數(shù)學(xué)《學(xué)案導(dǎo)學(xué)與隨堂筆記》人教A版浙江版2-2學(xué)案：第二章 推理與證明2.2 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題．知識(shí)點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的等式n(n－1)（n－2)…（n－50）＝0.思考1驗(yàn)證當(dāng)n＝1,n＝2，…,n＝50時(shí)等式成立嗎?答案成立．思考2能否通過以上等式歸納出當(dāng)n＝51時(shí)等式也成立？為什么？答案不能，上面的等式只對(duì)n取1至50的正整數(shù)成立．梳理(1）數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：①（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0（n0∈N＊)時(shí)命題成立；②（歸納遞推)假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥n0，k∈N*）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．（2）數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示類型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1）·(n＋2）·…·（n＋n)＝2n×1×3×…×（2n－1)(n∈N＊)，“從k到k＋1”左端增乘的代數(shù)式為________．答案2(2k＋1)（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n∈N＊時(shí),1－eq\f（1，2）＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f（1,2n－1)－eq\f(1，2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f（1,n＋2）＋…＋eq\f（1,2n）.證明①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1－eq\f(1，2)＝eq\f（1,2），右邊＝eq\f(1,2)。左邊＝右邊，等式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N＊，k≥1）時(shí)，等式成立，即1－eq\f(1，2)＋eq\f（1，3)－eq\f（1，4）＋…＋eq\f(1，2k－1)－eq\f(1，2k)＝eq\f（1，k＋1）＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k），當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1－eq\f(1，2）＋eq\f（1，3)－eq\f（1，4)＋…＋eq\f（1，2k－1)－eq\f（1,2k)＋eq\f(1,2k＋1）－eq\f（1,2k＋2）＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f（1，2k）＋eq\f（1，2k＋1）－eq\f(1，2k＋2）＝eq\f（1,k＋2)＋eq\f（1，k＋3)＋…＋eq\f（1，2k＋1)＋（eq\f（1，k＋1）－eq\f（1，2k＋2)）＝eq\f（1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f（1,2k＋1)＋eq\f(1，2k＋2）＝eq\f(1,k＋1＋1）＋eq\f(1，k＋1＋2）＋…＋eq\f(1，2k＋1）.∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立．由①②可知，對(duì)一切n∈N＊等式成立．反思與感悟數(shù)學(xué)歸納法證題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(1)驗(yàn)證是基礎(chǔ)：找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗(yàn)證的初始值不一定是1.（2）遞推是關(guān)鍵：數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推,所以從“k”到“k＋1"的過程中，要正確分析式子項(xiàng)數(shù)的變化．關(guān)鍵是弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，弄清由n＝k到n＝k＋1時(shí),等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)、增加怎樣的項(xiàng)．(3）利用假設(shè)是核心：在第二步證明n＝k＋1成立時(shí)，一定要利用歸納假設(shè)，即必須把歸納假設(shè)“n＝k時(shí)命題成立”作為條件來(lái)導(dǎo)出“n＝k＋1”，在書寫f(k＋1）時(shí)，一定要把包含f(k)的式子寫出來(lái)，尤其是f（k)中的最后一項(xiàng)，這是數(shù)學(xué)歸納法的核心,不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法．跟蹤訓(xùn)練1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3＋5＋…＋（2n－3）＋(2n－1）＋(2n－3）＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1.證明(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1,右邊＝2×12－2×1＋1＝1,等式成立．（2)假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N＊）時(shí)，等式成立，即1＋3＋5＋…＋（2k－3)＋（2k－1）＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1,則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝1＋3＋5＋…＋（2k－3)＋（2k－1)＋（2k＋1）＋(2k－1)＋（2k－3）＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1＋（2k－1)＋(2k＋1)＝2k2＋2k＋1＝2（k＋1）2－2(k＋1）＋1。即當(dāng)n＝k＋1時(shí),等式成立．由（1)（2)知，對(duì)任意n∈N*，等式都成立．類型二利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2求證：eq\f（1，n＋1）＋eq\f（1,n＋2）＋…＋eq\f（1，3n）>eq\f(5，6)（n≥2,n∈N＊)．證明（1)當(dāng)n＝2時(shí),左邊＝eq\f（1，3)＋eq\f（1，4）＋eq\f（1,5)＋eq\f（1,6）＝eq\f（57，60),故左邊〉右邊，不等式成立．(2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N＊)時(shí)，命題成立，即eq\f(1，k＋1）＋eq\f（1,k＋2)＋…＋eq\f(1,3k)〉eq\f(5,6)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí),eq\f（1,k＋1＋1)＋eq\f（1,k＋1＋2）＋…＋eq\f(1,3k）＋eq\f（1,3k＋1)＋eq\f（1，3k＋2)＋eq\f(1，3k＋1)＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f（1,k＋2）＋…＋eq\f(1，3k)＋（eq\f（1,3k＋1)＋eq\f(1,3k＋2）＋eq\f(1，3k＋3)－eq\f（1,k＋1))>eq\f(5，6）＋（eq\f（1,3k＋1)＋eq\f（1,3k＋2）＋eq\f（1,3k＋3）－eq\f（1,k＋1））． (＊)方法一（分析法）下面證(*)式≥eq\f（5,6)，即eq\f(1,3k＋1）＋eq\f(1,3k＋2）＋eq\f(1，3k＋3）－eq\f（1,k＋1）≥0，只需證（3k＋2)（3k＋3）＋（3k＋1)（3k＋3）＋（3k＋1）(3k＋2)－3（3k＋1)(3k＋2）≥0,只需證（9k2＋15k＋6)＋（9k2＋12k＋3）＋（9k2＋9k＋2）－（27k2＋27k＋6)≥0,只需證9k＋5≥0，顯然成立．所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立．方法二(放縮法）（*）式〉(3×eq\f(1，3k＋3）－eq\f(1，k＋1））＋eq\f(5,6)＝eq\f(5,6),所以當(dāng)n＝k＋1時(shí),不等式也成立．由（1）(2）可知，原不等式對(duì)一切n≥2,n∈N＊均成立．引申探究把本例改為求證：eq\f（1，n＋1）＋eq\f（1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3）＋…＋eq\f(1，n＋n）〉eq\f（11,24)(n∈N＊)．證明（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝eq\f（1,2)>eq\f(11,24),不等式成立．(2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N＊，k≥1)時(shí)，不等式成立，即eq\f（1，k＋1）＋eq\f（1，k＋2)＋eq\f(1，k＋3)＋…＋eq\f（1,k＋k)〉eq\f（11,24)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\f(1，k＋2）＋eq\f（1，k＋3）＋…＋eq\f（1，2k)＋eq\f（1，2k＋1)＋eq\f(1，2k＋2）＝eq\f(1，k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3）＋…＋eq\f(1,2k）＋eq\f（1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2）－eq\f(1,k＋1）>eq\f（11，24）＋eq\f（1,2k＋1)＋eq\f（1,2k＋2)－eq\f（1,k＋1），∵eq\f(1，2k＋1）＋eq\f(1，2k＋2)－eq\f（1，k＋1）＝eq\f（2k＋1＋2k＋1－22k＋1，2k＋12k＋1)＝eq\f（1,2k＋12k＋1)〉0，∴eq\f（1,k＋1）＋eq\f（1,k＋2)＋eq\f（1，k＋3）＋…＋eq\f（1,2k)＋eq\f(1，2k＋1)＋eq\f（1，2k＋2)－eq\f（1,k＋1)〉eq\f（11，24)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1，2k＋2）－eq\f（1,k＋1）〉eq\f(11,24），∴當(dāng)n＝k＋1時(shí),不等式成立．由(1）(2）知對(duì)于任意正整數(shù)n，不等式成立．反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個(gè)關(guān)鍵：（1）驗(yàn)證第一個(gè)n的值時(shí),要注意n0不一定為1，若n〉k(k為正整數(shù)），則n0＝k＋1。(2)證明不等式的第二步中,從n＝k到n＝k＋1的推導(dǎo)過程中，一定要用到歸納假設(shè),不應(yīng)用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)槿鄙贇w納假設(shè)．（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式,按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大小，對(duì)第二類形式往往要先對(duì)n取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤,最后猜出從某個(gè)n值開始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明．(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k時(shí)成立得n＝k＋1時(shí)成立,主要方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等．跟蹤訓(xùn)練2用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)一切n∈N*,1＋eq\f（1，22）＋eq\f（1，32）＋…＋eq\f(1，n2）≥eq\f(3n，2n＋1).證明(1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝eq\f(3×1,2×1＋1)＝1，不等式成立．(2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥1，k∈N*）時(shí)，不等式成立，即1＋eq\f（1,22）＋eq\f(1，32)＋…＋eq\f(1,k2)≥eq\f（3k，2k＋1)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，要證1＋eq\f（1,22)＋eq\f(1,32）＋…＋eq\f(1，k2）＋eq\f(1，k＋12)≥eq\f(3k＋1,2k＋1＋1）,只需證eq\f（3k，2k＋1)＋eq\f（1，k＋12)≥eq\f(3k＋1，2k＋1＋1)。因?yàn)閑q\f(3k＋1，2k＋3）－[eq\f（3k，2k＋1）＋eq\f（1，k＋12)］＝eq\f(3，4k＋12－1）－eq\f（1，k＋12)＝eq\f(1－k＋12,k＋12[4k＋12－1]）＝eq\f(－kk＋2,k＋124k2＋8k＋3)≤0，所以eq\f（3k，2k＋1）＋eq\f(1，k＋12)≥eq\f(3k＋1，2k＋1＋1），即1＋eq\f（1，22）＋eq\f(1,32）＋…＋eq\f（1，k2）＋eq\f(1，k＋12)≥eq\f（3k＋1,2k＋1＋1）,所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立．由（1)(2)知，不等式對(duì)一切n∈N*都成立．類型三歸納—猜想—證明例3已知數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和為Sn，其中an＝eq\f（Sn,n2n－1)，且a1＝eq\f（1,3）。(1)求a2，a3；(2）猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并證明．解(1）a2＝eq\f（S2，22×2－1)＝eq\f（a1＋a2,6)，a1＝eq\f(1，3)，則a2＝eq\f（1，15），同理求得a3＝eq\f（1,35).(2)由a1＝eq\f（1,1×3），a2＝eq\f（1,3×5),a3＝eq\f（1,5×7），…，猜想an＝eq\f（1,2n－12n＋1）。證明：①當(dāng)n＝1時(shí),a1＝eq\f（1,3），等式顯然成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥1，k∈N*)時(shí)猜想成立，即ak＝eq\f（1,2k－12k＋1)，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由題設(shè)an＝eq\f(Sn，n2n－1），得ak＝eq\f（Sk，k2k－1），ak＋1＝eq\f(Sk＋1，k＋12k＋1)，所以Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1）eq\f(1，2k－12k＋1)＝eq\f（k，2k＋1).Sk＋1＝(k＋1）(2k＋1)ak＋1，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝（k＋1）(2k＋1)ak＋1－eq\f(k，2k＋1）,因此，k（2k＋3）ak＋1＝eq\f(k,2k＋1)，所以ak＋1＝eq\f(1，2k＋12k＋3)＝eq\f（1,[2k＋1－1]［2k＋1＋1］).所以當(dāng)n＝k＋1時(shí),命題成立．由①②可知，命題對(duì)任何n∈N*都成立．反思與感悟(1）“歸納—猜想—證明”的解題步驟（2)歸納法的作用歸納法是一種推理方法,數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法．歸納法幫助我們提出猜想，而數(shù)學(xué)歸納法的作用是證明猜想．“觀察—猜想—證明"是解答與自然數(shù)有關(guān)命題的有效途徑．跟蹤訓(xùn)練3設(shè)a>0，f（x)＝eq\f(ax，a＋x）,令a1＝1，an＋1＝f（an)，n∈N*.(1）寫出a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通項(xiàng)公式；（2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．解(1）因?yàn)閍1＝1，an＋1＝f（an）,所以a2＝f(a1)＝f（1）＝eq\f（a,a＋1)，a3＝f（a2）＝f(eq\f(a,a＋1））＝eq\f（a·\f(a,a＋1)，a＋\f(a，a＋1）)＝eq\f（a，a＋2），a4＝f（a3）＝f（eq\f（a，a＋2））＝eq\f(a·\f(a,a＋2)，a＋\f(a，a＋2））＝eq\f(a,a＋3)，猜想an＝eq\f(a,a＋n－1)(n∈N*)．(2)①易知當(dāng)n＝1時(shí),結(jié)論成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí),猜想成立，即ak＝eq\f（a，a＋k－1）。則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝f（ak)＝eq\f（a×\f（a,a＋k－1),a＋\f(a,a＋k－1））＝eq\f（a,a＋k－1＋1)＝eq\f(a，a＋k）＝eq\f（a，a＋[k＋1－1］），即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想也成立．由①②知，對(duì)一切n∈N*,都有an＝eq\f（a,a＋n－1）.1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋eq\f（1,22)＋eq\f（1，32）＋…＋eq\f（1，2n－12）〈2－eq\f(1，2n－1）（n≥2,n∈N*）的第一步需證明（)A．1〈2－eq\f(1,2－1）B．1＋eq\f（1，22)〈2－eq\f(1，22－1）C．1＋eq\f（1，22）＋eq\f（1，32)〈2－eq\f（1，22－1)D．1＋eq\f(1，22)＋eq\f（1，32）＋eq\f（1,42)<2－eq\f(1，22－1)答案C2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝eq\f(1－a2n＋2，1－a)(a≠1）”．在驗(yàn)證n＝1時(shí),左端計(jì)算所得項(xiàng)為()A．1＋a B．1＋a＋a2C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4答案C解析將n＝1代入a2n＋1得a3，故選C.3．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1（n∈N*)的過程如下：(1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立．（2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí),1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝eq\f(1－2k＋1,1－2）＝2k＋1－1。所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立．由此可知對(duì)于任何n∈N＊，等式都成立．上述證明，錯(cuò)誤是________．答案未用歸納假設(shè)解析本題在由n＝k成立證明n＝k＋1成立時(shí)，應(yīng)用了等比數(shù)列的求和公式,而未用上歸納假設(shè)，這與數(shù)學(xué)歸納法的要求不符．4．請(qǐng)觀察以下三個(gè)式子：（1）1×3＝eq\f(1×2×9，6）；(2)1×3＋2×4＝eq\f(2×3×11,6）；（3)1×3＋2×4＋3×5＝eq\f(3×4×13,6)，歸納出一般的結(jié)論,并用數(shù)學(xué)歸納法證明該結(jié)論．解結(jié)論：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n＋2)＝eq\f(nn＋12n＋7,6)。證明：①當(dāng)n＝1時(shí),左邊＝3,右邊＝3，所以命題成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥1，k∈N*)時(shí)，命題成立，即1×3＋2×4＋3×5＋…＋k(k＋2）＝eq\f(kk＋12k＋7,6)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1×3＋2×4＋…＋k（k＋2）＋(k＋1)（k＋3)＝eq\f(kk＋12k＋7，6）＋（k＋1)（k＋3)＝eq\f(k＋1，6)(2k2＋7k＋6k＋18）＝eq\f(k＋1，6）（2k2＋13k＋18）＝eq\f(k＋1k＋22k＋9,6）＝eq\f(k＋1[k＋1＋1]［2k＋1＋7],6），所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立．由①②知,命題成立．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)驗(yàn)證是基礎(chǔ):找準(zhǔn)起點(diǎn),奠基要穩(wěn)，有些問題中驗(yàn)證的初始值不一定為1;(2)遞推是關(guān)鍵：正確分析由n＝k到n＝k＋1時(shí)，式子項(xiàng)數(shù)的變化是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障；（3)利用假設(shè)是核心：在第二步證明中一定要利用歸納假設(shè)，這是數(shù)學(xué)歸納法證明的核心環(huán)節(jié)，否則這樣的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法證明．課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)n＝k（k∈N＊）時(shí)，該命題成立，那么可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí),該命題也成立．現(xiàn)在已知當(dāng)n＝5時(shí),該命題成立,那么可推導(dǎo)出()A．當(dāng)n＝6時(shí)命題不成立B．當(dāng)n＝6時(shí)命題成立C．當(dāng)n＝4時(shí)命題不成立D．當(dāng)n＝4時(shí)命題成立答案B2．一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題中,當(dāng)n＝2時(shí)命題成立，且由n＝k時(shí)命題成立，可以推得n＝k＋2時(shí)命題也成立，則()A．該命題對(duì)于n〉2的自然數(shù)n都成立B．該命題對(duì)于所有的正偶數(shù)都成立C．該命題何時(shí)成立與k取值無(wú)關(guān)D．以上答案都不對(duì)答案B解析由n＝k時(shí)命題成立，可以推出n＝k＋2時(shí)命題也成立，且n＝2。故對(duì)所有的正偶數(shù)都成立．3．設(shè)f(x）是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f（x)滿足：“當(dāng)f(k）≥k2成立時(shí)，總可推出f（k＋1)≥（k＋1）2成立”,那么,下列命題總成立的是()A．若f（3）≥9成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f(k)≥k2成立B．若f（5）≥25成立，則當(dāng)k≤5時(shí)，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)〈49成立，則當(dāng)k≥8時(shí)，均有f（k）<k2成立D．若f(4）＝25成立,則當(dāng)k≥4時(shí),均有f(k)≥k2成立答案D解析對(duì)于D，∵f（4)＝25≥42，∴當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k2。4．設(shè)Sk＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2）＋eq\f（1，k＋3）＋…＋eq\f（1，2k），則Sk＋1為(）A．Sk＋eq\f(1,2k＋2） B．Sk＋eq\f(1，2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2）C．Sk＋eq\f（1,2k＋1)－eq\f（1，2k＋2) D．Sk＋eq\f（1，2k＋2）－eq\f(1，2k＋1)答案C解析Sk＋1＝eq\f（1,k＋2）＋eq\f（1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f（1，2k＋1)＋eq\f（1,2k＋2)＝Sk＋eq\f（1，2k＋1）＋eq\f(1，2k＋2）－eq\f（1,k＋1)＝Sk＋eq\f（1,2k＋1）－eq\f（1，2k＋2).5．已知f(n)＝eq\f(1，n）＋eq\f(1,n＋1）＋eq\f(1,n＋2）＋…＋eq\f(1，n2)，則()A．f(n）中共有n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝eq\f（1，2）＋eq\f（1,3）B．f（n)中共有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2）＝eq\f(1，2)＋eq\f（1，3)＋eq\f(1,4)C．f（n)中共有n2－n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝eq\f（1，2)＋eq\f(1,3）D．f(n)中共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f（2）＝eq\f(1，2）＋eq\f（1，3）＋eq\f（1，4)答案D解析觀察分母的首項(xiàng)為n,最后一項(xiàng)為n2，公差為1，∴項(xiàng)數(shù)為n2－n＋1.6．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝eq\f（an，3an＋1）（n∈N＊),依次計(jì)算a2，a3，a4，歸納推測(cè)出an的通項(xiàng)表達(dá)式為(）A。eq\f（2,4n－3） B.eq\f(2，6n－5）C。eq\f（2,4n＋3) D。eq\f（2,2n－1)答案B解析由a1＝2,a2＝eq\f(2,7),a3＝eq\f(2，13)，a4＝eq\f(2,19）,…，可推測(cè)an＝eq\f(2，6n－5）,故選B.7．某同學(xué)回答“用數(shù)學(xué)歸納法證明eq\r(n2＋n)<n＋1（n∈N*）”的過程如下:證明:（1)當(dāng)n＝1時(shí)，顯然命題是正確的；（2)假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥1，k∈N*）時(shí)，有eq\r（kk＋1）〈k＋1，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\r（k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2）<eq\r(k2＋4k＋4)＝(k＋1）＋1，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立．由(1）（2）可知對(duì)于任意n∈N*命題成立．以上證法是錯(cuò)誤的,錯(cuò)誤在于（)A．從k到k＋1的推理過程沒有使用歸納假設(shè)B．歸納假設(shè)的寫法不正確C．從k到k＋1的推理不嚴(yán)密D．當(dāng)n＝1時(shí)，驗(yàn)證過程不具體答案A二、填空題8．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1－eq\f(1，2）＋eq\f(1，3)－eq\f（1，4）＋…＋eq\f（1，2n－1）－eq\f(1,2n）＝eq\f(1，n＋1)＋eq\f(1,n＋2）＋…＋eq\f（1,2n）,第一步應(yīng)驗(yàn)證的等式是________．答案1－eq\f(1，2)＝eq\f（1,2）9．用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式，當(dāng)n＝k時(shí)，表達(dá)式為1×4＋2×7＋…＋k（3k＋1)＝k（k＋1)2，則當(dāng)n＝k＋1時(shí),表達(dá)式為________________________________________________．答案1×4＋2×7＋…＋k（3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1）（k＋2）210．證明：假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＊）時(shí)等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，2＋4＋…＋2k＋2（k＋1）＝k2＋k＋2(k＋1）＝（k＋1)2＋（k＋1），即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立．因此對(duì)于任何n∈N*等式都成立．以上用數(shù)學(xué)歸納法證明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N＊)”的過程中的錯(cuò)誤為_____________．答案缺少步驟歸納奠基三、解答題11．用數(shù)學(xué)歸納法證明（1－eq\f（1，4))(1－eq\f（1,9)）（1－eq\f(1，16））·…·（1－eq\f(1，n2））＝eq\f(n＋1，2n)（n≥2,n∈N＊）．證明（1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1－eq\f（1，4)＝eq\f（3，4)，右邊＝eq\f(2＋1，2×2)＝eq\f(3，4），所以左邊＝右邊，所以當(dāng)n＝2時(shí)等式成立．(2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2,k∈N*）時(shí)等式成立，即（1－eq\f（1,4))（1－eq\f（1，9))(1－eq\f（1，16)）·…·（1－eq\f（1,k2)）＝eq\f(k＋1，2k)，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，（1－eq\f（1,4））(1－eq\f(1，9)）(1－eq\f（1,16））·…·(1－eq\f（1,k2))[1－eq\f(1,k＋12）]＝eq\f(k＋1，2k)[1－eq\f（1，k＋12）］＝eq\f（k＋1，2k)·eq\f（kk＋2，k＋12)＝eq\f(k＋2,2k＋1)＝eq\f（k＋1＋1,2k＋1），即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立．綜合(1）（2）知，對(duì)任意n≥2，n∈N＊，等式恒成立．12．用數(shù)學(xué)歸納法證明：eq\f（1,22)＋eq\f(1,32）＋eq\f（1，42）＋…＋eq\f（1,n2）<1－eq\f（1,n）(n≥2,n∈N*）．證明（1)當(dāng)n＝2時(shí)，左式＝eq\f(1,22)＝eq\f（1,4），右式＝1－eq\f(1,2）＝eq\f（1，2）。因?yàn)閑q\f(1,4)<eq\f（1,2)，所以不等式成立．（2）假設(shè)n＝k（k≥2,k∈N＊)時(shí),不等式成立，即eq\f(1，22)＋eq\f（1，32)＋eq\f（1,42）＋…＋eq\f（1,k2)<1－eq\f（1，k)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，eq\f（1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f（1，42)＋…＋eq\f（1,k2)＋eq\f（1，k＋12）<1－eq\f（1，k）＋eq\f(1,k＋12）＝1－eq\f(k＋12－k,kk＋12)＝1－eq\f(k2＋k＋1,kk＋12)<1－eq\f（kk＋1，kk＋12)＝1－eq\f(1，k＋1)，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立．綜上所述，對(duì)任意n≥2的正整數(shù)，不等式都成立．13．設(shè)數(shù)列｛an｝滿足an＋1＝aeq\o\al(2,n)－nan＋1,n＝1，2，3，….(1)當(dāng)a1＝2時(shí),求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個(gè)通項(xiàng)公式;（2）當(dāng)a1≥3時(shí),證明對(duì)所有的n≥1，n∈N＊，有an≥n＋2。（1)解由a1＝2，得a2＝aeq\o\al（2,1)－a1＋1＝3，由a2＝3，得a3＝aeq\o\al(2，2）－2a2＋1＝4，由a3＝4，得a4＝aeq\o\al（2,3)－3a3＋1＝5，由此猜想an的一個(gè)通項(xiàng)公式：an＝n＋1(n≥1，n∈N＊）．（2)證明①當(dāng)n＝1時(shí)，a1≥3＝1＋2，不等式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥1，n∈N*)時(shí),不等式成立，即ak≥k＋2，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí),ak＋1＝ak(ak－k）＋1≥（k＋2)（k＋2－k）＋1≥k＋3。即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1≥(k＋1)＋2.由①②可知,對(duì)任意的n≥1，n∈N*，都有an≥n＋2。四、探究與拓展14．用數(shù)學(xué)歸納法證明eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1，