高等數(shù)學(xué)課件D98極值與最值

高等數(shù)學(xué)課件D98極值與最值2023/5/19提示:

由題設(shè)例1.函數(shù)(D)根據(jù)條件無法判斷點(diǎn)(0,0)是否為f(x,y)的極值點(diǎn).那么()的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),且A(2003考研)2023/5/19說明:

使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)

.例如,定理1(必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值

但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)(0,0),但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值,那么有存在故2023/5/19時(shí),具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),令那么:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)證明見第九節(jié)(P121).

時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.假設(shè)函數(shù)且2023/5/19例2.求函數(shù)解:

第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)2023/5/19在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;2023/5/19例3.討論函數(shù)及是否取得極值.解:

顯然(0,0)都是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)并且在(0,0)都有可能為2023/5/19二、最值應(yīng)用問題函數(shù)f

在閉域上連續(xù)函數(shù)f在閉域上可到達(dá)最值

最值可疑點(diǎn)駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí),為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)2023/5/19例4.解:設(shè)水箱長,寬分別為x,ym,那么高為那么水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水箱,問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長、寬均為高為時(shí),水箱所用材料最省.2023/5/19例5.有一寬為24cm的長方形鐵板,把它折起來做成解:

設(shè)折起來的邊長為xcm,那么斷面面積x24一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為

,積最大.為問怎樣折法才能使斷面面2023/5/19令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)到達(dá),而在域D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.2023/5/19三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其他條件限制例如,轉(zhuǎn)化2023/5/19方法2拉格朗日乘數(shù)法.分析：如方法1所述,那么問題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極故極值點(diǎn)必滿足記例如,值問題,故有2023/5/19引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿足那么極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.2023/5/19推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).例如,

求函數(shù)下的極值.在條件2023/5/19例6.要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為那么問題為求x,y,令解方程組解:

設(shè)x,y,z分別表示長、寬、高,下水箱外表積最小.z使在條件水箱長、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？的長方體開口水箱,試問2023/5/19得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長、寬為高的2倍時(shí)，所用材料最省.因此,當(dāng)高為思考:1)當(dāng)水箱封閉時(shí),長、寬、高的尺寸如何?提示:

利用對稱性可知,2)當(dāng)開口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí),欲使造價(jià)

應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)?長、寬、高尺寸如何?提示:長、寬、高尺寸相等.最省,2023/5/19內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步利用充分條件判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).2.函數(shù)的條件極值問題(1)簡單問題用代入法如對二元函數(shù)(2)一般問題用拉格朗日乘數(shù)法2023/5/19設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)3.函數(shù)的最值問題在條件求駐點(diǎn).2023/5/19平面上兩定點(diǎn)A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點(diǎn)C,使△ABC

面積S△最大.解答提示:設(shè)C

點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),思考與練習(xí)那么2023/5/19設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對應(yīng)面積而比較可知,點(diǎn)C與E重合時(shí),三角形面積最大.點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動畫開始或暫停2023/5/19

P117

3,5,9,10,13習(xí)題課作業(yè)2023/5/19注備用題

1.求半徑為R

的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解:設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對的圓心角為x,y,z,它們所對應(yīng)的三個(gè)三角形面積分別為設(shè)拉氏函數(shù)解方程組,得故圓內(nèi)接正三角形面積最大,最大面積為注那么2023/5/19注因此前者不可能為圓內(nèi)接三角形中面積最大者.假設(shè)?ABC位于半圓內(nèi)(如圖),那么其BC邊上的高小于?A1BC同邊上的高,故前者的面積小于后者，2023/5/19為邊的面積最大的四邊形,試列出其目標(biāo)函數(shù)和約束條件?提示:目標(biāo)函數(shù):約束條件:答案:即四邊形內(nèi)接于圓時(shí)面積最大.2.

求平面上以2023/5/193.設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)一臺電視機(jī)的本錢為c,每臺電電視機(jī)的銷售價(jià)格為p,銷售量為x,假設(shè)該廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài),即生產(chǎn)量等于銷售量.根據(jù)市場預(yù)測,x與p滿

足關(guān)系:其中M是最大市場需求量,a是價(jià)格系數(shù).又據(jù)對生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析,預(yù)測每臺電視機(jī)的生產(chǎn)本錢滿足:其中c0是生產(chǎn)一臺電視機(jī)的本錢,k是規(guī)模系數(shù).問應(yīng)如何確定每臺電視機(jī)的售價(jià)p,才能使該廠獲得最大利潤？解:生產(chǎn)x臺獲