狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)與計算2022優(yōu)秀文檔

Ch.3線性系統(tǒng)的時域分析

形狀轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)與計算(1/1)3.2形狀轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)與計算下面進一步討論前面引入的形狀轉(zhuǎn)移矩陣,主要內(nèi)容為:根本定義矩陣指數(shù)函數(shù)和形狀轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)形狀轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)形狀轉(zhuǎn)移矩陣的定義(1/4)3.2.1形狀轉(zhuǎn)移矩陣的定義定義對于線性定常延續(xù)系統(tǒng)x’Ax,當初始時辰t00時,滿足如下矩陣微分方程和初始條件:

’(t)A(t),(t)|t0I

的解(t)為線性定常延續(xù)系統(tǒng)x’Ax的形狀轉(zhuǎn)移矩陣這里定義的形狀轉(zhuǎn)移矩陣與前面定義的是一致的引入上述形狀轉(zhuǎn)移矩陣新定義,主要是為了使形狀轉(zhuǎn)移矩陣的概念易于推行到時變系統(tǒng)和離散系統(tǒng)等使得有能夠?qū)Ω鞣N類型系統(tǒng)的形狀方程的解作一致描畫,更好地刻劃系統(tǒng)形狀運動變化的規(guī)律當系統(tǒng)矩陣A為nn維方陣時,形狀轉(zhuǎn)移矩陣Φ(t)亦為nn維方陣,且其元素為時間t的函數(shù)下面討論幾種特殊方式的系統(tǒng)矩陣A的形狀轉(zhuǎn)移矩陣(1)對角線矩陣當A為如下對角線矩陣:Adiag{12…n}那么形狀轉(zhuǎn)移矩陣為式中,diag{…}表示由括號內(nèi)元素組成對角線矩陣形狀轉(zhuǎn)移矩陣的定義(2/4)(2)塊對角矩陣當A為如下塊對角矩陣:

Ablock-diag{A1A2…Al},

其中Ai為mimi維的分塊矩陣,那么形狀轉(zhuǎn)移矩陣為

式中,block-diag{…}表示由括號內(nèi)各方塊矩陣組成塊對角矩陣形狀轉(zhuǎn)移矩陣的定義(3/4)(3)約旦塊矩陣當Ai為特征值為i的mimi維約旦塊,那么分塊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)為對上述三種特殊方式矩陣的形狀轉(zhuǎn)移矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù),可利用矩陣指數(shù)函數(shù)的展開式證明形狀轉(zhuǎn)移矩陣的定義(4/4)矩陣指數(shù)函數(shù)和形狀轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)(1/4)3.2.2矩陣指數(shù)函數(shù)和形狀轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)由矩陣指數(shù)函數(shù)的展開式和形狀轉(zhuǎn)移矩陣的定義,可證明矩陣指數(shù)函數(shù)和形狀轉(zhuǎn)移矩陣Φ(t)具有如下性質(zhì)1)Φ(0)eA0I2)eA(t+s)eAteAs,Φ(t+s)Φ(t)Φ(s),式中t和s為兩個獨立的標量自變量證明:由指數(shù)矩陣函數(shù)的展開式,有矩陣指數(shù)函數(shù)和形狀轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)(2/4)3)[Φ(t2t1)]1Φ(t1t2)

4)對于nn階的方陣A和B,下式僅當ABBA時才成立e(A+B)teAteBt5)6)[Φ(t)]nΦ(nt)7)Φ(t2t1)Φ(t1t0)Φ(t2t0)矩陣指數(shù)函數(shù)和形狀轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)(3/4)由形狀轉(zhuǎn)移矩陣的意義,有x(t2)=Φ(t2-t1)x(t1)=Φ(t2-t1)[Φ(t1-t0)x(t0)]=[Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)]x(t0)而x(t2)=Φ(t2-t0)x(t0)因此,性質(zhì)7)闡明,在系統(tǒng)的形狀轉(zhuǎn)移過程中,既可以將系統(tǒng)的一步形狀轉(zhuǎn)移分解成多步形狀轉(zhuǎn)移,也可以將系統(tǒng)的多步形狀轉(zhuǎn)移等效為一步形狀轉(zhuǎn)移,如上圖所示系統(tǒng)的形狀轉(zhuǎn)移矩陣指數(shù)函數(shù)和形狀轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)(4/4)例3-3求如下系統(tǒng)的形狀轉(zhuǎn)移矩陣的逆矩陣解：對于該系統(tǒng),在例3-1已求得形狀轉(zhuǎn)移矩陣為由于Φ1(t)=Φ(t),所以求得形狀轉(zhuǎn)移矩陣的逆矩陣為Adiag{12…n}由于矩陣A為友矩陣,故將A變換成約旦矩陣的變換矩陣P和其逆陣P1分別為約旦規(guī)范形法(7/8)由于矩陣A為友矩陣,故將A變換成約旦矩陣的變換矩陣P和其逆陣P1分別為約旦規(guī)范形法(5/8)其計算精度取決于矩陣級數(shù)的收斂性與計算時所取的項數(shù)的多少約旦規(guī)范形法(1/8)12231解按矩陣指數(shù)函數(shù)的展開式計算如下:可經(jīng)過線性變換將普通方式的矩陣變換成對角線矩陣或約旦矩陣,由矩陣指數(shù)函數(shù)的展開式和形狀轉(zhuǎn)移矩陣的定義,可證明矩陣指數(shù)函數(shù)和形狀轉(zhuǎn)移矩陣Φ(t)具有如下性質(zhì)由矩陣指數(shù)函數(shù)的展開式和形狀轉(zhuǎn)移矩陣的定義,可證明矩陣指數(shù)函數(shù)和形狀轉(zhuǎn)移矩陣Φ(t)具有如下性質(zhì)假設(shè)級數(shù)收斂較慢,那么需計算的級數(shù)項數(shù)多,人工計算是非常費事的,普通只適用于計算機計算該結(jié)論可簡單證明如下:下面首先討論矩陣指數(shù)函數(shù)的一條性質(zhì):形狀轉(zhuǎn)移矩陣計算(1/1)3.3.3形狀轉(zhuǎn)移矩陣計算在形狀方程求解中,關(guān)鍵是形狀轉(zhuǎn)移矩陣(t)的計算對于線性定常延續(xù)系統(tǒng),該問題又歸結(jié)為矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計算上一節(jié)曾經(jīng)引見了基于拉氏反變換技術(shù)的矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計算方法,下面講述計算矩陣指數(shù)函數(shù)的下述其他兩種常用方法級數(shù)求和法約旦規(guī)范形法級數(shù)求和法(1/3)1.級數(shù)求和法由上一節(jié)對矩陣指數(shù)函數(shù)的定義過程中可知:矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計算可由上述定義式直接計算由于上述定義式是一個無窮級數(shù),故在用此方法計算eAt時必需思索級數(shù)收斂性條件和計算收斂速度問題級數(shù)求和法(2/3)顯然,用此方法計算eAt普通不能寫成封鎖的和簡約的解析方式,只能得到數(shù)值計算的近似計算結(jié)果其計算精度取決于矩陣級數(shù)的收斂性與計算時所取的項數(shù)的多少假設(shè)級數(shù)收斂較慢,那么需計算的級數(shù)項數(shù)多,人工計算是非常費事的,普通只適用于計算機計算因此,該方法的缺陷:計算量大精度低非解析方法,難以得到計算結(jié)果的簡約的解析表達式級數(shù)求和法(3/3)例3-4用直接計算法求下述矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù):解按矩陣指數(shù)函數(shù)的展開式計算如下:約旦規(guī)范形法(1/8)2.約旦規(guī)范形法上節(jié)給出了對角線矩陣、塊對角矩陣和約旦塊三種特殊方式矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)由于任何矩陣都可經(jīng)線性變換成為對角線矩陣或約旦矩陣,因此可經(jīng)過線性變換將普通方式的矩陣變換成對角線矩陣或約旦矩陣,再利用上述特殊方式矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)來快速計算矩陣矩陣指數(shù)函數(shù)下面討論之下面首先討論矩陣指數(shù)函數(shù)的一條性質(zhì):對矩陣A,經(jīng)變換矩陣P作線性變換后,有那么相應地有如下矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系約旦規(guī)范形法(2/8)約旦規(guī)范形法(3/8)該結(jié)論可簡單證明如下:根據(jù)上述性質(zhì),對矩陣A,可經(jīng)過線性變換方法得到對角線矩陣或約旦矩陣,然后利用該類特殊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù),由矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系來求原矩陣A的矩陣指數(shù)函數(shù)約旦規(guī)范形法(4/8)例3-5試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)解1.先求A的特征值由特征方程可求得特征值為1122332.求特征值所對應的特征向量由前述的方法可求得特征值1,2和3所對應的特征向量分別為p1[101]p2[124]p3[169]約旦規(guī)范形法(5/8)故將A變換成對角線矩陣的變換矩陣P及其逆陣P1為3.對角線規(guī)范形及對應的轉(zhuǎn)移矩陣:約旦規(guī)范形法(6/8)例3-6試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)4.由系統(tǒng)矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系,得顯然,用此方法計算eAt普通不能寫成封鎖的和簡約的解析方式,只能得到數(shù)值計算的近似計算結(jié)果p1[101]p2[124]p3[169]其計算精度取決于矩陣級數(shù)的收斂性與計算時所取的項數(shù)的多少上一節(jié)曾經(jīng)引見了基于拉氏反變換技術(shù)的矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計算方法,下面講述計算矩陣指數(shù)函數(shù)的下述其他兩種常用方法對于線性定常延續(xù)系統(tǒng),該問題又歸結(jié)為矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計算約旦規(guī)范形法(1/8)約旦規(guī)范形及對應的轉(zhuǎn)移矩陣:由上一節(jié)對矩陣指數(shù)函數(shù)的定義過程中可知:矩陣指數(shù)函數(shù)和形狀轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)(2/4)證明:由指數(shù)矩陣函數(shù)的展開式,有=[Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)]x(t0)根據(jù)上述性質(zhì),對矩陣A,可經(jīng)過線性變換方法得到對角線矩陣或約旦矩陣,然后利用該類特殊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù),由矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系來求原矩陣A的矩陣指數(shù)函數(shù)因此,該方法的缺陷:約旦規(guī)范形及對應的轉(zhuǎn)移矩陣:對上述三種特殊方式矩陣的形狀轉(zhuǎn)移矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù),可利用矩陣指數(shù)函