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文檔簡介

1高等代數(shù)北大版12一、正交子空間

§9.5子空間二、子空間的正交補(bǔ)3一、歐氏空間中的正交子空間1．定義：1)與是歐氏空間V中的兩個子空間，如果對則稱子空間與為正交的，記作則稱向量與子空間正交，記作恒有2)對給定向量如果對恒有4注：①

當(dāng)且僅當(dāng)中每個向量都與正交．

②③

當(dāng)且時，必有

5證明：設(shè)子空間兩兩正交，2．兩兩正交的子空間的和必是直和．要證明中零向量分解式唯一．只須證：設(shè)由內(nèi)積的正定性，可知

6二、子空間的正交補(bǔ)1．定義：如果歐氏空間V的子空間滿足并且則稱為的正交補(bǔ).2．維歐氏空間V的每個子空間都有唯一正交補(bǔ).證明：當(dāng)時，V就是的唯一正交補(bǔ)．

當(dāng)時，也是有限維歐氏空間.取的一組正交基7由定理1，它可擴(kuò)充成V的一組正交基記子空間

顯然,又對

即為的正交補(bǔ).

8再證唯一性.設(shè)是的正交補(bǔ)，則由此可得對由上式知

即有

又從而有

即有

同理可證唯一性得證.9②

維歐氏空間V的子空間W滿足:

①子空間W的正交補(bǔ)記為即i)

ii)iii)注：ⅳ)W的正交補(bǔ)必是W的余子空間.但一般地，子空間W的余子空間未必是其正交補(bǔ).10稱為在子空間W上的內(nèi)射影.3．內(nèi)射影設(shè)W是歐氏空間V的子空

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