中考中的開(kāi)放型問(wèn)題

中考中的開(kāi)放型問(wèn)題蛟川書(shū)院滕麗問(wèn)題背景約束條件結(jié)論應(yīng)用解決策略與方式條件開(kāi)放、結(jié)論開(kāi)放、設(shè)計(jì)開(kāi)放、信息處理開(kāi)放、解法開(kāi)放、條件多變開(kāi)放等條件開(kāi)放型這類題目一般給出了問(wèn)題的部分條件,在題目要求的結(jié)論下,補(bǔ)充或者另設(shè)一些條件,使得符合題意.解決這類問(wèn)題一般運(yùn)用逆向思維,從結(jié)論及部分條件出發(fā),逆向推出所需的條件.(05福州)如圖,點(diǎn)C、D在線段AB上,PC=PD.請(qǐng)你添加一個(gè)條件,使圖中存在全等三角形,并給予證明.所添?xiàng)l件為_(kāi)_____,得到的一對(duì)全等三角形是__________.證明:結(jié)論開(kāi)放型這類問(wèn)題是在給定條件下探索結(jié)論的多樣性，主要考查學(xué)生的發(fā)散性思維和所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力.鼓勵(lì)學(xué)生從多角度、多層次、多側(cè)面地思考問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的求異思維，對(duì)于發(fā)揮學(xué)生的主體精神，培養(yǎng)學(xué)生的個(gè)性很有益處。(05濟(jì)寧)結(jié)合生活中的實(shí)例，(1-15%)x可以解釋為_(kāi)______.(05南昌)已知拋物線y=,與x軸的交點(diǎn)為A，B（B在A的右邊），與y軸的交點(diǎn)為C.(1)寫(xiě)出m=1時(shí)與拋物線有關(guān)的三個(gè)正確結(jié)論;(2)當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊,點(diǎn)C在原點(diǎn)的下方,是否存在△BOC為等腰三角形的情形,若存在求出m的值;若不存在,說(shuō)明理由.(3)請(qǐng)你提出一個(gè)對(duì)于任意m都能成立的正確命題(說(shuō)明:根據(jù)提出問(wèn)題的水平層次,得分略有差異).設(shè)計(jì)開(kāi)放型這類題目的編制一般背景新穎、形式活潑，通過(guò)添畫(huà)、分割、剪拼等方式，讓學(xué)生在充滿探索的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)創(chuàng)造的樂(lè)趣.設(shè)計(jì)型問(wèn)題主要考查學(xué)生動(dòng)手能力和實(shí)踐能力.解決此類問(wèn)題時(shí),要先思考,后動(dòng)手,防止盲目嘗試.這類試題是近年來(lái)出現(xiàn)的一種題型,代表一種命題的新思路.這類試題往往利用給定的幾個(gè)基本圖形,要求設(shè)計(jì)一個(gè)有意義的圖形,這類題要求有良好的動(dòng)手能力,豐富的想象能力和創(chuàng)造能力.(05安徽)下圖是一個(gè)10×10格點(diǎn)正方形組成的網(wǎng)格,△ABC是格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在網(wǎng)格交點(diǎn)處），(1)在圖中畫(huà)出與△ABC相似的格點(diǎn)△DEF與△PMN,且△DEF與△ABC的相似比2,△PMN與△ABC的相似比是;(2)在圖中用與△ABC,△DEF,△PMN全等的格點(diǎn)三角形(每個(gè)三角形至少使用一次),拼出你熟悉的圖案,并為你設(shè)計(jì)的圖案配一句貼切的解說(shuō)詞.ABABEDCF光線EDABFC圖1圖2AB(05泰州)(1)高為12.6米的教學(xué)樓ED前有一棵大樹(shù)AB(圖1).某一時(shí)刻測(cè)得大樹(shù)AB、教學(xué)樓ED在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)BC=2.4米，DF=7.2米，求大樹(shù)AB的高度．(2)用皮尺、高為h米的測(cè)角儀，請(qǐng)你設(shè)計(jì)另一種測(cè)量大樹(shù)AB高度的方案，要求：①在圖2上，畫(huà)出你設(shè)計(jì)的測(cè)量方案示意圖，并將應(yīng)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)記在圖上；②根據(jù)你所畫(huà)的示意圖和標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算大樹(shù)AB高度（用字母表示）．一般限定條件、限定測(cè)量工具,設(shè)計(jì)一個(gè)可行的方案,對(duì)某一物體的長(zhǎng)度進(jìn)行測(cè)量并計(jì)算.大多以建立直角三角形模型進(jìn)行求解,須注意的是設(shè)計(jì)的方案應(yīng)是具有可操作性的.ABMNGαhmABhmαABGMNEFhβαmABmhαβ

若改成測(cè)量小山高度時(shí),因要測(cè)量出測(cè)角儀到山底的距離比較困難,此時(shí)方案二比方案一優(yōu)越.HAGBDCαγnm方案2圖bM(05淮安市金湖實(shí)驗(yàn)區(qū))課題研究:現(xiàn)有邊長(zhǎng)為120的正方形鐵皮.準(zhǔn)備將它設(shè)計(jì)成一個(gè)水槽,使能通過(guò)的水流量最大.初三(1)班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)討論,在水流速度一定的情況下,水槽的橫截面越大,通過(guò)水槽的水流量越大.他們?cè)O(shè)計(jì)了不同的方案.(1)方案①把它折成橫截面為直角三角形的水槽,∠ABC=90度,設(shè)AB=x,該水槽的橫截面面積為y,寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,計(jì)算x取何值時(shí)y最大,并求這個(gè)最大值.方案②把它折成橫截面為等腰梯形的水槽.若∠ABC=120度,求出梯形ABCD面積的最大值,并與①中的最大值比較.(2)假如你是該興趣小組中的成員,請(qǐng)你再提供兩種方案,使水槽的橫截面面積更大.該題目以“課題研究”為題材,形式新穎,考查學(xué)生的創(chuàng)造能力和創(chuàng)新思維能力,有利于培養(yǎng)學(xué)生研究問(wèn)題的習(xí)慣.本題可以設(shè)計(jì)如下方案:半圓正八邊形的一半正十邊形的一半

（05安徽）下面是數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)學(xué)習(xí)片段,閱讀后,請(qǐng)回答下面的問(wèn)題:學(xué)習(xí)等腰三角形有關(guān)內(nèi)容后,張老師請(qǐng)同學(xué)們交流討論這樣的一個(gè)問(wèn)題:“已知等腰三角形ABC的角A等于30度,請(qǐng)你求出其余兩角”.

同學(xué)們經(jīng)過(guò)片刻的思考與交流后,李明同學(xué)舉手講:“其余兩角是30度和120度”；王華同學(xué)說(shuō)：“其余兩角是75度和75度”，還有一些同學(xué)也提出了不同的看法…(1)假如你也在課堂中，你的意見(jiàn)如何？為什么？(2)通過(guò)上面數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論，你有什么感受？（用一句話表示）信息處理開(kāi)放型該題真實(shí)地再現(xiàn)了生動(dòng)活潑的課堂片段，以討論的方式呈現(xiàn)，要求學(xué)生把自己的觀點(diǎn)表達(dá)出來(lái)，減輕了考生的心理壓力.同時(shí)考查了學(xué)生思維的批判性.(05泰州)春蘭集團(tuán)對(duì)應(yīng)聘者甲、乙、丙進(jìn)行面試，并從專業(yè)知識(shí)、工作經(jīng)驗(yàn)、儀表形象三方面給應(yīng)聘者打分，每一方面滿分20分，最后的打分制成條形統(tǒng)計(jì)圖（如圖）．

(1)利用圖中提供的信息，在專業(yè)知識(shí)方面3人得分的極差是多少？在儀表形象方面誰(shuí)最有優(yōu)勢(shì)？

(2)如果專業(yè)知識(shí)、工作經(jīng)驗(yàn)、儀表形象三個(gè)方面的重要性之比為10∶7∶3，那么作為人事主管，你應(yīng)該錄用哪一位應(yīng)聘者？為什么？(3)在(2)的條件下，你對(duì)落聘者有何建議？甲乙丙甲乙丙甲乙丙對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的觀察應(yīng)重在對(duì)信息的理解解釋.解決與統(tǒng)計(jì)圖有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí),要根據(jù)不同統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)認(rèn)識(shí)并回答問(wèn)題,如折線統(tǒng)計(jì)圖的“變化”,扇形統(tǒng)計(jì)圖的“比例”.（05河南）空投物資用的某種降落傘的軸截面如圖所示，△ABG是等邊三角形，C、D是以AB為直徑的半圓O的兩個(gè)三等分點(diǎn)。CG、DG分別交AB于點(diǎn)E、F.試判斷點(diǎn)E、F分別位于所在線段的什么位置？并證明你結(jié)論（證一種情況即可）解法開(kāi)放型本題是集探索、猜想、判斷、證明于一體的開(kāi)放題，難度不大，但改變了過(guò)去給出結(jié)論，讓學(xué)生去證明的固定模式，激活了學(xué)生的思維.(05麗水）如圖，AB是⊙O的直徑，CB、CE分別切⊙O于點(diǎn)B、D，CE與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連結(jié)OC、OD．（1）求證：△OBC≌△ODC；（2）已知DE=a，AE=b，BC=c，請(qǐng)你思考后，選用以上適當(dāng)?shù)臄?shù)，設(shè)計(jì)出計(jì)算⊙O半徑r的一種方案：①你選用的已知數(shù)是____________；②寫(xiě)出求解過(guò)程（結(jié)果用字母表示）根據(jù)條件，欲求圓半徑的方法很多，選擇不同的數(shù)據(jù)則應(yīng)用的幾何定理也不同，求解過(guò)程也不一樣。但盲目選擇也會(huì)給解題帶來(lái)麻煩，且有的方法解不出結(jié)果來(lái)，這就要求學(xué)生在解題過(guò)程中不因循守舊，通過(guò)積極思考，優(yōu)化解題策略。條件多變開(kāi)放題對(duì)某一問(wèn)題進(jìn)行改造，如改變某一條件或幾個(gè)條件或把圖形平移、旋轉(zhuǎn)后，再對(duì)原來(lái)的結(jié)論進(jìn)行重新探索。常用類比猜想的方法，思考時(shí)通過(guò)聯(lián)想相似題目的解題思路與方法，比較異同并以此來(lái)尋求解題的途徑。（05煙臺(tái)）(1)如圖1，直線MN與⊙O相交，且與⊙O的直徑AB垂直，垂足為P，過(guò)P的直線與⊙O交于C、D兩點(diǎn)，直線AC交MN于點(diǎn)E.求證：PC·PD=PE·PF.(2)如圖2,若直線MN與⊙O相離.(1)中的其余條件不變,那么(1)中的結(jié)論還成立嗎?(3)如圖3,直線MN與⊙O相離,且與⊙O的直徑AB垂直，垂足為P.請(qǐng)按要求畫(huà)出圖形,畫(huà)⊙O的割線PCD(PC<PD),直線BC與MN交于點(diǎn)E，直線BD與MN交于點(diǎn)F.(1)中的結(jié)論是否成立?圖1圖2圖3圖3(05江西)在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，O、E分別是AD、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是以O(shè)為圓心、OE為半徑的圓弧與DC的交點(diǎn)，點(diǎn)P在弧EF上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)OP，并延長(zhǎng)交直線BC于點(diǎn)K.(1)當(dāng)P從E運(yùn)動(dòng)到F時(shí)，點(diǎn)K運(yùn)動(dòng)了多少？(2)過(guò)點(diǎn)P作弧EF的切線，當(dāng)該切線不與BC平行時(shí)，設(shè)它與射線AB、直線BC分別交于點(diǎn)M、G.①當(dāng)K與B重合時(shí)，BG：BM的值是多少？②在P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在BG:BM=3的情況？若存在，求出BK的值；若不存在，試說(shuō)明理由.(3)一般地，是否存在BG：BM=n（n為正整數(shù)）的情況？試提出你的猜想（不要求證明）HN謝謝！請(qǐng)批評(píng)指正(05年河北課改)四邊形ABCD是正方形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，直角三角板的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點(diǎn)F.(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊的中點(diǎn)位置時(shí)；①通過(guò)測(cè)量DE，EF的長(zhǎng)度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是______；②連結(jié)點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是____；③請(qǐng)證明你的上述兩猜想.(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時(shí)，請(qǐng)?jiān)贏D邊上找點(diǎn)N，使得NE=BF，進(jìn)而猜想此時(shí)DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系.(05泰州)圖1是邊長(zhǎng)分別為4√3和3的兩個(gè)正三角形ABC和C’D’E’疊放在一起(C與C’重合).(1)固定△ABC將△C’D’E’繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30度得到△CDE，連結(jié)AD、BE,CE的延長(zhǎng)線交AB于F,在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系?(2)圖2中△CDE在線段CF上沿著CF方向以每秒1個(gè)單位的速度平移,平移后的△CDE設(shè)為△PQR(圖3),設(shè)△PQR移動(dòng)的時(shí)間為x秒,△PQR與△AFC重疊部分的面積為y，求y與x之間的解析式.(3)圖1中△C’D’E’固定，將△ABC移動(dòng)，使頂點(diǎn)C落在C’E’的中點(diǎn)，邊BC交D’E’于點(diǎn)M，邊AC交D’C’于點(diǎn)N,∠ACC’=α（30度＜α＜90度),圖4中C’N·E’M的值是否隨α的變化而變化？若沒(méi)有變化，請(qǐng)求值；若有變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖1圖2圖3圖4AACBCBAFEDPFCBBARQNMGD’D’E’C’E’（05溫州）小明家用瓷磚裝修衛(wèi)生間，還有一塊墻角面未完工(如圖甲所示)，他想在現(xiàn)有的六塊瓷磚余料中(如圖乙所示)挑選2塊或3塊余料進(jìn)行鋪設(shè)，請(qǐng)你幫小明設(shè)計(jì)兩種不同的鋪設(shè)方案(在下面圖丙、圖丁中畫(huà)出鋪設(shè)示意圖，并標(biāo)出所選用每塊余料的編號(hào))。⑵

AB＝2BC（或者∠C＝90°，∠A＝30°），中位線EF.⑶方法一：∠B＝90°且AB＝2BC，中位線EF.方法二：AB＝AC且∠BAC＝90°，中線（或高）AD.⑷方法一：不妨設(shè)∠B＞∠C，在BC邊上取一點(diǎn)D，作∠GDB＝∠B交AB于G，過(guò)AC的中點(diǎn)E作EF∥GD交BC于F，則EF為剪切線.方法二：不妨設(shè)∠B＞∠C，分別取AB、AC的中點(diǎn)D、E，過(guò)D、E作BC的垂線，G、H為垂足，在HC上截取HF＝GB，連結(jié)EF，則EF為剪切線.方法三：不妨設(shè)∠B＞∠C，作高AD，在DC上截取DG＝DB，連結(jié)AG，過(guò)AC的中點(diǎn)E作EF∥AG交BC于F，則EF為剪切線.(05青島)如圖,在△ABC中,∠BAC與∠ABC的平分線相交于點(diǎn)E,直線AE交△ABC的外接圓于D,連結(jié)BD,CD,CE,∠BDA=60度,求證:△BDE是等邊三角形.下面是小鵬和小明的解題思路:他們都用到三角形的外角與內(nèi)角關(guān)系及角平分線的性質(zhì),但小鵬先證第一類：找規(guī)律問(wèn)題這類問(wèn)題要求大家通過(guò)觀察,分析,比較,概括,總結(jié)出題設(shè)反映的某種規(guī)律,進(jìn)而利用這個(gè)規(guī)律解決相關(guān)問(wèn)題(05濟(jì)南)某區(qū)在改革學(xué)生學(xué)習(xí)方式的研究中對(duì)某校七年級(jí)的600名學(xué)生進(jìn)行了“你喜歡什么樣的學(xué)習(xí)方式”的問(wèn)卷調(diào)查（如右表）.調(diào)查者根據(jù)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)制作了如下的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你根據(jù)圖中的有關(guān)信息回答下列問(wèn)題(1)請(qǐng)將每種學(xué)習(xí)方式中選擇“最喜歡”的人數(shù)填入下表;(2)根據(jù)圖中的信息請(qǐng)你提出一個(gè)問(wèn)題.

．(7分)中，

學(xué)

，作

（1）

的人數(shù)填入下表；

（2）根據(jù)圖中的信息，請(qǐng)你提出一個(gè)問(wèn)題．

代號(hào)

學(xué)習(xí)方式

最喜歡

喜歡

一般

不喜歡

1

老師講學(xué)生聽(tīng)

2

老師提出問(wèn)題

學(xué)生探索思考

3

自己獨(dú)立思考

發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

4

小組共同討論

解決問(wèn)題

5

開(kāi)展各種數(shù)學(xué)

活動(dòng)及小競(jìng)賽