九年級(jí)人教版切線判斷應(yīng)用

圓與圓的位置關(guān)系:.....外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含．O1．O2．O1．O2．O1．O2．O2．O1．O1．O2

兩圓的位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系及識(shí)別方法

外離

外切

相交

內(nèi)切

內(nèi)含d＞R+rd=R+rd=R-r0＜

d＜R-rR-r＜d＜R+r1.圓的周長(zhǎng)和面積公式2.弧長(zhǎng)的計(jì)算公式3.扇形的面積公式S=360nπr2L=180nπr=12LrS或四.圓中的有關(guān)計(jì)算:周長(zhǎng)C=2πr面積s=πr2．Or4.圓柱的展開圖:D B C A rhS側(cè)

=2πrhS全=2πrh+2π

r25.圓錐的展開圖:底面?zhèn)让鍸母L母hrS側(cè)

=πrL母S全=πrL母+π

r2不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.O．．C．B．A三角形的外接圓與內(nèi)切圓:三角形的外心就是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn).．OABC三角形的內(nèi)心就是三角形各角平分線的交點(diǎn).階段方法技巧訓(xùn)練（一）專訓(xùn)2切線的判定和性質(zhì)

的四種應(yīng)用類型習(xí)題課圓的切線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用較廣泛，一般先利用圓的切線的判定方法判定切線，再利用切線的性質(zhì)進(jìn)行線段和角的計(jì)算或論證，在計(jì)算或論證中常通過作輔助線解決有關(guān)問題．(1)有交點(diǎn)，連半徑,證垂直;(2)無交點(diǎn)，作垂直,證半徑.證切線時(shí)輔助線的添加方法例1例2有切線時(shí)常用輔助線添加方法

見切點(diǎn)，連半徑，得垂直.切線的其他重要結(jié)論(1)經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn);(2)經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.要點(diǎn)歸納∵OB＝OD，∴∠CBD＝∠1.又∵∠CDA＝∠CBD，∴∠1＝∠CDA.∴∠CDA＋∠ADO＝90°.即∠CDO＝90°.∴OD⊥CD，又∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線，即直線CD與⊙O相切．(2)過點(diǎn)B作⊙O的切線BE交直線CD于點(diǎn)E，若AC

＝2，⊙O的半徑是3，求BE的長(zhǎng)．(2)∵AC＝2，⊙O的半徑是3，∴OC＝2＋3＝5，OD＝3.

在Rt△CDO中，由勾股定理得CD＝4，∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE＝EB，∠CBE＝90°.解：設(shè)DE＝EB＝x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2＝BE2＋BC2，則(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2，解得：x＝6.即BE＝6.證明：連接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.

∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OBP=∠C.

∴OP∥AC.

∵PE⊥AC，∴PE⊥OP.

∴PE為⊙O的切線.5.如圖,△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，PE⊥AC于E.

求證:PE是⊙O的切線.OABCEP6.如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)M.求證：CD與⊙O相切．證明：連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥CD于點(diǎn)N，∵⊙O與BC相切于點(diǎn)M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O為正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，∴OM＝ON，∴CD與⊙O相切．MN階段方法技巧訓(xùn)練（一）專訓(xùn)2垂徑定理的四種

應(yīng)用技巧習(xí)題課垂徑定理的巧用主要體現(xiàn)在求點(diǎn)的坐標(biāo)、解決最值問題、解決實(shí)際問題等．解題時(shí)，巧用弦的一半、圓的半徑和圓心到弦的垂線段三條線段組成的直角三角形，然后借助勾股定理，在這三個(gè)量中知道任意兩個(gè)，可求出第三個(gè)．1技巧巧用垂徑定理求點(diǎn)的坐標(biāo)1．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(10，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(8，0)，點(diǎn)C，D在以O(shè)A

為直徑的半圓M上，且四邊形OCDB是平行四

邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．如圖，連接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H.∵四邊形OCDB為平行四邊形，B點(diǎn)的坐標(biāo)是(8，0)，∴CD＝OB＝8，CN＝MH，CH＝MN.又∵M(jìn)N⊥CD，∴CN＝DN＝

CD＝4.易知OA＝10，∴MO＝MC＝5.在Rt△MNC中，MN＝∴CH＝3，又OH＝OM－MH＝5－4＝1.∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，3)．解：3技巧巧用垂徑定理計(jì)算3．如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)F，

AO⊥BC，垂足為E，BC＝2.(1)求AB的長(zhǎng)；(2)求⊙O的半徑．(2)由(1)知AB＝BC＝AC，∴△ABC為等邊三角形，∵AE⊥BC，∴∠EAB＝∠CAE＝∠CAB＝30°.即∠OAF＝30°，在Rt△OAF中，AF＝

，易得OA＝2，即⊙O的半徑為2.(2)由(1)知AB＝BC＝AC，∴△ABC為等邊三角形，∵AE⊥BC，∴∠EAB＝∠CAE＝∠CAB＝30°.即∠OAF＝30°，在Rt△OAF中，AF＝

，易得OA＝2，即⊙O的半徑為2.階段方法技巧訓(xùn)練（一）專訓(xùn)2圓中常用的作輔助

線的八種方法習(xí)題課在解決有關(guān)圓的計(jì)算或證明題時(shí)，往往需要添加輔助線，根據(jù)題目特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)妮o助線至關(guān)重要．圓中常用的輔助線作法有：作半徑，巧用同圓的半徑相等；連接圓上兩點(diǎn)，巧用同弧所對(duì)的圓周角相等；作直徑，巧用直徑所對(duì)的圓周角是直角；證切線時(shí)“連半徑，證垂直”以及“作垂直，證半徑”等．5遇弦加弦心距或半徑方法5．如圖所示，在半徑為5的⊙O中，AB，CD是互相

垂直的兩條弦，垂足為P，且AB＝CD＝8，則OP

的長(zhǎng)為(

)A．3B．4C．3D．4C同類變式6．【中考·貴港】如圖所示，AB是⊙O的弦，

OH⊥AB于點(diǎn)H，點(diǎn)P是優(yōu)弧上一點(diǎn)，

若AB＝2，OH＝1，

則∠APB的度數(shù)是________．7遇切線巧作過切點(diǎn)的半徑方法8．如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，

點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，且PA＝PB.(1)求證：PB是⊙O的切線；(1)如圖，連接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.

∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.

∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA.即∠PAO＝∠PBO.又∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO＝90°.∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB.又∵OB是⊙O的半徑，∴PB是⊙O的切線．證明：(2)已知PA＝

，∠ACB＝60°，求⊙O的半徑．(2)如圖，連接OP，∵PA＝PB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．∵OA＝OB，∴點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上．∴OP為線段AB的垂直平分線．解：又∵BC⊥AB，∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠ACB＝60°.由(1)知∠PAO＝90°.∴∠APO＝30°.∴PO＝2AO.∵在Rt△APO中，AO2＋PA2＝PO2，∴AO2＋3＝(2AO)2.又∵AO＞0，∴AO＝1，∴⊙O的半徑為1.8巧添輔助線計(jì)算陰影部分的面積方法9．【中考·自貢】如圖所示，點(diǎn)B，C，D都在⊙O上，

過點(diǎn)C作AC∥BD交OB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A，連接CD，

且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝6cm.(1)求證：AC是⊙O的切線；(1)如圖，連接CO，交DB于點(diǎn)E，

∴∠O＝2∠CDB＝60°.又∵∠OBE＝30°，

∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°.∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°.

即OC⊥AC.又∵點(diǎn)C在⊙O上，∴AC是⊙O的切線．證明：(2)求由弦CD，BD與BC所圍成的陰影部分的面積．(結(jié)果保留π)︵(2)∵OE⊥DB，∴EB＝

DB＝3cm.

在Rt△EOB中，∵∠OBD＝30°，∴OE＝

OB.

∵EB＝3cm，∴由勾股定理可求得OB＝6cm.解：又∵∠CDB＝∠DBO，DE＝BE，∠CED＝∠OEB，∴△CDE≌△OBE.∴S△CDE＝S△OBE.∴S陰影＝S扇形OCB＝π·62＝6π(cm2)．9.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知⊙D經(jīng)過原點(diǎn)O,與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),OC與⊙D相交于點(diǎn)C,∠OCA=30°,求圖中陰影部分的面積10.如圖,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,以BC為直徑的圓交AC于點(diǎn)D,則圖中陰影部分的面積為______

如圖，半圓的直徑AB=2,弦CD∥AB,連AC.AD,∠CAD=30o,求陰影部分的面積。略解：連接OC.OD分析：所求陰影部分是非常規(guī)圖形，可轉(zhuǎn)化為常規(guī)圖形來解決．∠COD=60o

C、D為半圓的三