臨沂大學(xué)版幾何學(xué)答案

第一章向量代數(shù)

習(xí)題L1

1.要使下列各式成立，向量a,夕應(yīng)滿足什么條件?

(1)\a+p\=\a-；⑵|a+川=|a|+|/|；

⑶|a+⑶=|。|一|夕I；(4)\a-j3\=\a\+\j3\

a_p

⑸|a—夕|=|a|—|夕I；(6)面=兩

解：⑴a_L夕；（2）a與6同向；（3）a與〃反向且囹2期;

（4）a與夕反向，⑸a與夕同向且冏“風(fēng)⑹a與夕同向且awO,夕wO

2x-3y=a

2.已知向量方程組《_,求解向量x,y.

x+5y=fi

53Q

x--a-\——8

1313

解：解關(guān)于X,7的方程組得<

12”

1313"

3.已知四邊形ABCD中，="一2/,CQ=5a+66一8九對角線NC,8。的中點(diǎn)分

別為瓦廠，求方.

解：EF=3a+3^-5y.

4.已知平行四邊形Z8CD的對角線為％=。,而=夕，求方，前.

解：設(shè)方=*,或=丁則

x+y=a

<

、y-x=B

解方程組得

y=；(a+夕)

5.證明：向量〃。一/夕,/夕一加一加了一共面.

證明：因?yàn)椋ā╝-7夕）+（//-加y）+Oy-〃a）=0,所以三向量共面.

習(xí)題1.2

1.己知a=(3,5,4),夕=(—6,1,2),y=(0.-3.-4),求2a+3/+4y

解：2a+3汽+4y=(-12,l,-2).

2.已知點(diǎn)力(3,5,7)和8(0,1,—1),求向量方并求Z關(guān)于8的對稱點(diǎn)C的坐標(biāo).

解：AB=(-3,^,-8),C(-3,-3,-9).

3.判斷下列向量中哪些是共線的：

必=(1,2,3),%=(1,-2,3)0=(1,0,2),區(qū)=(-3,6,-9),

a5=(2，。，4),%=(-1，-2,-3),%=(；,■!，?),%=(g,T,—|)

解：名,%,%共線，內(nèi)與4共線，區(qū)與。5共線.

4.判斷下列向量a,夕,y是否共面：

(1)a=(4,0,2),/?=(6,-9,8)用=(6,-3,3)；

(2)a=(1,-2,3),ft=(3,3,1),y=(1,7,-5)；

(3)a=(1,-1,2),P=(2,4,5),/=(3,9,8).

解：(1)不共面；(2)、(3)共面.

5.△/8C中，N/=90°,N8=30°,ZO是3c邊上的高，求點(diǎn)。對坐標(biāo)系

｛Z;赤，元｝的坐標(biāo).

解：求點(diǎn)。對坐標(biāo)系｛4;六，就｝的坐標(biāo)，實(shí)際上是要求用荔,配來表示而.

―■1—-3—?

AD^-AB+-AC.

44

6.在四面體。N8C中，/是△ZBC的重心，/分別是的中點(diǎn)，求

向量前，庇，涼在坐標(biāo)系｛。;況,0反無｝下的坐標(biāo).

缶丑(aI1)77?(I11)~\7r(111)

解：EF=0,—\,ME=—,—LA/F=—,—

L22/(663；(636)

7.求向量a=(1,3,-2)的方向余弦.

132

解:COSOx——,cos仇二_,cos&=—7^=.

V14~V14V14

8.已知線段被點(diǎn)。(2,0,2)和。(5,-2,0)三等分，試求這個(gè)線段兩端點(diǎn)4與8的

坐標(biāo).

解力(一1,2,2),8(8,-4,-2)

習(xí)題1.3

1.已知向量a與夕互相垂直，向量/與。及〃的夾角都是60°,且|a|=2,|夕|=3,

計(jì)算：

(1)(a+/?)2：(2)(a+夕)(a-〃)：

(3)(3a—2夕)(2—3y)；(4)(a+2/7-7)2

7

解：⑴5;(2)-3;(3)一一;(4)11.

2

2.在右手直角坐標(biāo)系下，計(jì)算下列各題：

(1)?=(3,0,-6),4=(2,-4,0),求a，。及

(2)。=(5,2,5),6=(2,-1,2),求a在夕上投影向量及投影向量長.

解：(1)6,arccos—；

5

(2)(4,—2,4),6；

3.利用向量的數(shù)量積導(dǎo)出三角形的中線公式：

m=—不2b2+2c2.

2

解：因?yàn)閙a=；(B+c).

--2

"%=~\b+cj+c+2力=+c+21|-|c|cosA

所以-2-2-2、

1-2-*2—-h+c-a

-b+c+2\b\-\c\

42\b\-\c\

故有m^-yllb2+2c2-a1

2

4.用向量法證明三角形的重心分原三角形成等積的三個(gè)三角形.

證明：證1：如圖所示，設(shè)胡為A48C之重心,

則

——AM^1-(/—AB+

3、

兩=；(前+四,

南」

3

5&“叱=2xA/c|

ZBx8C+8cxe/+C4x洞;

同理，S&wc=S^AB=—x5C+BCxCA+CAxAB\；

18'

,,SfAB=S&wsc—S&vc/l,

證2：S^^^BXMC\=

BCF前x西=^阿乂畫=SAWC/1.

2

仿此可證：

S^CA=S&W48

^c=^|5A/xBC|=il(^+BC)x5c|=1l(A4x5C)=15^.

證3：c

仿此可證：；

S&aa=S1MAB—~SMBC

5.已知向量。=4"+生/+。3A，求a在各坐標(biāo)軸上的投影.

答：分別為q,4，四.

6.已知向量a=i+/+2A,/=i+2j+3A,試把以分解成后夕與夕之和.

解：

2力+^f(l，2,3)+(f，T，2f)

7.用向量法證明三角形各邊的垂直平分線共點(diǎn)，且這點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離相等.

證明：設(shè)A8的中垂線FG與力C的中垂線EG相交于點(diǎn)G,連接點(diǎn)G與BC的中點(diǎn)

D,只需要證明|而|=|0|=|且|和彷，前即可。

■,一’一?’一‘■?‘——?■-2■2

因?yàn)閄GZ+G8)RGN-G8)=G戶口&4=0,所以GN=GB-,所以|GZ|=|G81.同

理可得|0|=|沅|,故|才|=|6加=|且|.又因?yàn)?/p>

1(GC+GBWC-GB)=1(GC-GB)=0,即808。=0,所以67。，8。.

8.用向量法證明空間四邊應(yīng)對角線互相垂直的充要條件是對邊平方和相等.

證明：設(shè)四邊形ABCD各邊所成向量依次為彳5=之瑟=B,而=",而=2,又因?yàn)?/p>

—?-?-*—*—?-?—?—?③

a+b+c+d=00d=一(。+6+。)=d=(a+b+c)-=

mL=2(3+c)\Ja+B)=2ACWD=0.

習(xí)題1.4

1.計(jì)算

(1)a=(l,0,-1),>5=(1,-2,0),/=(-1,2,1),求

ax/,axy,ax(夕+y),(ax夕)xy,ax(/?xy)；

解:(-2-1,-2),(2,0,2),(0,-1,0),(3,4,-5),(-1,2-1)

(2)直角坐標(biāo)系內(nèi)求以4(1,一1,2),5(5,-6,2),C(1,3,-1)為頂點(diǎn)的△ABC的面積及

4C邊上的高.

解：12.5,5.

(3)已知。=(2,-3,1)/=(1,-2,3),求與a,4都垂直的單位向量.

解:泰(7,5,1)

(4)已知|a|=2,|夕|=5,a/=3,求|ax⑶與[(a+夕)x(a—夕)]2

解：回,364

2.設(shè)a,夕,/為兩兩不共線的三向量，試證明等式"xy=/xa=ax/成立的充要條

件為a+4+7=0.

3.利用向量積證明三角形面積的海倫(Heron)公式:=p(p-a)(p-b)(p-c),

中a,b,c為三角形三條邊的邊長，p=；(a+b+c),A為三角形的面積.

解：在A48c中，設(shè)於==￡茄=之，且口=。帆=上口=。.那么入480的面

積為△=JZx及所以d=：@義4，又(，4=片片—(茄)，故

-(a5f).因?yàn)閍+B+c=6.從而a+B=-c,[a+b^=c.

所以防=密-7-片“㈤

故

A2-;G-a2-b2)]h?.=[(Q+b+c)(Q+b-c)(c+a-b)(c-a+6)

=—.2P(2p-2c)(2p-2b)(2p-2a)

16

化簡得：A2=p(p-a)(p-b\p-c).

習(xí)題1.5

1.已知四面體N8CQ的頂點(diǎn)坐標(biāo)4(0,0,0),8(6,0,6),C(4,3,0),0(2,—1,3),求它的體積,

并求從頂點(diǎn)D所引出的高的長度.

解：1；TTH

6V34

2.在直角坐標(biāo)系內(nèi)判斷向量a,6是否共面，若不共面，求出以它們?yōu)槿忂厴?gòu)成的平

行六面體體積.

(1)a=(3,4,5)/=(l,2,2),y=(9,14,16)；

(2)以=(3,0,-1),夕=(2,-4,3)嚴(yán)=(-1,-2,2)

解：(1)共面；(2)不共面，2

3.如axA+Axy+yxa=0,證明：a,4/共面.

證明：對等式ax〃+/xy+yxa=0的兩邊與/作數(shù)量積，可以得到(a,2,y)=0,

故共面.

4.如ax夕=,證明：a-b與夕一y共線.

解：因?yàn)?/p>

(a-6)x(6一/)=ax〃-axy—6xA—6xy=axA—ax/+〃xJ—6xy=0

所以a-b與6—y共線.

5.在直角坐標(biāo)系內(nèi)系知a=(l,0,—1),夕=(1,-2,0)/=(-1,2,1)求

(ax夕)xy和ax(〃xy).

(3,4-5)；(-1,2-1)

6.證明：(ax夕)x/+(夕xy)xa+(yxa)x夕=0

證明:(ax7=(a-7)-0—(0.y)a

(夕x7)xa=(夕?a)?-(7?a)/

(/xa)xp=(7./)a-(a?萬)7

上述三式相加可得：(ax夕)xy+(夕xy)xa+(yxa)x夕=0.

7.證明：(axx(axJ)=(a,ft,3)a

證明：(axx(ax(5)=[?-(?x3)]J3-[/?■(ax8}\a=(a,/3,6)a.

復(fù)習(xí)題一

1.己知力=7+3%,方=1+32，求AO/B的面積.

解：S沙配=列百x無|=引(一3,-3,1)|=孚.

2.已知四面體的體積-=5,它的三個(gè)頂點(diǎn)為4(2,1,-1),8(301),。(2,-1,3),又

知道它的第四個(gè)頂點(diǎn)。在夕軸上，試求點(diǎn)D的坐標(biāo)和從頂點(diǎn)D所引出的高的長隊(duì)

解：(1,0,-14)；h=3加

3.試用向量法證明：平行四邊形成為菱形的充分必要條件是對角線互相垂直.

證明：

如圖：因?yàn)橄蛄俊?。，b-d,所以

AC=a+b,BD-d-a.

則就J.而當(dāng)且僅當(dāng)工?訪=0

當(dāng)且僅當(dāng)G+小(3-Z)=o

當(dāng)且僅當(dāng)1々1=向.

4.設(shè)I={2,-3,1},由={1,一2,3},"={1,2,-7},

已知向量Z垂直于￡和'且,"=10,求彳.

解：(7,5,1).

5.設(shè)向量a與河1(3,0,2)、河2(5,2,1)和“3(°，-1，3)所在的平面垂直，求a，并求以

Mi,加2和加3為頂點(diǎn)的三角形的面枳.

解：a=(1,1,4),挈

6.試用向量法證明：內(nèi)接于半圓，并以直徑為一邊的三角形為直角三角形.

證明：設(shè)內(nèi)接于半徑為"的半圓的A4BC的一邊ZC是過圓。的直徑，另一頂點(diǎn)在半圓上

為點(diǎn)8.則

AB[TB=(AO+OBJXCO+OB)=—荷+彩屈一無屈+5F+/=0

所以即A48C是直角三角形.

7.設(shè)一四邊形各邊之長是a、b、c、d,

a、b、c、d的任意一個(gè)四邊形的兩條對角線

也必互相垂直.

證明：同習(xí)題1.3第8題.

8.梅耐勞斯（Menelaus）定理：在A48C的三

邊8C,C4力8或其延長線上分別取

三點(diǎn)，它們的分割比是：

,BLCMAN._“一

2=,u=-----,v=----,則nL,A1,N二

LC尸MANB（第8題圖）

點(diǎn)共線的充要條件是4/丫=-1.

證明：任取點(diǎn)。，

（1）必要性：根據(jù)定比分點(diǎn)的向量分解

表示式，

瓦二筆存兩=縹股，麗二幫粵

若L,M,N三點(diǎn)共線，則有

/（筆空）+皿當(dāng)鏟）+〃（筆善）=6

（第8題圖）

其中/,加,〃不全為零.此即

（第+土）刀+（偌+㈤礪+（得+液）瓦=°

所以又因?yàn)榉匠探M有非零解，故其系數(shù)行列式等于零

0

I

1+4展開解得"1/=一1.

4

1+4

（2）充分性：這個(gè)推理過程是可逆的，故若切H=-l,

則L,",N三點(diǎn)共線.

9.塞瓦（Cewa）定理：在A48C中的三邊或

其延長線上分別取以M,N三點(diǎn)，其分割比依次是：％=絲，4=&幺/=四，于是

LCMANB

三線共點(diǎn)的充要條件是加v=l.

證明：（1）必要性：設(shè)AL,BM,CN共點(diǎn)于P，以p為始點(diǎn)，則

pL=xpA,pM=ypB,pN-zpC,因?yàn)閜4P三個(gè)向量共面，必有不全為零的常

數(shù)/,團(tuán),〃存在，使得/〃4+歷26+〃2。=。.

所以孑萬+加7+〃丁=0,又因?yàn)槊瘛?C三點(diǎn)共線，所以《+加+〃=0,

即》=e，PL=±PA，由此推知至=%%

同理可得：也=+=4，里=與=v

因此〃/l/=^Ll《LJ^=：l.

（2）充分性：設(shè)加1/=1,且4L,BM交于點(diǎn)p,由（1）知五=念正=嗯用

故有麗=六沅，由此得知P，N,C三點(diǎn)共線，于是AL,BM,CN共點(diǎn)于p.

10.試用向量法證明三階行列式的阿達(dá)瑪（Hadmard）定理：

2

qa2a3

證明：b[b2b3V3；+a；+a；）（b；+1+b；）（c；+c；+c；）.

C\C2C3

證明：令。=（。],。2，。3），加二（"4,63）,。=（。],。2，。3）

2

axa2a3

222

b}h2b3<（a,d,c）=|axfe|[￡<<（a：+aj）（bf+b；+b；）（c；+c；+

C\C2C3

第二章平面與直線

習(xí)題2.1

1.求下列各平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程和一般方程.

（1）通過點(diǎn)和點(diǎn)“2（1，—1，0）且平行于向量（T，0,2）的平面；

（2）通過點(diǎn)必（1,—5,1）和點(diǎn)M（3,2-2）且垂直于xOy坐標(biāo)面的平面.

解：（1）而環(huán)=（—2,—2,1）與向量（—1,0,2）可作為平面的方位向量，故平面的參數(shù)方

程為

x=3-2w-v,x-ly+lz

—=1-2%平面的點(diǎn)位式方程為-2-21=0,由此得一般方程為

z=-1+〃+2v,-102

4x—3y+2z—7—0.

（2）詬石=（2,7,—3）,平面垂直于xOy坐標(biāo)面，故而石=（2,7,—3）與向量（0,0,1）可

x=1+2u,

作為平面的方位向量，故參數(shù)方程為＜y=-5+7”，平面的點(diǎn)位式方程為

z-l-3u+v,

x-1y+5z-1

27-3=0,可得一般方程為7x-2y-17=0.

001

2.化平面方程x+2y-z+4=0為截距式與參數(shù)式.

解：截距式為啖+g+（=l,故可知M（-4,0,0）,%（0,—2,0），M,（0,0,4）為平面上的三

點(diǎn)，從而應(yīng)訪=（4,—2,0）,而訪=（4,0,4）,故向量（2,-1,0）與（1,0,1）可作為平面的方

x=—4+2M+v,

位向量，故平面的參數(shù)方程為〈歹=-〃，

Z=V.

3.證明向量3=（X,y,Z）平行于平面Ax+By+Cz+D=0的充要條件為

AX+BY+CZ=Q.

證明：不妨設(shè)4c+詼+Cz+O=0中的把這平面方程化為參數(shù)式

DBC

X———u—v,y=u,z=v,所以平面的兩方位向量是與

AAA

從而知3=(x,y,z)與已知平面共面的充要條件為:與

A

xYZ

0,1)共面或者一:

10=0,即4X+6Y+CZ+O=0.如果在直角坐標(biāo)系

C

~~A01

下，那么由于平面的法向量3=(48,。)，所以［平行于平面的充要條件為［?［=()，

即4￥+8y+CZ=0.

4.已知連接兩點(diǎn)/(3,10,—5)和8(0,12,2)的線段平行于平面7》+4夕一2-1=0,求

B點(diǎn)的z坐標(biāo).

解：布=(-3,2,z+5)平行于平面7x+4y—z—l=0,利用上題結(jié)論得

-3x7+2x4+(z+5)x(-l)=0,可得z=-18.

5.求下列平面的--般方程：

(1)通過點(diǎn)必(2,—1,1)和點(diǎn)〃2(3,-2,1)且分別平行于三坐標(biāo)軸的三個(gè)平面；

(2)過點(diǎn)/(3,2,—4)且在x軸和y軸上截距分別為—2和—3的平面；

(3)與平面5x+y-2z+3=0垂直且分別通過三個(gè)坐標(biāo)軸的三個(gè)平面；

(4)已知兩點(diǎn)M(3,T,2),%(4,-2,—l),通過加|且垂直于Mi"2的平面.

解：(1)三個(gè)平面的方位向量分別為：必%=(1,-1,0)與(1,0,0)；必必與(0,1,0)；

MM2與(0,0,1).故三平面的點(diǎn)位式方程分別為

x—2y+1z—1x-2N+1z-1x—2夕+1z—1

1-10=0；1-10=0；1-10=0

100010001

由此得三個(gè)平面的一般式方程分別為z-l=0；z-l=0；x+y—1=0.

(2)由已知平面過點(diǎn)(-2,0,0),(0,—3,0),(3,2,—4)得平面的三點(diǎn)式方程為

x+2yz

2-30=0,得平面的一般方程為12x+8y+19z+24=0.

52-4

⑶三平面的方位向量分別為(5,1,-2)與(1,0,0)；(5,1,-2)與(0,1,0)；(5,1,-2)與(0,0,1).

由此可得三平面的點(diǎn)位式方程分別為

xyxyzxyz

51-2=0；51-2=0；51-2=0,

1000io001

由此得三平面的一般方程分別為2y+z=0;2x+5z=0;x-5y=0.

(4)此題理解為平面所在的坐標(biāo)系為直角坐標(biāo)系，而必而=(1,-1,-3)為平面的法向

量，故點(diǎn)法式方程為x—3-(y+l)-3(z—2)=0,由此得平面的一般方程為

x—y—3z+2=0.

6.將下列平面的一般方程化為法式方程：

(1)x—2,y+5z-3—0；(2)x-y+l=0；

(3)x+2=0；(4)4x—4y+7z=0.

解：分別求出法化因子K乘以平面方程兩端即可得平面的法式方程：

111c

⑵

(3)—x—2=0；

447c

(4)—x——y+—z=0.

999

7.求自坐標(biāo)原點(diǎn)向以下各平面所引垂線的長和指向平面的單位法向量的方向余弦:

(1)2x+3y+6z—35=0；(2)x—2,y4-2z+21=0；

解：(1)將平面的方程化為法式方程為：2》+3歹+92-5=0.故

77.7

u八2八3n6

p=5,COS^!=y,COS^=—,cosa,=—.

122

(2)將平面的方程化為法式方程為：—上x+—*z—7=0.故

333

122

p=7,cos^=-,cos02=cos03=-

8.已知三角形頂點(diǎn)為4(0,—7,0),6(2,-1,1),C(2,2,2),求平行于A4BC所在的平面且

與它相距為2個(gè)單位的平面方程.

解：根據(jù)三點(diǎn)式方程得A48C所在平面的方程為

xy+1z

261=0,即3x—2^+62-14=0.從而得人48。所在平面的法式方程為：

292

-x--y+-z-2^0,故原點(diǎn)到A43c所在平面的距離為2,故所求平面的方程為

777

+^2=0或3x-2y+￡z-4=0,即為3x-2y+6z=0或

777777-

3x-2y+6z-28=0.

9.求與原點(diǎn)距離為6個(gè)單位，且在三坐標(biāo)軸。工,0與Oz上的截面之比為

a:b:c=-l:3:2的平面.

解：設(shè)平面的截距式方程為上上+上+二=1,其法化因子

-m3m2m

,1±6m,6

K=±?.==±—nt,

f￡+J+1V36+4+97

V9m24m2

故法式方程為：+-x+-y+-z+-m=0.

77-77

由已知±9〃?=6,故加=±7.故所求平面的方程為干9x±2y±』z不6=0.

777-7

即為

+6x±2y±3z干42=0.

io.設(shè)從坐標(biāo)原點(diǎn)到平面色+5+之=1的距離為p,求證：-1+4+4=-^.

ahcabcp

解：將原方程化為2+上+三—1=0,設(shè)法化因子為K,有長=0,

abc

則，2」233

PK/b2c2-

習(xí)題2.2

1.求下列各直線的方程:

(1)通過點(diǎn)/(-3,0,1)和夙2,-5,1)的直線;

(2)通過點(diǎn)A/o(Xo，%,Zo)且平行于兩相交平面%:+qy+CjZ+0=0(i=l,2)的

直線；

(3)通過點(diǎn)2)且與兩直線『=；=二和=彳=三，1垂直的直線；

(4)通過點(diǎn)M(2,-3,—5)且與平面6x-3y-5z+2=0垂直的直線.

解：(1)由直線的兩點(diǎn)式方程得所求直線的方程為

x+3yz-1

1

X—X。_尸比二Z-Z。

片￡一￡4Bl

B2C2C2A2B2

x—l_y_z+2

112

x-2y+3z+5

(4)----=--=-----.

6-3-5

2.求以下各點(diǎn)的坐標(biāo)：

(1)在直線三'=2二"==上與原點(diǎn)相距25個(gè)單位的點(diǎn);

213

X-y-4z+12=0/\

(2)關(guān)于直線-、八與P(2,0,-l)對稱的點(diǎn).

2x+y—2z+3=0

x=1+2/

將直線方程專1=三==

解:(1)化為參數(shù)式，y=S+t

z=8+3f

設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(l+2t,8+/,8+3t),則+2f1+(8+[J+(8+3t甘=25,得

Z=4或-更，故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為：

7

(2)設(shè)所求對稱點(diǎn)為(%,%,z°)，則(今包,年,二1歲)在己知直線上，故有

2（2；%）+：_2「1；[+3=0.

XO-NO-4Z（）+3O=O,

即①

2x0+%—2z0+12=0

x-y-4z+12-0

而又直線《的方向向量為

2x+y—2z+3=0

-1-4-4

=（6,一6,3）〃（2,—2,1）.

1一2'-2

故向量（x0-2,y0,z0+l）±（2-2,1），因而有

2（/一2）_2%+以+1）=0.②

由①②得，%=0,%=2,z0=7,故所求對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2,7）.

3.求下列各平面的方程：

（1）通過點(diǎn)尸（2,0,—1）,且又通過直線號=5==2的平面；

（2）通過直線二^=匯？=二■且與直線1.平行的平面；

（3）通過直線三=2彳=二=2且與平面3x+2y-z-5=0垂直的平面.

解：（1）由點(diǎn)P（2,0,—1）和直線四=二=三二2上的點(diǎn)（一1,0,2）所連向量（一3,0,3）及直線

2—13

罟=弓=三二2的方向向量（2,-1,3）可作為平面的方位向量.故所求平面的方程為：

x-2yz+1

-303=0,即x+5y+z-1=0.

2-13

2.x-y+z—3—0,

（2）直線，的方向向量為

x+2,y—z—5=0

11122-1

=（-1,3,5）,

2-1'-]r12

故所求平面方程為:

x—2V+3z+1

1-5-1=0,即：llx+2y+z-15=0.

35

（3）向量（2-3,2）與平面3x+2y-z—5=0的法向量（3,2-1）可作為所求平面的方位向

量，故所求平面的方程為:

x-1y+2z-2

2-32=0,即為x-8y-13z+9=0.

32-1

4.化下列直線的一般方程為射影式方程與標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出直線的方向余弦.

2x+y-z+1=0,x+z-6=0,

⑵i

⑴<3x—y—2z—3=0;2x-4y-z+6=0.

552

解：（1）從方程中消去z得：y=--x-

3r從方程中消去，得Z=A-§，故直線

15

y---x一一,

33

的射影式方程為

52

z——x—.

33

5252

z+一y+—z+一

故標(biāo)準(zhǔn)方程為:=——f=:3,也就是二=3=3

53-15

-33

315

故直線的方向余弦為cos"=iy—,cos0-,—H—-=(,cos0-^—i—-=(.

735V35V35

3

（2）從方程中消去z得：y=從方程中消去N得z=—x+6,故直線的射影式方

4

故標(biāo)準(zhǔn)方程為z-6以反日xyz-6

程為J"/2----,也就是一=乙=-----,故直線的方向余

z=r+6.\-143-4

弦為

434

cosa=±-,—,cose,=±-,—,cosa=+

V41_V41E

習(xí)題2.3

1.計(jì)算下列點(diǎn)和平面間的離差和距離：

(1)M(―2,4,3),\2x~y2z4-3=0；

(2)Af(1,2,-3),^:5x-3y+z+4=0.

212

解：(1)將平面方程2x—y+2z+3=0化為法式方程為一+=0.故點(diǎn)

91911

四到萬的離差為3=--x(-2)+-x4一一x3-l=-一，距離"二—.

33

(2)同(1)一樣可求b=0,d=0.

2.已知四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為5(0,6,4),〃(3,5,3),5(-2,11,-5),C(1-1,4),計(jì)算從頂點(diǎn)S

向底面/6C所引的高.

AB,AC,AS\

解：h-

3.求與下列各對平面距離相等的點(diǎn)的軌跡：

(1)3x+6y—2z—7=0和4x—3y—5=0；

(2)9x-y+2z—14=0和9x-y+2z+6=0.

|3j+6y-2z-7|_|4x-3y-5|

-舟+，+(_2)2742+(-3)2+02)

即為13%一51^+10=0與43》+9y一102-70=0.

|9x-y+2z-14||9x-y+2z+6|

(-)792+(-l)2+22y/92+(-\y+22'

即為9x-y+2z-4=0.

4.設(shè)平面〃為4x+5y+Cz+Z)=0,它與連接二點(diǎn)M(MJi，zj和〃\(工2，%,22)的

直線相交于點(diǎn)"，且環(huán)直=4拓石，求證：

丸_(/玉+CZ]+Z))

Ax^+By2+Cz?+D

證明：由定比分點(diǎn)公式知分點(diǎn)的坐標(biāo)為C+干2，/+牛，■+干21將其代入平面

1+41+A1+A

方程

c—(Ax,+By,+Cz,+。)

力x+坊+Cz+Q=0得：A=------!——L.

AX2+By2+Cz2+D

5.已知平面乃■:x+2歹一3z+4=0,點(diǎn)

19(0,0,0),4(1,1,4),5(1,0-2),C(2,0,2),￡>(0,0,4),￡(1,3,0),網(wǎng)—1,0,1),試區(qū)分上述各點(diǎn)

哪些在平面"的某一側(cè)，哪些在平面"的另一側(cè)，哪些在平面上？

解：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入平面方程的左端所得之值是否大于零，是否等于零，是否小于零，

便可判斷，點(diǎn)8,￡在平面的一側(cè)；點(diǎn)4。在另一側(cè)，而點(diǎn)在平面上.

6.判別點(diǎn)M(2,—1,1)和N(l,2,-3)在由下列相交平面所構(gòu)成的同一個(gè)二面角內(nèi)，或是在

相鄰二面角內(nèi)，或是在對頂?shù)亩娼莾?nèi)？

(1)%]:3x-y+2z-3=0與〃2：x-2y-z+4=0；

(2)匹:2x-y+5z-1=0與〃2：3x—2y+6z-1=0.

解：考察點(diǎn)",N分別位于兩平面劃分的正半空間里，還是負(fù)半空間里.

(1)由于

3x2-lx(-l)+2xl>0,

3xl-lx2+2x(-3)<0,

lx2-2x(-l)-lxl+4>0,

lxl-2x2-lx(-3)+4>0.

故點(diǎn)在相鄰二面角內(nèi).

(2)由于

2x2-lx(-l)+5xl-l>0,

2xl-lx2+5x(-3)-l<0,

3x2-2x(-l)+6xl-l>0,

3xl-2x2+6x(-3)-l<0.

故位于同一二面角內(nèi).

7.試求由平面%:2x-y+2z-3=0與町：3x+2y-6z+4=0所構(gòu)成的二面角的角

平分面的方程，在此二面角內(nèi)有點(diǎn)M(l,2,-3).

解：設(shè)(x,y,z)是角平分面上的任一點(diǎn)，則

|2x—y+2z—3||3x+2y—6z+4]

722+(-1)2+22y/32+22+(-6)2'

故二面角平分面的方程為23x-y-4z-9=0與5x-13y+32z—33=0.

在平面23x-y—4z—9=0上任取一點(diǎn)(0-9,0),由于

2x0-1x(-9)+2x0-3>0,

3x0+2x(-9)-6x0+4<0,

2x1-lx2+2x(-3)-3<0,

3xl+2x2-6x(-3)+4>0,

故點(diǎn)(0,-9,0)與點(diǎn)/(1,2,-3)在平面為，町所構(gòu)成的對頂?shù)亩娼莾?nèi)，故所要求的角平

分面的方程為23x—y—4z—9=0.

8.分別在下列條件下確定的值:

(1)使(/-3)x+(m+l)y+(n-3)z+8=0和(TM+3)X+(〃-9)y+(/—3)z-16=0表

示同一平面；

(2)使2x+〃w+3z-5=0與Zx-6y-6z+2=0表示二平行平面；

(3)使/x+y-3z+l=0與7x-2y-z=0表示二互相垂直的平面.

/—3m+138,,.71337

解:(1)------=-------=------=-----，故/=一=一,n=——

加+3〃一91-316999

2m3-5

_—_____-J-_,故/=-4,m—3.

⑵7~-6~-62

(3)/x7+lx(-2)-3x(-1)=0,故/=-

9.求下列兩平行平面間的距離:

(1)19x-4y+8z+21=0,19x-4y+8z+42=0；

(2)3x+6y-2z-7=0,3x+6y-2z+14=0.

解：利用平行平面之間的距離就是其中一平面上任一點(diǎn)到另一平面的距離可求得:

(1)d=1；(2)d—3.

或利用公式：

設(shè)二平行平面為Ax+By+Cz+D1=0,Ax+By+Cz+D2^0,可推得此二平行平面

一川

間的距離為d=JT+爐+。2

10.求下列各組平面所成的角:

(1)x+y—11=O,3x+8=0；

(2)2x—3y+6z—12—0,x+2y+2z—7=0.

3兀88

解：利用夾角公式可得：(1)—或一；(2)arccos一或"-arccos—.

442121

習(xí)題2.4

1求通過平面4x-y+3z-l=0和x+5y—z+2=0的交線且滿足下列條件之一的平

面：(1)通過原點(diǎn)；(2)與y軸平行；(3)與平面2x—y+5z-3=0垂直.

解：過兩已知平面交線的平面束方程為：

/(4x-jv+3z—l)+/w(x+5y-z+2)=0,①

即(4/+m)x+(5m-l)y+(31-m)z4-(2m—/)=0.②

(1)因?yàn)樗笃矫孢^原點(diǎn)，所以2〃?—/=0,取用=1,貝”=2,代入①得：

9x+3y+5z=0為所求.

(2)因?yàn)樗笃矫媾cy軸平行，即所求平面的法向量3_LQy軸，故-/+5加=0,取

加=1,/=5代入①得：2lx+14z-3=0即為所求平面方程.

(3)由己知：2(4/+/〃)+(-1)(5加一/)+5(3/-m)=0,即3/一加=0,取/=1,加=3代

入①得：7x+14y+5=0為所求平面