第11章平面彎曲11學(xué)時(shí)版

第十一章平面彎曲§11-1平面彎曲的概念及梁的計(jì)算簡圖1.平面彎曲的概念工程實(shí)例橋梁起重機(jī)大梁火車輪軸以承受彎曲變形為主的桿，稱為梁。梁的橫截面都有對稱軸梁有縱向?qū)ΨQ面，且載荷均作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，變形后梁的軸線仍在該平面內(nèi)，稱為平面彎曲。縱向?qū)ΨQ面MF1F2q(1)

支座的幾種基本形式

固定鉸支座2.梁的計(jì)算簡圖

可動鉸支座

固定端約束(2)載荷的簡化(a)集中荷載F集中力M集中力偶(b)分布荷載q(x)任意分布荷載q均布荷載XAYAMA

簡支梁

外伸梁

懸臂梁(3)靜定梁的基本形式10①

求反力ABLPab§11-2梁的內(nèi)力——剪力和彎矩LPabRAFxARB11xABLPabxMQ②

截面法求內(nèi)力PRBMQQ

剪力M

彎矩c12QQQQMMMM

剪力和彎矩的正負(fù)號規(guī)定13結(jié)合以上規(guī)定，有如下規(guī)律：（一側(cè)）（一側(cè)）其中，F(xiàn)yi對于左側(cè)梁上向上的橫向力或右側(cè)梁向下的橫向力取正值，反之取負(fù)。Moi對于向上的力產(chǎn)生的彎矩取正值，反之取負(fù)；對作用在梁上的外力偶矩，左側(cè)梁上順時(shí)針轉(zhuǎn)向或右側(cè)梁上逆時(shí)針轉(zhuǎn)向取正值，反之取負(fù)。14例11-2-1求圖示梁1－1、2－2截面的內(nèi)力。2m2m2mP=3kNm1=2kNmm2=6kNmq=1kN/m2mBA111m1m22解：(1)求反力RARB(2)根據(jù)規(guī)律求內(nèi)力152m2m2mP=3kNm1=2kNmm2=6kNmq=1kN/m2mBA111m1m22RARBRA=5KNRB=4KN162m2m2mP=3kNm1=2kNmm2=6kNmq=1kN/m2mBA111m1m22RARBRA=5KNRB=4KN17§11-3剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖

剪力方程

彎矩方程18QM例11-3-1圖示簡支梁受均布荷載q的作用。求剪力和彎矩方程并作剪力圖和彎矩圖。qlAB解：(1)求支反力RARB(2)求內(nèi)力方程(3)作內(nèi)力圖19例11-3-2圖示簡支梁C點(diǎn)處作用一集中力P，作該梁的剪力圖和彎矩圖。PabClAB解：(1)求支反力(2)建立剪力方程和彎矩方程RARBAC段：20QMPabClABRARBAC段：CB段：(3)作內(nèi)力圖21

由Q、M圖知：在集中力作用處，M圖發(fā)生轉(zhuǎn)折，Q圖發(fā)生突變，突變值等于集中力的值（從左向右作圖，突變方向沿集中力作用的方向）。QMPabClABRARB22例11-3-3在圖示簡支梁AB的C點(diǎn)處作用一集中力偶M，作該梁的剪力圖和彎矩圖。abClABM解：(1)求支反力(2)建立剪力方程和彎矩方程RARBAC段：23QMabClABMRARBAC段：CB段：(3)作內(nèi)力圖24

由Q、M圖知：在集中力偶作用處，剪力圖無變化，彎矩圖發(fā)生突變，突變值等于集中力偶的值。QabClABMRARBM25q(x)dx§11-4彎矩、剪力和分布載荷集度的關(guān)系

yxMFq(x)ABxdxM(x)Q(x)M(x)+dM(x)Q(x)+dQ(x)26q(x)dxcM(x)Q(x)M(x)+dM(x)Q(x)+dQ(x)略去高階微量還可有：27討論：（1）若q(x)=0，（2）若q(x)=常數(shù)，（3）若Q(x)=0，則該截面彎矩為極值。則剪力圖是平行于x軸的直線；彎矩圖為斜直線。則剪力圖為斜直線；彎矩圖為拋物線。a)q(x)=常數(shù)<0，；彎矩圖╲則剪力圖a)q(x)=常數(shù)>0，；彎矩圖

╱則剪力圖28a)在集中力作用處，剪力圖發(fā)生突變，突變值等于集中力的值（從左向右作圖，突變方向沿集中力作用的方向）；彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折。b)在集中力偶作用處，彎矩圖發(fā)生突變，突變值等于集中力偶的值；剪力圖無變化。（4）突變規(guī)律29常見荷載的內(nèi)力圖的特征荷載內(nèi)力圖q=0q=c集中力PP集中力偶mmQ圖特征水平線斜直線斜直線PP無影響M圖特征斜直線Q>0Q<0拋物線拋物線mm30qMQ解釋：31

根據(jù)M、Q與q之間的關(guān)系，可不必列剪力方程和彎矩方程，即可簡捷地畫出剪力圖和彎矩圖。

步驟：(1)根據(jù)載荷及約束力的作用位置，確定控制點(diǎn)。(2)求出控制點(diǎn)處的Q、M值。(3)依據(jù)微分關(guān)系判定控制點(diǎn)間各段

Q、M

圖的形狀，連接各段曲線，畫出Q圖與M圖。ABCD3m4m2mF=3kNq=1kN/mRARCm=6kN·m例11-4-1畫圖示梁的內(nèi)力圖。解：(1)求支反力Q圖M圖(kN)(kN·m)2.533.5ABCD3m4m2mF=3kNq=1kN/m11223366RA=2.5kNRC=6.5kN4455m=6kN.m(2)分段利用微分關(guān)系直接作圖M圖(kN·m)Q圖(kN)2.533.5ABCD3m4m2mF=3kNq=1kN/m11223366RA=2.5kNRC=6.5kN4455m=6kN.m2.5m779423.125一、純彎曲、剪切彎曲的概念PPaaCDAB

圖示梁CD段橫截面上只有彎矩，而無剪力，該段梁的彎曲稱為純彎曲。

AC與BD段橫截面上既有彎矩，又有剪力，該兩段梁的彎曲稱為剪切彎曲（或橫力彎曲）。MxPaQxPP§11-5彎曲正應(yīng)力

二、純彎曲時(shí)梁的正應(yīng)力公式兩個(gè)假設(shè)：⑴平面假設(shè)：變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，只是繞某軸轉(zhuǎn)動了一個(gè)角度，且仍垂直于梁的軸線。

⑵縱向纖維無擠壓假設(shè)：縱向纖維間無正應(yīng)力。橫截面對稱軸中性軸中性層縱向?qū)ΨQ面1變形幾何關(guān)系中性層的曲率半徑2物理關(guān)系3靜力關(guān)系yyxzdAz由

z

軸通過形心。即：中性軸必過截面形心。yyxzdAz由即：因?yàn)閥軸是對稱軸，上式自然滿足。yyxzdAz由EIZ

梁的抗彎剛度將上式代入此即純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式。zCzC引入符號：則有：

抗彎截面模量

兩種常用截面的抗彎截面系數(shù)

矩形截面

圓形截面剪切彎曲時(shí)的正應(yīng)力剪切彎曲時(shí)，橫截面上有剪應(yīng)力平面假設(shè)不再成立此外,此時(shí)縱向纖維無擠壓假設(shè)也不成立。但由實(shí)驗(yàn)和彈性力學(xué)的理論，有結(jié)論：當(dāng)梁的長度l與橫截面的高度h的比值:則用純彎曲的正應(yīng)力公式計(jì)算剪切彎曲時(shí)的正應(yīng)力有足夠的精度。

l/h>5的梁稱為細(xì)長梁。例題11-5-1求圖示矩形截面梁D截面上a、b、c三點(diǎn)的正應(yīng)力。ABCD2m2m2m12kNRARBzcab5623(cm)(上面受拉)解：(1)求支反力(2)求彎矩MDABCD2m2m2m12kNRARBzcab5623(cm)(拉)(拉)(3)求正應(yīng)力思考：如何求危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力？§11-6彎曲剪應(yīng)力

一、矩形截面基本假設(shè)：⑴截面上各點(diǎn)剪應(yīng)力與剪力同向；⑵距中性軸等距離各點(diǎn)的剪應(yīng)力相等。其中:同理可得:面積A1對中性軸z的靜矩上表面上剪應(yīng)力的合力：

由微分關(guān)系

由切應(yīng)力互等定理，得在上下邊緣處在中性層處因?yàn)榧矗鹤畲笄袘?yīng)力是平均剪應(yīng)力的1.5倍。二、其它常見截面工字形截面梁

腹板的剪應(yīng)力型鋼表中的即此處的思考：？T型截面max圓形截面環(huán)形截面zmaxzmaxzb

梁要安全工作，必須同時(shí)滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。⒈正應(yīng)力強(qiáng)度條件：⒉剪應(yīng)力強(qiáng)度條件：§11-7梁的強(qiáng)度計(jì)算對抗拉、抗壓強(qiáng)度不等的材料(如鑄鐵)，則——最大拉應(yīng)力——最大壓應(yīng)力——許用拉應(yīng)力——許用壓應(yīng)力對一般的梁，彎曲正應(yīng)力對梁的強(qiáng)度起主導(dǎo)作用，通常只需計(jì)算正應(yīng)力強(qiáng)度條件。(1)彎矩較小而剪力很大的情況：短粗梁，或在 支座附近作用有較大的集中力；(2)非標(biāo)準(zhǔn)的腹板較高且較薄的工字梁；(3)梁上的焊縫、鉚釘或膠合面。根據(jù)強(qiáng)度條件可進(jìn)行下述工程計(jì)算：⑴強(qiáng)度校核；⑵設(shè)計(jì)截面尺寸；⑶確定許可載荷。

但如下情況還需校核剪應(yīng)力強(qiáng)度條件：例11-7-1圖示梁，[+]=40MPa，[-]=100MPa，[]=20MPa。試校核該梁的強(qiáng)度。AB3m1m2mCDRB=30kN解：畫內(nèi)力圖RD=10kNM圖2010計(jì)算截面慣性矩101020Ｑ圖Cz2002003030157.5(kN)(kN·m)B截面最大拉應(yīng)力：B截面最大壓應(yīng)力：C截面最大拉應(yīng)力：C截面最大壓應(yīng)力：AB3m1m2mCDRB=30kNRD=10kNM圖2010101020Ｑ圖Cz2002003030157.5(kN)(kN·m)

經(jīng)比較可知，最大拉應(yīng)力發(fā)生在C截面的下邊緣；最大壓應(yīng)力發(fā)生在B截面的下邊緣。AB3m1m2mCDRB=30kNRD=10kNM圖2010101020Ｑ圖Cz2002003030157.5(kN)(kN·m)故此梁強(qiáng)度足夠。AB3m1m2mCDRB=30kNRD=10kNM圖2010101020Ｑ圖Cz2002003030157.5(kN)(kN·m)思考：若將梁的截面倒置，是否合理？例11-7-2（書例11-12）圖示簡支梁，l=2m，a=0.2m,q=10kN/m，P=200kN,[s]=160MPa，[t]=100MPa。試選擇工字鋼型號

。解：(1)求剪力圖和彎矩圖

先根據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇工字鋼型號

查型鋼表(p.294)單位為:cm

選22a工字鋼

校核剪切強(qiáng)度

腹板厚度：所以，選22a工字鋼，剪切強(qiáng)度不夠，需重選。

重選25b工字鋼:所以，選25b工字鋼可同時(shí)滿足正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。注：若選25a工字鋼，則：例11-7-3圖示梁由兩根木料膠合而成，已知木材的[]=10MPa，[]=1.0MPa，膠縫的[1]=0.4MPa，試確定許可載荷。AB3mRA=1.5qRB=1.5qz10010050解：求支座反力；畫剪力圖與彎矩圖；⑴按正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定許可載荷Q圖1.5q1.5qM圖1.125q⑵按剪應(yīng)力強(qiáng)度條件確定許可載荷AB3mRA=1.5qRB=1.5qz10010050Q圖1.5q1.5qM圖1.125q⑶按膠縫剪應(yīng)力強(qiáng)度條件確定許可載荷AB3mRA=1.5qRB=1.5qz10010050Q圖1.5q1.5qM圖1.125q許可載荷[q]應(yīng)取較小值§11-9梁的位移剛度條件

一、梁的位移

對梁除了有強(qiáng)度要求外，還有剛度要求。

大多數(shù)情況下，要求梁的變形不能過大；一些特殊情況下，要利用彎曲變形。

求解超靜定問題需要計(jì)算梁的變形。撓曲線——撓度——轉(zhuǎn)角

撓曲線方程（向上為正）（逆時(shí)針為正）

二、剛度條件其中[f]

、[]依具體情況而定，可查相關(guān)規(guī)范。上一章中，已得到：

由高等數(shù)學(xué)公式§11-10

梁的撓曲線微分方程及其積分在小變形的情況下，

方程中正負(fù)號的確定

故

或?qū)憺椤獡锨€近似微分方程xy積分一次，得再積分一次，得其中，C、D為積分常數(shù)，由邊界條件和連續(xù)性條件確定。PabClABRARBC例11-10-1試求圖示梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度。梁的EI已知，a>b。解：(1)求支反力，列彎矩方程AC段：CB段：(2)列近似微分方程，積分

連續(xù)條件

邊界條件PabClABC⑶確定積分常數(shù)PabClABC(4)求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度

由圖，最大轉(zhuǎn)角可能發(fā)生在A點(diǎn)或B點(diǎn)。因a>b，故B為最大轉(zhuǎn)角。PabClABC故最大撓度就發(fā)生在AC段。令：本例中采取了一些措施AC段：

關(guān)于確定積分常數(shù)CB段：彎矩方程措施1各段的坐標(biāo)原點(diǎn)為同一點(diǎn)：左端點(diǎn)。措施2積分時(shí)，保留(x2-a)

作為自變量。PabClABRARBC討論積分法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？

疊加法在線彈性小變形的條件下，得到撓曲線近似微分方程這是一個(gè)線性微分方程。設(shè)：§11-11疊加法求梁的變形單獨(dú)作用時(shí)：則共同作用時(shí)：重要結(jié)論：梁在若干個(gè)載荷共同作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計(jì)算彎曲變形的疊加法。由于梁的邊界條件不變，因此簡單載荷作用下可制作梁的位移表備查（表11-1）。見教材p202

。例11-11-1已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C

截面的撓度yC

；B截面的轉(zhuǎn)角B。1）將梁上的載荷分解yC1yC2yC32）查表得3種情形下C