專練14-30題（二次函數(shù)壓軸大題）2022中考數(shù)學考點必殺500題（江蘇專用）（解析版）

2022中考考點必殺500題

專練14（二次函數(shù)壓軸大題）（30道）

1.（2021?江蘇揚州?二模）如圖，在a48c中，S48C=90。，點P從點8向點/運動，點0

從點/向點C運動，兩點同時出發(fā)，當點P到達點/時停止（同時點。也停止），連接尸

4

以為邊順時針方向作正方形P0E尸.已知4?=10,tan4=§,BP=AQ.

備用圖備用圖

（1）若點尸運動到中點處，求正方形尸?！晔倪呴L；

（2）若點E落在的一邊上，求3P長；

（3）在點產(chǎn)、。的運動過程中，曲?。的面積是否存在最大值，若存在，請求出最大值，若

不存在，請說明理由.

【答案】（1）2有；（2），或與；（3）存在，10

【解析】

【分析】

（1）如圖1中，過點。作于利用勾股定理求解即可.

（2）分兩種情形：如圖2-1中，當點E落在AC上時，AQVPQ.證明PB：AP=3:5,由此

構(gòu)建方程求解即可.如圖2-2中，過點。作于于T.設(shè)AQ=P8=x』|

QT//AB,推出空=?，由此構(gòu)建方程求解即可.

ABCo

（3）如圖3中，設(shè)AQ=PB=x,過點。作LAB于//.構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)

的性質(zhì)解決問題即可.

【詳解】

解：（1）如圖1中，過點。作。于//.

圖1

vAQ=PB=AP=5,tanZA=-^=-,

AH3

.-.QH=4,AH=3,PH=AP-AH=5-3=2,

:.PQ=^QH2+PH-=V42+22=2正，

.?.正方形PQEF的邊長為2逐.

(2)如圖2-1中，當點E落在AC上時，AQLPQ.

圖2-1

??,tanZA=-^|=^,AQ=PB,

:.AQ-.AP=3.5,

/.PB:AP=3:5,

/.PB:(10-PB)=3:5,

:.PB=—,

如圖2—2中，過點。作Q"，A3于8，Q71_BC于T.設(shè)AQ=P8=x.

圖2-2

NQHB=ZQTB=ZB=90°,

???西邊形QHB7是矩形，

ZTQH=ZEQP=90°,QH=BT,

Z.PQH=/EQT,

,.?QP=QE,

:.\QHP^\QTE{AAS),

：.QT=QH,

nr4

在RtAABC中，AB=10,tanZA=——=-,

AC3

,BC=-,

3

44

在RtAAHQ中，HQ=BT=-AQ=-xt

?.?QT//ABt

,QTCT

..—=—,

ABCB

4404

—x--------x

.5一35

*t10-40，

T

50

/.x=—,

7

3竺,

7

綜上所述，滿足條件的PB的值為，或苧.

（3）存在.

理由：如圖3中，設(shè)AQ=PB=x,過點。作QHLA8于H.

??~'AP，QH=—(10-x)x—x=——(x—5)2+10,

.---<0

5

；.x=5時，&4QP的面積最大，最大值為10.

【點睛】

本題屬于四邊形綜合題，考查J'正方形的性質(zhì)，解直角三角形，平行線分線段成比例定理,

全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決

問題，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題.

2.（2021?江蘇鹽城?三模）【閱讀理解】設(shè)點尸在矩形A8CO內(nèi)部，當點P到矩形的一條邊的

兩個端點距離相等時，稱點P為該邊的"和諧點".例如：如圖1,矩形A3。中，若PA=PD,

則稱P為邊AD的“和諧點”.

【解題運用】已知，點尸在矩形ABC。內(nèi)部，且AB=10,BC=8.

（1）設(shè)尸是邊AO的"和諧點"，則尸邊BC的"和諧點"（填"是"或"不是"）；連接尸C,

S四邊形=4SM。，求尸A的值.

（2）若尸是邊3c的"和諧點"，連接A4,PB,當NAP8=90°時，求融的值;

⑶如圖2,若尸是邊的“和諧點"，連接爪PB,PD,求‘a(chǎn)—的最

大值.

【答案】(1)是；刈=5；(2)2五或4岔；(3)--.

16

【解析】

【分析】

(1)連接尸B、PC,根據(jù)"和諧點"的定義及矩形的性質(zhì)可得Nfl4P=NC3P,利用SAS可

證明△54尸三△CDP,得PB=PC,即可得出結(jié)論；過點?作2血￡)于￡,延長EP交8c

于G,作尸泡8于凡根據(jù)"和諧點"的定義可得EG為4。的垂直平分線，可得PF=4,PG=10-PE,

根據(jù)S四邊形“8=45.叨列方程可求出PE的長，利用勾股定理即可得答案；

(2)先由"和諧點"的定義得P8=PC,R4=P￡>,點P在AD和BC的垂直平分線上，過點

尸作PE_LAZ)于E，PFLAB于F,求出A￡=P尸=3,再證△4PF~APM,可得

PF2=AFBF>設(shè)AF=x,則BF=10-x,解得：x=2或x=8,再利用勾股定理，即可

求解；

]______：__,設(shè)則

(3)過點尸作PNLAB于N,再證明AN,N

tanZ.PAB-tanNPBA

BN=U,得到關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)戶是邊5c的"和諧點",理由如下:

如圖1,連接尸8、PC,

回戶是邊AQ的"和諧點"，

SPA=PD,

^ZPDA=ZPAD,

團四邊形ABC。是矩形，

SAB=CD,NCD4=NBA。=90。,

SZBAP=ZCDP,

PA=PD

在ABAP和ACDP中，^BAP=NCDP,

AB=CD

ta/\BAP=ACDP(SAS),

13P3=PC,

回尸是邊BC的"和諧點",

故答案為：是

過點尸作尸￡040于E,延長EP交8CTG,于F,

13P是邊的"和諧點"，

回EG為的垂直平分線，

0PF=4,PG=10-PE,

0S四邊形AP8=4SAAPD,

S-ABPF+-BCPG=4x-ADPE,BP20+4(10-/?￡)=16PE,

222

解得；PE=3,

膽=JPE2+4E2=,32+42=5，

圖1

(2)回尸是邊BC的"和諧點"，

由(1)可知：P也是邊AD的"和諧點”,

田PB=PC,PA=PD,

13點戶在A0和8C的垂直平分線上，

如圖2,過點P作PEJ_A￡＞于E,PF_LA8于尸，

^AE=-AD,ZPEA=ZPFA^90°,

2

田四邊形ABC。是矩形，

回/皿＞=90°,8c=4)=8,

回四邊形他PF是矩形，AE=4,

SAE=PF=4,

0ZAPB=9O°,且P在矩形內(nèi)部，

EZ4PF+ZBPF=90°,

0PF1AB.

⑦ZAFP=NPFB=90°,

BiZAPF+ZPAF=90°,

B1ZPAF=ZBPF,

^^APF~/\PBF,

0AF:PF=PF:BF,

⑦PF?=AF?BF，

^PF2^AF{AB-AF),

設(shè)AF=x,則8/=10—x,

0x(lO-x)=42,

解得：x=2或x=8,

當AF=2時，PA=JAF?+尸產(chǎn)=也2+下=2不，

當AF=8時，幺=JAF+PF=+42=電，

回以的值為2百或

（3）如圖3,過點尸作PNLAB于N,

由（2）知：點P在AD和BC的垂直平分線上,

回PN=』8C=4,

2

PNPN

團tanNPAB=---tanNPBA=——

ANBN

PNPNPN?16

0tanZPAB?tanNPBA=-------

ANBNAN?BN-ANBN

1ANBN

0------------------=-------

tanZPAB?tanNPBA16

設(shè)=則3N=10—%，

團AN?BN=x(l0-x)=-/+1Ox=-(x-5y+25,

當x=5時，AN-BN有最大值25,

AN?BN七日一士25

0---有最大值啟,

1O10

的最大值是孑25.

16

【點睛】

本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的性

質(zhì)及三角函數(shù)的定義，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)、定義及判定定理是解題關(guān)鍵.

3.（2021?江蘇蘇州?一模）對于二次函數(shù)y=--3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4,把

y3x+2)+(l-，)(-2x+4)稱為這兩個函數(shù)的"再生二次函數(shù)"，其中/是不為零的實數(shù),

其圖像記作拋物線E,現(xiàn)有點42,0)和拋物線￡上的點3(-1,〃)，請完成下列任務;

【嘗試】判斷點4是否在拋物線E上.

【發(fā)現(xiàn)】對于，取任何不為零的實數(shù)，拋物線E總過定點，坐標為.

【應用】以A8為邊作矩形A8C。，使得其中一個頂點落在y軸上：若拋物線E經(jīng)過4B,

C,。其中的三點，求出所有符合條件的/的值.

【答案】(1)在拋物線上，(2)(2,0)和(-1,6).(3)--或—或或—.

4822

【解析】

【分析】

【嘗試】把點/坐標代入即可判斷；

【發(fā)現(xiàn)】把點代入y=《Y—3x+2)+(l-f)(-2x+4),求出〃是定值，可判斷拋物線

所過定點；

【發(fā)現(xiàn)】如圖，作矩形/8。功和矩形過點8作用瞰軸于K,過點功作。GHx

軸于G,過點C2作C2M期軸于，，過點8作8朋取軸于A7,C2H與BM交于點、T.

分兩種情形求出C。兩點坐標，再利用待定系數(shù)法求出，的值即可.

【詳解】

【嘗試】在拋物線上，

取=2時，尸f(4-6+2)+(1-f)(-4+4)=0,

回點/(2,0)在拋物線E上.

【發(fā)現(xiàn)］由y=f(x)_3x+2)+(l_f)(—2x+4)得，y=?(x—l)(x—2)—2(1—?)(x—2),HP

y=?x+l)(x-2)-2x+4,

團對于，取任何不為零的實數(shù)，拋物線E總過定點，

0(x+1)(x-2)=O,即x,=-Lx?=2,

將(-1,〃)代入y=f-3x+2)+(1-/)(-2r+4),

得〃=Z(1+3+2)+(1-/)(2+4)=6,

加的值為6.

結(jié)合【嘗試】，拋物線E總過定點力(2,0)和8(-1，6).

故答案為：A(2,0)和8(-1,6).

【應用】如圖，作矩形43a0/和矩形過點B作亞軸于N,過點D作。G取

軸于G,過點C2作C2M沙軸于，，過點8作8M取軸于M,C2H與BM交于點T.

EL4A/=3,BM=6,BN=1,

團aV5C/+lZW8力=90°,加加+帆84=90°,

H3N8C尸團

團團8NC尸團8M4=90°,

能WBC/甌

AMBM36i

1am=而,即解得cw=5,

13

0C/(0?—),

2

由平移可得。/(3,y),

,AMBM_

同理，由團0力。2團團W%,得到萬丁=可得。。2=1,

UD、Cz/i

0￡)2(0,-1),

由平移可得C2(-3,5),

國拋物線總是經(jīng)過/、B,

回符合條件的三點只可能是N、B、C或4、B、D.

I3

①當拋物線經(jīng)過4、B、C/時，將。(0,y)代入尸f(x?-3x+2)+(1-t)(-2x+4),

得到，=[

②當拋物線經(jīng)過/、B、時，將。(3,3)代入》=f(N-3X+2)+(1-r)(-2x+4),

得到r=|,

o

③當拋物線經(jīng)過/、8、C2時，將C2(-3,5)代入(x2-3x+2)+(1-Z)(-2x+4),

得到t=-g

④當拋物線經(jīng)過N、B、。2時，將Zh(0,-1)代入y="N-3x+2)+(1-Z)(-2x+4),

得到，=g，

綜上所述，滿足條件的f的值為-g或號或-5或

4822

【點睛】

本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、一次函數(shù)的應用、矩形的判定和性質(zhì)、相似三角形

的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題，靈活應用

待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，屬于中考壓軸題.

4.(2021?江蘇無錫,一模)如圖，拋物線-4機(m>0)與x軸交于48兩點，

點8在點N的右側(cè)，拋物線與y軸正半軸交于點C,連接。LC8,已知tan回00=3,sin囪CSO

=也

2

(1)求拋物線的對稱軸與拋物線的解析式；

(2)設(shè)。為拋物線對稱軸上一點.

①當田88的外接圓的圓心在138co的邊上時，求點D的坐標；

②若0B8是銳角三角形，直接寫出點。的縱坐標”的取值范圍.

【答案】(1)y=￥-4X+3,對稱軸是直線X=2；(2)①。(2,5)或。(2,3+7)

或(0,)或Q(2,-1)；②3+爐<“<5或-1<〃<3二^

222

【解析】

【分析】

(1)先根據(jù)tan/C4O=空=3,sinZCBO=—,得至UOC=3OA,13c50=45°,則OC=OB,

OA2

4/171I

再求出拋物線對稱軸為》=----=2,OC-n,OA=—n,OB=n,A(—n,0),BCn,

2m33

0),由此求出n的值即可求出拋物線的解析式；

(2)①當ELBCO的外接圓圓心在回8c。邊上時，Q8C。是直角三角形，設(shè)。(2,f),貝ij

CD12=(2-O)2+(a-3)2=a2-6?+13,fiD2=(2-3)2+(a-0)2=a2+1,

3c2=(3-0)2+(0-3)2=18,然后分別討論當以c、。為直角頂點時，利用勾股定理求解；

②由圖形可知當。在。/和D之間或“與6之間時，回8c。是銳角三角形，其中。/是C

為直角頂點時。點的位置，必是。為直角頂點。的位置，。和Q分別是以8和。為直角

頂角的位置.

【詳解】

解：⑴由題意可知,照7。4=90°,

EltanNCAO=空=3,sinZCBO=—

OA2

130(7=304,0C5G>=45°,

回。。=08,

回拋物線_^=，加-4"?x+〃(?J>0)與X軸交于a8兩點，點8在點力的右側(cè)，拋物線與V

軸正半軸交于點C,

—4/H

0C(0,〃)，拋物線對稱軸為x=—~—=2,

2m

團OC二〃，

^OA=—n,OB=n,

3

0J(—n,0),B(n,0),

3

1

m724--72

團------3=c2，

2

0/7=3,

0C(0,3),B(3,0),A(1,0),

團把力(1,0)代入拋物線解析式得：m-4m+3=0,

回)?=1,

團拋物線解析式為y=x?-4x+3；

(2)①當BBC。的外接圓圓心在回38邊上時，團是直角三角形,

回。為拋物線對稱軸上的一點，

國設(shè)。(2,a)

0C(0,3)B(3,0),

I3CZ）2=（2-0）2+（<2-3）2=a2-6a+13,BZ）2=（2-3）2+（a-0）2=a2+l,

叱=（3-0）2+（0-3）2=18,

當C為直角頂點時，DC2+BC2=BD2BPa2-6a+13+18=a2+l，

解得a=5,

0￡）（2,5）；

當。為直角頂點時，DC2+BD2=BC-Wa2-6a+13+a2+l=18，

解得〃=匹近，

2

回。（2,土叵）或（0,三叵）;

22

當B為直角頂點時，BC2+BD2=CD2B|Ja2-6i7+13=18+a2+l.

解得a=-l,

團。（2,-1）；

團綜上所述：D（2,5）或。（2,3+后）或（0,上2叵）或。（2,-1）；

22

②由圖形可知當。在。/和。3之間或Q與D之間時，回88是銳角三角形，其中D是C

為直角頂點時。點的位置，D;是。為直角頂點。的位置，0和D?分別是以8和。為直角

頂角的位置，

同3+如「/.3-Vi7

0——--<n<5i'k-1<n<——--.

22

【點睛】

本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，兩點距離公式，勾股定理，二次函數(shù)與宜角

三角形的綜合，解直角三角形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.

5.(2021?江蘇?一模)如圖，在平面直角坐標系中，已知菱形Z8C。，A(-3,0),8(2,0),

。在V軸上.直線/從8c出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿向左平移，分別與CRBD

交于E,F.設(shè)ADEF的面積為S,直線/平移時間為*s)(0<r<5).

(1)求點C的坐標

(2)求S與，的函數(shù)表達式；

(3)過點8作8G，/,垂足為G,連接AEAG,設(shè)“尸G的面積為S.BFG的面積為邑，

4

當S1+52=gSB寸，若點P(l-",a+3)在1出下內(nèi)部(不包括邊)，求a的取值范圍.

23

【答案】(1)Q5,4)；(2)S=-ri2-4?+10；(3)--<a<\

【解析】

【分析】

(1)AB=2-(-3)=5=AD=CD,則OD=Q$一號=4,即可求解；

(2)由配)￡7臃]QC8,則一--=f—=f—>l,即可求解：

S^DBC\CD)15J

i214442c

(3)5/+S2=yGFx/?=—/x—x4=—/=-S,求得f=2.5,得到直線/的表達式為產(chǎn)①，由

點尸的坐標知，點尸在直線產(chǎn)-x+4②上，聯(lián)立①②求出交點坐標，進而求解.

【詳解】

解：(1)EL4(-3,0),3(2,0),

WA=3,08=2,

團菱形/BCD,

SiAB=2-(-3)=5=AD=CD,

&OD=y]52-32=4,

0C(5,4)；

(2)由題意可知：CE=t,DE=5-t,

S」DBC=—CDxOD=-x5x4=10,

22

函DET回

團S」跳丫15-吁

SGBCICDJI5J

團S=10x(學)=|〃-4.+10；

(3)設(shè)直線/與x軸交于點K,則8K=CE=Z,

^\EFD^CBD=^CDB,

由EF=DE=5-3

團3￡>,故團GK8二團。4。，

443

則團回。/。二不，sin^\GKB--,PJlJsin^GBK--,

3

則KG=8Ks山團G6K=gr,

32

貝！]GF=5-(5-/)-

設(shè)點8到40的距離為近

則$4/8。=-xABxOD=-ADxh,則h=OD=4，

22

12144

[3S/+S2二—GFxh=—/x—x4=—/=—S,

25255

2

由(2)得:S=-r2-4r+10；

2

0/=-/2-4r+lO,

5

解得：f=10(舍去)或r=|,

此時，CE=BK=~,0K=2--=--,

222

故點￡*(—,4),K(——?0)；

22

設(shè)宜線/的表達式為方Zx+b,

\5,,4

4=—k+bt=—

-2,解得3

0=」k+6h=-

23

故直線/的表達式為y=gx+g①，

團尸（1-4,4+3）,

團設(shè)x=1-o,y=o+3,可得產(chǎn)-x+4,

當x=0時，j=4.

即點尸在函數(shù)方-x+4②的圖像上，且圖像經(jīng)過點D

10

x=—

聯(lián)立①②并解得L

1O

?'=7

兩個函數(shù)的交點坐標為（乎，乎），

77

則0<.rP<—,

7

10

則nl0C1-4〈一，

7

3

解得

【點睛】

主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與兒何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會利用數(shù)形結(jié)

合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段

之間的關(guān)系.

6.（2021?江蘇蘇州?一模）題一：已知二次函數(shù)：y=|（x-,〃）2-2“-|（團為常數(shù)），當“

取不同的值時，其圖像構(gòu)成一個"拋物線系我們發(fā)現(xiàn)：是當加取不同數(shù)值時，此二次函數(shù)

的圖像的頂點在同一條直線上，那么這條直線的表達式是.

22、22

問題二：已知直線/：y=,x-2交X軸于點A.交y軸于點8,拋物線L:y=3（x-，〃y-2〃L,

（機為常數(shù)）圖像的頂點為C.

（1）如圖1,若點C在MAAOB的內(nèi)部（不包括邊界），求方的取值范圍；

yy

（2）如圖2,當拋物線L的圖像經(jīng)過點兒4時，在拋物線上（AB的下方）是否存在點使

Z4BO=NA5尸？若存在，求出點尸的橫坐標；若不存在.請說明理由.

21

【答案】問題一：丁=-2元-屋問題二：（1）加的取值范圍是0<〃2<5；（2）存在，點P的

橫坐標為？■.

O

【解析】

【分析】

問題?：由拋物線的表達式知，頂點的坐標為（〃?，-2w--）,故設(shè)貝

f2=-2x-12）即可求解；

問題二：（1）當頂點在了=-2x-§上和直線45的交點左側(cè)時，點C在MAAOB的內(nèi)部（不

包括邊界），即可求解；

（2）證明1380P=EU8O=EW5P,則即可求解.

【詳解】

解：問題一：由拋物線的表達式知，頂點的坐標為（〃?，-2m-I）,

、22

故設(shè)x=mf貝ljy=-2w--=-2x--,

故答案為：y=-2x-^；

問題二：a=]X-2交x軸于點/,交y軸于點8,

回點4、8的坐標分別為（3,0）、（0,-2）.

（1）由問題一知，頂點在y=-2x-；上，

則當頂點在y=-2x-：上和直線的交點左側(cè)時，點C在Rt0JO8的內(nèi)部（不包括邊界），

r2

y=-2x-§

2，

卜『2

1

x=—

A2

5

y=——

r3

故m的取值范圍為0<"?<g:

—4m~2-2cm——N=-2c

33

2c4

團拋物線L：y=-x——x—2,

33

過點P作1軸平行線PQ交AB于點Q,

又ZABO=ZABP,

^ZABP=ZPQBf

^\BP=PQ,

設(shè)點尸的坐標為［，于2-2),則點Q的坐標為，,|-2

PQ=-|/+2f

過點尸作y軸的垂線，垂足為//,

HB=-2-(|產(chǎn)-/2卜后產(chǎn)++|，HP=t,

由8尸二尸。得,

解得，r=U或，=0（舍去）

8

所以，點M的橫坐標為

O

【點睛】

主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會利用數(shù)形結(jié)

合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段

之間的關(guān)系.

7.（202L江蘇常州,一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數(shù)y=g（x-2）2的

圖像與y軸交于點8,拋物線的對稱軸是直線I,頂點是/,過點8作CDJ.B4交x軸于點C,

交拋物線于點。，連接AD.將線段AB沿線段AO平移得到E尸（點￡與點/對應、點產(chǎn)

與點8對應），連接防.

（1）填空：線段。4=;

（2）若點尸恰好落在直線/上，求所的長；

（3）連接OF并延長交拋物線于點。，若tanZA。尸=g,求點。的坐標.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)函數(shù)解析式求出A點的坐標，即可求出OA的長；

（2）添加輔助線過點E作EG，/于G,根據(jù)已知點，求出宜線CZ）和直線ZO的解析式.線

段沿線段AD平移得到所，可通過求AB得到￡尸，進而得到E點的坐標，求

AF=AG^GF-AG+EG.

（3）添加輔助線過點。作。H_L/于〃，由三角函數(shù)值得到ND4G=NA￡>G,再利用勾股定

理求出G點坐標，得到直線。尸的解析式，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立，即可求出交點

【詳解】

解：(1)回二次函數(shù)y=g(x-2)2頂點是4

回4(2,0)

回線段OA=2.

(2)如圖，過點E作EG，/于G.

?：y-^(x-2)2=^x2-2x+2,

8(0,2).

.-.OA^OB=2

：.ZABO=ZOAB=45°.

-.CDVBA,

：.NCBO=NOCB=45°.

■,OC=OB=2.

：.C(-2,0).

設(shè)直線CD的函數(shù)表達式是y=kx+h,

把X=O,y=2和1=—2,y=0代入得

[b=2z\k=1

[一2攵+0=0[b=2

y=x+2.

ev=-x2-2x+2

解「2

y=x+2

(x=6fx=0人

得.或,(舍去).

[y=8[y=2

.-.￡>(6,8).

設(shè)直線AD的函數(shù)表達式是），=履+"

把x=2,y=0和x=6,y=8代入得

2k+b=0k=2

6i8解得

b=-4

:.y=2x-4.

vZEFG=ZBAF=45°,線段A8沿線段AD平移得到EF

^AB=EF=2y/2

：.FG=GE=2,

團點上的橫坐標是4.

把x=4,代入y=2x-4得y=4,

??.A/=4+2=6.

（3）如圖，設(shè)。尸交直線/于點G,過點。作。HL于

:.DH=4,AH=8,

tanZDAW=-.

2

tanZADF=-,

2

:.ZDAG=ZADG.

??.AG=DG.

設(shè)AG=Z)G="，則"G=8—m.

在中，DH2+HG2=DG2.

則42+(8-tnf=m2,

解得團=5.

???G(2,5).

設(shè)直線。戶的函數(shù)表達式是y=H+"

把x=2,y=5和x=6,y=8代入得

2k+b=5

6左+匕=8

,3

k=—

4

解得

b=L

2

37

y=—xH—.

42

y=-x2-2x4-2

2

解

37

y=-x+—

42

X=——

2x=6

得或尸8'（舍去）.

25

y=一

,8

【點睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、勾股定理、解直角三角形等.

綜合性較強，屬壓軸題.

8.（2021?江蘇蘇州?一模）如圖，二次函數(shù)》=辦2+汝+4的圖像與不軸交于點

3（4,0）,與y軸交于點C,P為線段A8上一動點，將射線總繞P逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。后與

函數(shù)圖像交于點Q.

（備用圖）

（1）求二次函數(shù)丫=?2+區(qū)+4的表達式；

（2）當尸在二次函數(shù)對稱軸上時，求此時P。的長；

（3）求線段PQ的最大值；

（4）拋物線對稱軸上是否存在O,使P、。、B、。四點能構(gòu)成平行四邊形，若存在，請求

出點。的坐標，若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=-x2+3x+4；(2)-@+M；(3)4-72;(4)存在;。(1一0)或,

2

【解析】

【分析】

(1)將4(-1,0),B(4,0)代入>=辦2+版+4,列方程組求八6的值；

(2)作直線y=x+l,證明直線夕。與直線y=x+l平行，由/(-1,0),B(4,0)求出

拋物線的對稱軸為直線x=13,再求出點P在直線x=|3上時宜線PQ的解析式且與拋物線

的解析式組成方程組，由此求出點。的坐標，再求出線段PQ的長：

(3)先說明點產(chǎn)與點/重合時，線段P0的長最大，用此時直線尸。的解析式與拋物線的

解析式組成方程組，求出點。的坐標，再求出線段P。的長；

(4)存在符合條件的點，分兩種情況，一是以P。為平行四邊形的一邊，另一是以P0為

平行四邊形的對角線，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，用直線的解析式與拋物線的解析式組成

方程組，用解方程組的方法求解.

【詳解】

(1)把力(-1,0),B(4,0)代入、=公2+bx+4,

f?-Z?+4=0fa=-1

得小八，解得八2?

[16a+46+4=0[b=3

團該二次函數(shù)的表達式為y=—V+3x+4.

(2)如圖1,作。￡0x軸于點E,作直線y=x+l交y軸于點尸，則尸(0,1),且該直線過

圖1

^OA=OFf陋O/=90°,

團團。4尸=魴尸0=45°,

MQ〃AF,

設(shè)直線PQ的解析式為宜線y=x+c,

3

由Z（-1,0）,B（4,0）得，拋物線的對稱軸為直線x=],

當點尸落在直線3上，則尸（3；，0）,

22

3

團—Fc=0,

2

3

解得c=”，

3

助=.,

2+V262-y/26

3X.=----------無2=---------

V=x—22?

由）2,得,L（不符合題意，舍去）,

-1+>/26'

y=-x2+3x+4-l-y/26

%=-；-%=

MQ=貶EQ=五**普=+屈.

（3）如圖2,當-時，E。的長隨x的增大而減小.

團當點P與點4（-1,0）重合時，E0的長最大，尸0的長也最大，

此時直線PQ的解析式為y=x+l,

[y=x+lfx=3[x.=-1

山'2a.得」kn（不符合題意，舍去），

[y=-x+3x+4[x=4[y2=0

此時E0=4,尸0=五￡。=40,

SPQ的最大值為472.

（4）存在.

如圖3,PQ為以P、0、B、。四點為頂點的四邊形的一邊，則8D0P。.

圖3

00G8O=45°,

3

設(shè)直線x=1交x軸于點G,

團團8GO=90°,

35

團。G=8G?tan450=8G=4—=—,

22

此時BD=忘DG=|"夜，

在拋物線上一定存在點0,其縱坐標為■!,

作。50X軸于點E,在x軸上取點P,使PE=QE,

則回8尸0=45°,且尸

國四邊形PQBD是平行四邊形，

此時；

如圖4,DQ//PB,DQ=PB.

圖4

設(shè)尸（尸，0）（-1</<4）,設(shè)直線P0的解析式為y=x+d,則/?+d=0,即d=-r,

眇=X一r，

y=x-r=1+或+5x2=1-J-+5

由得（不符合題意,舍去）,

y=-x2+3x+4=1+Jr+5-ry=\->jr+5—r

1/2

回。(1+Jr+5，1+J/*+5—r),

^\PD=BQfGD=EQ,^PGD=^BEQ=90°f

^R^PDG^Rf^BQE(HL),

^\DG=BEt

0/-g=4-（1+Jr+5）,

2

解得〃=1°一病,肛=1。+回（不符合題意，舍去）,

22

8=1+卜0+病15」。-病=叵，

V2222

肛7=2￡=，_?，

綜上所述，點D的坐標為（9|）或（|,與學

【點睛】

此題重點考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與

性質(zhì)、一元二次方程的解法、二次根式的化簡等知識，解題的關(guān)鍵是正確地作出輔助線，還

要特別注重數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法的運用.此題綜合性強，計算煩瑣，使用的方法

較多，屬于考試壓軸題.

9.(2021?江蘇南通?二模)定義:有一條邊等于這條邊上高的兩倍的三角形叫做底倍高三角

形，這條邊叫做這個三角形的倍底.在平面直角坐標系xQy中，已知點力(-2,-2),點

B(4,-8),氏18c是以為倍底的底倍高三角形.

(1)概念理解

請你根據(jù)上述定義舉一個底倍高三角形的例子；

(2)問題探究

設(shè)點尸(加，其中一2＜機＜4,當尸C取最小值時，求點C的坐標；

(3)應用拓展

已知0/的半徑為1,圓心/在直線y=x-6上，且點C在回/上，設(shè)圓心/的橫坐標為。，試

直接寫出a的取值范圍.

【答案】⑴等腰直角”角形；(2)eg,。］；(3)-交—24a4也-2或-克+44〃4克+4.

U4J2222

【解析】

【分析】

(1)由題中所給定義可直接進行求解；

(2)過點N作AG〃x軸，AC?”》軸，使得AC；=AG=6,連接A&C,C2,BQ、BC2,由

題意易得四邊形AGBG是正方形，則有。2(-2,-8),G(4,-2),進而可得點C在經(jīng)過點G且

與AB平行的直線m上或經(jīng)過點且與AB平行的直線〃上，然后可得直線m的解析式為

C2

y=-%+2,直線n的解析式為y=-x-10，所以可得點P的軌跡為二次函數(shù),即為y=-gx?,

且-2Vx＜4,設(shè)點C(a,-a+2),分別過點C作x軸、y軸的平行線，交于一點D,最后根

據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；

(3)由(2)可得G(-2,-8)，G(4,-2),由題意易得直線y=x-6經(jīng)過點C?，G，則有點

/(a,a-6),進而可分當皿與直線機時，則由兩點距離公式可得(。-盯+(.-4)2=1,當皿

與直線〃時，則由兩點距離公式可得(a+2)2+(a+2『=l,最后問題可求解.

【詳解】

解：(1)如圖，0J8C是等腰直角三角形，CDSAB,

ADB

SiCD=-AB,

2

團等腰直角三角形是底倍高三角形；

（2）過點N作AG〃x軸，ACJ/y軸，使得AG=AG=6,連接AB、CJBC「BC2,如

圖所示：

0AC21BC2,AC]±AC2,ACt1BC\,

回四邊形AGBG是正方形，

0A（—2,—2）,B（4,—8）,

I3G（—2,-8），G（4,—2）,

團AABGOABC2都為底倍高三角形，

回a48c是以N8為倍底的底倍高三角形，

用點C在經(jīng)過點C,且與48平行的直線m上或經(jīng)過點C?且與AB平行的直線〃上，如圖所示,

設(shè)直線機的解析式為y=-x+b,把點G代入得：-4+b=-2,解得：b=2,

回直線，〃的解析式為y=-x+2,

同理可得直線n的解析式為y=-x-10,

回點P,",一g"/],-2<m<4,

團點P的軌跡為二次函數(shù)，即為尸-gx。且-2Vx<4,如圖，

由圖象可得點P到直線機的距離最小，則設(shè)點C（a,-a+2）,分別過點。作x軸、y軸的平

行線，交于一點。，如圖所示，

團"QC是等腰直角三角形，

1,

^\PC=-a+2+—m~,CD=a-m,

2

2

^\-a+2+—m=a-mf整理得：a=—nr+—/??+!,

242

團PC=夜（。一/"）二血（；加2=，

0—>0，

4

團當777=1時，PC的值為最小,

7

13。=一,

4

曬嗚,

（3）由題可得如圖所示的圖像：

由（2）可得G（―2,—8）,C1（4,—2）,

團圓心/在直線y=x-6,

團直線丫=》一6經(jīng)過點Cz，G，

團點C在即上，半徑為1,圓心/的橫坐標為a,

團點/（。,。一6）,

回當即與直線w時，則由兩點距離公式可得（a-4）2+（a-4）2=1,解得:

%=4+①,a,=4-也，

12-2

當0/與直線”時，則由兩點距離公式可得（0+2）2+（a+2『=l,解得:

%4-2h一與一2

回〃的取值范圍為一也一24〃4也一2或一也+4WaW也+4.

2222

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及切線的性質(zhì)定理，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及

切線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

10.（2021?江蘇南京?二模）已知二次函數(shù)y=-4如-4機+4（機為常數(shù)，且m>0）.

（1）求二次函數(shù)的頂點坐標;

（2）設(shè)該二次函數(shù)圖像上兩點4（。,為）、3（。+2，%），點A和點B間（含點A、B）的圖

像上有一點C,將點C縱坐標的最大值和最小值的差記為〃.

①當機=1時，若點A和點8關(guān)于二次函數(shù)對稱軸對稱，求分的值;

②若存在點A和點8使得的值是4,則，”的取值范圍是.

【答案】（1）二次函數(shù)的頂點坐標為（一2,4）：（2）①4=1；②0<加44.

【解析】

【分析】

（1）通過對解析式提取公因式、配方，化成頂點式，即可得到頂點坐標；

（2）①根據(jù)點A和點B關(guān)于二次函數(shù)對稱軸對稱，求出。的值，再利用函數(shù)圖象開口向下

及對稱性，求出點C縱坐標的最大值和最小值即可：

②先驗證當AB兩點關(guān)于對稱軸對稱時不成立，再在兩邊及關(guān)于對稱軸進行分四類討論.

【詳解】

(1)y=-mx1—4mx-4m+4

=一加卜2+4x+4)+4

=—/M(X+2)-+4.

13二次函數(shù)的頂點坐標為（-2,4）.

（2）①團點A、B關(guān)于對稱軸對稱,

。+。+2_

團-------=-2

2

0?=—3.

當zn=l時，y=-x2-4x-4+4=-x2-4x

貝！I當x=-3或x=-l時，ymi?=3；

當x=-2時，y11m=4

0/z=l.

②由AB兩點使力的值為4,則當。=—3時，AB關(guān)于x=_2軸對稱，〃=1H4,

則若以-%=4或%-y“=4,

1。當aN-2時,

-mcr-4ma-4m+4-[一見a+2)2-4m(a+2)—4m+4]=4(m>0