三角恒等變換專(zhuān)題

/三角恒等變換專(zhuān)題復(fù)習(xí)（一)2012-8－7一、基本內(nèi)容串講1。兩角和與差的正弦、余弦和正切公式如下：;；對(duì)其變形:tanα+tａnβ=tan(α+β）（1—tanαtanβ）,有時(shí)應(yīng)用該公式比較方便.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：..。要熟悉余弦“倍角”與“二次”的關(guān)系(升角—降次，降角—升次）．特別注意公式的三角表達(dá)形式,且要善于變形，這兩個(gè)形式常用.3.輔助角公式：４。簡(jiǎn)單的三角恒等變換（1)變換對(duì)象：角、名稱(chēng)和形式,三角變換只變其形,不變其質(zhì)。（2）變換目標(biāo):利用公式簡(jiǎn)化三角函數(shù)式，達(dá)到化簡(jiǎn)、計(jì)算或證明的目的。(3）變換依據(jù):兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4)變換思路：明確變換目標(biāo)，選擇變換公式，設(shè)計(jì)變換途徑.5。常見(jiàn)題目類(lèi)型及解題技巧（最后師生共同總結(jié))二、考點(diǎn)闡述考點(diǎn)1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式。1、的值等于（）2、若,,則等于（）考點(diǎn)2二倍角的正弦、余弦、正切公式3、cosｃos的值等于（）4、已知,且,那么等于(）考點(diǎn)3運(yùn)用相關(guān)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換5、已知?jiǎng)t的值等于（)６、已知?jiǎng)t值等于（）7、函數(shù)是（Ｃ)(Ａ）周期為的奇函數(shù)?（B)周期為的偶函數(shù)（C)周期為的奇函數(shù) （D)周期為的偶函數(shù) 三、解題方法分析１.熟悉三角函數(shù)公式，從公式的內(nèi)在聯(lián)系上尋找切入點(diǎn)【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)中出現(xiàn)的公式較多，要從角名稱(chēng)、結(jié)構(gòu)上弄清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，做到真正的理解、記熟、用活。解決問(wèn)題時(shí)究竟使用哪個(gè)公式,要抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，善于聯(lián)想，靈活運(yùn)用。例1設(shè)則有（)【點(diǎn)評(píng)】:本題屬于“理解”層次，要能善于正用、逆用、變用公式。例如:sｉnｃos=，coｓ=，，，，,，,tanα＋tａnβ=ｔａn（α+β）(1－tａnαtaｎβ）等.另外，三角函數(shù)式asinx+bcｏsx是基本三角函數(shù)式之一，引進(jìn)輔助角,將它化為即asinx+bcｏsx=（其中）是常用轉(zhuǎn)化手段。特別是與特殊角有關(guān)的siｎ±cosx，±sinｘ±ｃｏｓx，要熟練掌握其變形結(jié)論。2。明確三角恒等變換的目的，從數(shù)學(xué)思想方法上尋找突破口（１）運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換`【方法點(diǎn)撥】教材中兩角和與差的正、余弦公式以及二倍角公式的推導(dǎo)都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，應(yīng)用該思想能有效解決三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值、證明中角、名稱(chēng)、形式的變換問(wèn)題。例２。已知〈β〈α＜,cos(α－β)=，sｉn（α＋β)＝－,求sin2α的值．（－（本題屬于“理解"層次，解答的關(guān)鍵在于分析角的特點(diǎn),2α=(α－β）＋(α＋β）)例2解答：例3?；?jiǎn):[２sｉn５0°+ｓｉｎ10°（1+ｔan10°）］·.【解析】:原式==。【點(diǎn)評(píng)】:本題屬于“理解"層次,解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用“化切為弦"的方法，再利用兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系式整理化簡(jiǎn)．化簡(jiǎn)時(shí)要求使三角函數(shù)式成為最簡(jiǎn):項(xiàng)數(shù)盡量少，名稱(chēng)盡量少，次數(shù)盡量底，分母盡量不含三角函數(shù),根號(hào)內(nèi)盡量不含三角函數(shù),能求值的盡量求出值來(lái).（2)運(yùn)用函數(shù)方程思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)也是函數(shù)中的一種，其變換的實(shí)質(zhì)仍是函數(shù)的變換。因此，有時(shí)在三角恒等變換中，可以把某個(gè)三角函數(shù)式看作未知數(shù)，利用條件或公式列出關(guān)于未知數(shù)的方程求解.例4：已知sｉn（α+β）=，sｉｎ（α－β）＝,求的值。?！窘馕觥?｀==＝-1７【點(diǎn)評(píng)】:本題屬于“理解"層次，考查學(xué)生對(duì)所學(xué)過(guò)的內(nèi)容能進(jìn)行理性分析，善于利用題中的條件運(yùn)用方程思想達(dá)到求值的目的.（3）運(yùn)用換元思想,實(shí)現(xiàn)三角恒等變換【方法點(diǎn)撥】換元的目的就是為了化繁為簡(jiǎn)，促使未知向已知轉(zhuǎn)化,可以利用特定的關(guān)系，把某個(gè)式子用新元表示，實(shí)行變量替換，從而順利求解，解題時(shí)要特別注意新元的范圍.例５：若求的取值范圍?！窘馕觥浚毫?則即∴，即【點(diǎn)評(píng)】：本題屬于“理解”層次，解題的關(guān)鍵是將要求的式子看作一個(gè)整體，通過(guò)代數(shù)、三角變換等手段求出取值范圍。3．關(guān)注三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的綜合，從知識(shí)聯(lián)系上尋找結(jié)合點(diǎn)【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的聯(lián)系比較廣泛，主要體現(xiàn)在與函數(shù)、平面向量、解析幾何等知識(shí)的聯(lián)系與綜合,特別是與平面向量的綜合，要適當(dāng)注意知識(shí)間的聯(lián)系與整合。例6:已知:向量，，函數(shù)（1)若且，求的值；或（2）求函數(shù)取得最大值時(shí),向量與的夾角.【解析】：∵=（2）∴，當(dāng)時(shí)，由得，∴【點(diǎn)評(píng)】:本題屬于“理解”中綜合應(yīng)用層次，主要考查應(yīng)用平面向量、三角函數(shù)知識(shí)的分析和計(jì)算能力.四、課堂練習(xí)1．sin165o=()A．B．Ｃ。D．２．siｎ１4ocoｓ16o+sin76ocoｓ74o的值是（）A．Ｂ．C．D。3.已知，，則（）A．B．C。D．4.化簡(jiǎn)2siｎ(－x）·sin（+x），其結(jié)果是（)Ａ．ｓin2xＢ.ｃoｓ2xＣ.－cos２xD．-sin2ｘ５.sｉn-ｃos的值是（)A。0Ｂ．—Ｃ．Ｄ。2sin6．A．Ｂ.C. D.７。若，,則角的終邊一定落在直線(xiàn)（)上.A．B．C．Ｄ。8．9。＝１0．的值是．１１.求證：。12．已知,求的值．13．已知求的值。14.若，且，求的值。15.在△ＡBC中,若ｓiｎA(yù)ｓｉnB=ｃos2，則△ABC是(）A。等邊三角形?