2.2.2反證法(優(yōu)秀課件)

2.2直接證明與間接證明

2.2.2反證法2021/5/911.直接證明的兩種基本證法：綜合法和分析法2.這兩種基本證法的推證過程和特點(diǎn)：由因?qū)Ч麍?zhí)果索因3、在實(shí)際解題時(shí)，兩種方法如何運(yùn)用？通常用分析法尋求思路，再由綜合法書寫過程綜合法已知條件結(jié)論分析法結(jié)論已知條件一、復(fù)習(xí)回顧2021/5/92二、引入思考？

A、B、C三個(gè)人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、B都撒謊。則C必定是在撒謊，為什么？分析:假設(shè)C沒有撒謊,則C真.那么A假且B假;由A假,知B真.這與B假矛盾.那么假設(shè)C沒有撒謊不成立;則C必定是在撒謊.2021/5/93（1）如果有5只鴿子飛進(jìn)兩只鴿籠，至少有3只鴿子在同一只鴿籠，對(duì)嗎？（2）將9個(gè)球分別染成紅色或白色，無論怎樣染，至少有5個(gè)球是同色的，你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？二、引入思考？正難則反!

假設(shè)有某種染法使同色的球數(shù)都不超過4個(gè)，則球的總數(shù)不超過4+4=8，這與球的總數(shù)是9矛盾。因此，假設(shè)不成立，無論怎樣染，至少有5個(gè)球是同色的我們可以把這種說理方法應(yīng)用到數(shù)學(xué)問題上2021/5/94

把這種不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱為間接證明注：反證法是最常見的間接證法

一般地，假設(shè)原命題不成立（即假設(shè)在原命題的條件下，結(jié)論不成立），

經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾。因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，

這種證明方法叫做反證法。三、基本概念反證法的思維方法：正難則反2021/5/95反證法的證明步驟：①假設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)命題結(jié)論的否定成立；③下結(jié)論——由矛盾結(jié)果，斷定假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立。②找矛盾——從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，推出矛盾（與已知矛盾，與已知定義，公理，定理事實(shí)等矛盾，與出現(xiàn)的臨時(shí)假設(shè)矛盾，在證明過程中出現(xiàn)自相矛盾等等），從而否定假設(shè)；簡(jiǎn)單記為：否定結(jié)論——推出矛盾——肯定結(jié)論，（其中推出矛盾是反證法證明的關(guān)鍵。）反證法是制造矛盾的專家。2021/5/96例1.求證：在個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°注：結(jié)論中含“至多、至少”形式出現(xiàn)；直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從進(jìn)行反面思考。四、例題選講分析：從條件出發(fā)很難入手去證，可以考慮從反面入手證明：假設(shè)三角開有三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C都小于60°

則有∠A+∠B+∠C＜180°，

這與三角形內(nèi)角和等于180°相矛盾。所以假設(shè)不成立，

所以原結(jié)論成立，即在個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°2021/5/97例2.已知a≠0，證明x的方程ax=b有且只有一個(gè)根。證：由于a≠0，因此方程至少有一個(gè)根x=b/a，注:結(jié)論中的有且只有(有且僅有)形式出現(xiàn),

是唯一性問題,常用反證法```如果方程不只一個(gè)根，不妨設(shè)x1,x2

（x1≠x2)是方程的兩個(gè)根.四、例題選講2021/5/982021/5/99（1）直接證明有困難的一些命題（如有些基本定理的證明如平行線的傳遞性的證明）即正難則反!小結(jié)：1、哪些命題適宜用反證法加以證明？（3）以否定性判斷作為結(jié)論的命題（2）關(guān)于唯一性結(jié)論的命題（即結(jié)論中有有且只有，有且僅有等關(guān)鍵字眼）（4）以至多，至少，不多于等形式陳述的命題（5）一些不等量命題的證明2021/5/9102.常用的正面敘述詞語及其否定：正面詞語等于大于（>）小于(<)是都是都不是否定正面詞語至多有一個(gè)至少有一個(gè)任意的所有的至多有n個(gè)任意兩個(gè)否定不等于不大于（小于或等于)（≤）不小于（大于或等于）（≥）不是不都是至少有兩個(gè)一個(gè)也沒有某個(gè)某些至少有n＋1個(gè)某兩個(gè)至少有一個(gè)是2021/5/911五.課堂練習(xí)：1、求證：不可能成等差數(shù)列

證明：假設(shè)成等差數(shù)列,則有

,這顯然不成立所以假設(shè)不成立，不可能成等差數(shù)列2021/5/9122、證明：在△ABC中，若∠C是直角，則∠B一定是銳角。證明：假設(shè)∠B不是銳角，則∠B≧90°，又因?yàn)椤螦＞0°，∠C=90°所以∠A+∠B+∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和等于180°相矛盾。所以假設(shè)不成立，∠B一定是銳角。五.課堂練習(xí)：2021/5/913六.課堂小結(jié)①與已知條件矛盾；②與假設(shè)矛盾。③與已有公理、定理、定義矛盾。

1、基本概