高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題10 圓錐曲線（文科）解答題30題 教師版

專(zhuān)題10圓錐曲線（文科）解答題30題1．（陜西省渭南市華陰市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)橢圓C右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意列出方程組求出a，b，c，即可得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由題意可得直線l的方程為，聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式即可得到的值.【詳解】（1）由題得，解得，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）知橢圓C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線l的方程為，設(shè)，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，，．．2．（云南省曲靖市羅平縣第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期見(jiàn)面考數(shù)學(xué)試題）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若直線過(guò)的焦點(diǎn)，與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由拋物線的焦半徑公式可知，由此即可求出答案；（2）由（1）可知焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則可設(shè)直線為，聯(lián)立直線與拋物線，則可得，再利用，即可求出直線.【詳解】（1）由題意可知：，解得：.（2）由（1）知拋物線，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意知直線斜率不為0，設(shè)直線為：，聯(lián)立直線與拋物線：，消得：，則則所以，解得，所以直線為：或3．（云南巍山彝族回族自治縣第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）先設(shè)出橢圓方程，然后由題意可得，從而可得橢圓方程，（2）由題意可得直線的方程為，代入橢圓方程中，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，所以，所以橢圓方程為，（2）因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)且斜率為1，所以直線的方程為，設(shè)，將代入，得，整理得，所以，所以4．（貴州省貴陽(yáng)市白云區(qū)2023屆高三上學(xué)期階段性質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)中心在原點(diǎn)O，、為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)和焦點(diǎn)的連線距離為.(1)求橢圓C的方程；(2)直線與橢圓C交于兩點(diǎn)M、N，若直線的斜率存在，線段MN的中點(diǎn)在直線上，求直線的斜率取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題意求出，結(jié)合離心率求出，再由求出，從而可求出橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合判別式大于零，及線段MN的中點(diǎn)在直線上，得到關(guān)于的不等式，求解即可得答案.【詳解】（1）由題意得，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，所以，所以，所以橢圓的方程為，（2）設(shè)直線的方程為，，由，得，由，得，所以，因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)在直線上，所以，所以，所以，代入，得，化簡(jiǎn)得，解得或，即直線的斜率取值范圍為.5．（貴州省貴陽(yáng)第一中學(xué)2023屆高三高考適應(yīng)性月考（三）數(shù)學(xué)（文）試題）已知橢圓，短軸長(zhǎng)為，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被截得的弦長(zhǎng)為3．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，則在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使得直線的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，也請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）根據(jù)已知條件，列出滿足的方程組，解得，即可求得橢圓方程；（2）討論直線的斜率是否存在，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及直線的斜率互為相反數(shù)，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）對(duì)橢圓，令，解得，故可得解得，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）據(jù)題設(shè)知點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為．由得．設(shè)，，則，．設(shè)，則，．又因?yàn)橹本€MD，ME的斜率互為相反數(shù)，所以，所以，則，所以，所以，所以．若對(duì)任意恒成立，則，當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí)，若，則滿足直線MD，ME的斜率互為相反數(shù)．綜上，在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)，使得直線MD，ME的斜率互為相反數(shù)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓方程的求解，以及橢圓中存在某點(diǎn)滿足條件；第二問(wèn)處理的關(guān)鍵是合理使用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率之和為進(jìn)行求解，屬綜合中檔題.6．（貴州省部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）已知，是橢圓E：（）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在E上，且的面積為.(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，直線，分別與直線交于M，N兩點(diǎn)，證明：.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用代入法，結(jié)合三角形面積公式、之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，利用代入法、分類(lèi)討論法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在E上，且的面積為，所以有；（2）當(dāng)直線l不存在斜率時(shí)，顯然此時(shí)該直線為，這時(shí)與橢圓不相交，不符合題意；當(dāng)直線l存在斜率時(shí)，設(shè)為，方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，所以有，設(shè)，則有，直線的方程為：，令，得，即，同理可得：，把代入上式，得：，易知：B為M、N的中點(diǎn)，因此.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.7．（山東省多校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)合調(diào)考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓W：的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且垂直于x軸的直線被橢圓W所截得的線段長(zhǎng)為．(1)求橢圓W的方程；(2)直線與橢圓W交于A，B兩點(diǎn)，連接交橢圓W于點(diǎn)C，若，求直線AC的方程．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根據(jù)題意可得，結(jié)合離心率和即可求解；（2）根據(jù)題意可設(shè)直線AC的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示出，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)O到直線AC的距離，結(jié)合三角形面積公式計(jì)算求出t，即可求解.【詳解】（1）由題意知，設(shè)過(guò)且垂直于x軸的直線交橢圓于點(diǎn)，則，解得，所以，所以．因?yàn)闄E圓W的離心率，所以．因?yàn)?，所以，，故橢圓W的方程為．（2）由題意知，直線AC不垂直于y軸，設(shè)直線AC的方程為，，，聯(lián)立方程組消去x并整理得，所以，，所以．因?yàn)辄c(diǎn)O到直線AC的距離，且O是線段AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B到直線AC的距離為2d，所以．由，解得，所以，故直線AC的方程為，即或．8．（青海省海東市第一中學(xué)2022屆高考模擬（一）數(shù)學(xué)（文）試題）已知?jiǎng)訄AE過(guò)定點(diǎn)，且y軸被圓E所截得的弦長(zhǎng)恒為4．(1)求圓心E的軌跡方程．(2)過(guò)點(diǎn)P的直線l與E的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，，證明：點(diǎn)P到直線AM，BM的距離相等．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，由圓的弦長(zhǎng)公式列式可得；（2）設(shè)，，設(shè)，直線方程代入拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得，，計(jì)算，得直線PM平分，從而得結(jié)論，再說(shuō)明直線斜率不存在時(shí)也滿足．（1）設(shè)，圓E的半徑，圓心E到y(tǒng)軸的距離，由題意得，化簡(jiǎn)得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，與E的方程聯(lián)立，消去y得，．設(shè)，，則，∵，∴，則直線PM平分，當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，顯然直線PM平分．綜上，點(diǎn)P到直線AM，BM的距離相等．9．（四川省南充高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)（文）試題）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，橢圓C的離心率．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)且與x軸不重合的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線AM，AN分別與直線分別交于P，Q，記點(diǎn)P，Q的縱坐標(biāo)分別為p，q，求的值．【答案】(1)(2)12【分析】（1）用待定系數(shù)法求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線l的方程為,，用“設(shè)而不求法”得到.分別表示出，；得到整理化簡(jiǎn)即可求得.【詳解】（1）由題意可得：，解得：，所以所求橢圓方程為.（2）直線l的斜率不存在時(shí)，直線與橢圓不相交.故斜率存在，設(shè)其為k，設(shè)直線l的方程為,，聯(lián)立方程，消去y得：,所以,解得：..直線AM方程為:,令x=-3解得：；直線AN方程為:,令x=-3解得：；所以即.【點(diǎn)睛】（1）待定系數(shù)法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）“設(shè)而不求法”是一種在解析幾何中常見(jiàn)的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問(wèn)題.10．（安徽省安慶市懷寧縣第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（文）試題）橢圓E：=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2離心率e=，過(guò)F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且ABF2的周長(zhǎng)為8.（1）求橢圓E的方程；（2）若直線AB的斜率為，求ABF2的面積.【答案】（1）=1；（2）【分析】(1)利用橢圓的離心率以及△ABF2的周長(zhǎng)為8，求出a，c,b,即可得到橢圓的方程；(2)求出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出A，B坐標(biāo)，然后求解三角形的面積即可.【詳解】（1）因?yàn)檫^(guò)F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且ABF2的周長(zhǎng)為8，所以，即，又橢圓離心率e=，可得，即，，所以橢圓方程為：.（2）設(shè)直線方程為：由得：，解得：所以，則.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程的求法,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.11．（高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（文）試題）已知直線與焦點(diǎn)為F的拋物線相切.（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F的直線m與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，求A，B兩點(diǎn)到直線l的距離之和的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）聯(lián)立和，利用即可求得，從而得到拋物線方程；（Ⅱ）設(shè)直線為，與拋物線聯(lián)立后可利用韋達(dá)定理求得，進(jìn)而得到；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得中點(diǎn)；利用點(diǎn)到距離之和等于點(diǎn)到的距離的倍，可將所求距離變?yōu)殛P(guān)于的函數(shù)，求解函數(shù)的最小值即可得到所求距離之和的最小值.【詳解】（Ⅰ）將與拋物線聯(lián)立得：與相切

，解得：拋物線的方程為：（Ⅱ）由題意知，直線斜率不為，可設(shè)直線方程為：聯(lián)立得：設(shè)，，則

線段中點(diǎn)設(shè)到直線距離分別為則

當(dāng)時(shí)，兩點(diǎn)到直線的距離之和的最小值為：【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系求解拋物線方程、拋物線中的最值問(wèn)題的求解等知識(shí)；求解最值的關(guān)鍵是能夠?qū)⑺缶嚯x之和轉(zhuǎn)變?yōu)橹悬c(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線距離公式得到函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)最值的求解方法求得結(jié)果.12．（陜西省渭南市2023屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（Ⅰ）文科數(shù)學(xué)試題）“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng).某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）步驟1：設(shè)圓心是，在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過(guò)點(diǎn)；步驟3：把紙片展開(kāi)，并留下一道折痕；步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，就能得到越來(lái)越多的折痕.已知這些折痕所圍成的圖形是一個(gè)橢圓.若取半徑為6的圓形紙片，設(shè)定點(diǎn)到圓心的距離為4，按上述方法折紙.(1)以點(diǎn)、所在的直線為軸，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求折痕圍成的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)且不與軸垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，在軸的正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線，斜率之積為定值？若存在，求出該定點(diǎn)和定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在點(diǎn)，使得直線與斜率之積為定值.【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義對(duì)照折紙的方法求出；（2）設(shè)直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，再根據(jù)斜率的定義求解即可.【詳解】（1）如圖，以所在的直線為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，由題意可知，，所以點(diǎn)軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，因?yàn)?，，所以，，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由已知：直線過(guò)，設(shè)的方程為，由題意m必定是存在的，聯(lián)立兩個(gè)方程得，消去得，得，設(shè)，，則，（*），，將（*）代入上式，可得上式，要使為定值，則有，，又∵，∴，此時(shí)，∴存在點(diǎn)，使得直線與斜率之積為定值；綜上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，存在點(diǎn)，使得直線與斜率之積為定值.13．（陜西省寶雞市2023屆高三上學(xué)期一模文科數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)在拋物線上，且到的焦點(diǎn)的距離與到軸的距離之差為.(1)求的方程；(2)當(dāng)時(shí)，是上不同于點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率之積為為垂足.證明：存在定點(diǎn)，使得為定值.【答案】(1)或(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）首先表示出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，再表示出的坐標(biāo)，依題意得到方程，解得即可；（2）依題意可得拋物線方程與點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)：，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，根據(jù)直線、的斜率之積為，得到、的關(guān)系，即可求出直線過(guò)定點(diǎn)，即可得到點(diǎn)在以為直徑的圓上，求出圓心坐標(biāo)與半徑，即可得到定點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得證.【詳解】（1）解：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，又點(diǎn)在拋物線上，即，所以，即，依題意可得，解得或，或.（2）解：，，.設(shè)：，，，聯(lián)立，消去整理得，①，且，，，，即，適合①，將m代入得，令，解得，直線恒過(guò)定點(diǎn).又，點(diǎn)在以為直徑的圓上，因?yàn)椤⒌闹悬c(diǎn)為，，所以以為直徑的圓方程為，所以存在使得.14．（陜西省咸陽(yáng)市高新一中2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第五次質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試題）已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)．【答案】(1)(2)8【分析】（1）設(shè)雙曲線的方程為，將代入求出，進(jìn)而得解；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，得出關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式和韋達(dá)定理即可求解.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的方程為．將代入，得，解得．所以，雙曲線的方程為；（2）由（1）得雙曲線的方程為，設(shè)．由，得，由韋達(dá)定理得．所以，故弦長(zhǎng)為8．15．（山西省呂梁市2022屆高三三模文科數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)），記直線的斜率分別為，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由已知橢圓離心率和點(diǎn)A坐標(biāo)列方程求解即可.（2）設(shè)出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，寫(xiě)出韋達(dá)定理，利用斜率公式和韋達(dá)定理進(jìn)行計(jì)算即可得到定值.(1)由題意知解得所以橢圓的方程是．(2)證明：由（1）知，設(shè)，直線的方程為，將其代入，得，所以，且，解得．又因?yàn)榇嬖?，所以，即或．所以為定值，定值為?6．（山西省際名校2022屆高三聯(lián)考二（沖刺卷）文科數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率．(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作兩條斜率之和為1的直線，分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)分別為M，N，試證直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率，由求解；（2）設(shè)直線的方程為，直線的斜率分別為，且，直線的程為，分別與橢圓方程和直線的方程聯(lián)立，利用中點(diǎn)M，得到，同理有，得到是方程的兩根，由求解.(1)解：因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為，離心率，所以，解得．橢圓C方程為．(2)設(shè)，直線的方程為，直線的斜率分別為，且，直線的程為．聯(lián)立，得，故．聯(lián)立，得，所以，整理得，同理有，所以是方程的兩根，則，即，所以直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)．17．（山西省晉中市2022屆高三下學(xué)期5月模擬數(shù)學(xué)（文）試題）已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于，兩點(diǎn)，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)，在橢圓上，且.證明：直線恒過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）易得，再由橢圓過(guò)點(diǎn)，得到求解；（2）設(shè)點(diǎn)，，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理求解；（1）解：由已知得當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，則，聯(lián)立解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）證明設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)?，即，?*當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為.代入橢圓方程消去得，，，，根據(jù)，.代入*整理，得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得，.即，當(dāng)時(shí)，直線方程為.過(guò)點(diǎn)，不符合條件.當(dāng)時(shí)，直線方程為，故直線恒過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，令點(diǎn)，此時(shí)，又.可得（舍去）或.當(dāng)時(shí)，與點(diǎn)重合，與已知條件不符，∴直線的斜率一定存在，故直線恒過(guò)定點(diǎn).18．（內(nèi)蒙古赤峰市2023屆高三下學(xué)期1月模擬考試文科數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)已知點(diǎn)，，直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)A，B位于直線l的兩側(cè)）．設(shè)直線AP，AQ，BP，BQ的斜率分別為，，，，求證：為定值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)橢圓長(zhǎng)軸和離心率的定義列出方程組，解得，，即可求解；(2)由(1)可知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，設(shè)P，由橢圓的對(duì)稱性可得Q，根據(jù)兩點(diǎn)求斜率公式表示出，結(jié)合即可求出的值.同理求出的值即可證明.【詳解】（1）由題意得解得，．所以橢圓C的方程為．（2）點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由橢圓的對(duì)稱性知點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．所以，．所以．又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以，即，所以．同理．所以為定值．19．（內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市2023屆高三上學(xué)期質(zhì)量普查調(diào)研考試文科數(shù)學(xué)試題）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，橢圓的右焦點(diǎn)F與拋物線的焦點(diǎn)重合.(1)求橢圓C的方程；(2)A、B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率不為0的直線交橢圓C于點(diǎn)M、N，直線AM與直線x＝4交于點(diǎn)P.記PA、PF、BN的斜率分別為k1、k2、k3，是否為定值？并說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是定值，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由題意可知，再根據(jù)離心率為可求，進(jìn)而可求橢圓方程；（2）設(shè)，，，，直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，的值，聯(lián)立直線與直線，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到的表達(dá)式，代入已知求解即可．【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，所以．因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，所以，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，，，，直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，得，因?yàn)橹本€交橢圓于，兩點(diǎn)，所以，所以，，所以．直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．設(shè)，則，所以，即為定值.20．（四川省成都市第八中學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第二次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)如圖，四邊形是矩形，與橢圓相切于點(diǎn)與橢圓相切于點(diǎn)與橢圓相切于點(diǎn)與橢圓相切于點(diǎn)，求矩形面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用已知關(guān)系建立方程組，聯(lián)立即可求解；（2）當(dāng)直線的斜率不存在或?yàn)闀r(shí)，求出矩形的面積，當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求出，同理求出，進(jìn)而表示出矩形的面積，利用函數(shù)思想求解即可.【詳解】（1）由已知可得：可求出代入，解得所以橢圓的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不存在或?yàn)闀r(shí)，矩形的面積為，當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程消去整理可得：，所以，解得，所以，同理可得，所以矩形的面積，令，所以，又，所以，則，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為；所以，所以，綜上，矩形的面積的取值范圍為.21．（江西省上饒市重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為.(1)求橢圓的方程：(2)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，軸交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于（其中為原點(diǎn)），證明直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題可得，然后利用離心率即可求解；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程利用韋達(dá)定理，可得，進(jìn)而可求直線的方程為，即可得證.【詳解】（1）依題意，，又橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線方程為，由得，，直線OP的斜率，直線的斜率，令得點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程為，即，直線恒過(guò)定點(diǎn).22．（江西省景德鎮(zhèn)市2023屆高三上學(xué)期第二次質(zhì)檢數(shù)學(xué)（文）試題）已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，，分別為左右頂點(diǎn)，直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)傾斜角為時(shí)，是橢圓的上頂點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為6.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，為上異于點(diǎn)的一點(diǎn)，以為直徑作圓.若過(guò)點(diǎn)的直線（異于軸）與圓相切于點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，試判斷是否為定值，并說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)為定值【分析】（1）當(dāng)傾斜角為時(shí)，求出直線的方程，令，求出，即可求出，再根據(jù)的周長(zhǎng)及求出、，即可得解；（2）由題設(shè)可得，設(shè)點(diǎn)，的方程設(shè)為，利用相切條件可得，聯(lián)立直線方程可求的坐標(biāo)，從而可判斷在橢圓上，從而可證為定值.【詳解】（1）解：當(dāng)傾斜角為時(shí)，直線為，令，得，即橢圓的上頂點(diǎn)為，所以，又的周長(zhǎng)為，即，又，解得，，所以橢圓的方程為.（2）解：由（1）可知，，，因?yàn)檫^(guò)與圓相切的直線分別切于、兩點(diǎn)，所以，所以，設(shè)點(diǎn)，則，圓的半徑為，則直線的方程為，的方程設(shè)為，則，化簡(jiǎn)得，由，解得，所以點(diǎn)，所以點(diǎn)在橢圓上，∴，即．23．（江西省景德鎮(zhèn)市2023屆高三第一次質(zhì)檢試題數(shù)學(xué)（文）試題）已知橢圓，長(zhǎng)軸是短軸的倍，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)在軸上的投影為點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的且不與軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，是否存點(diǎn)，使得直線，直線與軸所在直線所成夾角相等？若存在，請(qǐng)求出常數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意，即可得到橢圓的方程即為，再將點(diǎn)代入方程，求出，即可得到，從而得解；（2）設(shè)直線為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，依題意，即可得到方程，解得即可.【詳解】（1）解：依題意，即，所以橢圓即，又橢圓過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以，所以橢圓方程為；（2）解：因?yàn)橹本€不與軸垂直，所以設(shè)直線為，，，由，消去整理得，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，即，即，即，解?24．（廣西南寧市第二中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次綜合質(zhì)檢數(shù)學(xué)（文）試題）已知橢圓，傾斜角為的直線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)B，且（其中A為右頂點(diǎn)）.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，列出關(guān)于的方程組，即可求橢圓方程；（2）討論直線的斜率不存在和存在兩種情況，聯(lián)立方程，將向量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，并利用韋達(dá)定理消元整理，并根據(jù)，求解.【詳解】（1）由題可知解得故橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)，，，由，，得，同理，當(dāng),時(shí)，得，所以，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，即時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去y得.因?yàn)橹本€l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P、Q，所以，即①.設(shè)，則②，則，由，得③，③代入②得，化簡(jiǎn)整理得④，將④代入①得，化簡(jiǎn)得，解得或.綜上，m的取值范圍為.25．（廣西柳州市2023屆新高三摸底考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知平面上動(dòng)點(diǎn)Q（x，y）到F（0，1）的距離比Q（x，y）到直線的距離小1，記動(dòng)點(diǎn)Q（x，y）的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程．(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，－1），過(guò)點(diǎn)P作曲線C的切線，切點(diǎn)為A，若過(guò)點(diǎn)P的直線m與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，證明：．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意列出方程化簡(jiǎn)求解即可；（2）要使，只需，利用斜率公式及根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)即可得證.（1）Q（x，y），由題意，得，當(dāng)時(shí)，，平方可得，當(dāng)時(shí)，，平方可得，由可知，不合題意，舍去.綜上可得，所以Q的軌跡方程C為．（2）不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，從而直線PA的斜率為，解得，即A（2，1），又F（0，1），所以軸．要使，只需．設(shè)直線m的方程為，代入并整理，得．首先，，解得或．其次，設(shè)，則，，故.此時(shí)直線m的斜率的取值范圍為．26．（專(zhuān)題21圓錐曲線綜合-2022年高考數(shù)學(xué)（文）母題題源解密）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．（1）求橢圓的方程；（2）直線的斜率為，且與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的角平分線交橢圓于另一點(diǎn)．證明：直線與坐標(biāo)軸平行．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由條件得：解得，，即可得到橢圓方程．（2）證明：欲證與坐標(biāo)軸平行，即證直線的方程為；或，又因?yàn)槠椒郑手恍枳C明，的斜率都存在時(shí)滿足即可．當(dāng)，的斜率不存在時(shí)，說(shuō)明不滿足題意．然后證明．設(shè)直線，，，，，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合的表達(dá)式，推出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：由條件得：解得，，橢圓．（2）證明：欲證與坐標(biāo)軸平行，即證直線的方程為；或，又因?yàn)槠椒?，故只需證明，的斜率都存在時(shí)滿足即可．當(dāng)，的斜率不存在時(shí)，即點(diǎn)或的坐標(biāo)為，而經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)直線與橢圓相切，不滿足題意．故，的斜率都存在，下證．設(shè)直線，，，，，聯(lián)立，可得此時(shí)，，，．（※），（※）式的分子，直線與坐標(biāo)軸平行．得證．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓方程以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題.27．（河南省部分重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期2月開(kāi)學(xué)聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）已知橢圓：的離心率為，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，，的面積分別為，，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合離心率、得出方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性得出；當(dāng)直線斜率存在且不等于零時(shí)，聯(lián)立直線和橢圓方程，由韋達(dá)定理以及三角形面積公式得，再由基本不等式求解即可；【詳解】（1）由橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)得橢圓的方程為（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，則；當(dāng)直線斜率存在且不等于零時(shí)，設(shè)直線：，聯(lián)立可得，設(shè)，，則，，，，顯然，在軸兩側(cè)，，異號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取等號(hào).所以的最大值為.