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用兩個平面的法向量來計算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求.【詳解】證明：（1）因為為中點，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，而平面，