2017年江西中考數(shù)學(xué)壓軸題大集合

PAGE2每個(gè)學(xué)生都應(yīng)該用的“超級(jí)學(xué)習(xí)筆記”□小郎錄題每個(gè)學(xué)生都應(yīng)該用的“超級(jí)學(xué)習(xí)筆記”□小郎錄題PAGE2深圳2017年中考數(shù)學(xué)壓軸題大集合第2頁(yè)（共30頁(yè)）一、函數(shù)與幾何綜合的壓軸題1.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，AB、CD都垂直于x軸，垂足分別為B、D且AD與B相交于E點(diǎn).已知：A(-2,-6),C(1,-3)求證：E點(diǎn)在y軸上；如果有一拋物線經(jīng)過(guò)A，E，C三點(diǎn)，求此拋物線方程.如果AB位置不變，再將DC水平向右移動(dòng)k(k>0)個(gè)單位，此時(shí)AD與BC相交于E′點(diǎn)，如圖②，求△AE′C的面積S關(guān)于k的函數(shù)解析式.圖②圖②C（1+k，-3）A（2，-6）BDOxE′yC（1，-3）A（2，-6）BDOxEy圖①圖①[解]（1）（本小題介紹二種方法，供參考）方法一：過(guò)E作EO′⊥x軸，垂足O′∴AB∥EO′∥DC∴又∵DO′+BO′=DB∴∵AB=6，DC=3，∴EO′=2又∵，∴∴DO′=DO，即O′與O重合，E在y軸上方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直線方程：y=2x-2①再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直線方程：y=-x-2②聯(lián)立①②得∴E點(diǎn)坐標(biāo)（0，-2），即E點(diǎn)在y軸上（2）設(shè)拋物線的方程y=ax2+bx+c(a≠0)過(guò)A（-2，-6），C（1，-3）E（0，-2）三點(diǎn)，得方程組解得a=-1,b=0,c=-2∴拋物線方程y=-x2-2（3）（本小題給出三種方法，供參考）由（1）當(dāng)DC水平向右平移k后，過(guò)AD與BC的交點(diǎn)E′作E′F⊥x軸垂足為F。同（1）可得：得：E′F=2方法一：又∵E′F∥AB，∴S△AE′C=S△ADC-S△E′DC===DB=3+kS=3+k為所求函數(shù)解析式方法二：∵BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA∴S△AE′C=S△BDE′∴S=3+k為所求函數(shù)解析式.證法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4∴∴S=3+k為所求函數(shù)解析式.2.（2015廣東茂名）已知：如圖，在直線坐標(biāo)系中，以點(diǎn)M（1，0）為圓心、直ABCOxyP（1，－1）ABCOxyP（1，－1）·M（2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,則MB＝MA＝.又OM=1，∴A（1－，0），B（1＋，0），由拋物線及圓的對(duì)稱(chēng)性得知點(diǎn)C在直線PM上，則C(1，－3).點(diǎn)A、B、C在拋物線上，則解之得拋物線解析式為（3）假設(shè)存在點(diǎn)D，使OC與PD互相平分，則四邊形OPCD為平行四邊形，且PC∥OD.又PC∥y軸，∴點(diǎn)D在y軸上，∴OD＝2，即D（0，－2）.又點(diǎn)D（0，－2）在拋物線上，故存在點(diǎn)D（0，－2），使線段OC與PD互相平分..（2015湖北襄樊）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C（0，）在軸的正半軸上，A、B是軸上是兩點(diǎn)，且OA∶OB＝3∶1，以O(shè)A、OB為直徑的圓分別交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F.直線EF交OC于點(diǎn)Q.（1）求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）請(qǐng)猜想：直線EF與兩圓有怎樣的位置關(guān)系？并證明你的猜想.AyxBEFO1QOO2C（3）在△AOC中，設(shè)點(diǎn)M是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作MN∥AB交OC于點(diǎn)N.試問(wèn)：在AyxBEFO1QOO2C[解](1)在Rt△ABC中，OC⊥AB，∴△AOC≌△COB.∴OC2＝OA·OB.∵OA∶OB＝3∶1,C(0,),BAEBAEFO1QOO2yx2134NMPC∴OB＝1.∴OA＝3.∴A(-3,0),B(1,0).設(shè)拋物線的解析式為則解之，得∴經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為(2)EF與⊙O1、⊙O2都相切.證明：連結(jié)O1E、OE、OF.∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°,∴四邊形EOFC為矩形.∴QE＝QO.∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°，∴EF與⊙O1相切.同理：EF理⊙O2相切.(3)作MP⊥OA于P，設(shè)MN＝a,由題意可得MP＝MN＝a.∵M(jìn)N∥OA,∴△CMN∽△CAO.∴∴解之，得此時(shí)，四邊形OPMN是正方形.∴∴考慮到四邊形PMNO此時(shí)為正方形，∴點(diǎn)P在原點(diǎn)時(shí)仍可滿足△PNN是以MN為一直角邊的等腰直角三角形.故軸上存在點(diǎn)P使得△PMN是一個(gè)以MN為一直角邊的等腰直角三角形且或5.（2015湖北宜昌）如圖，已知點(diǎn)A(0，1)、C(4，3)、E(，)，P是以AC為對(duì)角線的矩形ABCD內(nèi)部(不在各邊上)的—個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在y軸，拋物線y＝ax2+bx+1以P為頂點(diǎn)．(1)說(shuō)明點(diǎn)A、C、E在一條條直線上；(2)能否判斷拋物線y＝ax2+bx+1的開(kāi)口方向?請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)拋物線y＝ax2+bx+1與x軸有交點(diǎn)F、G(F在G的左側(cè))，△GAO與△FAO的面積差為3，且這條拋物線與線段AE有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．這時(shí)能確定a、b的值嗎?若能，請(qǐng)求出a、b的值；若不能，請(qǐng)確定a、b的取值范圍．XOXOPDCABY[解]（1）由題意，A(0，1)、C(4，3)確定的解析式為：y=x+1.將點(diǎn)E的坐標(biāo)E(，)代入y=x+1中，左邊=，右邊=×+1=，∵左邊=右邊，∴點(diǎn)E在直線y=x+1上，即點(diǎn)A、C、E在一條直線上.（2）解法一：由于動(dòng)點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)部，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)大于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，而點(diǎn)A與點(diǎn)P都在拋物線上，且P為頂點(diǎn)，∴這條拋物線有最高點(diǎn)，拋物線的開(kāi)口向下解法二：∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，且P在矩形ABCD內(nèi)部，∴1＜＜3，由1＜1—得—＞0，∴a＜0，∴拋物線的開(kāi)口向下.XGFOPDECABY（3）連接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3∴GO·AO—FO·AO=3∵OA=1，∴GO—FO=6.設(shè)F（x1,0）、G（x2,0），則x1、x2為方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，且x1＜x2，又∵a＜0，∴x1·x2=＜0，XGFOPDECABY∴GO=x2，F(xiàn)O=—x1，∴x2—（—x1）=6，即x2+x1=6，∵x2+x1=—∴—=6，∴b=—6a,∴拋物線解析式為：y=ax2—6ax+1,其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1—9a）,∵頂點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)部，由方程組y=ax2—6ax+1y=x+1得：由方程組y=ax2—6ax+1y=x+1得：ax2—（6a+）x=0∴x=0或x==6+.當(dāng)x=0時(shí)，即拋物線與線段AE交于點(diǎn)A，而這條拋物線與線段AE有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則有：0＜6+≤，解得：—≤a＜—綜合得：—＜a＜—∵b=—6a，∴＜b＜0xy6.（2017湖南長(zhǎng)沙）已知兩點(diǎn)O(0，0)、B(0，2)，⊙A過(guò)點(diǎn)B且與x軸分別相交于點(diǎn)O、C，⊙A被y軸分成段兩圓弧，其弧長(zhǎng)之比為3∶1，直線l與⊙A切于點(diǎn)O，拋物線的頂點(diǎn)在直線l上運(yùn)動(dòng).

（1）求⊙A的半徑；

（2）若拋物線經(jīng)過(guò)O、C兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；

（3）過(guò)l上一點(diǎn)P的直線與⊙A交于C、E兩點(diǎn)，且PC＝CE，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（4）若拋物線與x軸分別相交于C、F兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求△PEC的面積關(guān)于m0xy[解](1)由弧長(zhǎng)之比為3∶1，可得∠BAO＝90o再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝eq\r(2)(2)⊙A的切線l過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)l為y＝kx

任取l上一點(diǎn)(b，kb)，由l與y軸夾角為45o可得：

b＝－kb或b＝kb，得k＝－1或k＝1，

∴直線l的解析式為y＝－x或y＝x

又由r＝，易得C(2，0)或C(－2，0)

由此可設(shè)拋物線解析式為y＝ax(x－2)或y＝ax(x＋2)

再把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入l的解析式中得a＝1

∴拋物線為y＝x2－2x或y＝x2＋2x ……6分(3)當(dāng)l的解析式為y＝－x時(shí)，由P在l上，可設(shè)P(m，－m)(m＞0)

過(guò)P作PP′⊥x軸于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m2，

又由切割線定理可得：OP2＝PC·PE,且PC＝CE，得PC＝PE＝m＝PP′7分

∴C與P′為同一點(diǎn)，即PE⊥x軸于C，∴m＝－2，E(－2，2)…8分

同理，當(dāng)l的解析式為y＝x時(shí)，m＝－2，E(－2，2)(4)若C(2，0)，此時(shí)l為y＝－x，∵P與點(diǎn)O、點(diǎn)C不重合，∴m≠0且m≠2，

當(dāng)m＜0時(shí)，F(xiàn)C＝2(2－m)，高為|yp|即為－m，

∴S＝

同理當(dāng)0＜m＜2時(shí)，S＝－m2＋2m；當(dāng)m＞2時(shí)，S＝m2－2m；

∴S＝又若C(－2，0)，

此時(shí)l為y＝x，同理可得；S＝AAAB(－2,0)CC(2,0)lOPEP′xy（2,0）PClOyxCFFFPP7.（2015江蘇連云港）如圖，直線與函數(shù)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，且與x、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)．（1）若的面積是的面積的倍，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；yx（2）在（1）的條件下，是否存在和，使得以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．若存在，求出和的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．yx[解]（1）設(shè)，(其中)，由，得∴··(····)，，又，∴，即，由可得，代入可得①yx∴，，yx∴，即．又方程①的判別式，∴所求的函數(shù)關(guān)系式為．（2）假設(shè)存在,，使得以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．則，過(guò)、分別作軸的垂線，垂足分別為、．∵與都與互余，∴．∴Rt∽R(shí)t，∴．∴，∴，∴，即②由（1）知，，代入②得，∴或，又，∴或，∴存在,，使得以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且或．8.（2015江蘇鎮(zhèn)江）已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)C，且AB=6.（1）求拋物線和直線BC的解析式.（2）在給定的直角坐標(biāo)系中，畫(huà)拋物線和直線BC.（3）若過(guò)A、B、C三點(diǎn)，求的半徑.（4）拋物線上是否存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，使被直線BC分成面積比為的兩部分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.[解]（1）由題意得：xyO解得xyO經(jīng)檢驗(yàn)m=1，∴拋物線的解析式為：或：由得，或拋物線的解析式為由得∴A（－5，0），B（1，0），C（0，－5）.設(shè)直線BC的解析式為則∴直線BC的解析式為(2)圖象略.（3）法一：在中，.又∴的半徑法二：由題意，圓心P在AB的中垂線上，即在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸直線上，設(shè)P（－2，－h(huán)）（h＞0），連結(jié)PB、PC，則，由，即，解得h=2.的半徑.法三：延長(zhǎng)CP交于點(diǎn)F.為的直徑，又又的半徑為（4）設(shè)MN交直線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)M的坐標(biāo)為則點(diǎn)E的坐標(biāo)為若則解得（不合題意舍去），若則解得（不合題意舍去），存在點(diǎn)M，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或（15，280）.9.如圖，⊙M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為、，直徑CD⊥x軸于N，直線CE切⊙M于點(diǎn)C，直線FG切⊙M于點(diǎn)F，交CE于G，已知點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為3.若拋物線經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo).求直線DF的解析式.是否存在過(guò)點(diǎn)G的直線，使它與（1）中拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于4？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的直線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（第9題圖）AyxONMGF（第9題圖）AyxONMGFEDCB∴，m=3.∴拋物線為.又拋物線過(guò)點(diǎn)D，由圓的對(duì)稱(chēng)性知點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).∴D點(diǎn)坐標(biāo)為.(2)由題意知：AB=4.∵CD⊥x軸，∴NA=NB=2.∴ON=1.由相交弦定理得：NA·NB=ND·NC，∴NC×4=2×2.∴NC=1.∴C點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)直線DF交CE于P，連結(jié)CF，則∠CFP=90°.∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°.∵GC、GF是切線，F(xiàn)BAyxONMGEFBAyxONMGEDCP1234∴∠1=∠2.∴GF=GP.∴GC=GP.可得CP=8.∴P點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)直線DF的解析式為則解得∴直線DF的解析式為：(3)假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)G的直線為，則，∴.由方程組得由題意得，∴.當(dāng)時(shí)，，∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根，方程組無(wú)實(shí)數(shù)解.∴滿足條件的直線不存在.10.（2014山西）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（－3，6），并與x軸交于點(diǎn)B（－1，0）和點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P.（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并在下面的坐標(biāo)系中畫(huà)出該二次函數(shù)的圖象；（2）設(shè)D為線段OC上的一點(diǎn)，滿足∠DPC＝∠BAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使以M為圓心的圓與AC、PC所在的直線及y軸都相切？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.[解]（1）解：∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A（－3，6），B（－1，0）xOy得解得xOy∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：由解析式可求P（1，－2），C（3，0）畫(huà)出二次函數(shù)的圖像（2）解法一：易證：∠ACB＝∠PCD＝45°又已知：∠DPC＝∠BAC∴△DPC∽△BAC∴易求∴∴∴解法二：過(guò)A作AE⊥x軸，垂足為E.設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于F.亦可證△AEB∽△PFD、∴.易求：AE＝6，EB＝2，PF＝2∴∴∴（3）存在.（1°）過(guò)M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分別為H、G，設(shè)AC交y軸于S，CP的延長(zhǎng)線交y軸于T∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的內(nèi)切圓圓心，∴MG＝MH＝OM又∵且OM＋MC＝OC∴∴（2°）在x軸的負(fù)半軸上，存在一點(diǎn)M′同理OM′＋OC＝M′C，得∴M′即在x軸上存在滿足條件的兩個(gè)點(diǎn).MM′T11-1-24-323056E-1-223ACxyBDMFSGHP11.（2013浙江紹興）在平面直角坐標(biāo)系中，A（－1，0），B（3，0）.（1）若拋物線過(guò)A，B兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)（0，－3），求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖，小敏發(fā)現(xiàn)所有過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線如果與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，M為拋物線的頂點(diǎn)，那么△ACM與△ACB的面積比不變，請(qǐng)你求出這個(gè)比值；ABCMOxy（3）若對(duì)稱(chēng)軸是AB的中垂線l的拋物線與x軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)，與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)C作CP∥x軸交l于點(diǎn)P，M為此拋物線的頂點(diǎn).ABCMOxy[解]（1），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－4）.（2）由題意，設(shè)y＝a（x＋1）（x－3），即y＝ax2－2ax－3a，∴A（－1，0），B（3，0），C（0，－3a），M（1，－4a），∴S△ACB＝×4×＝6，而a＞0，∴S△ACB＝6A、作MD⊥x軸于D，又S△ACM＝S△ACO＋SOCMD－S△AMD＝·1·3a＋（3a＋4a）－·2·4a＝a，∴S△ACM：S△ACB＝1：6.（3）①當(dāng)拋物線開(kāi)口向上時(shí)，設(shè)y＝a（x－1）2＋k，即y＝ax2－2ax＋a＋k，有菱形可知＝，a＋k＞0，k＜0，∴k＝，∴y＝ax2－2ax＋，∴.記l與x軸交點(diǎn)為D，若∠PEM＝60°，則∠FEM＝30°，MD＝DE·tan30°＝，∴k＝－，a＝，∴拋物線的解析式為.若∠PEM＝120°，則∠FEM＝60°，MD＝DE·tan60°＝，∴k＝－，a＝，∴拋物線的解析式為.②當(dāng)拋物線開(kāi)口向下時(shí)，同理可得，.12.（2016北京）已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，拋物線經(jīng)過(guò)O、A兩點(diǎn)。（1）試用含a的代數(shù)式表示b；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，以D為圓心，DA為半徑的圓被x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分。若將劣弧沿x軸翻折，翻折后的劣弧落在⊙D內(nèi)，它所在的圓恰與OD相切，求⊙D半徑的長(zhǎng)及拋物線的解析式；（3）設(shè)點(diǎn)B是滿足（2）中條件的優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拋物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。[解]（1）解法一：∵一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）∵拋物線經(jīng)過(guò)O、A兩點(diǎn)解法二：∵一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）∵拋物線經(jīng)過(guò)O、A兩點(diǎn)∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線（2）由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，DO＝DA∴點(diǎn)O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO又由（1）知拋物線的解析式為∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）①當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)D'與點(diǎn)D也關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)∵點(diǎn)O在⊙D'上，且⊙D與⊙D'相切∴點(diǎn)O為切點(diǎn)∴D'O⊥OD∴∠DOA＝∠D'OA＝45°∴△ADO為等腰直角三角形∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為∴拋物線的解析式為②當(dāng)時(shí)，同理可得：拋物線的解析式為綜上，⊙D半徑的長(zhǎng)為，拋物線的解析式為或（3）拋物線在x軸上方的部分上存在點(diǎn)P，使得設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），且y＞0①當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)（如圖2）∵點(diǎn)B是⊙D的優(yōu)弧上的一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E由解得：（舍去）∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為②當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)（如圖3）同理可得，由解得：（舍去）∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為綜上，存在滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或13.（2015北京豐臺(tái)）在直角坐標(biāo)系中，⊙經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A、B。（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作⊙的切線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)O到直線AB的距離為，求直線AC的解析式；（2）若⊙經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，2），設(shè)的內(nèi)切圓的直徑為d，試判斷d+AB的值是否會(huì)發(fā)生變化，如果不變，求出其值，如果變化，求其變化的范圍。[解]（1）如圖1，過(guò)O作于G，則 設(shè)（3，0）AB是⊙的直徑切⊙于A，在中設(shè)直線AC的解析式為，則 直線AC的解析式為 （2）結(jié)論：的值不會(huì)發(fā)生變化 設(shè)的內(nèi)切圓分別切OA、OB、AB于點(diǎn)P、Q、T，如圖2所示圖2則在x軸上取一點(diǎn)N，使AN=OB，連接OM、BM、AM、MN平分的值不會(huì)發(fā)生變化，其值為4。14.（2016福建廈門(mén)）已知：O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P（m，n）(m＞0)是函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k＞0)上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線PA⊥OP于P，直線PA與x軸的正半軸交于點(diǎn)A（a，0）(a＞m).設(shè)△OPA的面積為s，且s＝1＋eq\f(n4,4).（1）當(dāng)n＝1時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）若OP＝AP，求k的值；(3)設(shè)n是小于20的整數(shù)，且k≠eq\f(n4,2)，求OP2的最小值.[解]過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于Q，則PQ＝n，OQ＝m當(dāng)n＝1時(shí)，s＝eq\f(5,4)∴a＝eq\f(2s,n)＝eq\f(5,2)(2)解1：∵OP＝APPA⊥OP∴△OPA是等腰直角三角形∴m＝n＝eq\f(a,2)∴1＋eq\f(n4,4)＝eq\f(1,2)·an即n4－4n2＋4＝0∴k2－4k＋4＝0∴k＝2解2：∵OP＝APPA⊥OP∴△OPA是等腰直角三角形∴m＝n設(shè)△OPQ的面積為s1則：s1＝eq\f(s,2)∴eq\f(1,2)·mn＝eq\f(1,2)(1＋eq\f(n4,4))即：n4－4n2＋4＝0∴k2－4k＋4＝0∴k＝2(3)解1：∵PA⊥OP，PQ⊥OA∴△OPQ∽△OAP設(shè)：△OPQ的面積為s1，則eq\f(s1,s)＝eq\f(PO2,AO2)即：eq\f(eq\f(1,2)k,1＋eq\f(n4,4))＝eq\f(n2＋eq\f(k2,n2),eq\f(4(1＋eq\f(n4,4))EQ\S(2),n2))化簡(jiǎn)得：2n4＋2k2－kn4－4k＝0（k－2）（2k－n4）＝0∴k＝2或k＝eq\f(n4,2)(舍去)∴當(dāng)n是小于20的整數(shù)時(shí)，k＝2.∵OP2＝n2＋m2＝n2＋eq\f(k2,n2)又m＞0，k＝2，∴n是大于0且小于20的整數(shù)當(dāng)n＝1時(shí)，OP2＝5當(dāng)n＝2時(shí)，OP2＝5當(dāng)n＝3時(shí)，OP2＝32＋eq\f(4,32)＝9＋eq\f(4,9)＝eq\f(85,9)當(dāng)n是大于3且小于20的整數(shù)時(shí)，即當(dāng)n＝4、5、6、…、19時(shí)，OP2得值分別是：42＋eq\f(4,42)、52＋eq\f(4,52)、62＋eq\f(4,62)、…、192＋eq\f(4,192)∵192＋eq\f(4,192)＞182＋eq\f(4,182)＞…＞32＋eq\f(4,32)＞5∴OP2的最小值是5.解2：∵OP2＝n2＋m2＝n2＋eq\f(k2,n2)＝n2＋eq\f(22,n2)＝(n－eq\f(2,n))EQ\S(2)＋4當(dāng)n＝eq\f(2,n)時(shí)，即當(dāng)n＝eq\r(2)時(shí)，OP2最??；又∵n是整數(shù)，而當(dāng)n＝1時(shí)，OP2＝5；n＝2時(shí)，OP2＝5∴OP2的最小值是5.解3：∵PA⊥OP，PQ⊥OA∴△OPQ∽△PAQeq\f(PQ,QA)＝eq\f(OQ,PQ)eq\f(n,a－m)＝eq\f(m,n)化簡(jiǎn)得：2n4＋2k2－kn4－4k＝0（k－2）（2k－n4）＝0∴k＝2或k＝eq\f(n4,2)(舍去)解4：∵PA⊥OP，PQ⊥OA∴△OPQ∽△PAQeq\f(s1,s－s1)＝eq\f(OQ2,PQ2)化簡(jiǎn)得：2n4＋2k2－kn4－4k＝0（k－2）（2k－n4）＝0∴k＝2或k＝eq\f(n4,2)(舍去)解5：∵PA⊥OP，PQ⊥OA∴△OPQ∽△OAP∴eq\f(OP,OA)＝eq\f(OQ,OP)∴OP2＝OQ·OA化簡(jiǎn)得：2n4＋2k2－kn4－4k＝0（k－2）（2k－n4）＝0∴k＝2或k＝eq\f(n4,2)(舍去)15.（2015湖北黃岡課改）如圖，在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（18，0），B（18，6），C（8，6），四邊形OABC是梯形，點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別坐勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q沿OC、CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)這兩點(diǎn)有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)。（1）求出直線OC的解析式及經(jīng)過(guò)O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式。QAPOQAPOC（8，6）B（18，6）A（18，0）xy（3）設(shè)從出發(fā)起，運(yùn)動(dòng)了t秒。如果點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位，試寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并寫(xiě)出此時(shí)t的取值范圍。（4）設(shè)從出發(fā)起，運(yùn)動(dòng)了t秒。當(dāng)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程之和恰好等于梯形OABC的周長(zhǎng)的一半，這時(shí)，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分，如有可能，請(qǐng)求出t的值；如不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由。[解]（1）∵O、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O，C設(shè)OC的解析式為，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，，∴∵A，O是軸上兩點(diǎn)，故可設(shè)拋物線的解析式為再將C代入得：∴（2）D（3）當(dāng)Q在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可設(shè)Q，依題意有：∴，∴Q，當(dāng)Q在CB上時(shí)，Q點(diǎn)所走過(guò)的路程為，∵OC＝10，∴CQ＝∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴Q，（4）∵梯形OABC的周長(zhǎng)為44，當(dāng)Q點(diǎn)OC上時(shí)，P運(yùn)動(dòng)的路程為，則Q運(yùn)動(dòng)的路程為△OPQ中，OP邊上的高為：梯形OABC的面積＝，依題意有：整理得：∵△＝，∴這樣的不存在當(dāng)Q在BC上時(shí)，Q走過(guò)的路程為，∴CQ的長(zhǎng)為：∴梯形OCQP的面積＝＝36≠84×∴這樣的值不存在綜上所述，不存在這樣的值，使得P，Q兩點(diǎn)同時(shí)平分梯形的周長(zhǎng)和面積16.（2015湖北荊門(mén)）已知：如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，∠ACB＝90°，（1）求m的值及拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）